Сверхзвуковой эжектор неидeaльного газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦЛГИ

Том XXV 1994 №1-2

УДК 533.697.5

СВЕРХЗВУКОВОЙ ЭЖЕКТОР НЕИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

В. А. Терехов

Предложен новый метод расчета установившегося одномерного течения неидеального газа на выходе сверхзвукового эжектора с использованием законов сохранения массы, импульса, энергии и принципа минимального производства энтропии без использования моделей течения внутри камеры смешения. Метод позволяет рассчитывать характеристики эжектора, определять режимы течения и предсказывать нарушение однородности и симметрии потока в выходном сечении эжектора. Обсуждаются свойства течения неидеального газа в отличие от совершенного газа. В качестве рабочего газа выбран азот.

1. Сверхзвуковой эжектор представляет собой устройство, в котором вследствие вязкого взаимодействия высоконапорный сверхзвуковой первичный поток (эжектируюший) увлекает низконапорный вторичный (эжектируемый) поток, в результате чего эти два потока перемешиваются в канале постоянного сечения (рис. 1).

Будем рассчитывать установившееся одномерное течение невдеаль-ного газа на выходе сверхзвукового эжектора при следующих предположениях:

на выходе нет дополнительного расширения;

не учитывается теплопередача на стенках;

первичное и вторичное течение изоэнтропийное до начального сечения включительно;

течение стационарное и кусочно-однородное.

Рис. 1. Схема сверхзвукового эжектора

При расчете параметров первичного и вторичного потоков в начальном сечении решалась система уравнений неразрывности, энергии, энтропии и состояния [1]:

р;и= сопв1,

= 50/ >

Л = Р( (р/ > ^}); / = 1,2.

(1)

При расчете параметров потока в конечном сечении решалась система уравнений неразрывности, количества движения, энергии и состояния [1]:

Р1и\А + Р2 м2 ~ А ~ &А) = РзизА,

(Р1«12 + А)4 + (р2 «2 + Л) М - 4 - ¿4) + Р2&А1 =

^1 +"2

2

Р3"з

21

2 ^ *2+^

Р2 иг(А - Ах - Д/4Х) = Л = РI (р»»^»')> ^ = 1» 2, 3,

\1+ ° Л

V У

2 ^ и1

Лз+4

+ Л Рз м3^>

(2)

при дополнительном условии:

А5 = РЗ и3 53 ^ “ Р1 И1 51 А ~ Р2 и2 52(А ~ А ~ &А) -

где ААу — площадь поперечного сечения стенки сопла, Х/О — отношение длины камеры смешения к ее диаметру, / — коэффициент турбулентного трения.

Термодинамические свойства азота в идеально-газовом состоянии были рассчитаны по методу [2]. Решение систем (1) и (2) получено методом последовательных приближений Ньютона.

2. Предлагаемый здесь метод состоит в использовании законов сохранения массы, импульса, энергии и принципа минимального производства энтропии в стационарных неравновесных процессах [3].

Принимается единый подход, не зависящий от скорости течения на выходе эжектора, которая может быть как дозвуковой, звуковой, так и сверхзвуковой. Выбор режима течения определяется принципом минимального производства энтропии, который позволяет объяснить тот экспериментальный факт, что реализуется режим течения с минимальным вторичным расходом [4]. Модели течения внутри камеры смешения не используются, а те, которые успешно применяются на основе совершенного газа [4, 5], имеют ограниченную применимость для неидеального газа или совсем неприменимы. Например, область параметров торможения первичного потока, при которых возможно однородное течение неидеального газа на выходе эжектора, ограничена и исследовать границы этой области не представляется возможным с помощью моделей для совершенного газа, поскольку они явно не зависят от давления торможения.

Под совершенным газом будем полагать термически и калорически совершенный газ, т. е. газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона р = рЛТ и характеризующийся постоянными теплоемкостями.

Следует отметить существенное отличие сверхзвукового от дозвукового режима течения. При дозвуковом режиме течения статическое давление на выходе эжектора является заданной величиной р, а принцип минимального производства энтропии совпадает с условием Рз = р (давление в окружающем эжектор пространстве), поскольку максимально возможное давление р^ на выходе эжектора определяет минимум производства энтропии, что подтверждается данными расчетами.

В сверхзвуковом режиме течения условия вниз по потоку являются несущественными и критерием выбора сверхзвуковых решений предлагается использовать принцип минимального производства энтропии.

Этот принцип справедлив в области линейной неравновесной термодинамики, однако он успешно применяется и для неравновесных течений, далеких от равновесия, исключая случай химических реакций. Строгий расчет производства энтропии в данной постановке задачи невозможен, поскольку он требует детального анализа структуры течения. Однако для практических целей возможно предложить приближенные формулировки данного принципа. Правильным оказалось предположение, что производство энтропии Д5 является линейной убывающей функцией числа М2, поскольку с ростом числа М2 уменьшаются градиенты скорости, в основном определяющие производство энтропии. Приемлемыми оказались следующие условия:

Р2 = 1>07а1м2=р Р2 = 0.95А|М2=0 9 .

3. На рис. 2 представлены графики характеристик (зависимости отношений вторичного к первичному массовому расходу (г2/С?1 или коэффициентов эжекции к от отношения Р02 / р, рассчитанных по данному методу (верхние кривые), по методу работы [4], рассчитанных самими авторами (нижние кривые), сверхзвуковая характеристика, рассчитанная в данной статье по методу работы [4] (штриховая линия), и экспериментальные значения (квадраты — дозвуковой и треугольники — сверхзвуковой режимы) для осесимметричного эжектора с центральным расположением первичного сопла {А*х = 5,45;

=0,03; 4Ь / Б = 61,5; / = 0,0053).

Систематическое завышение данных расчетов дозвуковой характеристики по сравнению с экспериментом и расчетом авторов [4] можно объяснить неявным учетом эмпирических данных, выраженных условиями в камере смешения (/>3, М3), по которым производился расчет в работе [4]. Расчет сверхзвуковой характеристики по метбду работы [4], проведенный в данной статье, практически совпадает с расчетом авторов метода на начальном участке характеристики. Однако с ростом числа М2 расхождение результатов расчета увеличивается, это объясняется тем, что авторы учитывали не толщину стенки сопла, а толщину следа, составляющего долю первоначального потока, что

Рис. 2. Сравнение расчетных и экспериментальных [4] значений коэффициентов эжекцйи для эжектора (А / А*1 = 5,45; Д^ / Л1 = 0,03;

^ ./ = 0,163; / = 0,0053; М! = 2,36).

Верхние кривые — расчет (данная статья). Нижние кривые — расчет (работа [4]). Штриховая кривая — расчет по методу [4] (данная статья),

Д, □ — эксперимент (работа [4])

также объясняет расхождение с данными расчетами на закритическом сверхзвуковом режиме.

Следует отметить, что расчет по методу [4] сверхзвуковой характеристики дает заниженные по сравнению с экспериментом значения коэффициента эжекции из-за предположения об изоэнтропий-ности течений в предлагаемой модели. С повышением числа М2 согласие с экспериментом улучшается, что объясняется уменьшением производства энтропии.

Новый метод позволяет воспроизвести нелинейность начального участка характеристики. Следует отметить преимущество этого метода при расчете «смешанных» характеристик, когда меняется режим течения, переходящий от дозвукового к сверхзвуковому. Расчет этих режимов приводит к выводу, что величина р01 / Р уменьшается с ростом давления р01, это свидетельствует о расширении области давлений Р01, при которых существует сверхзвуковой режим по сравнению со случаем совершенного газа.

В данных примерах параметры торможения первичного потока (/>01, Т01) были подобраны так, что рассчитанные величины для неидеального газа оказались близки к соответствующим величинам для совершенного газа, это и позволило провести их сравнение. Желательно найти общие критерии для такого выбора.

4. С этой целью рассмотрим сначала частный случай эжектора: истечение газа из сужающегося сопла с последующим внезапным расширением. Аналитическое решение этой задачи в случае совер-

шеннош газа получено Нуссельтом при хорошем согласии с экспериментом. Результаты его работы изложены в обзоре [6]. Аналогичные расчеты для неидеального газа, проведенные в двух случаях:

а) дозвуковое течение в начальном сечении

приводят к принципиальному отличию от расчетов для совершенного газа, которое состоит в том, что для неидеального газа в окрестности числа М3 = 1 решения возможны как при нулевом, положительном, так и при отрицательном давлении рт, тогда как для совершенного газа рт = 0 при М3 = 1. Если исключить отрицательные давления рт как нефизические, то при соответствующих числах М3 принципиально невозможно получить решения для однородного течения в любом конечном сечении [7]. Этот вывод остается справедливы^ и для внезапного расширения при истечении в вакуум при А^/А-* 0. Рассмотрим такое геометрическое место точек плоскости (р, Т) для состояния газа в начальном сечении при внезапном расширении в вакуум, что при рт = 0 число М3 = 1. Полученная кривая представлена штриховой линией на рис. 3.

Отметим основные свойства этой кривой:

1) решения для чисел М3 * 1 на этой кривой будут находиться при рт > 0 и, следовательно, для всех чисел М3, ограниченных условием Д5 ^ 0, будет существовать решение для однородного течения;

2) если состояние газа определяется величинами р и Т, лежащими под кривой, то газ будет обладать некоторой устойчивостью к нарушению однородности течения, поскольку рт> 0 при М3 =1;

3) эта кривая является верхней границей аналогичных кривых для течений с внезапным расширением, после которого состояние газа отличается от идеального. Газ считается идеальным, если выполняются одновременно следующие условия:

В неидеальном газе эти условия нигде одновременно не выполняются. Однако для него можно найти соответствующие кривые, называемые идеальными термическими кривыми. Это соответственно кривая инверсии, кривая идеального газа и кривая Бойля. Идеальные 1фивые начинаются при нулевом давлении и оканчиваются на кривой парообразования. Этим же свойством обладает и искомая кривая. По аналогии назовем ее идеальной адиабатной кривой;

4) с удалением от идеальной адиабатной кривой в сторону больших значений р интервал чисел М3, при которых невозможно однородное течение при расширении в вакуум, возрастает.

Рт - Р\ (Рт—давление на передней стенке);

б) звуковое течение в начальном сечении

0йртйри

5. Для сверхзвукового эжектора неидеального газа аналогичная кривая существует в специальных случаях, которые будут обсуждены ниже. Вообще существуют две кривые, ограничивающие области однородных течений для сверхзвукового и дозвукового режимов по отдельности.

В отличие от случая совершенного газа, когда режим течения определяется отношением Pqi / р, в случае неидеального газа режим течения зависит также, как отмечено выше, от величины /?01- С ростом давления р01 начало характеристики (внезапное расширение при М2 =0) сдвигается в сторону меньших давлений р02- Этот факт может быть использован для определения области однородных течений на выходе эжектора. Давление />01, при котором характеристика начинается в нуле (р02 =0), определяет верхнюю границу однородных течений. При выполнении расчетов удобно выбрать «смешанную» характеристику, когда меняется режим течения, переходящий от дозвукового к сверхзвуковому при малых числах М2, и следить за перемещением начала характеристики при повышении давления р01. По найденному значению давления р01 можно определить величину р для дозвуковой характеристики, начинающейся также при р02 = 0. Это позволяет определить также нижнюю границу значений давления р, при котором еще возможно дозвуковое однородное течение на выходе эжектора вне некоторого интервала чисел М3, включающего значение М3 = 1. На рис. 3 приведены результаты расчетов граничных значений Poi> Pi> Р в зависимости от температуры Г01- ^1 (Toi = ^ог) Для эжектора, рассмотренного в п. 3. Со стороны низких температур расчеты ограничены кривой парообразования, что отражено на графике зависимости Р\ = /{Т\)> соответствующей заданным параметрам торможения Pq\, То!. Расчеты доведены до Г01 = 1000 К.

На рис. 4 приведены результаты аналогичных расчетов при температурах торможения T0l = Tq2 = 300 К в зависимости от отношения А± / А при тех же остальных параметрах. Максимумы кривых р^, Pi= f (Ах / А) находятся при значении А1 / А = 0,4, которое является в этом случае наиболее предпочтительным для получения однородного сверхзвукового потока на выходе.

Приведенные кривые свидетельствуют о том, что существуют верхняя и нижняя границы значений отношения Аг / А, определяющие область однородных сверхзвуковых течений на выходе эжектора.

6. С увеличением числа М2 интервал чисел М3, при которых возможно однородное течение на выходе эжектора, расширяется. Можно определить область значений р\ и Т\, при которых существуют решения для однородного течения на выходе при всех числах М3 (не превышающих, конечно, тех, при которых наступает конденсация). Эта кривая получается из условия одновременного запирания эжектора на входе и выходе (М2 = М3 = 1). Отметим, что при одном рабочем газе и равенстве Г01 = Tq2 всегда условие Mt = М2 = 1 в совершенном газе приводит к величине М3 =1.

А)вт,Ыг

Рис. 3. Результаты расчетов граничных значений />01, Р\, Р в зависимости от температур Г01, Тг (Г0, = Т02) для эжектора (при тех же параметрах эжектора, что и на рис. 2) — сплошные кривые, пунктирная кривая — идеальная адиабатная кривая, К — критическая точка, которой оканчивается кривая парообразования

Рис. 4. Результаты расчетов граничных значений р01, ри р в зависимости от отношения А\ / А для температур т01 = Т02 = 300 К при тех же параметрах эжектора, что и на рис. 2 и 3

В неидеальном газе при этих условиях число М3 = 1 существует только на определенной кривой области значений параметров ^ и Г[. Если последние лежат ниже этой кривой, то они наиболее приемлемы для работы эжектора с целью получения однородного течения на выходе. При этом все газодинамические величины оказываются близкими к их значениям для совершенного газа. Полученная кривая будет идеальной адиабатной кривой данного эжектора, она несущественно отличается от идеальной. адиабатной кривой при внезапном расширении в вакуум, и для практических целей можно использовать только эту последнюю.

При некоторых комбинациях свойств газов и рабочих параметров (более горячий и с более низким молекулярным весом первичный поток, чем вторичный) согласно одномерной модели решение для однородного течения совершенного газа на выходе может отсутствовать при «запертом» течении на входе [8]. Впервые решение появляется при «запертом» течении на выходе при менее контрастных условиях. Отметим, что при одном рабочем совершенном газе и равенстве Т01 = Г02 «запирание» эжектора на выходе не может произойти

раньше, чем «запирание» на входе. Однако в неидеальном газе более раннее «запирание» на выходе принципиально можно получить.

Влияние неидеальности газа наиболее значительно на начальном участке характеристики. Так, например, дозвуковая ветвь характеристики рассмотренного эжектора для неидеального газа (^01 = 1 МПа, Tqi = 300 К и Mj =2,36) начинается при давлении р02 на 3% меньшем, чем для совершенного газа, и расхождение их увеличивается с увеличением давления Pq\.

7. Принцип минимального производства энтропии позволяет исследовать явления спонтанного нарушения однородности и симметрии потока. Суть явления состоит в том, что при однородных и симметричных уравнениях для составляющих потока решение (в данном случае профиль скорости в выходном сечении) может быть неоднородным и несимметричным относительно оси камеры смешения, поскольку в этом случае производство энтропии оказывается меньшим, чем в случае однородного решения.

В качестве примера рассмотрим переход от однородного дозвукового режима при М2 = 1 к однородному закритическому сверхзвуковому режиму при повышении давления р02. При этом переходе возникает положительный скачок энтропии, что противоречит принципу минимального производства энтропии. Согласно последнему должен существовать переходный неоднородный режим от дозвукового к сверхзвуковому закритическому режиму.

Аналогичным образом может осуществиться явление спонтанного нарушения симметрии потока на выходе сверхзвукового эжектора из-за наличия трения о стенки камеры смешения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Jacobsen R. Т., Stewart R. В. Thermodynamic properties of nitrogen including liquid and vapor phases from 63K to 2000 К with pressure to 10 000 bar// J. Phys. and Chem. Ref. Data.—1973. Vol. 2, N 4.

2. Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механи-ка.—М.: Изд. иностр. лит., 1962.

3. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций.—М.: Мир, 1973.

4. Fabri J., Siestrunck R. Supersonic air ejectors // Advanced in Applied Mechanics.— 1958. Vol. 5./Ed. H. L. Diyden and Т. H. von Karman, Academic Press, N.-Y.

5. Сборник работ по исследованию сверхзвуковых газовых эжекторов // ГКАТ-ЦАГИ,—1961.

6. К р о к к о JI. Одномерное ■ рассмотрение газовой динамики установившихся течений. См. в кн.: Основы газовой динамики. T. III, серия «Аэродинамика больших скоростей и реактивная техника*.—М.: Изд. иностр. лит., 1963.

7. Т е р е X о в В. А. Одномерное истечение плотного азота и воздуха из сходящегося сопла с последующим внезапным расширением // Труды ЦАГИ —1986. Вып. 2306.

8. Даттон, Каррол. Ограничения характеристик эжектора при запирании потока на выходе // Труды Американского общества инженеров-механиков. Теоретические основы инженерных расчетов. № 4.—М.: Мир,

1988.

Рукопись поступила 20/III1991 г.