CC BY
111
lim ¡J(x./m)dx= lim ¡J(x.fm)4x)dx+ Jj(x.fm){l- ф))А
m-*c " ян« „ „
ar ^ör ог
(a^Dc l^r )
где D£= x eD\U £:U ¿.-открытая в D\ у окрестность ЯЗ Y у ,|l/ е \ < s, d(x, /Y <£>)) fa произвольная функция
peCo(D\r),0< ф)<1 ,<f(x)=l на Ds
Устремляя в неравенстве (j) £ к нулю, получим
Jim^D |D ♦ \Г*\ (ó)
Объединяя неравенства и (б) , получим
равенство (i), а следовательно , и равенства (2).
Окончательно из неравенства (7), леммы 3 и равенств (2) получим . что
F (У fo )- 1'nl F(yfm )• Теорема доказана
ЛИГеРАТУРА
1. Сычев A.B. Модули и пространственные квазиконформные отображения. - Новосибирск: Наука, 1983.-14В с.
2. Стругов Ю.Ф. Квазиконформные в среднем отображения и экстремальные задачи. Ч.1.-М..1994 .153 с. Деп. в ВИНИТИ 05.12.94 №2786 - В 94
3. Стругов Ю.Ф., Гарифуллина Е В. О компактности семейств квазиконформных в среднем отображений со свободными значениями на границе // Омский научный вестник №8.-Омск , 1999.
4. Решетняк Ю Г Пространственные отображения с ограниченным искажением. - Новосибирск: Наука, 1982 -285с.
5. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер.- М„ 1977.
СТРУГОВ Юрий Федорович, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой высшей математики ОмГТУ.
ГАРИФУЛЛИНА Елена Владимировна, ассистент ОмГТУ
УДК 519.8 ППЗабудский, ДВ.Филимонов (г. Омск, Омский филиал Института математики СО РАН)
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ МИНИМАКСНОЙ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ НА ДЕРЕВЕ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА МАКСИМАЛЬНЫЕ РАССТОЯНИЯ1
РАССМОТРЕНА МИНИМАКСНАЯ ЗАДАЧА РАЗМВЦЕНИЯ ОБЪЕКТОВ НА ДРШОВЦЦНОЙ СЕТИ, В ВЕРШИНАХ КОТОРОЙ РАСПОЛОЖЕНЫ ФИКСИРОВАННЫЕ ОБЪЕКТЫ. ЗАДАНЫ МАКСИМАЛЬНО ДОПУСТИМЫЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ РАЗМЕЩАВШЬМИ И ФИКСИРОВАНИЯМ ОБЪЕКТАМ И РАЗМЕЩАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ МЕЖДУ СОБОЙ. ГРЕДЛОЖЕН АЛГОРИТМРВ11ЕНИЯ ЗАДАЧИ. В НВА ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ПРОЦЕДУРА ПОИСКА КРАТЧАЙШЕЕ ПУТИ В НЕКОТОРОЙ СЕТИ, ДЛИШ ДУГ КОТОРОЙ ЛИНЕЙНО ЗАВИСЯТ ОТ ПАРАМЕТРА.
ВВЕДЕНИЕ
Задачи оптимального размещения взаимосвязанных объектов часто возникают на практике. Область, в которой размещаются объекты, может быть различной: линия, плоскость, сеть и т.д. Могут быть заданы различные ограничения на расположение объектов [1-4].
В данной работе рассматривается задача оптимального размещения взаимосвязанных объектов на древовидной сети с ограничениями на максимально допустимые расстояния. Существующие объекты расположены в вершинах сети, а новые объекты размещаются как в вершинах сети, так и на ее дугах. Заданы удельные стоимости связей и максимальные расстояния между существующими и размещаемыми объектами, а также размещаемых объектов между собой. Необходимо разместить новые объекты на сети так, чтобы выполнялись заданные ограничения и максимальное взвешенное расстояние меаду новыми и существующими, и новых объектов между собой было минимальным.
Такая задача без ограничений на расстояния рассматривалась в [4]. Для нахождения оптимального решения авторы строят вспомогательную задачу без критерия оптимальности, в которой значение целевой функции исходной задачи является параметром в ограничениях на максимальные расстояния Используя условия существования допустимого решения, авторы находят минимальное значение параметра, для которого такое решение существует. Затем строится решение вспомогательной задачи с найденным параметром, которое будет оптимальным для исходной задачи. Отметим, что указанные условия являются достаточными для существования допустимого решения только на древовидных сетях.
В данной работе предложен алгоритм решения .задачи размещения с ограничениями на максимально допустимые расстояния. Составной частью этого алгоритма яв-
Работа вьлопнена при финансовой псщдеркке РФФИ (мод проекта 97-01-00771)
ЛЯ0ГСЯ процедур* построения кратчайшего пути в сети, длины дуг которой линейно зависят or параметра.
В п.1 приводил'я математическая постановка задачи. Пункт 2 посвящен условиям существования допустимого решения и алгоритму решения задами бе* ограмме-ний на максималмм«'рмсшяния [4]. В п.Э приводится алгоритм решения иавадйой задни. Обоснование алгоритма дано а п.4.
ПОСТАНОВКА ЗАДАМИ
Предположим, дана связная, нонепреепониея дреео-веднея сеть Т. Длина кмщой дуги в Т - это известное положительное число. Расстояние между двумя точками х и у в Т понимается как длине кратчайшего пути, соединяющего х и у. Обозначим его через d(x.y). Существующие объекты лежат в вершинах v,.....vn. Пусть новые объекты резменяются в точках х,.....х^, которые могут быть расположены
как в вершинах, так и на дугах сети Т. Известны положительные удельные стоимости связей w, и v^ и максимально допустимые расстояния ^ и Ь^ фиксированных объектов с новыми и новых мшду собой, где 1 <i<n, 1 <j<m,
1 < j < k < m. Необшдимо найти такие точки х,,...^ для размещения новых объектов на саги Т, чтобы выполнялись ограничения не максимально допустимые ресстояния и максимальное взвешенное расстояние менаду новыми и существующими, и новых объектов миду собой было минимальным Тоща исходная зедма записывается следующим образом.
max [max (vJkd(xj,xk)), max (Wijd(vuXj)) min м.
Iij<kim 1 sisn. 1 PI
d(\i,Xk) < bjk, 1 < i < k < ш pg
d(Vi,Xi) < ел, 1 <, i < n, 1 < j < ш (3)
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ БЕЗ ОГРАНИ ЧЕНИЙ
В данной части описаны необкдимые и достаточные условия существования допустимого решения задачи (1 )• (3). Приведен алгоритм решения задачи (1) без ограниче ний на расстояния (2)-(3) [4].
Будем говорить, что ограничения на расстояния совместны, если суще сну ют точки х,.....хя не сети Т, удовлетворяющие (2)-(3). Если допустимое решение задачи (1)-(3) существует, то оно находится с помощью процедуры последовательного построения рвзмещвпия SLP (Sequentoi Locatlon Procadure) [4]. Для получения необходимых и достаточных условий совместности ограничений (2)-(Э) строится вспомогательная сеть ВС [4]. У казенная сеть строится следующим образом. Для каждого существующего
объекта I вводится уэал EF|P 1 < i < п а каждому новому
объекту ] ставится в соответствие узел NFr NF., 1 < j < ms. Любые два узла NF и NFk соедимиотся неориентированной дугой длины bL, в любые дав уча EF, и NF. - нвориенгцюевн-ной дутой дп&ы Прадлапегается, что сеть ВС связно. В противном случае Wf* даюмпооируегая, т.е. часть новых объекгое манат быть pnieupia независимо от остальных.
Обавначим через L(EF>1EFt) длину кратчейшего пути в сети ВС манду произвольными узлами EF, и EF,. Справедлива следующая теореме [4]:
ТЕОРЕМА 2. Ограничения на расстояния совместны
d(vjA)<L(EF.,EFt),l<s<t<n (4)
Для решения оптимизационной задачи (1) предложен следующий алгоритм [4].Строится вспомогательная задача (5)-(7), эквивалентная (1):
ъ —> ггип (5)
£ 0%*.! <} < к <т (6)
<1(У.,Х.) < (1^)2,1<{<п,\<]<т ' (7)
Ограничения (6) и (7) рассматриваются как огрвии-чения на максимальные расстояния и строится соответствующая сеть ВС. Далее рассматривается сеть, аналогичная сети ВС, но а ней длине дуги между произвольными узлами № и №к равна а маеду ЕР, и МР. - 1Л*. Черве п обпнмаегся длина кратчайшего пути мокду узлами и ЕР, в этой сети (ее можно найти, например, алгоритмом Двйкстры [3)) Тогда длина кратчейшего пути ммкду этими уэлеми е сети ВС равняется Согласно теореме, ограничения (б), (7) совместны, если выполнены соотношения (4). Следовательно, используя условия (4) получается, что ограничения (в) и (7) совместны тогда и только тоща, когда
(Ку^у) < плг, 1 < в < I < п.
Таким образом, минимальная величина г в задме (5)-(7) определяется так:
г - тах {б^у)!п„).
1 < »<!< п
Величина г' - это оптимальное знвчение целевой функции (1). Делев е огреничениях (В) и (7) г заменяется не г' и оптимальное размещение для задачи (5)-(7) находится при помощи процадуры Э1-Р В силу эквивалентности задач (1) и (5)-(7) нейденное размещение будет оптимальным для задми с минимексным критерием (1) без ограничений не максимальные ресстояния.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАМИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ
Основная идея алгоритме заключается а последовательном приближении слева к оптимальному значению целевой функции эадени (1 )-(3). После нахсзвдения оптимель-иого значения строится оптимальное размещение. Для этого сначала при помощи процедуры SLP находится размещение, удовлетворяющее ограничениям (2)-(3) Если оно отсутствует, алгоритм прекращает рвботу, т.к. задача (1)-(3) не имеет допустимого решения. Инече, для задечи (1) строится вспомогательная задача, подобная задаче (5)-(7), и находится значение параметра г так, как это показано в предыдущем пункте. В ограничения (в)-(7) вспомогательной задачи вместо параметра г подставляется знмение г. При помощи процадуры БЦР находится рпмещение, удовлетворяющее полученным ограничениям вспомогательной задам. Если оно дотегворяег ограничениям (2)-(3), то это размещение будет оптимальным в задаче (1 )-(3). Инече, сраанивеютоя максимальные ресстояния в огреничениях (2),(3) с расстояниями между соогветсгаующи-ми объектами в построенном размещении В ограничениях вспомогательной задгж, дгм которых Ьц < или с, < сЦу,,*), производится замена правых частей на Ь- или с соответственно. После этого процедура повторяется: находится значение пераметре г' для модифицированной вспомогательной задачи и т.д. Алгоритм заканчивает свою работу, когда будет найдено оптимальное решение.
Пусть множество пар различных индексов новых объектов Ц,к*
Ав=Ш,к):1<.|<к<т}.
Через ЫР, обозначим подмножество пер из А,. для которых не была произведена замена правых частей в ограничениях вспомогательной задачи, подобных ограничениям (в), до некоторой текущей итерации Мнокество веж пар индексов существующих и новых объектов (Ц) обозначим черев А,..
АС={(У): 1<1<п,1<;<т}.
Черев N6,, обоэненим мнокасгао пар « А^ для кло-рых на была произведена ниве правых частей в ограничениях вспомогательной зедми, подобных офеничениям (7), до некоторой текущей итерации
1 Данная теорема в [4] имеет номер 2.1
Опишем по шагам алгоритм решения минимаксной задачи (1)-(3).
АЛГОРИТМ.
Шаг 0.1. Используем процедуру SLP для поиска допустимого размещения объектов с ограничениями на расстояния (2)-(3). Если допустимого размещения нет, то STOP.
Иначе обозначим найденное размещение как^.....i^, а 2° -
значение целевой функции для этого размещения и переходим на шаг 0.2.
Шаг 0.2. Полагаем NR^Ag, NRBC=AC. Переходим на шаг 1.
Шаг 1. Строим вспомогательную задачу (8)-(12):
z —> min (8)
d(xj,xi)^(l/vjli)z,(j,k)€NRB (9)
^^^.(jJclGA,^ (10)
<Kvlvxj)^(l/w.j)z,(ij)€NRc (И)
(Kv^) ^ C.j, (ij) e AC\NRC (12)
Для ограничений на расстояния (9)-(12) строим сеть ВС. В общем случае, веса некоторых дуг в ней линейно зависят от параметра z, а веса остальных - константы. На первой итерации переходим на шаг 21, на следующих итерациях - на шаг 2.
Шаг 21. Для каждой пары существующих объектов
vt,v,,, 1 < s < t < п находим кратчайший путь между вершинами EF} и EF в сети ВС, подобно тому, как это показано в п.2 настоящей статьи. Далее вычисляем величину:
z" = max (d(v$,v,)/na).
I <s<t^n
Переходим на шаг 3.
Шаг 2. Для каждой пары существующих объектов v,,v,, 1 й s < t й п находим кратчайший путь между вершинами EFS и EF, в сети ВС при помощи алгоритма поиска кратчайшего пути в сети, длины дуг которой линейно зависят от параметра. Пусть найдена кусочно-линейная функция длины кратчайшего пути с q линейными кусками, определенная на интервале от z до z°. Решаем уравнения
d(v)(v,)=Kpz+Lpflnfl всех 1 <p<q, где Кр, Lp-коэффициенты линейного куска с номером р. Обозначим через К z+ц, линейный кусок этой функции, такой что точка za = (d(v5,v,)-ia)/Ka лежит на интервале определения этого линейного куска. Если такого значения параметра для данной пары объектов не найдется, то переходим к следующей паре объектов. Пояснение того, что хотя бы для одной пары объектов такое значение существует, приведено в п.4.
Далее вычисляем величину:
г = шах (d(vs,v,) -La)IKa.
Переходим на шаг 3.
Шаг 3. Ограничения (9), (11), в которых z = z*, обозначим (9)', (11)' соответственно. При помощи процедуры SLP, находим допустимое размещение объектов х,.....хт, удовлетворяющее ограничениям (9)',(10),( 11 )',(12). Сравниваем расстояния между объектами ограничениями на максимальные расстояния (2),(3) для пар объектов, входящих в множества NRB и NRC, т.е. проверяем справедливость неравенств:
< bjk, (j,k) е N1^ (13)
d(y.,x.) 1 C|j, (ij) 6 NRC (14)
Если найденное размещение удовлетворяет офани-чениям (13),(14), то оно удовлетворяет и ограничениям (2),(3). В этом случае переходим на шаг 6. Иначе на шаг 4.
Шаг 4. Исключаем из множества NRB пары (j,k), такие что: b,k < dix.x^, а из множества NRC пары (i,j), такие, что: с„ < dfVpXj). Хотя бы одна такая пара существует.
Если множества NRB и NRC стали пустыми, то офани-чения (10),(12) совпадут с офаничениями (2),(3). Тогда переходим на шаг 5. В противном случае переходим на шаг 1.
Шаг б. Найденное на шаге 0.1. размещение х,.....j^, -
оптимальное решение задачи (1)-(3). STOP.
Шаг 6. х.....х - найденное оптимальное решение задачи (1 ИЗ). STOP.
х1.....х будет равно г*. Если алгоритм завершил работу на
шаге 5, то оптимальное значение целевой функции равно 2°.
Определим верхнюю оценку числа итераций алгоритма. На каждой итерации при выполнении шага 4 из множеств исключается как минимум один элемент (¡,к) или (¡,)) соответственно. Первоначально мощности указанных множеств равны т(т-1)/2 и тп. Таким образом число итераций не превосходит величины тг+тп. Определение трудоемкости одной итерации зависит от офани-чений на удельные стоимости связей между объектами.
ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМА
В этом пункте приведем обоснование описанного выше алгоритма, т.е. покажем, что если существует допустимое решение задачи (1)-(3), то алгоритм находит оптимальное решение за конечное число шагов. Алгоритм, начиная с размещения со значением целевой функции г*, вычисленном на шаге 21, последовательно перебирает размещения, при этом значение целевой функции на каждой итерации постоянно возрастает. Ниже в утверждении 1 будет приведено обоснование шага 2. Показано, что хотя бы для одной пары фиксированных объектов у9,у, существует значение га. которое принадлежит полуинтервалу (2*,2°]. при котором значение кусочно-линейной функции длины кратчайшего пути между вершинами ЕРа и ЕР, в сети ВС равно расстоянию между объектами V,, V, в исходной сети. В утверждении 2 будет доказано, что после замены правых частей офаничений (9) и (11) на исходные офани-чения на максимальные расстояния на шаге 4, оптимальное значение целевой функции такой задачи не превосходит оптимального значения исходной.
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Найдется хотя бы одна пара фиксированных объектов эЛ дня которых
Z<Z¡¿Í^>.
Доказательство. Отметим, что неравенство справедливо для всех пар эД. Действительно, пусть пусть Вм:га = (¿(у.д.Н^уК,>2°. Тогда(Цу.у)>К^Ч-Ц,.т.е. при
не выполнены необходимые и достаточные условия существования допустимого размещения теоремы [4]. Это противоречит тому, что z=¿^ - значение целевой функции на допустимом решении задачи.
Докажем, что существует пара эД для которой гя > г'. Если это не так, то для все« пар вД справедливо г%=(¿(у.уН^У /К„<г\ V М-ТодасКуд^К^г'+Ц, т.е. приг=г" выполнены условия теоремы [4]. В этом случае алгоритм нашел бы оптимальное решение и завершил свою работу на предыдущей итерации на шаге 3. Противоречие.
Утверждение доказано.
Пусть г1 - значение целевой функции, найденное алгоритмом, для которого существует допустимое размещение объектов, а г2 - значение целевой функции, полученное на предыдущей итерации алгоритма, для которого не существует допустимого размещения. Тогда справедливо
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Не существует допустимого решения задачи (1)-(3) со знамением целевой функции г3, удовлетворяющим неравенствам г2 < г3 < г\
Доказательство. От противного. Пусть существует допустимое решение задачи (1 И3) со значением целевой функции z3 для которого справедливы неравенства г2 < г3 < г1.
Значение г1 было вычислено на шаге 2 как максимальное среди величин Рассмотрим пару существующих объектов с номерами в и ^ для которых справедливо г^г1. Величина г1 определялась из неравенства как минимальная, для которой это неравенство выполнено, т.е = К^+Ц,. Рассмотрим кратчайший путь между вершинами с номерами в и I при г = г3. Возможны два случая.
1) Кратчайшие пути при г = г3 и г = г' одинаковые. Тогда, т.к. г3 < г1,
Если алгоритм закончил свою работу на шаге 6, то значение целевой функции на оптимальном решении
т.е. «К^.у,) > К^г1«-^, т.е. сотасно теореме [4], отра-ничения не расстояния несовместны, что противоречит существованию допустимого решения при гч*.
2) Кратчайшие пути при г ■ г" и г = г1 различны. Пусть длина кратчайшего пути для г9 выражена функцией К^+1.^. Тоща К^Н^с К,,^!^, и, продолжив цепдаку неравенств, как в случае 1, мы также придем к противоречию.
Утверждение доказано.
Отметим, что когда коэффициенты при параметре в функциях длин дуг равны единице, то для поиска кратчайшего пути можно применить алгоритм из [5], который имеет полиномиальную трудоемкость. Если эти коэффициенты равны 1Л, аде 1 < к< К - целое, то можно модифицировать указанный алгоритм и получить псевдополиномиальную трудоемкость. Для произвольных неотрицательных коэффициентов при параметре линейных функций можно применить модификацию алгоритма Дейксгры. Данный алгоритм имеет экспоненциальную трудоемкость. Алгоритм построения кусочно-линейной функции на отрезке приведен в [6].
ЛИТЕРАТУРА
[1] Забудский ГГ. Алгоритм решения одной задачи оптимального линейного упорядочения.//Известия вузов. Математике. Казань, 1997.-Ы 12.-С.73-78.
[2] Забудский Г.Г О целочисленной постановке одной задачи размещения объектов на линии. //Управляемые си-
УДК 519.816 Е.Т. Гегечнори Омский государственный технический университет
1. Формально структура задачи многокритериального выбора лучших объектов может быть представлена в виде кортежа
(A;R,.....«Ч.....RJ.
'Классический' подход к решению этой задачи состоит в построении некоторой 'свертки* критериев к,к*1, 2, ... ,п, задающей на А единое отношение линейного порядка Р и выбора в качестве лучшего объекта 'максимального' объекта из упорядоченного отношением Р множества А, т.е. элемента х, для которого не существует у е А: уРж.
Хорошо известно [1], что порядок Р не может быть удовлетворительным образом 'согласован' с отношениями Rk (к ■ 1, 2,..., п) без использования дополнительной информации, например, об относительной важности (подмножеств) критериев к. В связи с этим разумно попытаться сначала сузить насколько возможно область выбора с помощью более или менее 'грубого' отношения доминирования R, мажорирующего Р (говорят, что отношение R мажорирует Р, если для любых *, у, t=A имеет место: xRy
—> хРу, хРу A xRy —> хРг).
стемы Новосибирск, ИМ СО РАН, 1990.-Вып.30.-С.35-35.
[3] Э.Майника. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах. // М.: Мир, 1981.-323 с.
[4] R.L. Francis, T.J. Lowe, D.H. Ratllff. Distance constrains for tree network multlfaclllty location problems. II Opms. Res. 26(4), 1978.-P.570-595.
И V.Kats, E.Levner. Polynomial algorithms for scheduling of robots. //Intelligent scheduling of robots and flexible manufacturing systems. Edited by Eugene Levner. СТЕН Press, Holon, Israel, 1996.-P.77-100.
[6] M. Meglddo. Combinatorial optimization with rational objective functions. //Math, of Oper.Res.4(4),1979.-P.414-424.
26.10.99
ЗАБУДСКИЙ Геннадий Григорьевич - к.ф.-м.н., Омский филиал Института математики СО РАН, старший научный сотрудник, лаборатория дискретной оптимизации.
ФИЛИМОНОВ Дмитрий Валерьевич. Омский филиал Института математики СО ПАН, аспирант, лаборатория дискретной оптимизации.
Естественным сужением области выбора в этом случае является так называемое С-ядро отношения Я, определяемое как множество недоминируемых элементов х 6А. Другой возможный принцип сужения области выбора связан с более сложным понятием решения отношения Я по фон Нейману и Моргенштерну (пороге, НМ-решения отношения /7). Последнее определяется как такое множество V, Иг А что
а) никакие два х.уеУ не доминируют друг друга и
б) для всякого у еУнайдется какой-нибудь доминирующий у.
В определенном смысле можно говорить, что С-ядро выделяет 'лучшие' объекты, в то время как НМ-решение лишь исключает "худшие*. В общем случае и кажется, что как принцип оптимальности, С-ядро предпочтительнее НМ-решения (впервые понятия С-ядра и решения были введены в теории игр (2]; их применение к задачам многокритериального выбора обсуждается а [3]).
К сожалению, для произвольного антирефлексивного отношения Я, описывающего «систему предпочтений» лица, принимающего решение (ЛПР) как С, так и V могут быть пустыми, а V, кроме того, может определять-
К ВЫБОРУ ЛУЧШИХ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ПО МНОЖЕСТВУ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ
В СТАТЬЕ РАССМАТРИВАЕТСЯ МЛТВЧАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА ЛУЧШИХ ОБЪЕКТОВ, ИСПОЛЬЗУЕМАЯ НА РАННИХ СТАДИЯХ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЯ ПОСТРОЕННОЕ ОТНОШЕНИЕ ДОМИНИРОВАНИЯ ЯВЛЯЕТСЯ ОДНОВРЕМЕННО ЯДРОМ И РЕШЕНИЕМ ПО ФОН НЕЙМАНУ И МОРГЕНШТЕРНУ И ЛИШЕНО ТРАДИЦИОННЫХ НЕДОСТАТКОВ, ПРИСУЩИХ ИГРОВЫМ МОДЕЛЯМ.
