Факторизация многочленов многих переменных с целочисленными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Колмогоров А.Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале // Ученые записки МГУ. Серия: Математика. Москва, 1939. Т. 30. № 3. С. 3-16.

2. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. Москва: Наука, 1963, 476 С.

3. Перов А.И. Неравенства типа Ландау-Адамара для гладких векторных функций // Вестник ВГУ. Серия: Математика и физика. Воронеж, 2010. № 1. С. 159-161.

Ivanova E.V. PROPERTIES OF LOGARITHMIC CONVEXITY OF SEQUENCE L2 -NORMS OF DERIVATIVES PERIODIC FUNCTIONS

Theorem about the relationship of the norms of derivatives vector ш -periodic function in a complex Hilbert space is obtained. The proof uses the Parseval equality with the Fourier series expansion of the function.

Key words: Hilbert space; ш -periodic vector function; absolutely continuous; measurable derivative; Parseval equality.

УДК 519.688

ФАКТОРИЗАЦИЯ МНОГОЧЛЕНОВ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

© Д. С. Ивашов

Ключевые слова: факторизация многочленов; эксперименты; алгоритм вычисления сомножителей с различными наборами переменных.

Обсуждается схема факторизации многочленов многих переменных реализованная в системе Mathpar [1—4]. Приводятся и обсуждаются результаты экспериментов реализованной схемы факторизации в системе Mathpar с аналогичными алгоритмами реализованными в системах Mathematica 7.0 и Maple 15 .

Введение. Доклад посвящен алгоритмам факторизации многочленов многих переменных с целочисленными коэффициентами. Обсуждается новый алгоритм, позволяющий эффективно вычислить сомножители имеющие различные наборы переменных, который мы используем на этапе 1. В результате получим схему факторизации многочленов многих переменных состоящую из трех этапов:

Этап 1. Вычисление сомножителей имеющих различные наборы переменных.

Пусть F(xi,...,xn) — многочлен многих переменных с целочисленными коэффициентами: F € Z[xi,...,xn] . Вычислим сомножители с различными наборами переменных многочлена F(x1,..., xn) :

F (xi,...,xn) = fl(xi )f2(x2 ) ...f2n-l(xi,...,xn).

Этпа 2. Вычисление кратных сомножителей.

Вычислим кратные сомножители многочленов fi, где i = 1,..., 2n — 1:

fi = П hj •

j=i

2538

где - кратность ] -го сомножителя и при ] = к .

Этап 3. Вычисление сомножителей многочленов свободных от квадратов.

Пусть Н^ — многочлен свободный от квадратов, а д^к его неприводимые сомножители:

Гк

Н^ 11 gijк ■

к=1

Тогда многочлен Г(х\, ■ ■ ■ ,хп) можно представить в виде:

2п-1 2п-1 П 2п-1 П Гк

п /= П ПН« = П П1М■

i=l i=l j=l i=l j=l к=1

Эксперименты. В первой серии экспериментов использовался многочлен Г(х,у) = = /1(х)/2(х,у)р1 /3(х,у)р2, где / — линейный многочлен с 100-разрядными коэффициентами. Результаты первой серии экспериментов представлены в таблице 1, в которой 2п-1 ^ ^ Р1,Р2 < 2п , Е1 — отношение времени вычисления в системе МаШешаЫса 7Л к времени вычисления в МаШрат , Е2 —отношение времени вычисления в системе Мар1е 15 к времени вычисления в МаШрат.

n powers monom M athpar Mathematica 7.0 Maple 15 Ei E2

3 4-8 32 0.02 c 0.05 c 0.15 c 2.5 7.5

4 8-16 64 0.04 c 0.17 c 0.48 c 4.2 12

5 16-32 128 0.05 c 0.82 c 1.63 c 16.4 32.6

6 32-64 256 0.1 c 4.22 c 7.44 c 42.2 74.4

7 64-128 512 0.22 c 22.7 c 42.24 c 103.1 192

8 128-256 1024 0.9 c 144 c 293 160 325

time (с)

250 200 150 100 50

Maple I

I

I _

Mathematica/

//

//Mathpar

E (ratio)

0

8

Эксперименты показали, что алгоритмы факторизации реализованные в системе Math—

— par быстрее, чем аналогичные в системе Mathematica 7.0 и Maple 15 . Например, для n = 3 Mathpar быстрее, чем Mathematica и Maple в 2.5 и 7.5 раза соответственно, а для n = 8 Mathpar быстрее в 160 и 325 раз соответственно.

Во второй серии экспериментов использовался многочлен

F(x,y) = fi(y)pi(f2(x,y)f3(x,y))p2, где fi — линейный многочлен с 100-разрядными коэффициентами. Результаты второй серии экспериментов представлены в таблице 2.

2

4

6

n(bit) powers monom M athpar Mathematica 7.0 Maple15 Ei E2

3 4-8 68 0.38 c 0.07 c 0.16 c 0.2 0.42

4 8-16 297 0.48 c 0.27 c 0.48 c 0.7 1

5 16-32 845 0.51 c 1.13 c 1.76 c 2.2 3.5

6 32-64 3999 2.9 c 7.2 c 8.4 c 2.5 2.9

7 64-128 13107 28 c 40.4 c 55 c 1.5 2

2539

time (с) E (ratio)

Эксперименты показали, что алгоритмы факторизации реализованные в системе Math—

— par в ряде случаев быстрее, чем аналогичные в системе Mathematica 7.0 и Maple 15 . Например, для n = 3 Mathpar медленнее, чем Mathematica и Maple в 5.4 и 2.4 раза соответственно, а для n = 6 Mathpar быстрее в 2.5 и 2.9 раз соответственно.

Мы не рассматриваем всевозможные типы многочленов. Тем не менее, мы представляем такие эксперименты, которые демонстрируют важность нового первого этапа, который позволяет значительно улучшить алгоритм факторизации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ivashov D.S. An algorithm of factorization multivariate polynomials // Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 2012. V. 17. Issue 2. P. 591-597.

2. Ivashov D.S. Factorization of polynomials of several variables // Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 2011. V. 16. Issue 1. P. 133-137.

3. Ivashov D.S. Square-free factorization polynomials of many variables // Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 2013. V. 18. Issue 4. P. 1207-1215.

4. Malaschonok G.I., Ivashov D.S. An algorithm of factorization of polynomials of several variables // Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 2010. V. 15. Issue 1. P. 331-334.

Ivashov D.S. FACTORIZATION MULTIVARIATE POLYNOMIALS WITH INTEGER COEFFICIENTS

The scheme for multivariate polynomials factorization with integer coefficients are considered. The experiment results of realized scheme of factorization in Mathpar system with the same algorithms realized in systems Mathematica 7.0 and Maple 15 are given and discussed.

Key words: factorization of polynomials, experiments, algorithm distinct-set-variables factorization.

УДК 517.5

О ТРАЕКТОРИЯХ НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА ДЛЯ НЕГЛАДКИХ

ФУНКЦИЙ

© А. Иоффе, Д. Друзвятский, А. Льюис

Ключевые слова: метрическая регулярность; траектории почти максимального наклона. Рассматривается подход к построению траекторий почти максимального наклона, который базируется на теории метрической регулярности.

2540