CC BY
200
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т О м IV 19 7 3 № 4
УДК 532.527
СВОБОДНЫЕ КОЛЬЦЕВЫЕ ВИХРИ В ЖИДКОСТИ
О. П. Шорьиин
Получены фотографии образования и движения кольцевых вихрей с кавитационной полостью в жидкости. Установлено, что в момент образования вихря возникают пульсационные колебания кавитационной полости. Найдена связь частоты колебаний с размерами полости. Получено выражение для присоединенной массы пульсирующего тора. Рассмотрен вопрос экспериментального определения интенсивности вихрей.
1. Изучение свободных кольцевых вихрей проводилось еще в конце прошлого века [1], однако и к настоящему времени некоторые вопросы, связанные с этой проблемой, остались неисследованными.
Классическая теория кольцевых вихрей изложена Ламбом [2] и Билля [3]. Эти результаты, так же как и результаты более поздних экспериментальных работ (например, работы Ахметова и Киса-рова [4]), относились, в основном, к вихрям в газовой среде. Вихри, возникающие в жидкости, обладают особыми свойствами. Опыты показывают, что при образовании вихря в жидкости в области его ядра может возникнуть кавитационная полость, заполненная паром или растворенным в жидкости газом. В настоящей работе рассматриваются некоторые особенности таких вихрей и вопросы их экспериментального изучения, в частности определения циркуляции.
Кольцевые вихри образуются, например, при импульсивном движении жидкости сквозь круглое отверстие. В частности, кольцевые вихри могут быть получены на торце цилиндрической трубы при импульсивном истечении из нее струи воды (в том случае, если все окружающее пространство заполнено жидкостью). Если торец трубы частично закрыт кольцевой диафрагмой, то при той же скорости истечения можно получить вихри большей интенсивности. .
На этой основе был построен генератор кольцевых вихрей, конструкция которого показана на фиг. 1. Генератор состоит из двух цилиндрических труб разного диаметра, внутренние полости которых в месте соединения разделены резиновой мембраной 1.
В трубе меньшего диаметра помещается небольшой пороховой заряд" 2, сообщающий через резиновую мембрану импульс жидкости, находящейся в полости большой трубы. Кольцевая диафрагма 3 с острыми кромками, частично прикрывающая выходное отверстие большой трубы, способствует образованию вихрей 4. ^
Длина трубы большего диаметра выбрана из тех соображений, чтобы поле скоростей на выходе из трубы выравнивалось; в пло-
Фиг. 1
скости диафрагмы жидкость получает разные скорости (в центре больше, чем по краям), в то время как для эффективного образования вихрей необходимо иметь достаточно большие скорости на кромке кольцевой диафрагмы, находящейся на значительном удалении от центра трубы.
Резиновая мембрана введена для предотвращения попадания пороховых газов в область кольцевой диафрагмы, так как эти газы могут захватываться вихрем при его образовании.
Опыты показывают, что вихри в воде при достаточно больших значениях циркуляции делаются видимыми благодаря образованию кавитационной полости в ядре вихря. Это обстоятельство дает возможность наблюдать за движением вихря визуально или с помощью киносъемки, не прибегая к подкрашиванию жидкости. На фиг. 2 представлены кадры киносъемки, иллюстрирующие процесс возникновения кольцевого вихря на торце диафрагмы вихреобра-зователя.
После отделения от диафрагмы кольцевой вихрь движется
вдоль нормали к его плоскости со скоростью, зависящей от размеров и величины циркуляции. Скорость движения вихря падает весьма медленно, а размеры остаются практически неизменными. ■■ 2. Процесс образования в жидкости газовых полостей в ряде
случаев сопровождается интенсивными колебаниями системы, обра-
Фиг. 2
4— Ученые зяписки № 4
49
Фиг. 3
зованной присоединенной инерцией жидкости и упругостью газа, заключенного в полости. В качестве примера можно привести известный эффект возбуждения пульсационных колебаний пузырьков воздуха, захватываемых струей жидкости, падающей в сосуд с жидкостью, или пульсационные колебания пузырька, возникающие после отрыва от трубки, питающей его газом [5]. В большинстве случаев эти колебания создают достаточно интенсивные
акустические волны, которые без труда могут быть зарегистрированы обычными методами гидроакустики.
Следует заметить, что присоединенная инерция жидкости, участвующая в пульсационных колебаниях, отлична от присоединенной инерции, связанной с перемещением тел. Так, если газовая полость имеет сферическую форму, то присоединенная инерция пульсаций равна 4тсг3р [5], т. е. превышает в шесть раз присоединенную инерцию поступательного движения сферы в жидкости.
Опыты показали, что при образовании кавитационной полости вихря также возникают пульсационные колебания. Эти колебания были зарегистрированы с помощью гидрофона, расположенного на некотором удалении от траектории движения вихря. Представляет интерес установить физическую природу этих пульсаций и выяснить связь их частоты с размерами кавитационной полости вихря.
Кавитационная полость вихря характеризуется двумя размерами—диаметром кольца 2/? и диаметром полости 2 г (фиг. 3). Естественно предположить, что пульсации полости связаны с изменением малого диаметра 2г.
Если обозначить через г0 радиус кавитационной полости в равновесном состоянии, Дг = г — г0 рассматривать как обобщенную координату, характеризующую отклонение от равновесного состояния, то можно записать уравнение расширения (или сжатия) поло-
сти в виде
<м г
(Т-Е) = О,
где Т т-
т* (Д г)2
Е =
у.Д г2
кинетическая и потенциальная энергии;
2 ’ 2
-присоединенная инерция; * — жесткость системы.
Уравнение свободных колебаний, таким образом, имеет вид
т* Дг -г хДг — О,
а частота
Теперь необходимо выразить кавитационной полости вихря.
х и т* в функции параметров
В отличие от случая колебаний газового пузырька в жидкости, упругость кавитационной полости не связана с упругостью газа, заключенного в ней. В том случае, если кавитационная полость заполнена только водяным паром, его упругость настолько мала, что может вообще не учитываться в расчете.
Для того чтобы определить упругость, можно сделать дополнительное предположение о природе вихря с кавитационной полостью: допустить, что частицы жидкости лишены вращения, т. е. ядро вихря целиком заключено в кавитационной полости. В этом случае можно воспользоваться известным [3] соотношением для давления на границе кругового ядра плоского вихря
Ро Рк_____ Г2
р 8 тс2 г1 ’
где р0 — статическое давление; рк — давление в каверне; Г — циркуляция; р — плотность жидкости.
Упругость системы в данном случае обусловлена тем, что при отклонении от равновесного положения частицы жидкости, движущиеся вокруг ядра вихря, переходят на более близкие или более далекие орбиты и нарушается равновесие между фактической разностью давлений р0 — рк и той, которая соответствует измененному диаметру кавитационной полости г0 Аг (при неизменном значении Г). Эта разность давлений стремится возвратить систему в исходное состояние.
Таким образом, обобщенная сила, возникающая в результате изменения г, будет равна:
Г HdS _ Г2 R М 8тг2/-2 — Р 2 г ’
S
где 5 — поверхность тонкого тора, а обобщенная упругость
Для вычисления присоединенной массы жидкости при объемном расширении (или сжатии) тороидальной полости расположим вдоль круговой оси тора равномерно распределенные источники (стоки) постоянной удельной интенсивности q. Введем цилиндрическую систему координат z, р, 9 (см. фиг. 3). Потенциал скорости в произвольной точке N будет
71
У = -р- Г -____________ • (2)
J У г2 + р2 + Я2 - 2рR cos 0
Поскольку в дальнейшем потребуется только значения потенциала на поверхности тора, то целесообразно сразу ввести в выражение (2) координаты этой поверхности zT, рт. Очевидно (см. фиг. 3), что zT = rsiti’l>, рт = /? + г cos ф; разделив подкоренное выражение на R2, получим
_______________________м_______________________
|/ + 2 ^1 + ~ cos -- 2 ^1 + —cosijjj cos 0
Этот интеграл может быть представлен как полный эллиптический интеграл первого рода:
^ ,-[ \/ '
71 {-^р \ +4 + 4-^-сое Ф \Г ; 4 4 -^г сое Ф /'
Я ) Я
При малых г/7? модуль К близок единице. Воспользовавшись этим обстоятельством, можно применить известное разложение эллиптического интеграла в ряд при А -> 1 по дополнительному модулю к' = У\ — &2:
К = а0 + ) а1 2 + • • • 1
о ( 2
где
. 4
ап — !п
*о—к' , и ограничиться первым членом ряда. Тогда
Ч 1 /оч
Присоединенная инерция тороидальной полости может быть определена как
2л 2к
5 0 0
ИЛИ
2т1
р<?2 ГГ 1 . 8/? р?2 п, 8/?
пг
т"
иг [ — \п-^-га^аЬ = -^-Я1п-
4„2 Г3 Г Г 7 г2 Г
О О
Если учесть теперь, что удельная интенсивность <7 ИСТОЧНИКОВ, необходимая для расширения тороидальной полости радиусом г со скоростью г, равна 2ягг, то получим окончательно для тонкой тороидальной полости
т* = 4тс2 рг2 /? 1 п ~~~ ■
Таким образом, частота свободных пульсационных колебаний тонкой тороидальной кавитационной полости вихря будет
у ~ 4л2 л2 |/ ад V 2 ] п —у
или, используя (1),
(4>
Последнее выражение дает прямую связь частоты свободных пульсаций кавитационной полости с ее радиусом г. На фиг. 4 показана обратная зависимость радиуса кавитационной полости от частоты при трех значениях Я для случая р0 — рК = Ю5 Па (1 атм).
Опыты показали, что пульсации вихря чрезвычайно интенсивны и их регистрация гидрофоном не представляет трудностей. На фиг. 5 показан образец полученной записи. Гидрофон находился на расстоянии —- 20/? впереди кольцевой диафрагмы вихреобразо-вателя и был смещен на 10/? в сторону от траектории движения вихря. На осциллограмме отчетливо видны колебания, которые усиливаются по мере приближения вихря к гидрофону, а затем убывают с его удалением.
I
V I
|
\
• 21?=0,00м —*— 0,13 м ч эисперимент при 2Л=0,1м
? \
Ч
V,
,?
•-к* К
■
5Г-=
7 .. I
п I I —I—\—^^--------\—I—^—1—1—!—I—:—;-------1—I—I—1—\—I—
100 200 300 V30 У00 600
Фиг. 4
Одновременно с этим производилась киносъемка вихря, позволившая в результате тщательных измерений определить средний диаметр кавитационной полости для нескольких опытов. Результаты расчета по формуле (4) и результаты прямых измерений 2г по фотографиям приведены на фиг. 4. Экспериментальная и теоретическая зависимости г от / оказываются весьма близкими.
Таким образом, проведенное исследование подтвердило предположение о том, что ядро вихря целиком сосредоточено в кавитационной полости, а жидкость лишена ротации. Вместе с тем получен весьма простой способ измерения диаметра кавитационной полости. Дело в том, что прямые измерения диаметра по фотографиям представляют собой чрезвычайно трудоемкий процесс, требующий нескольких десятков замеров с последующим определением средней величины из-за флуктуаций диаметра кавитационной полости по окружности тора и во времени. Определение диаметра кавитационной полости по частоте пульсаций чрезвычайно облегчает обработку опытов.
Следует заметить, что аналогичный метод Широко используется в гидроакустике при определении наиболее характерных размеров пузырьков в тех случаях, когда пузырьки находятся в жидкости в больших количествах. Отличие состоит в том, что в гидроакустике измеряется не частота излучения, а резонансная частота поглощения пузырьками акустических волн от постороннего источника звука.
3. Основными величинами, количественно характеризующими кольцевой вихрь, являются его общий размер 2/? (средний диаметр кольца) и интенсивность (циркуляция) Г. Диаметр кольца 2/? без труда может быть определен по фотографиям. Циркуляция скорости вихря в принципе может быть определена, если известно иоле скоростей вблизи него. Метод определения циркуляции по результатам измерения поля скоростей применялся, например, в работе [4]. где скорости определялись с помощью термоанемометров. Однако этот способ дает хорошие результаты только в том случае, если размеры вихря достаточно велики в сравнении с размерами датчиков, поставленных на его пути. Если это условие не выполняется, то обратное влияние датчиков на поле скоростей неизбежно должно исказить результаты измерений. В этих условиях возможны три способа измерения циркуляции. Первый способ заключается в использовании соотношения (1), связывающего циркуляцию скорости, диаметр кавитационной полости вихря и разность давлений р0 — рк, и формулы (4), что дает возможность определить величину циркуляции непосредственно по частоте пульсаций кавитационной полости вихря. На фиг. 6 приведено семейство кривых, дающее прямую связь циркуляции с частотой пульсаций для 2/?= 0,07; 0,09; 0,11 и 0,13 м при р0 — /?к = 106 Па (1 атм).
С другой стороны, для определения циркуляции можно воспользоваться данными о скорости поступательного движения вихревого кольца. Наличие кавитационной полости позволяет определить эту скорость по данным киносъемки с большой точностью.. Известно [2], что скорость движения кольцевого вихря с ядром малых, но конечных размеров, связана с циркуляцией скорости, выражением
Г:
г»4х/?
8Я
(5)
В этом случае, помимо данных о скорости вихря, необходимо, как и при определении циркуляции первым способом, знать радиус ядра вихря. Однако точность определения радиуса может быть более низкой, чем в первом случае, так как зависимость Г от г значительно слабее. Помимо этих данных, необходима величина радиуса кольцевого вихря /?. В связи с этим следует заметить, что в первом случае радиус /? вошел в формулу для определения Г только через частоту пульсации. В основу первого способа было положено предположение о том, что давление на границе ядра вихря (т. е. давление в кавитационной полости) совпадает с давлением на границе цилиндрического прямолинейного вихря. Физическим основанием к такому допущению является тот факт, что вблизи ядра вихря влияние удаленных точек вихревого кольца на давление несущественно.
Для сравнения результатов определения Г по диаметру кавитационной полости (первый способ)и по скорости поступательного движения вихря (второй способ) была проведена серия опытов с регистрацией частоты пульсаций и киносъемкой. Результаты опытов представлены в виде отношения гуг,., где — циркуля-
ция, найденная по скорости движения вихря, а Г, — по диаметру кавитационной полости:
Г, Г* г, Г л Г„ Г,
0,15 1,5 0,4 1,5
0,22 1,7 0,53 1,5
0.25 1,7 ! 0,6 1,5
0.28 1,6 0,63 1,6
0,3 1,3
Эксперименты показали, что во всех случаях примерно в 1,5 раза превышает Гг. Величина циркуляции Гг в опытах изменялась от 0,15 до '—• 0,6 м-/с.
Можно предположить, что метод определения циркуляции по диаметру кавитационной иолости дает более точные результаты. Действительно, способ определения радиуса кавитационной полости по частоте пульсаций основан на предположении о равенстве давлений на границе кругового ядра плоского вихря и кольцевого вихря с таким же ядром; результаты прямых измерений радиуса подтвердили правильность этого предположения.
Третьим способом определения циркуляции может служить измерение импульса кольцевого вихря, равного тсрГ/?2 [2]. Следует отметить, что этот метод не требует каких-либо предположений о структуре вихря. Измерение импульса целесообразно проводить с помощью динамометрированной твердой стенки (диска большого диаметра), расположенной нормально к траектории движения вихря. Этот способ определения Г не пригоден в тех случаях, когда исследуется взаимодействие вихрей между собой или с твердыми телами, так как он приводит к уничтожению вихря.
Измерения импульса, проведенные с помощью пьезоэлектрического динамометра, установленного в воде и снабженного диском диаметром 0,4 м (при диаметре вихревого кольца ■—-0,1 м), дали значения Г, весьма близкие к полученным по диаметру кавитационной полости. Таким образом, есть основания считать, что формула (5) нуждается в уточнении.
ЛИТЕРАТУРА
1 Reunolds О. On the resistance encountered by vortex rings. Nature, 1876.
2. Л a m б. Гидродинамика. М., ОГИЗ, 1947.
3. Билля Г. Теория вихрей. М., ОНТИ, 1936.
4. Ахметов Д. Г., Кисаров О. П. Гидродинамическая
структура кольцевого вихря. ПМТФ, 1966, № 4.
5. М е й е р Е. Влияние воздушных пузырьков в воде на рас-
пространение звука. („Некоторые вопросы прикладной акустики', сб. статей под ред. Н. Дж. Ричардсона). М., Воениздат, 1962.
Рукопись поступила 29/1 1973 г.
