Свойства модели равновесной детонации Текст научной статьи по специальности «Математика»

в статистической механике состояние системы часто определяется именно симплектическим диффеоморфизмом, а, скажем, не просто диффеоморфизмом, сохраняющим фазовый объем (см., например, [7, гл. IV]).

5. Заключение. В работе обсуждаются вопросы, связанные с определением энтропии Гиббса и подходом Гиббса и Пуанкаре к основаниям статистической механики. Мы показали, что, если мера mes(D) неинвариантна относительно динамики, энтропия Гиббса, посчитанная относительно этой меры (которая не обязана быть постоянной), не превосходит некоторой константы на всем интервале времени, если у системы есть интегральный инвариант и если на систему наложены некоторые естественные дополнительные условия. При этом усредненное по времени значение энтропии Гиббса совершает положительный скачок при переходе к слабому пределу. Самому же слабому пределу плотности вероятности можно сопоставить так называемый обобщенный поток [8], "размазывающий" каждую частицу на континуум "микрочастиц", которые за конечное время заполняют конфигурационное пространство (куб). Автор благодарен В. В. Козлову за обсуждение работы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 02-01-01059) и в рамках программы "Ведущие научные школы" (00-15-96146).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Козлов В.В. Термодинамика гамильтоновых систем и распределение Гиббса // Докл. РАН. 2000. 370, № 3. 325-327.

2. Козлов В.В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре // Докл. РАН. 2002. 382, № 5. 602-605.

3. Kozlov V. V. On justification of Gibbs distribution // Regulär and Chaotic Dynamics. 2002. 7, N 1. 1-10.

4. Козлов В.В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. Ижевск, 2002.

5. Пуанкаре А. Замечания о кинетической теории газов // Избранные труды. Т. 3. М.: Наука, 1974.

6. Brenier Y. The least action principle and the related concept of generalized flows for incompressible perfect fluids // J. Amer. Math. Soc. 1989. 2, N 2. 225-255.

7. Arnold V.I., Khesin B.A. Topological Methods in Hydrodynamics. Springer-Verlag, 1998.

8. Shnirelman A. Generalized fluid flows, their approximation and application // Geom. and Func. Analysis. 1994. 4, N 5. 586-620.

9. Алексеев В.М. Финальные движения в задаче трех тел и символическая динамика // Успехи матем. наук. 1981. 36, вып. 4. 161-176.

Поступила в редакцию 06.10.2004

УДК 534.2

СВОЙСТВА МОДЕЛИ РАВНОВЕСНОЙ ДЕТОНАЦИИ

В. М. Гендугов

1. Предметом исследования работы является модель равновесной детонации (РД), предложенная С. С. Пеннером [1, с. 258-266]. Как и в модели Михельсона-Чепмена-Жуге [2-4], РД представляет собой скачок уплотнения нулевой ширины. Однако в отличие от классической схемы, в основе которой лежит не соответствующее законам термодинамики допущение о завершении реакции в скачке, в модели РД поток продуктов детонации (ПД) находится в химическом равновесии. В этом случае в ПД определяется более одной скорости звука и ставится вопрос: относительно которой из них распространяется волна? Ф. А. Вильямс [5] доказал, что детонация, соответствующая точке касания равновесной адиабаты и прямой В. А. Михельсона, имеет относительно потока ПД скорость, равную равновесной скорости звука. На этом основании он по аналогии с гипотезой Чепмена-Жуге (Ч-Ж) сформулировал гипотезу, согласно которой самоподдерживающаяся РД распространяется относительно потока ПД со скоростью, равной равновесной скорости звука. Дальнейшие исследования показали [6], что гипотеза Ф. А. Вильямса соответствует необходимому условию термодинамической устойчивости потока ПД, когда одно из собственных значений квадратичной формы второй вариации энтропии обращается в нуль. Однако при всей убедительности полученные результаты вступают в противоречие с результатами предшествующих исследований детонации. Напомним, в частности, работу [7], в которой А. А. Гриб, решая краевую задачу,

установил, что самоподдерживающаяся волна детонации с примыкающей к ней центрированной волной разрежения распространяется в режиме Ч-Ж, т.е. относительно ПД со скоростью, равной замороженной скорости звука. Укажем еще работу [8], в которой Г. Г. Черный установил, что и пересжатая детонация с плоской одномерной структурой асимптотически выходит на режим распространения Ч-Ж.

Обнаруженная рассогласованность результатов наводит на мысль о необходимости проведения дополнительных исследований модели РД с целью выявления истоков противоречий.

2. Пусть по покоящейся горючей смеси газов постоянного состава с постоянной скоростью D движется РД. Ограничимся здесь исследованием случая, когда в смеси ПД независимой является концентрация одного компонента, так что уравнения закона сохранения атомов, связывающие массовые концентрации компонентов перед волной (cio) и за ней (ci), имеют вид

Ci - Cio = <fi(ci - сю), i = 1,...,N. (1)

Параметры смеси перед скачком и за ним помимо (1) удовлетворяют законам сохранения потоков массы, количества движения, энергии и уравнению состояния соответственно:

K 2 K 2

PqD = ри = К, р-\--= Ро~\--,

Р Р0 (I)

K2 K2 (I)

h + = ho + —2, р = p(h,p, с).

2р ¿po

В случае термодинамической устойчивости химически равновесного потока

OS = 0, 02S < 0. (2)

Здесь р, p, h, S — плотность, давление, энтальпия и энтропия смеси; u — скорость потока ПД относительно скачка уплотнения; фi = const.

Напомним, что критерии термодинамической устойчивости химически равновесной смеси (2) отражают известный в термодинамике факт — состояние химического равновесия в адиабатически изолированной системе соответствует максимуму энтропии в условиях протекания реакции. Это означает, что исследование РД сводится к задаче определения максимума S при условиях (I).

3. Исследуем химически равновесный поток ПД на предмет термодинамической устойчивости. Для этого запишем уравнения системы (I) соответственно в конечных вариациях:

K „ rI K 5р С с $Р г ,-r-TS

др = ^тдр, 0h=^0p, др = — Oh + — dp + — dci, (II)

Р2 Р3 oh Op 0ci

а затем, подставляя первое и второе уравнения системы (II) в третье, получим

Здесь учтено, что замороженная скорость звука в переменных p, h, Ci определяется [9] формулой

~p(dh)pci+ (dp) hc

u

а М/ = — есть число Маха, рассчитанное по (if. af

Заметим, что если в (3) число Маха равно единице, то в силу конечности вариации одновременно выполняются равенства

M2 = 1; (4)

Выпишем второе начало термодинамики в форме

TSs = 6h-^ + T(?P\ 5а, (6)

Р \dciJ p,h

откуда следуют тождества

Ж ~ Т' ~др~ ~рТ' ( )

Подставим уравнения (II) в (6), которое с учетом (7) запишем так:

(8)

а затем, используя (2), получим уравнение закона действующих масс (ЗДМ)

дБ \

Т-) =0. 9

де1/ р,Н

Запишем теперь вторую вариацию энтропии

_ Зк + 5р + (—) бег

\dcidhjp \дадр)н \дс\)р]г Ь

которую с учетом уравнений системы (II), а также уравнения (3) и определения К приведем к виду

б2 Б =

1 д2Б д2Б \( др\ 2

р дефк дадр)\да ) р1г\ а2 ) и \дс2)р^

(бег)2.

Привлекая (7), выполним предварительно преобразования

1 д2Б д2Б _ 1 д ( 1 \ д ( 1 \ _ 1 / др

~р дсгдк + дадр ~~рЪс[\т) ~ дсДрТ/ ~ '¡РтУ^)' ( )

а затем, имея в виду (10), запишем б2Б так:

Здесь Ме =--число Маха, рассчитанное по равновесной скорости звука, которая в переменных р, Н,

ае

е\ определяется [9] формулой

Напомним далее выводы работы [10] о том, что для горючей смеси газов квадратичная форма второго дифференциала энтропии при постоянных р, Н определенно отрицательна. Поэтому в нашем случае, когда независимым является один компонент, имеем

'д2Б\

С учетом (2) и (13) приведем (11) к неравенству

1 - М2

щ) <0. (13)

1-м2

> 0, (14)

суть которого состоит в том, что химически равновесный поток в волне детонации термодинамически устойчив, если он по отношению к скоростям звука или дозвуковой, или сверхзвуковой. В противном случае равновесие неустойчиво, а на существование соответствующих им детонационных волн наложен термодинамический запрет. Отметим еще, что ае < af, причем в особом состоянии среды, названном экстремальным, когда выполняется условие (5), скорости звука равны.

Принимая во внимание сказанное, укажем теперь два специальных случая термодинамически устойчивых потоков за скачком. Первый из них соответствует химически равновесному потоку ПД, находящемуся в экстремальном состоянии, когда неравенство (14) выполняется (1 > 0) при всех скоростях Маха. Следовательно, при выполнении условий (4) и (5) равновесный поток термодинамически устойчив. Второй интересующий нас случай соответствует равенству

M2 = 1.

(15)

При этом, как видно из (11), второй дифференциал энтропии обращается в нуль и максимум энтропии имеет место при дополнительных условиях:

¿35 = 0, ¿45 < 0. (16)

4. Назовем самоподдерживающуюся детонацию слабой, если ее скорость относительно устойчивого равновесного потока ПД равна равновесной скорости звука. Система уравнений, составленная из (I), (9), (15):

К2 К2 , К2 , к2

p0D = pu = K, p = p(h,p,ci),

Р + — =Ро + — h + —2=h о +

p

Po

dS\ 2

T— =0, Me = 1,

9cJ p,h

(III)

определяет ее параметры при выполнении условий (16). После подстановки решений (III) в (16) в пространстве начальных данных найдем область реализации слабой детонации. Отметим еще, что если в системе (III) опустить последнее уравнение вместе с условиями (16), то оставшиеся уравнения укороченной системы задают прямую Михельсона и равновесную адиабату.

Проясним теперь детали гипотезы Вильямса [5]. С этой целью запишем уравнения равновесной адиабаты в виде

h-ho = ^-{p-po)(- + — }, p = p(h,p,c i), ( —) 2 \P Po) \dci)

а затем представим их в вариационной форме:

0,

Sh = i;(p-po)5[ - ) + + —W

cßS\ Ос2 )

Sei +

p,h

1

p

d2s

dc-\ dh

2 p po

Sh +

(SVl * = 0,

\dcidp) h

(IV)

-p2S

dp dh

Sh+[öp+f dp )

Пользуясь условием касания прямой Михельсона и адиабаты

t— lÖCl. dci)

dp

p - p o

d

11

p po

= - K 2

dh = dA p

приведем первое уравнение (IV) к виду а затем с учетом (18) и преобразования (10) получим

(17)

(18)

i

ÖCl UcJрДР T{dcJvhj Подставляя Sci в последнее уравнение (IV) и используя (12), придем к соотношениям

dp

dl -

p

2 2 2 2

p ü2 = -pu,

P

из которых следует, что точке касания прямой Михельсона и равновесной адиабаты Ш (точке Вильямса) соответствует детонация, распространяющаяся с равновесной скоростью звука относительно потока ПД. Однако эта волна не является в общем случае слабой детонацией, поскольку последняя распространяется с указанной скоростью относительно термодинамически устойчивого потока ПД. Следовательно, гипотеза Вильямса является только необходимым условием реализации самоподдерживающейся слабой детонации.

Вернемся к анализу равновесной адиабаты, расчеты которой (см. [1]) для газовой детонации свиде-

( Р Р\

тельствуют о том, что в плоскости —, — — это

V Ро Ро/

монотонно убывающая кривая (рис. 1). На ней имеются две особые точки: точка Вильямса Ш, соответствующая детонации с Ме = 1, и точка Рэлея Я, соответствующая волне, скорость которой относительно потока равна замороженной скорости звука, т.е. Mf = 1. Из (14) видно, что точки участка ШЯ адиабаты соответствуют волнам, потоки которых являются сверхзвуковыми по отношению к равновесной скорости звука и одновременно дозвуковыми по отношению к замороженной, т.е. они термодинамически неустойчивы. Поэтому участок ШЯ исключается из дальнейшего рассмотрения вместе с точкой Я.

5. Назовем самоподдерживающуюся детонацию сильной, если ее скорость относительно термодинамически устойчивого потока ПД равна замороженной скорости звука. Система уравнений, составленная из

(I), (4) и (5):

р0Б = ри = К, р +

К

Р

Ро +

К2

Ро

К2 К2 2Р2 2р0

(V)

др\ дсг)

р,к

= 0, М/

= 1,

Рис. 1. Схема равновесной адиабаты газовой детонации: Ш — точка Вильямса, соответствующая детонации с и = ае; Я — точка Рэлея, соответствующая условию и = af (не принадлежит адиабате); ЯА — сверхзвуковая по отношению к ае и af ветвь адиабаты; ВШ — дозвуковая по отношению к скорости звука ветвь адиабаты; О — точка начального состояния горючей смеси; ОШ — прямая Михельсона

определяет ее параметры при условии выполнения уравнения (9). Если решение (V) подставить в (9), то получим область реализации сильной детонации.

Опустим в (V) последнее уравнение вместе с (9). Тогда укороченная система уравнений определяет прямую Михельсона и адиабату, названную экстремальной:

Ь-ко = \{'р-'ро)( - + — 2 \р ро

р = р(Н,р,ег),

др\ дс1 )Р,н

0.

(VI)

Особенность этой адиабаты заключается в том, что вдоль нее скорости звука равны. Докажем, что точка касания прямой Михельсона и экстремальной адиабаты соответствует волне детонации, скорость которой относительно потока ПД равна замороженной скорости звука. Для этого уравнения (VI) запишем так:

гШ = ^(р-ро)^(-) +\( - + — 2 \р) 2\ Р Ро]

дН

Р,С1

(11ъ + ( ^ ) ф. дР) Н,С1

Используя условие (17), приведем первое уравнение этой системы к виду (18), а затем представим второе уравнение в форме

йр

<1\ -

Р

2

ра2

р2и2.

Полученное равенство доказывает утверждение.

Заметим теперь, что если в системе (V) поменять местами условие экстремальности (5) и уравнение ЗДМ (9), а затем опустить последнее уравнение, то получим уравнение равновесной адиабаты. Точка касания прямой Михельсона и равновесной адиабаты, как показано, соответствует детонации, скорость которой относительно потока равна равновесной скорости звука. В силу условия (5) имеем ae = af, поэтому эта точка также соответствует волне, скорость которой относительно потока равна замороженной скорости звука. Иначе говоря, в указанной точке равновесная и экстремальная адиабаты касаются прямой Михельсона и друг друга.

Рассмотрим теперь подробнее детонацию смеси политропных газов, уравнение состояния которой в переменных p, h, С\ с учетом (1) приводится к виду

рсрт

Р R{h + QY [LJ)

где

N N N

^ mi ^ mi ^ mi

i=1 i=l i=l

N N N

m mi mi mi m0 а

i=1 i=1 i=1

N N c. h0 N ,oh0

mi mi 0 mi 0

i=1 i=1 i=1

cpi, mi, h0 — молярная теплоемкость при постоянном давлении, молекулярная масса и энергия образования i-го компонента; R — абсолютная газовая постоянная; cp, m, Q — теплоемкость, молекулярная масса и энергия химической реакции смеси.

Прежде чем проводить построение экстремальной адиабаты, остановимся на анализе (19) при достаточно популярных предположениях о свойствах горючей смеси. Первое из предположений состоит в

Cpm Y f dP\ Y РЯ том, что - = - = const, о этом случае —— =--—-—г Ф 0 и как следствие сильная

R Y - 1 \dci)p,h Y— 1 (h +Q)2

детонация в такой горючей смеси не распространяется.

Второе часто используемое предположение состоит в том, что cPj = cPi = cp. И в этом случае

dp \ с°Р pq , п

—— =--—-—-ТГ Ф 0, т.е. сильная детонация в такой смеси не реализуется.

dci)p,h R (h + Q)2

Перейдем теперь к анализу общего случая, когда не все теплоемкости и молекулярные массы компонентов равны между собой. Уравнение (19) является квадратным относительно (ci — ci0), а его решения имеют вид

2 \ q то рп) у 4 \ q то рп) \то q в рп)

ро qR _ р _ р {дсЛ ( дР\—

здесь 7Г =--—, р = —■, Р = —• как тг- = тг— , то в экстремальном состоянии

Ро Ро Ро \др )р, н \дс1)р,н

дс \

—— ) = оо. Вычисляя производную по уравнению (19), приходим к заключению, что в экстремальном

дР ) р,н

состоянии (19) распадается на равенства

Cl_Cl = 1(h + Qo | р Р ) (h + Qo | Р Р V = 1f Р h + Q сро Р Y (21)

0 2 \ q mo ркJ' \ q mo (rnJ \mo q в P^ J

q то рп) \ q то рп) \то q в рт/ Объединяя (20) и первое уравнение (VI), получим систему уравнений экстремальной адиабаты. Исключая

Р

далее энтальпию, получим квадратное уравнение относительно решение которого и есть искомое

рк

уравнение экстремальной адиабаты

(ж 2А* '

где

A2 =

R

2ßp В = ТА —

(1 + p) - 1

с = Г 2 _ 4 ho + Qo + ^о Л + 1 т0 poq V Р

г = JL +

mo

q

hp + Qo

q

Po

2poq У1 + P

1

6m i

На рис. 2 схематически представлены экстремальная и равновесная адиабаты детонации чистого озона, когда реакция в волне протекает по схеме 20з ^ ЗО2.

В этом случае с 10 = 1, = 1, (р2 = —1> — =

Р-

5Я _3 кг р =--, где т 1 = 16 • 10 -.

12т1 моль

6. Проведенные исследования наряду с ранее установленными выявили ряд новых свойств модели равновесной детонации. Главным из них является существование слабой и сильной самоподдерживающихся детонационных волн, последняя из которых распространяется в режиме Ч-Ж. Тем самым устраняется несоответствие свойств этой модели результатам газодинамических исследований детонации.

Работа выполнена при поддержке МНТЦ (проект № 2992) и РФФИ (проект № 06-08-00029).

Рис. 2. Схема расположения экстремальной и равновесной адиабат: Ш, Я — совпадающие точки Вильямса и Рэлея на равновесной адиабате; ВШ, ЯА — ее дозвуковая и сверхзвуковая ветви; АОМ — экстремальная адиабата; ОО — прямая Михельсона. Точка О, совпадающая с точками Ш и Я, соответствует сильной детонации

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Penner S.S. Chemistry Problems in Jet Propulsion. N.Y.: Pergamon Press, 1957.

2. Михельсон В.А. О нормальной скорости воспламенения гремучих газовых смесей // Учен. зап. Моск. ун-та. Отд. физ.-мат. 1893. Вып. 10. 1-92.

3. Chapman D.L. On the rate of explosion in gases // Phil. Mag. 1899. 47. 90.

4. Jouguet E.J. Mechanique de Explosits. Paris: O. Dain, 1917.

5. Вильямс Ф.А. Теория горения. М: Наука, 1971 (Williams F.A. Combustion Theory. London: Palo Alto, 1964).

6. Гендугов В.М. Теория детонации. Термодинамическое обоснование гипотезы Чепмена-Жуге // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999. № 3. 55-58.

7. Гриб А.А. Влияние места инициирования на параметры воздушной ударной волны при детонации взрывчатых газовых смесей // Прикл. матем. и механ. 1944. S. 148-160.

8. Черный Г.Г. Асимптотический закон распространения плоской детонационной волны // Докл. АН СССР. 1967. 172, № 3. 559-560.

9. Гендугов В.М. О скоростях звука в химически равновесной смеси газов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 4. 51-53.

10. Миркес Е.М., Быков В.И. О выпуклости термодинамических функций для неизотермических условий // Журн. физ. хим. 1986. GO, № 3. 732-734.

Поступила в редакцию 0Б.0Б.2006

2