Свойства экстремальных решений квазилинейных краевых задач функционально-дифференциальных включений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1) - 7). Для того чтобы решение семейства включений {(1£)} па [а, Ь) было продолжаемо, необходимо и достаточно, чтобы х было ограничено на [а, Ь).

Теорема 3. Пусть выполнены условия 1) - 7). Если у - решение включения (1т), то существует такое иепродолжаемое решение х семейства включений {(1е)} «о [о,b), Ь 6 (г,с], что х -продолжение у.

Пусть Я - множество всех непродолжаемых решений семейства включений {(U)}. Обозначим 7(Я) = sup{|:r(a)¡ : х € Я}.

Теорема 4. Пусть выполнены условия 1) - 7). Тогда для любого т > 'у(Н) найдется такое число d > 0, что для всех х € Я и каждого t Е € [а,а + d\ выполнено 71еравенство |x(í)| ^ т.

1. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммер-штейна с невыпуклыми образами и и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Матем. сборник, 1998. Т. 189, т. С.3-32.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционалыю-дифференциальиых уравнений. М.: Наука, 1991.

3. Ананьев Б.И. Теорема существования для дифференциального включения с переменным запаздыванием // Дифференц. уравн., 1975. Т.11, №7. С. 1153-1158.

4. Барбашин Е.А., Алимов Ю.И. К теории релейных

дифференциальных уравнений // Изв. вузов, матем. 1962., №1 С.3-13.

5. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР, 1985. Т.169, С. 194-252.

6. Булгаков А.И., Максимов В.П. Функциональные и функционально-дифференциальные включепия с вольтер-ровыми операторами // Дифференц. уравнения, 1981. Т.17, №8 С. 1362-1374.

7. Викторовский Е.Е. Об одном обобщении понятия интегральных кривых для разрывного поля направлений // Матем. сб., 1954. Т.34, №2. С.213-274.

8. Дядченко Ю.А. О локальной разрешимости операторных уравнений // В сб. "Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений". Ярославль, 1978. С. 48-61.

9. Курмсанский А.Б. О существовании решений уравнений с последействием // Дифференц. уравн., 1970. Т.6, •У*10. С. 1800-1809.

10. Nakagiri S and Murakami Н. Some properties of setvalued operators defined by solution families of Volterra integral equations // Mem. Fac. Eng. Kobe Univ., 1975. №21. P.113-130.

11. Борисович Ю.Г. Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1985.

12. Bressan A., Colombo G. Extensions and selections of maps with decomposable values //Stud. Math.(PRi), 1988. V.90, №1. P.69-86.

13. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

14. Michael Е.А. Selected selections theorems // Amer. math. mon. 1956, V.4. P.233-236.

СВОЙСТВА ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

A.A. Григоренко

Пусть Кя - пространство п -мерных вектор-столбцов с нормой | • |; comp[IRn] - множество всех непустых компактов пространства Еп ; A[v] - расстояние по Хаусдорфу между множествами в пространстве Шп ; ЦАЦ = шах{|а| : а е А) (А € сошр[Мп]), со(А) - выпуклая оболочка, a ext(A) - замыкание множества крайних точек множества А. Обозначим Сп[а, 6] (Ln[a, 6], Dn[a,b]) пространство непрерывных (суммируемых, абсолютно непрерывных) вектор-функций х : [а, Ь] —> Жп с нормой

||х||с = max{|x(í)| : ¿ € [а,Ь]} (IMU =

= f* |x(s)|ds, ||x||d = |*(а)| + ||*1Ы- Измеримость многозначных отображений понимаем в смысле

м-

Будем предполагать, что отображение F : [а,Ь] х Сп[а,Ь] -> сошр[Кп] обладает следующими свойствами: для любого х 6 Сп[а, 6] F(-,t) изме-

римо; существует такая функция 6 L[[a, 6], что при почти всех t € [а,Ь] и всех х,у £ Сп[а, Ь] вы-

полняется неравенсво h[F(t, х); F(t, у)] ^ /?(t)||х -

- У\\с ; функция t -> ||F(£,0)|| суммируема. Многозначный вектор-функционал у : Сп[а,Ь] -»• -4 comp[!Rn] обладает свойством: существует такое число а ^ 0, что для всех х,у 6 Сп[а, Ь] выполняется неравенство h[ip(x)\<р(у)) ^ а||х - у\\с-

Рассмотрим в пространстве Dn[a,b] линейную задачу

Сх = 0, 1х = 0, (1)

где линейный непрерывный оператор С : Dn[a,b} -> Ln[a,b] фредгольмов, I : Dn[a,b\ -» IRn

- линейный непрерывный вектор-функционал. Будем предполагать, что задача (1) имеет только тривиальное решение. В этом случае существует непрерывный оператор Грина G : Ln[a, 6] —> —> Dn[a,b]y определенный равенством (Gz)(t) =

= /аЬ G(t, s)z(s)ds, t G [a, 6].

Гуманитарные науки

Рассмотрим задачи

(Cx)(t) Е F{t,x), t £ [а, 6]; 1х € (¿>(х); (2)

(£x)(t) G со F(£,x), t 6 [а, &]; lx € <£>(х); (3)

(£x)(t) G ext(coF(£, х)), t € [а, 6]; /х е <р(х). (4)

Пусть Я, Hco,Hext множества решений задач (2) - (4), соответственно. В докладе рассматривается вопрос об условиях выполнения равенств Я = = Hexi = Ясо , где Я, Яех4 - замыкания соответ-

ствующих множеств в пространстве Сп[а,Ь].

1. Иоффе А.Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 497 с.

2. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммер-штейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Матем. сб. 1998. Т. 189. №6. С. 3-32.

К ВОПРОСУ ОБ АППРОКСИМАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С НЕВЫПУКЛОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

В.В. Скоморохов

Пусть ]Rn - п-мерное пространство с нормой | • |, comp[Rn] - множество всех непустых компактов пространства IRn , со(-) - выпуклая оболочка соответствующего множества, Сп[а, 6] - пространство непрерывных функций х : [а, Ь] ->• Еп с равномерной топологией сходимости.

Обозначим через /С([а, Ь) х 1" х [0, оо)) множество всех функций г] : [а, 6] х Rn х [0, оо) —> —> [0, оо), обладающих следующими свойствами: при каждых (х,<$) € Rn х [0, оо) функция т/(-,х,<5) измерима; при почти всех t € [о, Ь] и всех 8 (Е € [0, оо) функция 1)(¿,-,6) непрерывна; для каждых U € comp[Rn] и <5 € [0,оо) существует такая суммируемая функция ти,б ' [о5Ь] —► [0,оо), что при почти всех t 6 [а, 6] и всех х 6 U и т 6 [0, <5] выполняется неравенство 7/(¿,x,r) ^ при

почти всех t € [а, Ь] и каждого х € 1" выполняются равенства lim ri(t,z,6) = 0, 7/(£,х,0)=0. i-*0+0

Рассмотрим дифференциальное включение

x(t) е F(t,x(t)), te[a,b], (1)

где отображение F : [а, Ь] х К" -> сошр[Кп] удовлетворяет условиям Каратеодори.

Будем говорить, что многозначное отображение F : [а,Ь] х 1R” х [0, оо) —>

-> comp[Rn] аппроксимирует отображение F : [а, 6] х Шп -> comp[Rn], если найдется такая функция £(•, *, •) € К ([a, ft] х Г х [0, оо)), что при почти всех t € [а, 6] и всех (х, 5) € Шп х [0, оо) выполняется оценка

h[F{bx),F{t,x,6)\ <£(«,*,*). (2)

Отображение F(-,v) будем называть аппроксимирующим отображение F(-, •) или просто аппроксимирующим. Функция £(-,-,•) 6 К([а,Ь\ х х Г х [0,оо)) в неравенстве (2) определяет степень близости значения F(£,x,<5) в точке (£,х) 6 G [а, Ь] х Е" к значению F(t, х) для каждого фиксированного <5 G [0,оо). Эту функцию £(•,•>') будем называть степенью аппроксимации отображения F : [а, 6] хГ -» сошр[Мп] отображением F : [а, 6] х Еп х [0,оо) -* comp[RTl] или просто степенью аппроксимации. Будем считать, что F(-, •, •) определяет способ или метод аппроксимации отображения F(-,-).

Рассмотрим дифференциальное включение

x(t) е со F(£,x(i)), t € [а, b). (3)

Пусть V - ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а,Ь]. Обозначим H(V), HC0{V) множества решений включений (1),(3), принадлежащие множеству V е Сп[а,Ь), соответственно.

В докладе доказывается, что выполнение ра-венства Я(У) = HC0(V) (принцип плотности), где Я(У) - замыкание множества H(V) в пространстве Сп[а,Ь], является необходимым и достаточным условием для сходимости множеств решений дифференциальных включений, порожденных отображением F : [а, 6] х 1йп х [0,оо) -» -> сошр[1Кп], аппроксимирующим отображение F : [о, 6] х Р comp[IRn], определяющее дифференциальное включение (1).