Свертка, преобразование Фурье и пространства Соболева порождаемые нелокальной задачей ионкина Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 4 (2015). С. 80-92.

СВЕРТКА, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА ПОРОЖДАЕМЫЕ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕЙ

ИОНКИНА

Б.Е. КАНГУЖИН, Н.Е. ТОКМАГАМБЕТОВ

Аннотация. В данной работе с B, оператором второго порядка с нелокальными краевыми условиями, связывается свое преобразование Фурье и свертка. Исследуются свойства введенной свертки, а затем описывается класс пробных функций. Также введены пространства Соболева и получено тождество Планшереля, связанные с оператором B.

Ключевые слова: свертка, преобразование Фурье, нелокальное краевое условие, пробные функции, пространство Соболева, тождество Планшереля, дифференциальный оператор, задача Ионкина.

Mathematics Subject Classification: 43A99, 46F12, 42A16, 34B10, 45J05

1. Введение

Стандартное преобразование Фурье является унитарным преобразованием в гильбертовом пространстве L2(0, b) и порождается оператором дифференцирования (—гjX), поскольку система экспонент {exp(i\x),X G R} представляет систему «собственных» функций соответствующего его непрерывному спектру. С преобразованием Фурье тесным образом связана билинейная, коммутативная, ассоциативная свертка без аннуляторов. В работах [1]-[4] вместо оператора дифференцирования (—i jX) в пространстве L2(—œ, œ) рассмотрен в гильбертовом пространстве L2(0,b) при b < œ, оператор порожденный дифференциальным выражением (—i jX), и введены преобразования Фурье и свертки, порожденные этим оператором. В работе [5] развит анализ Фурье, порожденный дифференциальным оператором в ограниченной области с собственными значениями, кратности которых равны единице. Главное отличие данной работы от работы [5] - порождающий оператор имеет собственные значения с кратностями, не равными единице. В данной статье вводится понятие преобразования Фурье и свертка, порождаемые оператором двукратного дифференцирования в пространстве L2(0,1) с нелокальными краевыми условиями изученной в работе [6]. Известно, какую роль играют понятия обобщенного решения дифференциальных уравнений. Оказывается, что нелокальные краевые операторы порождают свой индивидуальный класс пробных функций. В связи с чем возникают новые классы обобщенных функций, которые отражают специфику нелокальных краевых условий.

B.E. Kanguzhin, N.E. Tokmagambetov, Convolution, Fourier transform and Sobolev spaces

GENERATED BY NON-LOCAL IONKIN PROBLEM.

© Клнгужин Б.Е., Токмагамбетов Н.Е. 2015.

Работа первого автора выполнена при финансовой поддержке Комитета науки Министерства образования и науки Республики Казахстан (грант 0757/ГФ4). Работа второго автора выполнена при финансовой поддержке Комитета науки Министерства образования и науки Республики Казахстан (грант 0773/ГФ4). Поступила 19 февраля 2015 г.

В гильбертовом пространстве Ь2(0,1) определим оператор В, порожденный дифференциальным выражением

= _^^, о <ж< 1 (1.1)

аж2

с областью определения

Б (В) = {и е Ж>2 [0, 1] : и(0) = 0, и'(0) = и'(1)},

спектральные свойства которого были подробно изучены в работе Н.И. Ионкина [6]. Оператор В не является самосопряженным, но его система собственных и присоединенных функций является базисом в Ь2(0,1). Это дает развить негармонический анализ, связанный с оператором В. Негармонический анализ, порожденный системами экспонент, детально изучен в работах А. М. Седлецкого [7]-[9]. В последующих работах будут введены псевдо-дифференциальные операторы и другие элементы гармонического анализа, порожденные оператором В.

Сопряженный оператор к В, который порождается дифференциальным выражением (1.1) и краевыми условиями

и'(1) = 0, г>(0) = и(1), (1.2)

обозначим через В*.

Оператор В имеет собственные значения

Ак = (2пк)2, к = 0, 1, ... ,

и собственные и присоединенные функции

и0(ж) = ж, и2к_1(ж) = вт(2пкж), и2к(ж) = жсов(2пкж), к = 1, 2, ... . (1.3)

Это означает, что при к > 0 функции из (1.3) принадлежат Б (В) и являются решениями дифференциальных уравнений

-^4-1 (ж) = Ак и2к_1(ж),

_и2к (ж) = Ак и2к (ж) + 2^/Аки2к_1 (ж).

Каждому собственному значению Ак при к > 0 соответствует собственная функция и2к_1(ж)

и присоединенная и2к(ж).

А оператор В* имеет собственные значения

^к = (2пк)2, к = 0, 1, ... ,

и собственные и присоединенные функции

г>0(ж) = 2, ^2к-1(ж) = 4(1 _ ж)вт(2пкж), ^2к (ж) = 4 сов(2пкж), к = 1, 2, .... (1.4)

При этом каждому собственному значению ^к при к > 0 соответствует собственная функция у2к (ж) и присоединенная ^2к_1(ж), то есть для функций из (1.4) выполняются соотношения

_^2'к (ж) = ^к У2к (ж), _^2'к_1(ж) = ^к^2к_1(ж) + (ж)

и краевые условия (1.2).

Из работы [6] известны следующие результаты.

Лемма 1.1. Последовательности функций (1.3) и (1.4) образуют биортогональную на интервале (0, 1) систему функций, так что для любых номеров г,) Е N выполняется соотношение

(п2г-к, ^-г) = / П2г-к (х)Щ]-1 = ¿2г-к,2.?-1, к = 0,Шг - 1; I = 0, ш^- - 1,

.7 0

здесь 52г-к,2з-1 - символ Кронекера, ш0 = 1 и ш^ = 2, г > 1. Теорема 1.1. Последовательность функций

п0(х) = х, п2к-1(х) = 8т(2пкх), п2к(х) = хсов(2пкх), к € N образует базис Рисса в пространстве Ь2(0,1).

2. СВЕРТКА, ПОРОЖДАЕМАЯ ОПЕРАТОРОМ В В пространстве Ь2(0, 1) введем свертку по формуле

(2 * /)(х) = 1 / ^(1 + х - *)/+ 2 / 2(х - 1 + *)/

2 X 2 У 1-Х

/X 1 /*1 — X 1 [Х

2(х - *)/- ^ у 2(1 - х - *)/+ ^ У 2(1 + * - х)/(*)&

Лемма 2.1. а) Введенная свертка при любых /, 2 € Ь2(0, 1) билинейна, коммутативна и ассоциативна. Ь) Резольвента оператора В имеет сверточное представление

(В - А/)-1 / = 2 * /,

где 2(ж) = , / - единичный оператор.

с) Свертка функций д и / принадлежит области определения оператора В, если 2 Е Б (В), причем справедливо равенство

В(2 * /) = В2 * /.

^ Свертка, порождаемая оператором В, без аннуляторов, то есть если при всех 2 € Ь2(0, 1) справедливо 2 * / = 0, то / = 0.

Доказательство леммы 2.1. а) Билинейность и ассоциативность введенной свертки проверяется тривиально. Покажем, что введенная свертка коммутативна в пространстве суммируемых функций. Введем интегралы по формулам

/>1 ПХ

/1(2,/ )=/ 2(1 + х - *)//2(2,/ )=/ 2(х - *)/

Х0

1-Х 1

/з(2, /) = 2(1 - х - *)//4(2, /) = 2(х - 1 + *)/

0 1-Х

Х

где х € (0,1).

Легко убедиться, что

/5(2,/) = / 2(1+ * - х)/ 0

/к(2,/) = /к(/,2) при к =1, 2, 3.

Рассмотрим /4(д, /) и сделаем замену т = х — 1 + £ в соответствующем интеграле. Тогда имеем соотношение

Ш/)

д(т)/(1 — х + т )йт

Отсюда следует, что /4(д,/) = /5(/,д). Точно также проверяется соотношение /5(д,/) = /4(/, д). Поскольку по определению свертки

д * / = 2 /х(д, /) + /2(д, /) — 1Ш /) +1Ш /) +1Ш /),

то имеем коммутативное равенство д * / = / * д. Ь) Обозначим через

У(х,Л) = (д * /)(x),

где д(х, Л) = 1). Вычислим производную от у(х, Л) по х.

у/(х Л)

л/Л(ео^ л/Л — 1) йх

12

вт \\Л(1 + х — £)/+ вт \/Л(х — £)/(£)й£—

^1 —X 1 1 ПХ .

вт \Л(1 —х—£)// вт \Л(х—1+£)/(¿)й£+- / вт //Л(1+£—х)/(£)й£

2 2 ,}0

1—Х

/(х)

2л/Л(сов л/Л — 1)

— вт л/Л + вт л/Л

+

л/Л(оо^ л/Л — 1)

1 /"1-х 1 +" / сов л/Л(1 — х — £)/+ ■/ сов л/Л(х — 1+ £)/(£)й£—

2 0 2

2

сов /Л(1 — х — £)/(£)й£ + / сов \Л(х — £)/(£)й£+

0

1

1Х

1 2

сов /Л(1 + £ — х)/

Точно также вычисляется вторая производная от у(х, Л) по х. В результате имеем

у//(х, Л)

2л/Л(сов Л/Л — 1)

— сов л/л/(х) + 2/(х) — /(х) — /(х) — сов л/л/(х) — Лу(х, Л)

Отсюда следует, что у(х, Л) удовлетворяет уравнению

—у//(х,Л) = Лу(х, Л) + /(х).

Остается проверить выполнение краевых условий. Первое краевое условие проверяется непосредственной подстановкой х = 0.

у(0,Л)

1

2л/Л(сов л/Л — 1)

яп /Л(1 — £)/(£)й£ — яп /Л(1 — £)/(£)й£

0.

Проверка второго краевого условия.

У(0,Л)

1

У/(1,Л)

2л/Л(сов л/Л — 1) 1

сов /Л(1 — £)/(£)й£ + / сов /Л(1 — £)/(£)й£

2^(сов^ — 1)

2 сов л/Л(1— £)// сов(л/Л£)// сов(л/Л£)/(£)й£

Отсюда у/(0) = у/(1).

Х

0

1

1

0

1

2

1

1

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

с) Пусть д € Б (В). Рассмотрим свертку д * /, где / € Ь2(0,1). Поскольку д € Б (В), то 2 * / € [0,1]. Действительно, справедливы следующие представления первой и второй производных свертки по ж:

-Ж(д * /)(ж)= /1 д'(1 + ж - *)/+ /1 д'(ж - 1 + *)/(*)-*+

-Ж Jx Jl—х

¡•х г-1—х 1>х

+2/ д'(ж - *)/+ / д'(1 - ж - *)/- д'(1 + * - ж)/

.70 .70 .70

-2

ЙЖ2 (д * / )(ж) = (д" * / )(ж).

При выводе указанных соотношений существенно использовалось то, что д(0) = 0 и д'(0)= д'(1).

Л=1

d) Пусть для всех g G L2(0,1) свертка g* f = 0. Введем функцию g(x) = ул0зо8Л^Лх--1)

которая корректно определена, так как cos 1 = 1. Согласно утверждению b) свертка g * f означает (B — I)-1f. Если (B — I)-1f (x) = 0, то f (x) = 0. Что и требовалось показать. Лемма 2.1 полностью доказана.

Приведем одно полезное тождество.

Лемма 2.2. Для любых комплексных а и в справедливо соотношение

sin(ax) sin(ex) /sin(ax) , . sin^x) , Д 2ч

v ; *—\!±-L = (—^—¿(cos в — 1)--^ (cos a — 1) /(в2 — а2). (2.1)

а в V а в

Доказательство. Обозначим через

, , sintax) sin(вx) У(х) =-*

и

ав

. /sin^x) sin^x), 1 2 2

u(x) = —-— (cosв — 1)--(cosа — 1) /(в2 — а2).

а в

Из утверждения Ь) леммы 2.1 следует, что функция у(ж) удовлетворяет уравнению

—y"(x) = а2у(х) + sin(fx) (cos а — 1) (2.2)

в

и краевым условиям

y(0) = 0, y'(0) = y'(1). (2.3)

Теперь докажем, что функция u(x) также как и функция y(x) удовлетворяет уравнению (2.2) и краевым условиям (2.3). Тем самым получим требуемое. Найдем первую и вторую производную от функции u(x):

cos^x) cos^x), » .,_2 2n

а--—- (cos в — 1) — в-тт "

ав

j. ( cos^x), cos^x), Л .,_2 2n

u'(x) = а--—- (cos в — 1) — в-tt^ (cos а — 1) /(в2 — а2),

ав

u"(x) = ( —а2^^(cos в — 1) + в2^(cos а — 1) ) /(в2 — а2) =

ав

2/ 'sin^x) sin^x) 1 2 2

= — а2 —-—- (cos в — 1)--(cos а — 1) /(в2 — а2)+

\ а в J

+ (в2 — а2) (^^(cosа — 1)) /(в2 — а2) =

2 , ч sin(ex) , = —a u(x) +---—(cosa — 1).

Таким образом установили, что функция u(x) удовлетворяет уравнению (2.2). Не сложные вычисления

sin(a0) ( а -.ч sin(e0) , л\ \ l(a2 2n

sin(ax) * sin(ex) = — ^ — " — ч J (2.4)

_ /"V2

u(0) = —-—-(cosв — 1)--w-^-(cosa — 1) /(в2 — a2) = 0,

V a в J

u'(0) = (a-(cosв — 1) — в1 (cosa — 1) ) /(в2 — a2) =

V a в /

= ((cos в — 1) — (cos a — 1)) /(в2 — a2) = (cos в — cos a)) /(в2 — a2), u'(1) = (a—(cosв — 1) — в^(cos a — 1)^ /(в2 — a2) =

V a в J

= (cos a(cos в — 1) — cos в(cos a — 1)) /(в2 — a2) = (cos в — cos a) /(в2 — a2),

влекут за собой выполнение краевых условий (2.3). Лемма 2.2 полностью доказана.

Преобразуем формулу (2.1) в следующий вид

(в sin(ax)(cos в — 1) — a sin^x^cos a — 1)) в2 — a'

Лемма 2.3. Для £ G Z+ справедливо

sin(2n£x) * sin(2n£x) = 0

Доказательство. Чтобы доказать лемму, нам понадобятся следующие тождества, которые следуют из формулы (2.4) подстановками и простыми вычислениями. Подставив в формуле (2.4) в = 2п£ для £ > 0, получим, что

„ . asin(2n£x)(cosa— 1)

sin(ax) * sin(2n£x) =- 2 Д --■ (2.5)

a2 — (2n£ )2

Переходя к пределу при a ^ 2п£ в (2.5), имеем

a sin(2n£x)(cos a — 1)

sin(2n£x) * sin(2n£x) = lim sin(ax) * sin(2n£x) = lim ----——--= 0. (2.6)

a2 — (2n£)2

Лемма доказана.

Заметим также, что для любого целого п

sin(2nnx) * sin(2n£x) = 0, (2.7)

так как cos a — 1 = 0 при a = 2п£.

Лемма 2.4. Для £ G Z+ справедливо тождество

x cos(2n£x) * sin(2n£x) = — ^ sin(2n£x). (2.8)

Доказательство. Теперь обе части тождества (2.5) дифференцируя по а, получим

в1п(2п£ж)

ж сов(аж) * в1п(2п£ж) = [сое а - 1 - а в1п а](а2 - (2п£)2) - 2а2(сое а - 1)

(а2 - (2п£)2)2

Переходя к пределу при а ^ 2п£ из (2.9), имеем

ж сов(2п^ж) * в1п(2п£ж) = Иш ж сов(аж) * в1п(2п£ж)

в1п(2п£ж) Иш

[сое а - 1 - а в1па](а2 - (2п£)2) - 2а2(сов а - 1)

- в1п(2п£ж)

(а2 - (2п£)2)2

а в1п а , а2(сов а — 1)

__+ 2 Иш _-_—

а2 - (2п£)2 (а2 - (2п£)2)2

Иш

- в1п(2п£ж)

11

- 181п(2п^ж).

2 4

Таким образом, справедливо равенство (2.8). Лемма 2.4 доказана.

Лемма 2.5. Для £ € Ъ+ справедливо тождество

ж сов(2п£ж) * ж сов(2п£ж) = - ^ в1п(2п£ж) - ^ж сов(2п£ж).

(2.9)

Доказательство. Вычислим

где

Так как

ж сов(2п£ж) * ж сов(2п£ж)

Иш —

-а

-

-1ш -—(в1п(аж) * в1п(вж))

-в

-

11ш —

-а

- /(в81п(аж)(совв - 1) - а81п(вж)(сова - 1)) в-12п? -в \ в2 - а2

11ш —

-а

-1ш К (а, в)

К (а, в)

81п(аж)(совв - 1 - вй1пв) - ажсов(вж)(со8а - 1) = в2 - а2

2в(в81п(аж)(совв - 1) - а81п(вж)(сова - 1)) (в2 - а2)2 .

а(сов а - 1) -1ш К (а,в ) = — ж со8(2п£ж)-——--+

+4п£ в1п(2п£ж)

а(сов а - 1) ((2п£)2 - а2)2:

то приходим к

-1ш —

-а

ж сов(2п£ж) * ж сов(2п£ж) =

„ . а(сова— 1) , „ . а(сова — 1)

-ж соэ(2п£ж^ -2 + 4п£ 81п(2п£ж)- ^ '

(2п£)2 - а

((2п£)2 - а2)2

-1ш Б (а),

где

, А s / cos а — 1 — а sin а a(cos а — 1) ■

F(а) = —ж cos(2<x) -——-2-+ 2а -— +

V (2<)2 — а2 ((2<)2 — а2)2

cos а — 1 — а sin a a(cos а — 1)

+4п£ sin(2n£;r) — -—--+ 4а

((2п£)2 - а2)2 ((2п£)2 - а2)V

Вычислим

lim F(а) = --sin(2n£x) - -x cos(2n£x). 4 4

Окончательно имеем

x cos(2n£x) * x cos(2n£x) = -^ sin(2n£x) - ^x cos(2n£x).

Таким образом, лемма 2.5 доказана полностью.

Следующее равенство проверяется непосредственными вычислениями

1

x * x = -x. (2.10)

Аналогичными рассуждениями не сложно показать, что для £ = п > 0 имеют место тождества

sin(2n£x) * sin(2nnx) = 0, x cos(2n£x) * sin(2nnx) = 0, x cos(2n£x) * x cos(2nnx) = 0, sin(2n£x) * x = 0, x cos(2n£x) * x = 0. (2.11)

3. ПРОБНЫЕ функции, В-ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА

[0, 1]

При определении распределений на К важную роль играет выбор класса пробных функций. В качестве пробных функции на К могут выступать бесконечно дифференцируемые с компактными носителями функции. Когда изучаются периодические процессы, то роль пробных функций играют периодические бесконечно дифференцируемые функции. В нашем случае, в качестве пробных функции рассматриваем класс = Р|Д(Вт), где Д(Вт) — область определения оператора Вт при т > 1.

В следующей лемме решается вопрос о существовании пробных функции из ).

Лемма 3.1. Если д € то при всех f € Ь2(0, 1) свертка

д * f € Я(В»).

Доказательство леммы 3.1 следует из утверждения c) леммы 2.1.

Согласно лемме 3.1 достаточно построить одну функцию g G D(B^), чтобы получить бесконечно много других из ). В качестве g могут выступать собственные и присоединенные функции оператора B. Нам необходимо выбрать, может быть, конечный набор функции gi, g2, ... из D(B^), так, чтобы замыкание линейной оболочки span {gs * f : s = 1, 2, ..., f G L2(0, 1)} совпадало с D(B^). Для определения замыкания надо ввести топологию в линейном пространстве D(B^). Будем говорить, что последовательность функции yj из D(B^) сходится в смысле топологии D(B^) к нулю при j ^ то, если при всех m =1, 2, ...

Bmyj 1] 0, j ^ то, где 1] — означает равномерную на [0, 1] сходимость.

Введем обозначение С|°[0,1] := Б(Вр). На самом деле функции из Ср[0,1] определены лишь на интервале [0,1]. В дальнейшем, функции С^[0,1] продолжим непрерывным образом на всю ось.

Для начала, продолжим функции из Ср[0,1] на [-1, 0). С учетом выполнения краевого условия у(0) = 0, продолжим эту функцию нечетным образом, т.е.

у(0 - ж) = —у(0 + ж), ж е (0,1]

или

у(х) = —у(—ж), х е [—1, 0). Теперь индуктивно определим функцию у на /п = (п, п +1] следующим образом:

у (ж) = 2у(х — 1) — у(ж — 2), ж е /п.

Определение 3.1. Дуальное пространство к Ср[0,1] пространство Т>'в (0,1) := £(С^[0,1], С) называется пространством В-распределений. Для и е Т>'в (0,1) и р е Ср[0,1] запишем

иЫ = (и Р).

Для любых ф е Ср[0,1] соответствие

р ^ р(х)ф(х)^х ио

является В-распределением, что влечет вложение ф е Ср[0,1] С Т>'в(0,1).

Определение 3.2. Через Б(2+) обозначим пространство быстро убывающих функций, действующих из Z+ на С. То есть, р е Б(2+), если для произвольного М < то существует некоторая константа С^,м так, чтобы имела место оценка

|р(£)| ^ С^,м(£)-м

для всех £ е где

(£) := (1 + У^).

Топология на Б(2+) задается полунормами , где к е 2+ и (р) := 8ир?еЙ+ (£)Й|р(£)|. Замечание 3.1. Линейные непрерывные функционалы на Б (2+) имеют следующий вид

Р ^ (и,Р) := X]и(£)Р(£)

где функции и : ^ С растут полиномиально на бесконечности, то есть существуют такие константы М < то и Сим, что неравенство

|и(е)1 ^ Си,м (£)

м

справедливо для всех £ е 2+. Такие распределения и : 2+ ^ С составляют пространство Б '(2+).

Определение 3.3. Для / е Ср [0,1] введем В-Фурье преобразование по формуле

/(£) := (^f )(£) = Г f (х)^(х)аж. (3.1)

Аналогично, для / е Ср[0,1] введем В*-Фурье преобразование по формуле

/*(£) := /)(£) = Г /(х)ис(х)аж. (3.2)

ио

1

Лемма 3.2. является непрерывной биекцией

(ъ f )(е) = а ^ де)): св°[о, 1] ^ ^ (2+),

и обратное преобразование 1 : Б(2+) ^ С|°[0,1] задается формулой

а (х) = £ дек (х).

Аналогично, ^В* является непрерывной биекцией

а )(е) = (а ^ г (е)): св? [о, 1] ^ б (2+)

и обратное преобразование ,1 : Б(2+) ^ С^ [0,1] задается формулой

а(х) = £ пек(х).

(3.3)

(3.4)

Доказательство леммы 3.2 сильно не отличается от доказательства классического периодического случая, кроме тех моментов, где существенно используются свойства биортогональности. Покажем сперва, что для а € С^[0,1] справедливо / € Б(2+), то есть для каждого М < то найдется такая постоянная С, что оценка

|/(е )1 ^ с <е>

-м

имеет место для всех е € 2+. На самом деле, для произвольного М € N и е четного, получим неравенство

|/(е )1

а (х)г>£

У(х) ^мммт

11

Ам У0 ВМа

^ с цвм а |и2(о,1)<е>

-2М

Такая же оценка верна и при е нечетном случае. Таким образом, для а € С^[0,1] имеем / € Б(2+). В силу того, что ||ВМа||ь2(0д) задают полунормы в пространстве аСВ0^, 1], то отсюда также следует непрерывность оператора ^В из С|°[0,1] в Б(2+).

Ясно, что для Н € Б(2+) формула (3.3) определяет функцию € С|?[0,1] с коэф-

фициентом Фурье Н(е). Если две функции Д, ^ € С^[0,1] имеют одинаковые коэффициенты Фурье /1(е) = а2(е) для всех е € 2+, то так как линейная оболочка {иплотна в С^[0,1], получим

Л(х) = ^ /1(е)м?(х) = X] (еК(х) = Д(х).

Непрерывность отображения 1 : Б(2+) ^ С^[0,1] выводится такими же рассуждениями. Свойства сопряженного преобразования ^В* доказываются аналогичным образом. Лемма доказана.

По обратному В-Фурье преобразованию : Б (2+) ^ С^[0,1] расширим В-Фурье преобразование единственным образом до отображения

: ©В(0,1) ^ Б'(2+)

по формуле

<^> := <и, для и € ©В(0,1), р € Б(2+). (3.5)

Отсюда следует, что если и € (0,1), то и € Б'(2+). Также заметим, что если и € С^[0,1], то тождество

1

о

=5] га(£)у>(£)= £

• (ж)г>?(ж)^ж ) р(£) =

= ( X] ^(£(ж) I =

имеет место.

Аналогично определим отображение

ТВ* : ©В*(0,1)

Теперь в пространстве последовательностей X = ПСтк введем внутреннюю свертку Коши, где индексы тк из леммы 1.1: т0 = 1 и т,г = 2, г > 1. Пусть £ = {£0; £2к-1, £2к, к > 0} и П = {П0; П2к-1, П2к, к > 0} элементы X = ПСтк, тогда их сверткой назовем последовательность в = {в0; в2к-1, в2к, к > 0}, где

^0 = £0^0, в2к-1 = £2к-1П2к + £2к + £2к П2к-Ъ в2к = £2к .

Полученную таким образом свертку будем обозначать через £*хП := в. Введенные свертки *х и * связаны между собой через преобразование Фурье.

Теорема 3.1. Для любых двух элементов /, д Е С|°[0,1] справедливо равенство

/ * д = / *х д.

1

0

Доказательство. Записав свертку в следующем виде, и учитывая полученные тождества (2.4)-(2.11) и леммы 2.3 - 2.5, вычислим

те т£ ^ т,

(/ * /(2£ - к)и2?-к(ж) * X X д(2П - «)и2Ч-*(ж) =

^=0 к=0 П=0 «=0

= 2/(0)д(0Ыж)-

те

-1 Е [(•д(2£ - 1)д(2£) + /(2£)д(2£) + /(2£)д(2£ - 1)Ь?-1(ж) + /(2£)д(2£)«2?(ж) . ?=1

После преобразования Фурье получим требуемое тождество. Теорема 3.1 доказана полностью.

Введем пространство последовательностей В/2, порожденное системами функций {и? }?=0 и {V? }те=0 со скалярным произведением

(/, д)в12 := Е /(£) Ш. (3.6)

Не сложно убедиться, что пространство В/2 является гильбертовым. На самом деле

(д д)в12 = (/,д1)г2.

Более того,

2

(/, = Е /(0Ш = /(0)Ш + ЕЕ / (2(£ - 1) + г)д^(2(£ - 1) + г) =

?еж+ ¿=1

= /(0)?*(0) + £ £/(2(£ - !) + - 1) + = (/,2^. пем ¿=1

Таким образом,

и^вь = (/,д)ь2.

Аксиомы гильбертового пространства следуют из полученного равенства. Тем самым, справедливо тождество Планшереля:

Лемма 3.3. (Тождество Планшереля) Если / € Ь2(0,1), тогда / € В/2 и

II/1112 = И/Ик2. (3.7)

Доказательство. Непосредственными вычислениями

I = (/,/)Ь2 = I £ /(СК, £ Г(пК

2

/(0)Ш + £ £ £ /(2(С - 1) + г)?*(2(п - 1) + ¿Х^-Ц+^П-Ц+Оъ

пем ¿=1

2

В12

= £ /(£)^(£ ) = (/,/)в12 =

получим требуемое утверждение. Лемма доказана.

В следующем определении введем пространство Соболева, порожденное оператором В:

Определение 3.4. (Соболевские пространства ВЖ5[0,1]) Для / € Т>В(0,1) и числа в € К определим норму || ■ ||в^в[0,1] по формуле

II/Нв^[0,1] := (£<СГтШ) . (3.8)

Пространство Соболева ВЖ 5[0,1] является пространством В-распределений /, для которых ||/||в^[01] < то. Или, для / € Ь2(0,1): / € ВЖ5[0,1] тогда и только тогда

<07(0 € В/2.

Лемма 3.4. Для каждого в € К пространство Соболева ВЖ5[0,1] является гильбертовым пространством со скалярным произведением

(/, := £ (С^ШШ.

Доказательство. Пространства ВЖ0[0,1] и ВЖ5[0,1] являются изометрично изоморфными по каноническому изоморфизму ^ : ВЖ0[0,1] ^ ВЖ5[0,1], определенному по формуле

(х) := £ (СГ/(£К(х).

На самом деле, ^ является линейной изометрией между ВЖ4[0,1] и ВЖ[0,1] для каждой в € К, и верны формулы = <^81+82 и = Тем самым, полнота пространства Ь2(0,1) = ВЖ0[0,1] переводится на пространство ВЖ5[0,1] для каждого в € К.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кангужин Б.Е., Гани С.Н. Свертки, порождаемые дифференциальными операторами на отрезке // Известия НАН РК. Серия физ.-мат. 2004. №1. С. 29-33.

2. Кангужин Б.Е., Нурахметов Д.Б. Нелокальные внутренне краевые задачи дифференциальных операторов и некоторые конструкции связанные с ними // Математический журнал. 2012. Т. 12. №3. С. 92-100.

3. B. Kanguzhin and N. Tokmagambetov The Fourier transform and convolutions generated by a differential operator with boundary condition on a segment // Fourier Analysis: Trends in Mathematics. 2014. P. 235-251. Birkhauser Basel AG, Basel.

4. B. Kanguzhin, N. Tokmagambetov, K. Tulenov Pseudo-differential operators generated by a nonlocal boundary value problem // Complex Var. Elliptic Equ. 2015. V. 60. №1. P. 107-117.

5. M. Ruzhansky, N. Tokmagambetov, Nonharmonic analysis of boundary value problems // International Mathematics Research Notices. 2015. P. 1-68. http://dx.doi.org/10.1093/imrn/rnv243.

6. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. №2. С. 294-304.

7. Седлецкий А.М. Биортогональные разложения функций в ряд экспонент на интервалах вещественной оси // Успехи мат. наук. 1982. Т. 37. №5. С. 51-95.

8. A. M. Sedletskii Nonharmonic analysis //J. Math. Sci. (N. Y.). 2003. №5. P. 3551-3619.

9. Седлецкий А.М. Негармонический анализ // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 2006. Т. 96. С. 106-211.

Балтабек Есматович Кангужин,

Казахский национальный университет им. аль-Фараби, пр. аль-Фараби, 71, 050040, г. Алматы, Казахстан E-mail: [email protected]

Нияз Есенжолович Токмагамбетов,

Казахский национальный университет им. аль-Фараби,

пр. аль-Фараби, 71,

050040, г. Алматы, Казахстан

E-mail: [email protected]