СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛОК С ПЕРЕМЕННЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ Текст научной статьи по специальности «Физика»

DOI: https://doi.org/10.18454/mca.2022.27.5

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛОК С ПЕРЕМЕННЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ

Научная статья

Рзаев Н.С.1 *, Аббасова Г.Н.2

1 Бакинский инженерный университет, Баку, Азербайджан 2 Азербайджанский технический университет, Баку, Азербайджан

* Корреспондирующий автор (natiq.rzayev.1984[at]list.ru)

Аннотация

В данной работе исследуются свободные колебания разномодульной, неоднородной по толщине и длине балки, находящейся на основании, характеризуемые двумя константами. Поскольку уравнение движения является сложным дифференциальным уравнением четвертого порядка с частными производными относительно изгиба, то оно решается приближенным аналитическим методом. На первом этапе используется метод разложения на переменные, а на втором -ортогонализации Бубнова-Галеркина. Вычисления проводятся в первом приближении. Строится кривая зависимости частоты от неоднородности. Здесь, также, учитывается вариабельность плотности. Вычисления проводятся в основном при линейном изменении характеристических функций по толщине и длине балки.

Ключевые слова: растяжение, сжатие, изгиб, кручение, эластичность, круговая частота, колебание.

FREE OSCILLATIONS OF BEAMS WITH VARIABLE CROSS-SECTION

Research article

Rzaev N.S.1 *, Abbasova G.N.2

1 Baku Engineering University, Baku, Azerbaijan 2 Azerbaijan Technical University, Baku, Azerbaijan

* Corresponding author (natiq.rzayev.1984[at]list.ru)

Abstract

In this paper, free oscillations of a beam of different modules, heterogeneous in thickness and length, located on the base, characterized by two constants, are examined. Since the equation of motion is a complex fourth-order differential equation with respect to bending, it is solved with an approximate analytical method. At the first stage, the variable decomposition method is used, and at the second - the Bubnov-Galerkin orthogonalization. Calculations are carried out in the initial approximation. A curve of frequency dependence on inhomogenuity is constructed. Here the variability of density is taken into account as well. Calculations are carried out mainly with a linear change in the characteristic functions of the thickness and length of the beam.

Keywords: stretching, compression, bending, rotation, elasticity, rotational frequency, oscillation.

Введение

В современное время, балки, доски и покрытия с переменным поперечным сечением из различных материалов находят широкое применение в строительстве различных комплексов, эстакад и мостов, машиностроении и многих других областях. При эксплуатации этих элементов конструкции возникает необходимость изучения вопросов колебательного движения.

Результаты и обсуждение

Следует отметить, что в рамках классической теории упругости детально изучены вопросы устойчивости и колебательного движения балок с переменным поперечным сечением. Однако, при решении этих задач не учитывались разномодульность и сопротивление внешней среды. В настоящее время во многих областях строительства и машиностроении используют материалы, обладающие сложными свойствами, не подчиняющимися основным законам классической теории упругости и пластичности. Среди них широко используются материалы, оказывающие различное сопротивление растяжению-сжатию и скручиванию. Следует отметить, что учет разномодульности и сопротивления внешней среды создает определенные трудности при изучении колебательных движений. А если их не предусмотреть, то это приведет к многочисленным ошибкам.

В случае, когда материал балки является разномодульным, с переменным поперечным сечением, а также учитывается сопротивление внешней среды, решение задачи становится трудным и анализ полученных результатов усложняется.

В рассматриваемой задаче предполагается, что поперечное сечение балки переменное, имеет две оси симметрии и расположено на основании Пастернаковского типа [1].

Распределение напряжения по поперечному сечению записывается следующим образом:

а+ = Е+(е - zp) z 6 S1

а- = E-(e-zp) z6S2 (1)

Здесь Е+, Е- — модули упругости при растяжении и сжатии, е, р — соответственно, деформация и кривизна центральной линии, Б1 — площадь растягиваемой области, Б2 — площадь сжимаемой области. Граница нейтральной оси г0 связана с деформацией е и кривизной р следующим образом:

Условие равновесия: Условия отсутствия осевой силы:

Уравнение изгибающего момента:

Упростим выражение (4):

е — г0р = 0

I о+аэ + I а-аБ = о

М = I огйБ + I а гйэ

$2

Е+

I (е — г0р)йБ + Е I (е — г0р)йБ =

(2)

(3)

(4)

(5)

Учитывая обозначение а = — и выражение (2), получим следующее выражение: Если учитывать здесь (2), то

I (г — г0)йБ + а I (г — г0)йБ = 0 Л, 'б2

С гйБ + а Г гйБ

■>Ь-1 ¿2

или

га = ■

Г йБ + а Г йэ

¿¿Л

Произведем следующую замену:

а1 = 4 а2 = 4 аз = ^ а4 = 132 гйБ;

С учетом замен выражение (6) записывается следующим образом:

= '

а3 + аа3 а3 + аа2

Вычислим изгибающий момент:

М

= Е+ I (е — г0р)гйБ + Е I (е — г0р)гйБ

(6)

(7)

(8)

или

М = Е+]0

1( (а3 + 2а4)2

— I а5 + аа6--

/Д 5 6 а! + аа2

р

В выражении (9) были произведены замены: а5 = г2с1г, а6 = г2с1г. Примем следующее обозначение:

1

*=1

а5 + аа6

(а3 + аа4)2

а1 + аа2

Если подставить выражение (10) в выражение (9), то получим:

д2Ш

М = Е+]0К-

дх2

(9)

(10)

здесь Е+}0 — жесткость упругой балки при изгибе, Ш — изгиб.

Если основание является Пастернаковского типа, то уравнение движения записывается следующим образом:

0

Е+}*1ъГ*

К(х)

d2W

дх2

d2W d2W

+ K1W-K2^-T + Po h(x)— = 0

дх2

dt2

(12)

Когда основание является типом Фусса-Винклера, то уравнение записывается следующим образом:

е+}Оцх2

К(х)

d2W

дх2

+ Kv(l + еф(х))W + p0h(x)

d2W "dt2

= 0

(13)

А когда, основание является неоднородным вязкоупругим, то уравнение имеет следующий вид:

Е+}01ьГ2

К(х)

d2W

дх2

d2W d2W

+ K1 (x)W — K2 (x) — + poh(x) — =0

(14)

Анализируем задачу, при которой поперечное сечение балки имеет переменный прямоугольный вид. Для этого необходимо установить связь между границей нейтральной оси, деформацией, кривизной и изгибающим моментом.

Запишем уравнения равновесия и нейтральной оси.

Граница нейтральной оси г0 определяется следующим уравнением:

е-Zop = 0

Условия отсутствия осевой силы (для прямоугольной балки с поперечным сечением Ъ):

(15)

rZ0 rh{x)

' a+dz + I а-dz = 0

-h(x) Jz0

(16)

Уравнение изгибающего момента:

М = b

z0 rh(x)

a+zdz + I a-zdz

.J-h(x) Jz0

(17)

Сначала исследуем уравнение (16). Учитывая (15), уравнения (16) и (17) можно записать следующим образом:

Гг0 гк(х)

(е — pz)dz + а I (е — zp)dz = 0

-к(х) 'г0 (18)

rzo U-h(x)

Из уравнения (18) можно записать:

rZo rh(X)

I (е — pz)dz + а I (е — zp)dz = 0

J-h(x) Jzo

rZo rh(x)

I (e — zp)zdz + E~ I (e — zp)zdz

J-h(r) J7,r.

M

Wb

(19)

( rZo r+h{x) \ / rZo r+h{x)

e\I dz + z I dz\ — p l| zdz + а | zdz | = 0

JZo

-h(x)

JZo

(20)

Отсюда получим:

f-°, ) zdz + а fh(~x) zdz

e = p-

-h(x)

rzo

-h(x) '

fZr) dz + dz

JZo

f+h(x)

(21)

Из уравнения (19) получим следующее выражение: M

E+b

/ rZo r+h{x) \ / rZo r+h{x)

= e M zdz + I zdz | — p M z2dz + а I z2dz

\j-h(x) Jzo J \J-h(x) Jzo

Учитывая выражение (21) в (22), можно написать:

м

ЁЧ>

= р ■

(Про + аС{Х) гаг) (С0

Гго 1 , г+Кх) ,

Г ,, Лаг + а I аг

Примем следующее обозначение:

($Ц{Х) ^г + гйг)

1

к -1

г20 1 , г+Кх) ,

I ,, Лаг + а I аг

~+к(х)

^г2аг + а I г2йг

к(х)

(23)

гг0 г+к(х)

I г2йг + а I г2йг

'к(х)

(24)

+ Ьк3

Е+]0 (/ = является жесткостью балки с прямоугольным поперечным сечением при изгибе. Учитывая (24) в (23), можем написать:

М = Е+]0К(х)

д2Ш "дх2

(25)

Было принято - к(х) = к0(\ + е^) , е Е [0,1]. Вычислим выражение К(х). Здесь, к0 — двухкратная величина толщины балки с постоянным поперечным сечением, I — длина балки (х = х ■ I-1).

г+к0(1+ЕХ) . г+к0(1+ЕХ) . г+к0(1+ЕХ) 2 I Вычислим интегралы )_ко(1+Е^) аг, (1+рЛ[) гаг, ,„ г аг:

-г0(1+Ех)

г+к0(1 + £Х)

I

•г? г.

г+к0(1+£х) гг0

I аг = I аг + а

'_к0(1+£х) ^_к0(1+£х)

= г0(1 — а) + к0(1 + ех)

-+к0(1+£х)

йг = г0(1 — а) + к0 (1 + ех)

'-коИ+ех)

г0(1+Ех)

йг = г0 + к0(1 + ех) + а[к0(1 + ех) — г0]

I

(26)

гг0 г + к0(1+ех) 1 а

I гйг + а I гаг = - [гЦ — к20(1 + ех)] +- [к20(1 + ех)2 — гЦ]

;_ко(1+£х) 2 2

2

~-г;2 (1 — а) — ^ (1 — а)(1 + ех)

к

2

(27)

г^о г+ко(.1+£Х) 1 а

I г2аг + а I г2аг = - [г$ — к30(1 + ех)3] + - [к30(1 + ех)3 — г$]

■>_ко(1 + £х) % о - -

11 = - г3 (1 — а) — - (1 + а)к3(1 + ех)3

(28)

Отметим, что для одномодульной балки с переменным поперечным сечением приведенные выше интегралы имеют следующие значения:

^^ аг = 2к0(1 + ехУГ^ гаг = 0; гЧг = —3к30(1 + е,)3

(29)

Для одномодульной балки с постоянной высотой получаются следующие значения:

Г+к0 аг = 2к0; П гаг = 0; С"° *2аг = —-к

' ¿—кг, ч

+ко

23

(30)

Для упрощения вычислений мы отбросим члены пределы, где участвуют е2 и е3, потому что они очень малы по сравнению с другими.

Выражение (26) остается прежним.

Пределы для (27) и (28) записываются следующим образом:

I I.

+ко(1+£х) 1 к2

гйг « ^2о(1 — а) — 2(1 — а)(1 + 2ех)

_к0(1 + £х)

+к0(1 + £х) 1

г2аг « ^г03 (1 — а) — (1 — а)(1 + 3ех)

■ко(1+£х)

к30

(31)

Выражение функции К записывается следующим образом: Для одномодульной балки:

К =

}

0

2Ип(1 + ех) 3

— — - к30(1 + ех)

= — (1 + 3ех)

Для одномодульной балки:

Ку = — (1 + 3ех)

Тогда, дифференциальное уравнение записывается следующим образом:

(32)

(33)

дх2

(1 + 3ех)

д2Ш

дх2

_ , ч _ , д2Ш д2Ш

+ С1 (х) М — С2 (х) + рк0(1 + ех) = 0

(1 + 3ех) — + 3е1-1 — + С^хЖ + С2СО -¡^ + рк0(1 + ех) — = 0

(34)

(35)

Как видно, (35) является сложным уравнением, и при его решении мы используем разложение на переменные и метод ортогонализации Бубнова-Галеркина. На первом этапе определим изгиб Ш следующим образом:

Ш = У(х)е1оЛ

Функция У(х) должна удовлетворять граничным условиям.

Если подставить выражение (36) в уравнении движения (35), то получим:

й4У

(1 + 3ех) — + 3е1~1 — + С1(х)У — ш2[С2(х) + р0к(1 + ех)]У = 0

(36)

(37)

Уравнение (37) решается методом ортогонализации Бубнова-Галеркина. Функцию изгиба определим следующим образом:

и

У(х) = ^ЬА (х)

(38)

Здесь Ь^ — неизвестные постоянные, каждый из в^х) должен удовлетворять граничным условиям. С учетом (35) и (39) функция ошибки погрешности записывается следующим образом:

_—1 Г 0 йЪв

Т1(х)= ^ ЬЛ(1 + 3ех) —^ + 3е1-1 + ^ (*) — ы2 (¿2 (*) + р0К1 + ех))] в1Ф 0

.' — 1 I-

Ортогональность удовлетворяет следующему условию:

^Л(х) вчйх = 0; ц = 1,2,...

(39)

(40)

При любом приближении ш2 определяется из системы линейных однородных уравнений, состоящих из Ь^. Во избежание тривиального решения задачи, главный определитель системы (40) необходимо приравнять нулю.

1^2Н = 0

(41)

Уравнение (41) является п — порядковым алгебраическим уравнением, и несмотря на то, что его решение сопровождается определенной трудностью, в инженерных расчетах удовлетворяются первым приближением, т.е. а>2 определяется следующим уравнением:

I

(1 + + 3^

йх4

Отсюда определяется ш2:

ё3в1 Их3

+ С1(х)в1 — ш2[С2(х) + рпкп(1 + ех)]в1

в1(х) = 0

(42)

J О

ш

(1 + «) ^

+ 3el-

d3d1 dx3

+ С1 (х)в1

81(x)dx

ЬШх) + p0h0(1 + ex )]e?(x)dx

(43)

Для численных расчетов необходимо задать конкретные значения функций в1 (х); С1 (х); С2 (х). Производим вычисления для балки, концы которой закреплены шарнирами. В таком случае можно принять в1(х) = sin^—x. Рассмотрим случай, когда характеристики основания изменяются линейно по длине балки:

С!1(х) = (1 + ц.х )Й1; С2(х) = (1+ ц.х )К2 (44)

С учетом (44) и в1 (х) = sin — х, (43) записывается следующим образом:

ri\(mn\4 , „ . тп _ (тп\3 1 тп J0 (1 + 3ех) sin——x — 3е (—j-j —3COS——1

. тп , sin——xdx

+

J^[K2(1 + цх) + p0h0(1 + ex)] sin2——xdx

rl Гг> r* , — ч тп л . тп , J0 \К1 (1 + цх) sin—— х\ sin—— xdx

f0[K2(1 + + P0h0(1 + ex)] sin2^—xdx После некоторых элементарных преобразований получим:

ш

(-ff (1 + 1,5е)+ К1 (1 + 0,5ц) К2(1 + 0,5ц) + p0h0(1 + 0,5е)

Из функции (46) можно вывести следующие частные случаи: 1. Не учитывается сопротивление внешней среды:

(тпу

Ш2 =

(1 + 1,5е) ,тп

(тпу 1 + 1,5е I-) (Р0КГ1-

р0 к0(1 + 0,5е) У 11 1 + 0,5е

2. Балка имеет постоянную толщину, сопротивление внешней среды не учитывается.

2 _ /тп\4 1 ( I ) Рок0

3. Балка имеет постоянное поперечное сечение и учитывается сопротивление внешней среды:

(ЩЕ) + К1(1 + 0,5ц)

ш

2_\±±

й2(1 + 0,5ц)+ р0

4. Балка находится на основании типа Vinkler:

(тпу (1 + 1,5£) + ^(1 + 05^)

т

Р0К(1 + 0,5г)

5. Балка с постоянной толщиной находится на основании типа Vinkler:

(тпу

<2 = \ I >

Шу =

+ К,

Р0 h

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

Результаты вычислений, проведенных для частных случаев, представлены в таблицах и в виде кривых соответствующих зависимостей.

Таблица 1 - Зависимость между частотой (а)-) и параметром, характеризующим неоднородность

£ 2 1 + 0,5е и>2 =- * 1 + 1,5е

0 1

0,2 0,846

0,4 0,75

0,6 0,984

0,8 0,636

1,0 0,6

О 0,2 0,4 0,6 0,3 1 1.2

Рис. 1 - Зависимость между частотой (ш*) и параметром, характеризующим неоднородность

Чтобы произвести вычисления для усложненного случая, запишем выражение (46) следующим образом:

2 \Т)

(Ш.)4 + ^ +

1 + 1,5е

К-

1 + 0,5^ 1 + 1,5е

+ Ро

(1 + 0,5е) 1 + 1,5е

Примем следующую замену:

1+0,5^ 1+0,5е

П1 =

Л _1_1 Со'

п2 =

1+1,5^ 1+1,5е

Учитывая (53), можем записать выражение (52) следующим образом:

(52)

(53)

ш

(тяу

2 М + П1К1

щК2 + РоП2ко

(54)

Зависимости параметров п1 и п2 от г и ц. представлены в таблицах и в виде кривых соответствующих зависимостей.

Таблица 2 - Зависимость между параметрами, характеризующими вариабельность высоты и неоднородность

основания

Щ

^ = 0 ^ = 0,5 V = 1,0

0 1 1,25 1,5

0,2 0,769 0,961 1,153

0,4 0,625 0,781 0,937

0,6 0,526 0,657 0,789

0,8 0,454 0,568 0,681

1,0 0,4 0,5 0,6

О 0,2 О, 4 0,6 о,а 1 1.2

Рис. 2 - Зависимость между параметрами, характеризующими вариабельность высоты и неоднородность основания

Таблица 3 - Зависимость между параметрами, характеризующими высоту балки

£ П?.

0 1

0,2 0,846

0,4 0,75

0,6 0,684

0,8 0,636

1,0 0,6

Рис. 3 - Зависимость между параметрами, характеризующими высоту балки

Следует отметить, что нетрудно произвести вычисления при изменении характеристик основания по другим законам.

Conflict of Interest Конфликт интересов

None declared. Не указан.

Список литературы / References

1. Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в разномодульных изотропных средах / Л.А. Толоконников // Инж. журнал. МТТ. - 1968. - № 6. - C. 108-110.

2. Новацкий В. Динамика сооружений. / В. Новацкий - М.: Госстройиздат, 1963 - 376 с.

3. Gadjiev V.D. Lateral oscillations of a beam made of multi-modulus material lying on inhomogeneous visco-elastic foundation / V.D. Gadjiev, N.S. Rzayev // Transaction of NAS of Azerbaijan. - 2014. - Vol. XXXIV. - No. 1. - pp. 125-130.

4. Gadjiev V.D. Oscilllations of a nonhomogeneous different modulus beam with a load moving on it situated on nonhomogeneous viscoelastic foundation / V.D. Gadjiev, N.S. Rzayev // Transaction of NAS of Azerbaijan. - 2013. - Vol. XXXIII. - No. 4. - pp. 133-138.

5. Рзаев Н.С. Свободное колебание неоднородного разномодульного стержня, лежащего на двухконстантов основани / Н.С. Рзаев // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2016. - № 6. - С. 38-43.

42

6. Рзаев Н.С. Об устойчивости плоской формы изгиба балок, изготовленных из материала разносопротивляющихся и сжатию / Н.С. Рзаев // Elmi asarlar [Научные труды] - 2016. - 1. - №3. - C. 172-176.

7. Рзаев Н.С. К устойчивости упруго пластического стержня лежащей на неоднородно упругом основании / Н.С. Рзаев // Nazari va tatbiqi mexanika jurnali [Журнал теоретической и прикладной механики] - 2014, №2. - C.132-137.

8. Пастернак П.Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов поете. / П.Л. Пастернак - М. : Сройиздат, 1954. - 89 с.

9. Гасымов Г.М. Поперечное колебание стержня лежащего на неоднородно вязко-упругом основании / Г.М. Гасымов, Н.С. Рзаев // Elmi asarlar [Научные труды] - 2013. - 1. - № 3. - С. 41-45.

10. Гаджиев В.Д. Собственное колебание ортотропной круговой пластинки лежащей на неоднородно вязко-упругом основании / В.Д. Гаджиев // Вестник современной науки - Россия, Волгоград, 2016. - №5. - C. 20-24.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Tolokonnikov L.A. O svyazi mezhdu napryazheniyami i deformaciyami v raznomodul'nyh izotropnyh sredah [On the relationship between stresses and deformations in multi-modulus isotropic media] / L.A. Tolokonnikov // Inzh. zhurnal. MTT [Eng. journal. MTT]. - 1968. - No. 6. - pp. 108-110 [in Russian]

2. Novatsky V. Dinamika sooruzhenij [Dynamics of structures] / V. Novatsky - M: State Constructing Publishing House, 1963. - 376 p. [in Russian]

3. Gadjiev V.D. Lateral oscillations of a beam made of multi-modulus material lying on inhomogeneous visco-elastic foundation / V.D. Gadjiev, N.S. Rzayev // Transaction of NAS of Azerbaijan. - 2014. - Vol. XXXIV. - No. 1. - pp. 125-130.

4. Gadjiev V.D. Oscilllations of a nonhomogeneous different modulus beam with a load moving on it situated on nonhomogeneous viscoelastic foundation / V.D. Gadjiev, N.S. Rzayev // Transaction of NAS of Azerbaijan. - 2013. - Vol. XXXIII. - No. 4. - pp. 133-138.

5. Rzaev N.S. Cvobodnoe kolebanie neodnorodnogo raznomodul'nogo sterzhnya, lezhashchego na dvuhkonstantov osnovani [Free oscillation of an inhomogeneous multi-modulus rod lying on a two-constant base] / N.S. Rzaev // Stroitel'naya mekhanika inzhenernyh konstrukcij i sooruzhenij [Construction mechanics of engineering structures and structures]. - 2016. -№ 6. - pp. 38-43 [in Russian]

6. Rzaev N.S. Ob ustojchivosti ploskoj formy izgiba balok, izgotovlennyh iz materiala raznosoprotivlyayushchihsya i szhatiyu [On the stability of the flat shape of the bending of beams made of a material that is highly resistant to compression] / N.S. Rzaev // Elmi asarlar [Scientific works]. - 2016. - 1. - №3. - pp.172-176 [in Russian]

7. Rzaev N.S. K ustojchivosti uprugo plasticheskogo sterzhnya lezhashchej na neodnorodno uprugom osnovanii [To the stability of an elastic plastic rod lying on an inhomogeneously elastic base] / N.S. Rzaev // Nazari va tatbiqi mexanika jurnali [Journal of Theoretical and Applied Mechanics] - 2014, №2. - pp. 132-137 [in Russian]

8. Pasternak P.L. Osnovy novogo metoda rascheta fundamentov na uprugom osnovanii pri pomoshchi dvuh koefficientov poete [The basics of a new method for calculating foundations on an elastic foundation using two poete coefficients] / P.L. Pasternak. - Moscow: Construction Publishing House, 1954. - 89 p. [in Russian]

9. Gasymov G.M. Poperechnoe kolebanie sterzhnya lezhashchego na neodnorodno vyazko-uprugom osnovanii [Transverse oscillation of a rod lying on an inhomogeneously viscoelastic base] / G.M. Gasymov, N.S. Rzaev // Elmi asarlar [Scientific works]. - 2013. - 1. - № 3. - pp. 41-45 [in Russian]

10. Gadzhiev V.D. Sobstvennoe kolebanie ortotropnoj krugovoj plastinki lezhashchej na neodnorodno vyazko-uprugom osnovanii [Proper oscillation of an orthotopic circular plate lying on an inhomogeneously viscoelastic base] / V.D. Gadzhiev // Vestnik sovremennoj nauki [Bulletin of Modern Science] - Russia, Volgograd, 2016. - №5. - pp. 20-24 [in Russian]_