Свойства логарифмической выпуклости последовательности l 2-норм производных периодических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

где а2 = lim ±52І=о Ct

І

( h(11)

H£ = lim І E

І

\~^N (i) f (i)^

Ei=i ф\’ )

T

(1r)

h(r1) \

h(mk) = iim N-1y'N-1

h£ = NZo N^3=o1-i=j

am

j

ak j

h

(rr)

/

a2(i — j — l),m = l,r.

Теорема 1. Пусть некоторый случайный процесс {уг, г = ... — 1, 0,1,...} описывается уравнением (1) с начальными нулевыми условиями, и выполняются предположения 1 —

---4. Тогда оценка в(М), определяемая выражением (2) с вероятностью 1 при N

существует, единственная и является сильно состоятельной оценкой, то есть

в(М)

-їдо п.н.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кацюба О.А. Теория идентификации стохастических динамических систем в условиях неопределенности: монография. Самара: СамГУПС, 2008.ISBN 978-5-98941-079-8.

2. Иванов Д.В. Рекуррентное оценивание параметров динамических систем. Модели с ошибками в переменных. Saarbrücken: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH, 2011. ISBN 978-3-8473-0715-0.

Ivanov D.V. IDENTIFICATION OF LINEAR DYNAMICAL SYSTEMS NON-INTEGER ORDER WITH NOISE IN OUTPUT SIGNAL

An algorithm, which is a generalization of the method of least squares, which produces strongly consistent estimators of the parameters of linear dynamical systems non-integer order with noise in the output signal in the absence of information about the distribution of the noise, is proposed.

Key words: parametric identification; output-error model; least squares; fractional difference.

УДК 517.16

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ВЫПУКЛОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Ь2 - НОРМ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

© Е.В. Иванова

Ключевые слова: гильбертово пространство; ш -периодическая векторная функция; абсолютно непрерывная; измеримая производная; равенство Парсеваля.

Получена теорема о взаимосвязи норм производных векторной ш -периодической функции в комплексном гильбертовом пространстве. В доказательстве используется равенство Парсеваля при разложении функции в ряд Фурье.

Пусть Н — комплексное гильбертово пространство со стандартным обозначением нормы и скалярного произведения. Пусть М — числовая прямая и ^(і): М ^ Н есть векторная ш -периодическая функция

^(і + ш) = ^(і).

2536

Предположим, что она обладает непрерывными производными вплоть до (п — 1) -го порядка включительно, и производная х(п' -1> (¡) не только непрерывная, но абсолютно непрерывная, причем измеримая х(п >(і) суммируема с квадратом нормы на отрезке [0; ш]. Тогда определены все ¿2 -нормы

7 \1/2 |х'"|ІІ2 З | / |х®(і)|2ЛІ ,і =0, 1,...,п — 1,п

Применим к периодической функции х(і) равенство Парсеваля

12 = ^ 'х '2

к

где

х(і) = £ Хкеіівкі, ж = ш

2п

к

есть разложение функции х(Ь) в ряд Фурье

7

хк = — [ х(і)е-і^кід,і, (к = 0, ±1, ±2,...), ш

о

к пробегает по совокупности всех целых чисел.

Теорема. При любом ] = 1, ...,п — 1 справедливо неравенство

Их“!! « ИхО+ЧИьз • Цх0-4^. (2)

В нетривиальном случае знак равенства в (1) имеет место тогда и только тогда, когда х(£) = хдехр(гжЫ) при к = 0 и хк = 0; если ] = 1, то знак равенства возможен ещё и при х(£) = хо при к = 0 и х1 = 0.

Доказательство. Пусть і = 1,..., п — 1. Так как

>(і) = ^(гжк)' хк в^кі,

х(^> (

к

то на основании равенства Парсеваля (1)

||х(^>||2 = ш ^ |гжк|2^|хк|2 = ^ ш1/2|гжк|^+1|хк| • ш1/2|гжкр-1|хк|, кк

откуда по неравенству Коши-Лагранжа для бесконечных последовательностей получаем

^ш1/2|г^sk|j+1|xk^ ш1/2 ^жк^-1^| ^ 1ш ^ |гжк|2(^+1>|хк| • 1ш ^ |гжк|2(—1>|хк|, к у к у к

что на основании равенства Парсеваля (1) для х(^+1>(і) и х^' -1>(і) дает нам

1|х(^>|І2 < |х(, + 1> »12 ііх^іЬ ,

и требуемое неравенство (2) установлено. Случай равенства разбирается обычным путем. Рассматриваемая задача относится к тому типу задач, который исследован в статье [1]. Дискретный вариант этой проблемы рассмотрен в [2, с. 240]. К этому же кругу вопросов может быть отнесена и статья [3].

2537

ЛИТЕРАТУРА

1. Колмогоров А.Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале // Ученые записки МГУ. Серия: Математика. Москва, 1939. Т. 30. № 3. С. 3-16.

2. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. Москва: Наука, 1963, 476 С.

3. Перов А.И. Неравенства типа Ландау-Адамара для гладких векторных функций // Вестник ВГУ. Серия: Математика и физика. Воронеж, 2010. № 1. С. 159-161.

Ivanova E.V. PROPERTIES OF LOGARITHMIC CONVEXITY OF SEQUENCE L2 -NORMS OF DERIVATIVES PERIODIC FUNCTIONS

Theorem about the relationship of the norms of derivatives vector ш -periodic function in a complex Hilbert space is obtained. The proof uses the Parseval equality with the Fourier series expansion of the function.

Key words: Hilbert space; ш -periodic vector function; absolutely continuous; measurable derivative; Parseval equality.

УДК 519.688

ФАКТОРИЗАЦИЯ МНОГОЧЛЕНОВ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ © Д- С. Ивашов

Ключевые слова: факторизация многочленов; эксперименты; алгоритм вычисления сомножителей с различными наборами переменных.

Обсуждается схема факторизации многочленов многих переменных реализованная в системе Mathpar [1—4]. Приводятся и обсуждаются результаты экспериментов реализованной схемы факторизации в системе Mathpar с аналогичными алгоритмами реализованными в системах Mathematica 7.0 и Maple 15 .

Введение. Доклад посвящен алгоритмам факторизации многочленов многих переменных с целочисленными коэффициентами. Обсуждается новый алгоритм, позволяющий эффективно вычислить сомножители имеющие различные наборы переменных, который мы используем на этапе 1. В результате получим схему факторизации многочленов многих переменных состоящую из трех этапов:

Этап 1. Вычисление сомножителей имеющих различные наборы переменных.

Пусть F(xi,... ,xn) — многочлен многих переменных с целочисленными коэффициентами: F € Z[xi,...,xn] . Вычислим сомножители с различными наборами переменных многочлена F(xl,..., xn) :

F (xi,...,xn) = /l(xi) /2 (x2 ) ...f2n-l(xi,...,xn).

Этпа 2. Вычисление кратных сомножителей.

Вычислим кратные сомножители многочленов fi, где i = 1,..., 2n — 1:

f = П hj •

j=i

2538