CC BY
25
УДК 517.51+517.98
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ПРОСТОТЫ ФРЕЙМОВ ПАРСЕВАЛЯ
© 2012 И.С. Рябцов1
В статье рассматриваются два непересекающихся класса фреймов, объединение которых образует множество фреймов Парсеваля: класс простых и класс составных фреймов Парсеваля. Основной целью работы является получение описания указанных классов. В работе найдены необходимые и достаточные условия принадлежности классу простых фреймов Парсеваля.
Ключевые слова: фреймы Парсеваля, эквивалентность фреймов, простые и составные фреймы.
1. Фреймы в конечномерных пространствах
Пусть ¿2 — вещественное конечномерное векторное пространство, наделенное скалярным произведением (•, •} и нормой ||ж|| = л/(ж, ж).
Определение. Набор элементов {/г}^ пространства ¿2Н называется фреймом, если существуют константы А, В > 0 такие, что для всех х из ¿2 выполнено двойное неравенство
м
А||х||2 < £ |(ж,/г)|2 < В||х||2 . (1.1)
г=1
Числа А и В называются соответственно нижней и верхней границами фрейма. Они определяются неоднозначно, поскольку верхнюю границу В можно увеличивать, а нижнюю границу А — уменьшать. Поэтому инфинум множества всех верхних границ называют оптимальной верхней границей фрейма, а супремум множества всех нижних границ — оптимальной нижней границей фрейма.
Правая часть двойного неравенства (1.1) выполнена для любого конечного множества {/г}М1 в силу неравенства Коши — Буняковского [1; 2]
м
£|(ж,л>12 < £ Ш|2 •"ж!2, ж € ¿2.
Для выполнения левой части двойного неравенства (1.1) необходимо, чтобы 8рап{/г}м=1 = ¿2. Это условие оказывается достаточным, так как любой набор векторов {/¿}м=1 пространства ¿2 является фреймом для врап{/}м=1 [1; 2].
хРябцов Игорь Сергеевич ([email protected]), кафедра функционального анализа и теории функций Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
Определение. Назовем фрейм {/г}^ жестким, если можно выбрать границы фрейма так, что А = В
м
Ух е ^, £ |(х,/г)|2 = А ||х||2 . (1.2)
г=1
Для жестких фреймов точное значение А называют фреймовой границей. В частности, если А = 1, то такие жесткие фреймы называют фреймами Парсеваля, для них выполнено
м
Ух е ^, £ |(х,/г)|2 = ||х||2. (1.3)
г=1
Обозначим множество фреймов Парсеваля пространства как ).
2. Простые и составные фреймы Парсеваля
В дальнейшем будем полагать, что все рассматриваемые фреймы не содержат нулевых или коллинеарных векторов.
Определение. Назовем фрейм Парсеваля ^ = {/¿}м=1 составным [3] (будем использовать обозначение ^ е СРЕ(^)), если существует набор констант {аг}м=1 такой, что система векторов ¥а = {аг/г}м=1 е ), существует номер
1 ^ к ^ М такой, что ак =0 .
Можно полагать, что все аг > 0, это никак не отразится на определении составного фрейма. Будем подразумевать наличие этого ограничения в дальнейшем.
Интерес к конструкциям подобного рода вызван конечномерными интерпретациями проблемы Кадисона — Зингера [5; 6].
Свойство. Если ^ = {/г}М=1 е СРЕ(^) с набором {аг}М=1, то
атах = (^М |а<|) > 1.
Доказательство. Пусть для некоторого номера 1 ^ к ^ М имеет место равенство ак =0. Тогда доказываемое свойство следует из равенства Парсеваля м м
||х||2 = £ |( х, аг/г)| 2 < атах £ |(/ 2 = атах (||х||2 - |(х,/к)| 2) ,
г=1 г=1,г=к
а2 > , + |( х,/к )| 2 атах > 1+ ||х||2-|( х,/к)| 2 .
Поскольку ||х||2 > |( х, /к)|2, а также в силу произвольности выбора вектора х получаем ограничение снизу а^дах: > 1, что и требовалось доказать.
Определение. Назовем фрейм Парсеваля ^ = {/}м=1 простым, если он не является составным (будем использовать обозначение ^ е РРЕ(^)).
Свойство. Принадлежность фрейма Парсеваля {/¿}м=1 к классу РРЕ(^) или СРЕ(^) является инвариантом относительно следующих преобразований:
1) перестановка векторов фрейма,
2) умножение векторов фрейма на -1,
3) ортогональное преобразование векторов фрейма.
Доказательство. Инвариантность относительно первых двух преобразований тривиальна и проверяется подстановкой в определение фрейма Парсеваля.
Рассмотрим произвольную ортогональную матрицу Q. Предположим, что {/¿}M=i € PPF^N), а {Q/i}^! € CPF(^N). Тогда, по определению, существует набор коэффициентов {ai}MVf1 такой, что фрейм {aiQ/i}MVf1 € PF(^N), при этом какая-то из констант ai равна нулю.
Тогда, согласно определению (1.3) фрейма Парсеваля, имеем
M M
x = £ (x, «iQ/i) «iQ/i = Q £ (QQT x, Qa/i) а/ =
i=i i=i
M M
Q £ ( QTx, ai/i ) ai/i = £ (x, ai/i) ai/i .
i=i i=i
Получаем, что система {/¿}М1 € СРР^2), что противоречит первоначальному предположению.
Достаточность получается из необходимости при помощи замены {}М1 ^ ^ {^-1/^М=1. Свойство полностью доказано.
3. Необходимые и достаточные условия простоты
Лемма 3.1. Пусть ^ = {/¿}М=1 € РР^) и {аг}М=1 — некоторый набор констант. Система векторов = {а®/®}^ € РР^2) тогда и только тогда, когда
м
£ |(/ь/2 = 11/к| 2 , 1 < к < М.
г=1
Доказательство. Необходимость очевидна и сразу следует из равенства (1.3) для фрейма при ж = /1,..., /м.
Докажем достаточность. Установим истинность равенства
м
£ К/|| 2 = N. (3.1)
г=1
Поскольку исходный фрейм ^ € РР^2), то выполнено равенство [1; 2]
м
£ ||/к||2 = N.
к = 1
Распишем это равенство, используя условия теоремы м мм мм
N = £ ||/к|| 2 = ££ |(/к, «¿/¿}| 2 = ££ |(/к,/ 2 =
к=1 к=1 г=1 г=1 к=1
м м м м
= £ н2 £ |( /к />|2 = £ ы2 ||/г|2 = £ ||/2.
г=1 к=1 г=1 г=1
Вспомогательное равенство (3.1) доказано, воспользуемся фреймовым потенциалом [4]
Согласно работе [4], следующее равенство выполнено тогда и только тогда, когда система векторов ^ — жесткий фрейм
) = N (Е21 .
N ч- -,
Рассмотрим фреймовый потенциал системы F
а
M M
FP(Fa) = £ |<a. f.,«j f Я 2 = ЕЕ K^f.,«," f Я 2 =
1<i,j<M i=1 j = 1
M M M M
= Е «1 2 Е Kf-«j fj Я 2 = Е H 2Ш1 2 = Е "a-f-" 2 = N. .= 1 j=1 i=1 i=1
C другой стороны, согласно равенству (3.1)
N g »«.f.»f = N N2 = N.
Таким образом, согласно свойствам фреймового потенциала, система векторов Fa является жестким фреймом. Но, по условию теоремы, его граница может быть равна только единице. Следовательно, система векторов Fa является фреймом Парсеваля, что и требовалось доказать.
Рассмотрим матрицу V(F) для фрейма F = {f.}M=1, которая позволяет сформулировать критерий простоты фрейма F
/ Kf1,f1>|2 ... Kf1,fM>|2 V (F ) = . .
V KfM,f1>|2 ... KfM,fM>|2 Теорема 3.1. Следующие два утверждения эквивалентны:
1) F = {f.} G PPF^N),
2) det V(F) = 0.
Доказательство. Докажем, что из первого утверждения следует второе. Рассмотрим следующую систему уравнений, которая является необходимым условием того, что F = {«.f.} G PF^N):
£i=1 К f1,«.f.>|2 = Ш2,
£i=1 К f1,«.f.>| 2 = llfM» 2.
Преобразуем равенства в систему линейных уравнений относительно неизвест-[х |a. |2
£i=11«.|2 КЛ,Л>|2 = ИЛИ2, £i=1 |«.|2 Kf1,f.>|2 = »fM»2.
Обозначим x. = a2 и b. = 11 f 1 »2 и получим следующую систему:
V(F) x = b. (3.2)
Поскольку F = {f.} G PPF(^N), то (3.2) имеет одно и только одно решение {1,..., 1}. Действительно, если бы существовало второе решение {a.}^, то по
лемме 3.1 фрейм F = {/¿} G CPF(^N), что противоречит первоначальному предположению. Откуда следует, что det V(F) = 0.
Теперь докажем, что из второго утверждения теоремы 3.1 следует первое. Поскольку det V(F) = 0, то система (3.2) имеет не более одного решения, и этим решением по условию теоремы является тривиальный набор {1,..., 1}. Откуда необходимо следует, что F = {/j}^ G PPF(^^). Теорема полностью доказана.
Замечание. Матрицу V в формулировке предыдущей теоремы можно заменить на следующую матрицу:
/ К/Г,/Г>12 ... K/i,/m
V(F) = . .
V K/M,/Г>12 ... K/M,/M>1
где
/ Г _ /i
ii
Ш1 ■
Справедливость замены связана с тем, что определители матриц V и V, связаны равенством
( ) пМ= 1 или2
Докажем несколько достаточных условий простоты фреймов Парсеваля. Вве-величин по формуле
дем величину взаимной когерентности векторов фрейма F = {/í}^ i € PF(^N)
M*(F)=max |(/;,/j)|.
Теорема 3.2. Если для произвольного фрейма F = {/г}^ 1 € ) выпол-
нено неравенство
(F > < 7Г
то фрейм F € PPF(^N )•
Доказательство. Предположим, что условия теоремы выполнены и F = = {fг}¿=1 € CPF(^n)• Тогда, по определению составного фрейма Парсеваля, существует набор констант {а®}^! такой, что Fa = {а®/®}^! € PF(^N) и существует номер 1 ^ k ^ M такой, что ак = 0. Поскольку Fa € PF(^N), то равенство Парсеваля выполнено для произвольного вектора x € ^ • Рассмотрим частный случай
x = /
M M
нян2 = E /«/¿Ж = E /о2 iK/iii2 <
¿=i ¿=i
M 1 M !
< M*(F)2 E l«i/il2 = N E ll«i/ill2 = NN =1.
¿=1 ¿=1
Получаем ограничение сверху ||/||2 < 1, которое противоречит выбору ||/||2 = 1. Теорема доказана.
Теорема 3.3. Если для произвольного фрейма F = {/¿}м=1 € PF^^) выполнено неравенство
то фрейм F € PPF(¿N )•
Доказательство. Аналогично предыдущей теореме, предположим, что условия теоремы выполнены и ^ = {/г}^ € СРЕ^2). Рассмотрим равенство Парсеваля для этого фрейма при х = /
м
||/кТ = Е//*>|2 = //к)|2 + Е //)|2 .
¿=1 1^<М^=к
Учитывая, что ||/||2 = 1, а ||/к||2 > 2, получаем
Е //¿)|2 < ^ .
1^г^М,г=к
Поскольку ^ € СРР(^), то существует набор констант {«¿}м=1 такой, что = = {«¿/г}м=1 € ), и существует номер 1 ^ к ^ М такой, что а к = 0. В силу
условия ||/¿|| > справедливо ограничение аг < а/2 для всех 1 ^ г ^ М. Поскольку € ), то равенство Парсеваля выполняется для вектора х = /.
м
||/12 = Е / а/¿)|2 = Е К/г,аг/г)|2 =
¿=1 1^г^М,г= к
= Е ^^ //¿)|2 < 2 • I Е К/^' /¿)|2 1 < 1 .
к к у
Получаем ограничение сверху Ц/Ц2 < 1, которое противоречит выбору ||/||2 = 1. Теорема доказана.
Литература
[1] Christensen O. An Introduction to Frames and Riesz Bases. Boston: Birkhäuser, 2002.
[2] Casazza P.G., Tremain J.C. A brief introduction to Hilbert space frame theory and its applications, Department of Mathematics. Columbia: University of Missouri, MO 65211-4100. URL: http://framerc.org.
[3] Рябцов И.С. Представление фреймов Парсеваля в гильбертовых пространствах // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2011. № 5(86). С. 60-70.
[4] Benedetto J.J., Fickus M. Finite normalized tight frames // Advances in Computational Mathematics. 2003. V. 18. P. 357-385.
[5] Casazza P.G.,Tremain J.C. The Kadison — Singer Problem in Mathematics and Engineering // Proceedings of the National Academy of Sciences. 2006. V. 103. № 7. P. 2032-2039.
[6] Frames and the Kadison — Singer Problem / P.G. Casazza [et al.]. Preprint. URL: http://framerc.org.
Поступила в редакцию 15/1/7/2012; в окончательном варианте — 15/777/2012.
48
M.G. Psi6vpe
NECESSARY AND SUFFICIENT CONDITIONS FOR PRIME PARSEVAL FRAMES
© 2012 I.S. Ryabtsov2
In the article we consider two disjoint classes of frames, prime and composite Parseval frames, the union of which forms a set of Parseval frames. The main goal is to obtain a description of these two classes. In this article we prove necessary and sufficient conditions for the frame to be a prime Parseval frame.
Key words: Parseval frames, frame equivalence, prime and composite frames.
Paper received 15/1/7/2012. Paper accepted 15/777/2012.
2Ryabtsov Igor Sergeevich ([email protected]), the Dept. of Functional Analysis and Function Theory, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.
