О траекториях наискорейшего спуска для негладких функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

time (с) E (ratio)

Эксперименты показали, что алгоритмы факторизации реализованные в системе Math— — par в ряде случаев быстрее, чем аналогичные в системе Mathematica 7.0 и Maple 15 . Например, для n = 3 Mathpar медленнее, чем Mathematica и Maple в 5.4 и 2.4 раза соответственно, а для n = 6 Mathpar быстрее в 2.5 и 2.9 раз соответственно.

Мы не рассматриваем всевозможные типы многочленов. Тем не менее, мы представляем такие эксперименты, которые демонстрируют важность нового первого этапа, который позволяет значительно улучшить алгоритм факторизации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ivashov D.S. An algorithm of factorization multivariate polynomials // Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 2012. V. 17. Issue 2. P. 591-597.

2. Ivashov D.S. Factorization of polynomials of several variables // Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 2011. V. 16. Issue 1. P. 133-137.

3. Ivashov D.S. Square-free factorization polynomials of many variables // Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 2013. V. 18. Issue 4. P. 1207-1215.

4. Malaschonok G.I., Ivashov D.S. An algorithm of factorization of polynomials of several variables // Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 2010. V. 15. Issue 1. P. 331-334.

Ivashov D.S. FACTORIZATION MULTIVARIATE POLYNOMIALS WITH INTEGER COEFFICIENTS

The scheme for multivariate polynomials factorization with integer coefficients are considered. The experiment results of realized scheme of factorization in Mathpar system with the same algorithms realized in systems Mathematica 7.0 and Maple 15 are given and discussed.

Key words: factorization of polynomials, experiments, algorithm distinct-set-variables factorization.

УДК 517.5

О ТРАЕКТОРИЯХ НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА ДЛЯ НЕГЛАДКИХ

ФУНКЦИЙ

© А. Иоффе, Д. Друзвятский, А. Льюис

Ключевые слова: метрическая регулярность; траектории почти максимального наклона. Рассматривается подход к построению траекторий почти максимального наклона, который базируется на теории метрической регулярности.

2540

В 1980 г. ДеДжорджи, Марино и Тоскес ввели понятие «наклона» для функций, определенных на метрическом пространстве и с его помощью определили траектории наискорейшего спуска для таких функций, как 1-липшицевы кривые, у которых метрическая производная почти всюду совпадает с наклоном. В дальнейшем сам ДеДжорджи, Марино, Амброзио и др. доказали существование таких траекторий при некоторых дополнительных предположениях. Обстоятельное изложение полученных к настоящему времени результатов можно найти в монографии L. Ambrosio, N. Gigli, G. Savare «Gradient flows in metric spaces and in the space of probability measures. Lectures in Mathematics ETH Zurich».

Мы предлагаем новый подход к построению подобных траекторий, который базируется на теории метрической регулярности. Он позволяет получить большинство из упомянутых результатов с меньшими усилиями и используя, как нам кажется, геометрически весьма прозрачную аргументацию. В общем случае полунепрерывной снизу функции удается доказать существование несколько более медленных траекторий спуска, которые мы назвали траекториями почти максимального наклона.

Эффективность предлагаемого подхода особенно очевидна для функций на эвклидовых пространствах. В этом случае для локально липшицевых функций, обладающих хорошими структурными своиствами (скажем, полу-алгебраических или, более общо, определимых в какой-либо о-мимимальной структуре - а такие функции типичны в оптимизационной практике) удается показать, что траектории почти максимального наклона удовлетворяют некоторому эволюционному включению, связанному с предельным субдифференциалом функции.

Ioffe A., Druzvyatskii D., Luis A. ON TRAJECTORIES OF STEEPEST DESCENT FOR NONSMOOTH FUNCTIONS

The approach to constructing trajectories of almost maximal gradient is considered based on the theory of metric regularity.

Key words: metrical regularity; trajectories of almost maximal gradient.

УДК 517.925

АЛГОРИТМ ПРИБЛИЖЕННОГО РАСЧЕТА БИФУРКАЦИОННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ

© Н.Р. Исанбаева

Ключевые слова: задача трех тел; бифуркация; точки либрации; периодические решения.

Рассматривается плоская эллиптическая ограниченная задача трех тел. Изучается задача о возникновении в окрестности треугольной точки либрации нестационарных периодических колебаний. Приведен алгоритм приближенного расчета бифуркационных значений параметров.

Рассматривается плоская эллиптическая ограниченная задача трех тел [1, 2], которая описывается системой дифференциальных уравнений:

Х 2y p(x № + (х2+—2)3/2 Х ((х— l)2+y2)3/2

У + 2х p(y + (х2+—2)3/2 У — ((х— l)2+y2)3/2 У) •

2541