CC BY
34
где а2 = lim ±52І=о Ct
І
( h(11)
H£ = lim І E
І
\~^N (i) f (i)^
Ei=i ф\’ )
T
(1r)
h(r1) \
h(mk) = iim N-1y'N-1
h£ = NZo N^3=o1-i=j
am
j
ak j
h
(rr)
/
a2(i — j — l),m = l,r.
Теорема 1. Пусть некоторый случайный процесс {уг, г = ... — 1, 0,1,...} описывается уравнением (1) с начальными нулевыми условиями, и выполняются предположения 1 —
---4. Тогда оценка в(М), определяемая выражением (2) с вероятностью 1 при N
существует, единственная и является сильно состоятельной оценкой, то есть
в(М)
-їдо п.н.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кацюба О.А. Теория идентификации стохастических динамических систем в условиях неопределенности: монография. Самара: СамГУПС, 2008.ISBN 978-5-98941-079-8.
2. Иванов Д.В. Рекуррентное оценивание параметров динамических систем. Модели с ошибками в переменных. Saarbrücken: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH, 2011. ISBN 978-3-8473-0715-0.
Ivanov D.V. IDENTIFICATION OF LINEAR DYNAMICAL SYSTEMS NON-INTEGER ORDER WITH NOISE IN OUTPUT SIGNAL
An algorithm, which is a generalization of the method of least squares, which produces strongly consistent estimators of the parameters of linear dynamical systems non-integer order with noise in the output signal in the absence of information about the distribution of the noise, is proposed.
Key words: parametric identification; output-error model; least squares; fractional difference.
УДК 517.16
СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ВЫПУКЛОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Ь2 - НОРМ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
© Е.В. Иванова
Ключевые слова: гильбертово пространство; ш -периодическая векторная функция; абсолютно непрерывная; измеримая производная; равенство Парсеваля.
Получена теорема о взаимосвязи норм производных векторной ш -периодической функции в комплексном гильбертовом пространстве. В доказательстве используется равенство Парсеваля при разложении функции в ряд Фурье.
Пусть Н — комплексное гильбертово пространство со стандартным обозначением нормы и скалярного произведения. Пусть М — числовая прямая и ^(і): М ^ Н есть векторная ш -периодическая функция
^(і + ш) = ^(і).
2536
Предположим, что она обладает непрерывными производными вплоть до (п — 1) -го порядка включительно, и производная х(п' -1> (¡) не только непрерывная, но абсолютно непрерывная, причем измеримая х(п >(і) суммируема с квадратом нормы на отрезке [0; ш]. Тогда определены все ¿2 -нормы
7 \1/2 |х'"|ІІ2 З | / |х®(і)|2ЛІ ,і =0, 1,...,п — 1,п
Применим к периодической функции х(і) равенство Парсеваля
12 = ^ 'х '2
к
где
х(і) = £ Хкеіівкі, ж = ш
2п
к
есть разложение функции х(Ь) в ряд Фурье
7
хк = — [ х(і)е-і^кід,і, (к = 0, ±1, ±2,...), ш
о
к пробегает по совокупности всех целых чисел.
Теорема. При любом ] = 1, ...,п — 1 справедливо неравенство
Их“!! « ИхО+ЧИьз • Цх0-4^. (2)
В нетривиальном случае знак равенства в (1) имеет место тогда и только тогда, когда х(£) = хдехр(гжЫ) при к = 0 и хк = 0; если ] = 1, то знак равенства возможен ещё и при х(£) = хо при к = 0 и х1 = 0.
Доказательство. Пусть і = 1,..., п — 1. Так как
>(і) = ^(гжк)' хк в^кі,
х(^> (
к
то на основании равенства Парсеваля (1)
||х(^>||2 = ш ^ |гжк|2^|хк|2 = ^ ш1/2|гжк|^+1|хк| • ш1/2|гжкр-1|хк|, кк
откуда по неравенству Коши-Лагранжа для бесконечных последовательностей получаем
^ш1/2|г^sk|j+1|xk^ ш1/2 ^жк^-1^| ^ 1ш ^ |гжк|2(^+1>|хк| • 1ш ^ |гжк|2(—1>|хк|, к у к у к
что на основании равенства Парсеваля (1) для х(^+1>(і) и х^' -1>(і) дает нам
1|х(^>|І2 < |х(, + 1> »12 ііх^іЬ ,
и требуемое неравенство (2) установлено. Случай равенства разбирается обычным путем. Рассматриваемая задача относится к тому типу задач, который исследован в статье [1]. Дискретный вариант этой проблемы рассмотрен в [2, с. 240]. К этому же кругу вопросов может быть отнесена и статья [3].
2537
ЛИТЕРАТУРА
1. Колмогоров А.Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале // Ученые записки МГУ. Серия: Математика. Москва, 1939. Т. 30. № 3. С. 3-16.
2. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. Москва: Наука, 1963, 476 С.
3. Перов А.И. Неравенства типа Ландау-Адамара для гладких векторных функций // Вестник ВГУ. Серия: Математика и физика. Воронеж, 2010. № 1. С. 159-161.
Ivanova E.V. PROPERTIES OF LOGARITHMIC CONVEXITY OF SEQUENCE L2 -NORMS OF DERIVATIVES PERIODIC FUNCTIONS
Theorem about the relationship of the norms of derivatives vector ш -periodic function in a complex Hilbert space is obtained. The proof uses the Parseval equality with the Fourier series expansion of the function.
Key words: Hilbert space; ш -periodic vector function; absolutely continuous; measurable derivative; Parseval equality.
УДК 519.688
ФАКТОРИЗАЦИЯ МНОГОЧЛЕНОВ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ © Д- С. Ивашов
Ключевые слова: факторизация многочленов; эксперименты; алгоритм вычисления сомножителей с различными наборами переменных.
Обсуждается схема факторизации многочленов многих переменных реализованная в системе Mathpar [1—4]. Приводятся и обсуждаются результаты экспериментов реализованной схемы факторизации в системе Mathpar с аналогичными алгоритмами реализованными в системах Mathematica 7.0 и Maple 15 .
Введение. Доклад посвящен алгоритмам факторизации многочленов многих переменных с целочисленными коэффициентами. Обсуждается новый алгоритм, позволяющий эффективно вычислить сомножители имеющие различные наборы переменных, который мы используем на этапе 1. В результате получим схему факторизации многочленов многих переменных состоящую из трех этапов:
Этап 1. Вычисление сомножителей имеющих различные наборы переменных.
Пусть F(xi,... ,xn) — многочлен многих переменных с целочисленными коэффициентами: F € Z[xi,...,xn] . Вычислим сомножители с различными наборами переменных многочлена F(xl,..., xn) :
F (xi,...,xn) = /l(xi) /2 (x2 ) ...f2n-l(xi,...,xn).
Этпа 2. Вычисление кратных сомножителей.
Вычислим кратные сомножители многочленов fi, где i = 1,..., 2n — 1:
f = П hj •
j=i
2538
