CC BY
95
Intellectual Technologies on Transport. 2015. No 3
Об информационном регулировании потоков автомобильного транспорта
Баушев А. Н.
Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I Санкт-Петербург, Россия banban2008@yandex.ru
Аннотация. Предложен метод решения задачи о построении потока минимальной стоимости с нелинейной функцией стоимости. Метод заключается в сведении к задаче с линейной функцией стоимости в некоторой вспомогательной мультисети, структура которой определяется видом целевой функции в исходной задаче.
Ключевые слова: потоки в сетях, построение потока, минимальная стоимость, эквивалентность экстремальных задач.
Введение
Интенсивное развитие коммуникационных и информационных технологий породило новые способы регулирования автотранспортных потоков. Появление в автомобилях навигационного оборудования и использование интернета позволяет водителю оценить текущее состояние сети дорог и выбрать маршрут движения с учётом этого состояния. Более того, воспользовавшись, например, услугами компании Яндекс, водитель может в готовом виде получить оптимальный по времени маршрут следования и ввести его в свой навигатор.
Однако алгоритм последовательного поиска скорейшего маршрута может привести к далеко не оптимальному потоку, если в качестве критерия оптимальности выбрано суммарное (или среднее по потоку) время движения от начальной до конечной точки маршрута. Среднее время перемещения потока по участкам транспортной сети очевидно зависит от величины потока на них. Эту зависимость необходимо учитывать при оптимальном распределении потока по маршрутам следования.
Сказанное иллюстрирует искусственный пример (рис. 1), где первое число на дуге обозначает среднее время перемещения потока величины 9 = 1, а второе - среднее время перемещения потока величины 9> 2.
Рассмотрим задачу перемещения потока величины 9 = 2 из узла s в узел t по сети (рис. 1). Применяя алгоритм последовательного поиска кратчайшего по времени пути, находим:
ц = 5 —■ u — x — v — у — t; т(ц) = 5; ц2 = 5 —— x —— у —— t; т (^2 ) = 3 + 2 +10 = 15 .
Суммарное время перемещения составит 20, а среднее по потоку - 10.
Однако перемещение единичных потоков по путям ц3 = 5 — x — у — t и ц4 = 5 — u — v — t даёт суммарное время 12 и среднее по потоку - 6.
Приведённый пример наводит на мысль, что для интенсивного потока автотранспорта следует использовать «пакетный» подход к удовлетворению запросов водителей на оптимальный маршрут перемещения по сети дорог. В течение некоторого (малого) интервала времени собираются запросы от водителей, затем определяется величина 0 перемещаемого потока. Далее находится оптимальное распределение этого потока по возможным маршрутам следования от пункта запроса до пункта назначения.
Математическая модель возникающей при этом оптимизационной задачи имеет вид
т(ф) = £ Т (ф(а)) — min, феФ9, (1)
аеА
где Ф9 - множество всех потоков в двухполюсной транспортной сети Г = [X, A, которые имеют величину 0; ф(а) -величина потока на дуге a е A ; та - функция, описывающая зависимость времени перемещения по дуге а от величины потока.
Если
Та (ф) = Уа Ф; Ф>0, (2)
где уа - фиксированные числа, заданные на дугах сети, то задача (1) является классической задачей построения потока минимальной стоимости в транспортной сети, алгоритмы решения которой хорошо известны [5]. Однако для потоков автотранспорта функция (2), очевидно, неадекватно описывает фактическую зависимость. Более адекватной представляется функция
Г 0, если ф< 1,
Та (ф) Но + , п > (3)
[Ра + Уа (ф-1Х если ф>1.
Слагаемое Ра в (3) соответствует времени перемещения единичного потока по дуге при полностью свободном соответствующем участке дорожной сети. При этом Ра > 0, уа > 0.
Функция (3) является частным случаем более общей зависимости времени перемещения по участку дорожной сети
Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. № 3
5
Intellectual Technologies on Transport. 2015. No 3
от величины потока на нём, графически представленной на рис. 2.
Настоящая статья посвящена описанию алгоритма решения задачи (1) с целевой функцией, слагаемые которой имеют вид (3). Предлагаемый подход к решению основан на сведении этой задачи к классической задаче построения потока минимальной стоимости в некоторой вспомогательной мультисети. Аналогичный метод можно применять и для решения задачи (1) с более сложными целевыми функциями, в частности, с целевой функцией, слагаемые которой имеют вид, представленный на рис. 2. Однако во избежание громоздкости описания соответствующей конструкции мы ограничимся изложением метода для указанного частного случая.
У 1---1---------L-----1------1-------
0 1 а, а а а Ф
1 2 3 n т
Рис. 2. Зависимость времени перемещения по участку сети
Предварительные сведения
В этом разделе приведем сведения о потоках в сетях и об эквивалентности экстремальных задач, которые необходимы для понимания дальнейшего изложения [1, 2].
Пусть G = (X, A - ориентированный граф. В этой записи X обозначает множество вершин графа G, а A - множество дуг. Для вершины x е X символ A_ (х) будет обозначать множество всех дуг, для которых вершина x является конечной, а символ A+ (х) - множество всех дуг, для которых вершина x является начальной.
Если каждой дуге а е A поставлено в соответствие некоторое число или специальный символ c(a), то граф G называется ориентированной сетью, а вершины графа - узлами сети. Обычно в качестве специального символа в зависимости от контекста решаемой задачи используют символы ±да с естественной интерпретацией этих символов. Для обозначения сети применяется запись Г = (X, A, с}.
Ориентированная сеть Г = (X,A, с) называется двухполюсной транспортной сетью, если:
1) существует единственный узел s е X , называемый источником, для которого A_ (s) = 0;
2) существует единственный узел t е X, называемый стоком, для которого A+ (t) = 0;
3) каждый узел сети лежит на некотором пути от источника к стоку;
4) для каждой дуги а е A задана величина с(а) > 0, называемая пропускной способностью дуги а.
Узлы s и t двухполюсной транспортной сети называют также полюсами сети, остальные узлы - промежуточные.
В практических ситуациях, не нарушая общности, всегда можно считать, что пропускная способность дуги либо выражается целым неотрицательным числом, либо равна +да .
Функция ф, заданная на дугах транспортной сети Г = ( X, A, cj, называется (допустимым) потоком в этой сети, если для любой дуги а е A выполняются неравенства
0 < ф(а) < с(а) (4)
и для любого промежуточного узла х выполняется условие баланса между общим потоком, «втекающем» в узел, и общим потоком, «вытекающим» из узла:
X ф(а) = X ф(а). (5)
aеA_(x) аеЛ+(х)
Из соотношений (5) вытекает равенство
X ф(а) = X ф(а) • (6)
a^A^t) aеA+(s)
Общее значение сумм в равенстве (6) называется величиной потока.
Множество дуг а е A , для которых ф(а) > 0, называется носителем потока ф. Целочисленный поток ф, имеющий единичную величину, называется единичным. Носитель единичного потока в двухполюсной транспортной сети представляет собой некоторый путь р от источника к стоку в графе G. Единичный поток с носителем р мы будем обозначать Ip.
Любой поток в двухполюсной транспортной сети может быть представлен как
ф = 01 • ip +-+е* • !рк, (7)
где pi,..., Pk - некоторые пути от источника к стоку, а величины 0i,..., 0k положительны и их сумма равна величине потока 0
Отметим, что целочисленные потоки, имеющие величину 0, можно представить выражением (7) либо
ф = Ini + ••• +1*0+ ^ + ••• + 18я, (8)
где п,... ,П0 - простые (т. е. не содержащие циклов) пути от источника к стоку, а Si,...,Sm - контуры (т. е. простые ориентированные циклы). При этом как в последовательности п1,... ,п0, так и в последовательности S1,..., Sm, если последняя не пуста, возможны повторения [1].
Как отмечено во введении, предлагаемый метод решения задачи (1) заключается в её замене на эквивалентную классическую задачу построения потока минимальной стоимости в некоторой вспомогательной мультисети. Опишем кратко постановку и используемый нами метод решения классической задачи.
Предположим, что на множестве дуг транспортной сети Г = (X, A, с} определена ещё одна функция у, значение которой у (а) на дуге а интерпретируется как стоимость перемещения единичного потока по этой дуге.
Пусть Ф0 обозначает множество допустимых потоков в сети Г, имеющих величину 0. Величина
У(ф) = X У(а)ф(а) (9)
аеЛ
называется стоимостью потока ф, а экстремальная задача
Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. № 3
6
Intellectual Technologies on Transport. 2015. No 3
у(ф) ^ min, ф£Фе (10)
называется задачей о построении потока величины 9, имеющего минимальную стоимость.
К задаче (10) могут быть сведены многие экстремальные задачи транспортного типа. В настоящее время известно несколько алгоритмов ее решения [5, 6]. Мы используем для этого классический алгоритм Басакера - Гоуэна [4].
В алгоритме Басакера - Гоуэна поток последовательно увеличивается (с нулевого потока) таким образом, что по завершении каждой итерации получается поток минимальной стоимости. Если в какой-то момент осуществление следующей итерации становится невозможным и при этом величина построенного потока меньше заданной величины 9, то это означает, что задача (10) не имеет решения, т. е. величина 9 больше пропускной способности рассматриваемой сети. В противном случае итерации продолжаются до тех пор, пока нужное количество 9 не будет переправлено.
В процессе алгоритма исходная сеть дополняется вспомогательными дугами, ориентация которых противоположна ориентации соответствующих дуг исходной сети. Дуги исходной сети при этом называются прямыми, а вспомогательные дуги - обратными. Значение пропускной способности на обратной дуге полагается равным значению потока на соответствующей прямой дуге, а значение пропускной способности прямой дуги заменяется значением её остаточной пропускной способности.
Значение стоимости транспортировки единичного потока по обратной дуге полагается равным значению этой величины на прямой дуге, взятому с противоположным знаком. Если на каком-то шаге происходит насыщение прямой дуги, то значение стоимости транспортировки единичного потока по ней полагается равным +то, а если происходит насыщение обратной дуги (т. е. поток на прямой дуге становится нулевым), то эта дуга удаляется из сети. Построенная таким образом сеть называется модификацией исходной сети относительно протекающего в ней потока или, по терминологии [1], графом приращений.
Итерационная процедура алгоритма представляет собой последовательность таких шагов:
1) найти путь минимальной стоимости от источника к стоку в модифицированной сети;
2) определить пропускную способность пути, найденного на предыдущем шаге, т. е. остаточную пропускную способность дуг, входящих в рассматриваемый путь, минимальной величины;
3) определить минимальную величину пропускной способности пути и разность между заданным значением 9 и величиной построенного до этого потока;
4) увеличить поток на прямых дугах рассматриваемого пути на величину, найденную на шаге 3, а поток на прямых дугах исходной сети, соответствующих обратным дугам пути, уменьшить на эту величину;
5) пересчитать пропускную способность и стоимость транспортировки единичного потока на дугах, соответствующих рассматриваемому пути, согласно описанным ранее правилам;
6) если на предыдущих шагах поток требуемой величины построен, то алгоритм останавливается, в противном случае процесс возвращается к шагу 1 с новым значением потока и с новой модификацией исходной сети.
Можно показать [1], что в результате применения итерационной процедуры, состоящей из шагов 1-6, будет либо построено решение задачи (10), либо обнаружено, что задача не имеет решения. Отметим, что отсутствие решения у задачи обнаруживается на шаге 1 в ситуации, когда величина построенного до этого потока меньше заданной, и при этом отсутствуют пути от источника к стоку с конечным значением стоимости транспортировки единичного потока по ним.
В настоящее время известны более быстрые алгоритмы построения потока минимальной стоимости в классическом случае [3], однако алгоритм Басакера - Гоуэна обладает рядом несомненных достоинств, из которых мы отметим два свойства, важных для излагаемого нами метода:
1) алгоритм применим в случае, когда вместо транспортных сетей рассматриваются транспортные мультисети, для которых аналогично задаче (10) ставится соответствующая задача;
2) поток, построенный по завершении каждой итерации алгоритма, состоящей из шагов 1-6, имеет минимальную стоимость среди стоимости всех допустимых потоков, величина которых равна величине построенного потока.
Возможность применять различные математические модели для решения задач оптимизации дает понятие эквивалентности экстремальных задач.
Пусть X и Y - произвольные непустые множества, f и g - числовые функции, заданные на множествах X и Y, соответственно. Экстремальные задачи
f (х) ^ min, х e X (11)
g (y) ^ min, y e Y (12)
называются эквивалентными, если существуют отображения p : X ^ Y и q : Y ^ X такие, что:
1) g (p( x)) = f (x) для любого x e X;
2) f (q(y)) = g(y) для любого y e Y.
Экстремальные задачи с пустыми множествами ограничений по определению считаются эквивалентными.
Если отображения p и q указаны явно, то задачи (11) и (12) также называются (р^)-эквивалентными.
Ясно, что эквивалентные задачи одновременно разрешимы или неразрешимы. При этом если задачи (11) и (12) (р^)-эквивалентны и х* является решением задачи (11), то y* = p(х*) - решение задачи (12), и наоборот: если у* - решение задачи (12), то х* = q(y*) - решение задачи (11).
Описание метода
Пусть Г = (X, A - двухполюсная транспортная сеть в задаче (1); s - источник сети; t - сток, а пропускные способности дуг неограниченны (равны +да). Построим двухполюсную транспортную мультисеть Д = (Y, B, о) следующим образом. В качестве множества узлов мультисети возьмём то же множество, что и в сети Г, т. е. положим Y = X, а каждую дугу a e A сети Г представим в мультисети Д парой дуг (b(1), b(2)), начальный и конечный узлы которых совпадают, соответственно, с начальным и конечным узлом дуги а. Для каждой дуги a сети Г в качестве пропускных способностей соответ-
Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. № 3
7
Intellectual Technologies on Transport. 2015.. No 3
ствующих дуг мультисети положим с(Ь(1)) = 1, c(b(2)) = +ГО , а в качестве стоимости транспортировки единичных потоков -5(b(1)) = в(а), 8(Ь(2)) = уа , где числа р(а) и у (а) фигурируют в формуле (3).
Пусть Т = (та ')aGA - семейство функций, каждая из которых имеет вид (3).
Поток у в мультисети Д = (j, B, cj будем называть Т-ранжированным, если из условия у(Ь(1)) < 1 следует у(Ь(2)) = 0, а из условия у(Ь(2)) > 0 следует у(Ь(1)) = 1.
Пусть - множество всех Т-ранжированных потоков величины 0 в мультисети Д. Рассмотрим оптимизационную задачу
8(у) = X 8(b) у(Ь) ^ min, у е *¥$ . (13)
ЬеБ
Покажем, что задачи (1) и (13) эквивалентны.
Пусть ф - поток величины 0 в задаче (1). Построим поток у в мультисети Д, определив его по соответствию между парами (Ь(1), Ь(2)) дуг мультисети и дугами а е A исходной сети, следующим образом:
0, если ф(а) = 0, i = 1,2;
У( b(i)) = <
1, если ф(а) > 0, i = 1;
ф(а) -1, если ф(а) > 0, i = 2.
Т
Мы видим, что у - поток величины 0 и что у е Те. Положим p (ф) = у.
Пусть теперь у - Т-ранжированный поток величины 0 в мультисети Д, (Ь(1), Ь(2)) - пара дуг мультисети, соответствующая дуге а е A. Определим поток ф в сети Г равенством
ф(а) = у(Ь(1)) + у(Ь(2)).
после такой модификации потоки, полученные по завершении каждой итерации, будут Т-ранжированными.
Отметим, что если для поиска кратчайшего пути в ориентированной сети с весами дуг произвольных знаков применятся алгоритм Беллмана - Мура [7], то время работы описанного алгоритма оценивается сверху величиной 0- O (mn), где m - число дуг в исходной сети; n - число узлов; 0 - величина потока.
Пример
Проиллюстрируем работу алгоритма построением оптимального потока величины 0 = 2 в транспортной сети, изображённой на рис. 1. Зависимость времени перемещения по дугам сети от величины перемещаемого по ним потока имеет вид, представленный на рис. 3.
Та(ф) Pi + в2
Р2
Pi -
0
Pi
1
2
2
ф
Рис. 3. Зависимость времени перемещения по дуге от величины потока
Таким образом, ф - поток величины 0 в сети Г. Положим
<?(у) = ф •
Если р(ф) = у, то
8(у) = X 8(Ь(1)) у(Ь(1)) + X 8(Ь(2)) у(Ь(2)) =
Ь(1)еБ Ь(2)еБ
= X Р(а) -1 + X У(а)(ф(а) -1) =ХТа (ф) = Т(ф)-
аеА, аеА, аеА
ф(а)>0 ф(а)>0
Если д(у) =ф, то аналогично т(ф) = 5(у). Таким образом, задачи (1) и (13) эквивалентны.
Для решения задачи (13) можно применить алгоритм Ба-сакера - Гоуэна, если его модифицировать таким образом, чтобы потоки, полученные по завершении каждой итерации, были Т-ранжированными. Модификация заключается в том, что для каждой пары дуг (Ь(1), Ь(2)) мультисети обратная дуга проводится только к одной дуге из этой пары.
При этом если у(Ь(2)) > 0, то проводится дуга, обратная к дуге Ь(2), а дуга, обратная к дуге Ь(1), удаляется из сети. Дуга, обратная к дуге Ь(1), существует в том и только в том случае, когда она насыщена, а поток по дуге Ь(2) равен нулю. Значения пропускных способностей и стоимости на обратных дугах определяются так же, как в первоначальном варианте алгоритма Басакера - Гоуэна. Несложно убедиться, что
Несмотря на то, что зависимость та (ф) в рассматриваемом случае имеет вид, отличный от (3), описанный нами метод применим, как утверждалось во введении, и в этом случае.
Каждую дугу а исходной сети представим в мультисети тремя дугами: Ь(1),Ь(2),Ь(3). Дуга Ь(1) отвечает скачку в точке 1, её пропускная способность равна 1, а стоимость транспортировки единичного потока - Р1. Дуга Ь(2) отвечает скачку в точке 2, её пропускная способность равна 1, а стоимость транспортировки единичного потока - Р2. Дуга Ь(3) отвечает линейному участку графика на множестве {ф>2}, её пропускная способность равна +да, а стоимость транспортировки единичного потока равна нулю. Поскольку рассматриваются только целочисленные потоки, линейный участок графика на множестве {1 <ф< 2} игнорируется.
Индексы дуг мультисети в соответствующей триаде будем называть рангами в представлении дуги исходной сети. Поток в мультисети называется ранжированным, если положительный поток по дугам более высокого ранга возможен только в том случае, когда дуги меньшего ранга насыщены.
Отметим, что при программной реализации алгоритма операция удаления дуги происходит через замену стоимости транспортировки единичного потока по ней на +да так, что поиск кратчайшего пути (шаг 1) фактически осуществляется в подсети, образованной дугами, для которых указанные
Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. № 3
8
Intellectual Technologies on Transport. 2015. No 3
величины не равны +ro. Эту подсеть мы будем называть несущей подсетью мультисети. Несущая подсеть обновляется после каждой итерации.
На рис. 4-6 показаны несущие подсети, возникающие в процессе применения алгоритма для построения оптимального потока величины 0 = 2 в транспортной сети, изображённой на рис. 1. На рис. 4 первое число на дугах -стоимость транспортировки единичного потока, второе -пропускная способность, третье (в скобках) - ранг дуги в мультисети. Путь pi = s ^ u ^ x ^ v ^ y ^ t - кратчайший. Время транспортировки единичного потока по этому пути равно т(р1) = 5. На рис. 5 кратчайший путь p2 = s ^ x ^ u ^ v ^ x ^ y ^ v ^ t. Время транспортировки единичного потока по этому пути равно т(р2) = = 3 - 1 + 2 - 1 + 2 - 1 + 3 = 7. Суммарное время движения оптимального потока равно x(pj) + т(р2) = 5 + 7 = 12. На рис. 6 по прямым дугам, для которых имеются обратные дуги, течёт единичный поток.
Заключение
Задача построения потока минимальной стоимости в транспортной сети играет важную роль в решении проблемы оптимизации транспортных потоков. В интересных для практики случаях целевые функции в соответствующей задаче оказываются нелинейными, что не позволяет непосредственно использовать классические алгоритмы для её решения. Однако если целевая функция имеет аддитивную структуру, то задача построения потока минимальной стоимости оказывается эквивалентной классической задаче для некоторой специальным образом сконструированной транспортной мультисети.
Литература
1. Басакер Р. Конечные графы и сети / Р. Басакер, Т. Саати ; пер. с англ. - М.: Наука, 1974. - 368 с.
2. Баушев А. Н. Математическая модель многофазных железнодорожных грузоперевозок / А. Н. Баушев, А. Т. Ось-минин, Л. А. Осьминин // Математическое моделирование. -2013 - Т. 25, № 10. - С. 108-122.
3. Becker R. A simple efficient interior point method for min-cost flow / R. Becker, A. Kanenbauer // Lecture notes in computer sci. - 8889. - Pp. 753-765.
4. Busucker R. A Procedure for Determining a Family of Minimal-Cost Network Flow Patterns / R. Busucker, J. Gowen / Johns Hopkins Univ. O.R.O. Tech. - 1961. - P. 15.
5. Edmonds J. Theoretical improvements in algorithmic efficiency for network flow problems / J. Edmonds, R. M. Karp // Combinatorial Structures and Their Applications. - NY: Gordon and Breach, 1970. - Pp. 93-96.
6. Goldberg A. V. Finding minimum-cost circulations by successive approximation / A. V. Goldberg, R. E. Tarjan // Math. Oper. Res. - 1990. - Vol. 15, no. 3. - P. 430-466.
7. Moore E. F. The shortest path through a maze / E. F. Moore // Proc. Internat. Symp. Switching Theory, Part II. - Cambridge: Mass.: Harvard Univ. Press, 1957. - Pp. 285-292.
Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. № 3
9
Intellectual Technologies on Transport. 2015. No 3
On the Information Regulation of Road Traffic Flows
Baushev A. N.
Petersburg State Transport University St. Petersburg, Russia banban2008@yandex.ru
Abstract. A method of solving of minimal-cost flow problem with nonlinear objective function is proposed. The method consists in the reduction of the problem to a problem with linear cost function on some subsidiary multi-net, the structure of which is determined by a target function in the source problem.
Keywords: flows in networks, minimal-cost flow problem, equivalence of optimization problems.
References
1. Basaker R. R., Saati T Finite Graphs and Networks. An Introduction with Application, McGraw-Hill Book Company, 1965. 294 p.
2. Baushev A. N., Os’minin A. T., Os’minin L.A. Mathematical Model of Multiphase Rail Freight [Matematicheskaya model’ mnogofaznyh zheleznodorozhnyh gruzoperevozok]. Matemat-
ichekoe modelirovanie [Mathematical modeling], 2013, vol. 25, no. 10, pp. 108-122.
3. Becker R., Kanenbauer A. A Simple Efficient Interior Point Method for Min-Cost Flow. Lecture Notes in Computer Sci., 8889, pp. 753-765.
4. Busucker R., Gowen J.A Procedure for Determining a Family of Minimal-Cost Network Flow Patterns. Johns Hopkins Univ. O. R. O. Tech., 1961. P. 15
5. Edmonds J., Karp R. M. Theoretical Improvements in Algorithmic Efficiency for Network Flow Problems. Combinatorial Structures and Their Applications. NY, Gordon and Breach, 1970. Pp. 93-96.
6. Goldberg A. V., Tarjan R. E. Finding minimum-cost circulations by successive approximation. Math. Oper. Res. 1990, vol. 15, no. 3, pp. 430-466.
7. Moore E. F. The Shortest Path Through a Maze. Proc. Internat. Symp. Switching Theory, Part II. Cambridge, Mass., Harvard Univ. Press, 1957. Pp. 285-292.
Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. № 3
10
