CC BY
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yflK 66.047.7
LE SECHAGE DE MATERIAUX DEFORMABLES: FORMULATION, CARACTERISATION PHYSICO-MECANIQUE, MODELISATION ET SIMULATION
P. Perre
Ecole nationale du genie rural, des eaux et des forets, Nancy, France
Most cles et phrases: diffusion de l’humidite; retrait des matieres; sechage du bois; sechage des produits alimentaires.
Resume: La formulation physique des transferts en milieux poreux et la formulation mecanique des contraintes et deformations induites par le retrait sont rappelees. Cette formulation fait appel a de nombreuses caracteristiques physiques et mecaniques sans lesquelles la simulation a base cognitive n'a pas de sens. En prenant l'exemple du materiau bois et de produits alimentaires fortement deformables, les principales etapes de caracterisation et les possibilites de prediction offertes par la simulation numerique sont illustrees.
1 INTRODUCTION
Ce papier est consacre aux mecanismes physiques et mecaniques qui interviennent lors du sechage. La formulation generalement admise pour formuler les transferts couples de chaleur et de masse en milieux poreux a partir d'equations macroscopiques, ainsi que la formulation des aspects mecaniques, en petites et en grandes deformations, sont presentees. Cette formulation fait appel a de nombreuses caracteristiques physiques et mecaniques dont la determination necessite un effort experimental considerable et indispensable. Plusieurs methodes developpees au LERMaB seront brievement exposees.
Du fait du couplage entre les variables et des fortes non-linearites rencontrees en sechage, seule une resolution numerique peut etre envisagee. Dans ce travail, la methode des Volumes Finis (schemas structures ou non structures) est exclusivement utilisee pour traiter les equations de conservation de chaleur et de masse, tandis que la methode de Elements Finis est generalement choisie pour traiter les equations propres a la mecanique des solides.
Les possibilites de simulation offertes par ces nouveaux outils de simulation ont un potentiel d'application tres vaste, de la comprehension de mecanismes fondamentaux (transferts influences par l'evolution de la forme, exsudation de liquide du au mouvement du squelette solide,...) jusqu'a l'optimisation du procede industriel (amelioration du compromis qualite/rapidite, instrumentation des sechoirs et du produit, notamment suivi des deformations, et interpretation des donnees collectees,.).
Lors de la resolution simultanee des transferts et des phenomenes mecaniques intervenant durant le sechage, le degre de couplage pertinent est impose par la configuration (Fig. 1). Le niveau de couplage croissant expose dans cette figure peut etre illustre par des configurations concretes:
TRANSFERTS COUPLES DE CHALEUR ET DE MASSE
CONTRAINTES ET DEFORMATIONS DUES AU RETRAIT
Pas de couplage: le
retrait calcule par le premier code sert a calculer les contraintes en petites deformations
Couplage neglige: le
retrait induit des grands deplacements, mais leur effet sur les transferts est neglige
Couplage complet: les
contraintes sont calculees en grandes deformations et leur effet sur les transferts est pris en consideration
Fig. 1 Illustration des differentes possibilites de couplage intervenant en milieux poreux entre phenomenes de transferts et phenomenes mecaniques
- Sechage du bois en 1-D : le calcul des contraintes et deformations est possible en petites deformations,
- Sechage dissymetrique d'une planche de bois : une formulation en grands deplacements est necessaire,
- Sechage de vegetaux a structure cellulaire : le collapse important des cellules necessite une formulation en grandes deformations et un couplage complet avec les transferts de chaleur et de masse.
2 FORMULATION DES TRANSFERTS DE CHALEUR ET DE MASSE
Plusieurs jeux d'equations macroscopiques sont proposes dans la litterature pour la formulation des transferts couples de chaleur et de masse en milieux poreux. La difference fondamentale entre ces propositions reside dans le nombre de variables d'etat utilisees pour decrire le milieu :
- Une seule : teneur en eau, X (ou une variable equivalente: saturation, potentiel hydrique...),
- Deux : X (ou equivalent) et temperature T (ou une variable equivalente: enthalpie,...),
- Trois : X (ou equivalent), T (ou equivalent) et pression gazeuse Pg (ou une variable equivalente)
Les possibilites offertes par des differents choix ont ete clairement exposees ailleurs (Perre 1999). Disons simplement ici que le modele a une variable, incapable de considerer le couplage chaleur/masse, doit absolument etre proscrit et que le modele a deux variables permet de representer correctement des configurations pour lesquelles la pression gazeuse interne n'a pas d'effet sur les transferts. Les modeles a trois variables, unique approche consideree dans ce travail, permettent de simuler les mecanismes complexes generes par la vaporisation interne.
Couplage
inexistant
<=?
Couplage
neglige
Petites
perturbations
Deplacements
importants
Deformations
importantes
Le jeu d'equations, tel que propose ci-dessous, provient principalement des travaux de Whitaker (1977, 1998) avec quelques changements qui ont permis de prendre en consideration l'eau liee et la pression gazeuse interne:
2.1 Conservation de l’eau
d
at
(ф1 Pi + ^pV +Pb)+v'(pivi + Pgvg + Pbvb) = v'(p|DeffVrov). [1]
2.2 Conservation de l’enthalpie
d
-jt(ф1Р1 hi +Фg(Pghv +Pgha) + Pbhb + Pohs -Ф|Р|) +
+ V-(pihiVi + (Pghv +P|ha)vg + hbPbvb ) = [2]
= V • (p| Deff (hvVrov + ha Vroa) + ^Veff VT) + Ф.
2.3 Conservation de l’air
yt (*g Pa ) + V • ( pg Vg ) = V • ( pg Deff Vroa ) . [3]
Dans cette equation, les vitesses des phases gazeuse et liquide sont exprimees par
la loi de Darcy generalisee:
Ti =-*Pi , Vcpi=VPi-PigVx for i = 1,g. [4]
n
Les grandeurs p et x sont respectivement le potentiel de chaque phase fluide et la hauteur comptee selon la gravite. La pression du liquide est reliee a la pression du gaz via la pression capillaire:
Pl = Pg - PC(X). [5]
2.4 Conditions aux limites
Pour une face d'echange convective, les conditions aux limites s'ecrivent:
Jw • n = kmcMvln I 1 x2
1 - xv
1 - x ' [6]
Je • n = kh(T - T<*> ) + hvkmcMv ln ( T—-2
V 1 xv
ou Jw et Je representent le flux total d'humidite et d'enthalpie, respectivement. x est la position comptee a partir de la face d'echange, selon la normale exterieure. La pression exterieure est egalement imposee sur la face d'echange.
Une description plus detaillee de ces equations, des hypotheses associees et des possibilites offertes peut etre trouvee ailleurs (Perre 1996, Perre and Turner 1996). Grace a la prise en compte de la pression interne et des effets induits, ce jeu d'equations s'est revele capable de traiter de nombreuses configurations : sechage convectif a haute temperature, sechage sous vide, sechage par micro-onde. Son utilisation est cependant souvent limitee par le manque de connaissance des proprietes macroscopiques de la plupart des milieux poreux. Par ailleurs, le lecteur doit savoir que le caractere macroscopique de la formulation entraine d'autres limitations. Toutes les variables utilisees dans les equations sont des valeurs moyennees sur le VER (Volume Elementaire Representatif), d'ou le terme de formulation macroscopique. Ceci suppose donc l'existence d'un tel volume, assez grand pour permettre la definition des grandeurs
macroscopiques, mais assez petit pour pouvoir negliger l'effet des gradients macroscopiques et des configurations de non-equilibre microscopique. Dans certaines configurations, le concept de pression capillaire, de permeabilite relative, de diffusion massique perdent leur signification macroscopique.
3 FORMULATION MECANIQUE
3.1 Le retrait
Pour beaucoup de materiaux, le depart de l'humidite s'accompagne d'une reduction de dimension: c'est le phenomene de retrait, a l'origine des contraintes, deformations et degradations mecaniques. Ce phenomene est formule par un champ de deformation
=ret
s qui, dans le repere lie aux directions principales du materiau, s'ecrit :
(A 0 0 ^
0 B 0
-ret
s = H(x)
0 0 C
[7]
with H(x) = •
if
X(x) > Xfsp
X(x) - Xfsp if X(x) < Xfsp
A, B et C sont des fonctions de la teneur en eau locale du milieu poreux. Elles representent le retrait dans chacune des directions principales du materiau.
3.2 Contraintes de sechage
Si le champ de deformation induit par le retrait n'est pas cinematiquement
=mec
admissible, un tenseur des deformations "mecaniques", s , apparait. La loi de comportement du materiau permet de relier ce tenseur des deformations au tenseur des contraintes. Dans le cas general, ce tenseur des deformations doit etre separe en deux
=elas
parties : une deformation elastique s , reliee au tenseur des contraintes et une
=mem
deformation s qui represente l'effet memoire du materiau et qui integre toute l'histoire qu'il a subie:
“mec _ elas “mem
s = s +s
[8]
Les equations de compatibilite geometrique s'appliquent au champ de deformation
=tot
s . Lorsque que le probleme est resolu en deplacements, le tenseur des deformations totales est obtenu par derivation du champ de deplacement, et les equations de compatibilite sont automatiquement respectees. Le champ de contrainte doit satisfaire l'equilibre mecanique local et les conditions aux limites. Finalement, la formulation complete du probleme s'ecrit :
stot = ^(Vu + VT u) over Q
CT + pf = 0 over Q
= = =tot =0
ct = a(s -s ) over Q
(on) = Tj on ГT. и; = Di = 0 on rD
. “0 “sh “mem
with s = s + s and Vi, Гd. ©Гт =Г
[9]
Remarques: Cette formulation statique suppose que les forces surfaciques et
volumiques satisfont l'equilibre mecanique global. Par ailleurs, l'unicite de la solution necessite une condition supplementaire : (Vi, mes(rD ) > 0 ). Sinon, la solution est
definie a un champ solidifiant pres.
3.3 Comment exprimer l’effet memoire?
=mem
C'est dans le champ de deformation qui contient l'effet memoire, s , que reside toute la difficulte du choix de la loi de comportement. Les travaux theoriques, numeriques et experimentaux ne manquent pas. Cependant, plus la loi est capable de representer des configurations variees, plus elle est complexe et plus elle est difficile a caracteriser experimentalement. Par exemple, la formulation generale du comportement viscoelastique fait intervenir toute l'histoire du materiau:
svisc = { J(t-o-dpdt' [10]
—to
Jijki(t) est le tenseur des complaisances viscoelastiques et t est le temps effectif. Experimentalement, la fonction de fluage est souvent choisie sous la forme de N elements de Kelvin places en serie (Martensson 1992, Mohager and Toratti 1993). Les parametres relatifs a chaque element doivent etre caracterises pour le produit considere en fonction de la temperature et de l'humidite, ce qui represente une tache considerable. Par ailleurs, d'autres aspects du comportement mecanique sont souvent necessaires pour rendre compte des observations (plasticite, effet mecano-sorptif, critere de degradation...). La difficulte du choix d'une loi de comportement est donc une tache ardue qu'il ne faut pas sous-estimer.
4 PROBLEMES LIES AUX CHANGEMENTS DE GEOMETRIE
Lorsque le milieu poreux est fortement deformable, les points materiels de la matrice solide peuvent subir des changements considerables de position durant le procede. Dans ce travail, une formulation lagrangienne est utilisee pour l'expression des flux de chaleur et de masse, tandis que le concept de configuration intermediaire est utilise conjointement a une formulation lagrangienne pour la formulation mecanique.
4.1 Formulation des transferts
La formulation proposee au paragraphe 2 suppose que la matrice solide est rigide. Pour formuler correctement les transferts de chaleur et de masse, il faut revenir aux notions de base (Bird et al. 1960). En fait, la diffusion massique consideree comme diffusion binaire dans un melange et la loi de Darcy se transforment assez facilement en coordonnees lagrangiennes (Perre and May 2001). Les bilans de conservation peuvent donc s'ecrire de fagon rigoureuse. La methode des volumes finis est d'ailleurs tres bien adaptee a cette formulation. Toutes les vitesses convectives doivent bien entendu s'ecrire comme vitesse relative par rapport aux surfaces des volumes de controle. surfaces liees a la matrice solide. Un bilan de masse doit etre ajoute pour la phase solide. Ce bilan est au demeurant fort simple a ecrire en coordonnees lagrangiennes, puisque tous les flux de solide exprimes sur les surfaces de controle sont nuls.
4.2 Formulation mecanique
Afin d'etudier le developpement des contraintes de sechage dans un milieu dont l'une des dimensions est grande par rapport a la section (section mediane d'une planche de bois ou d'une frite), une formulation en deux dimensions est suffisante. Neanmoins,
F t+dt = AF.F t
Fig. 2 Evolution entre la configuration initiale C(0) et les configurations C(t) and C(t+dt) correspondant a deux instants voisins
une formulation en "deplacement plan" doit absolument etre utilisee dans ce cas (Perre and Passard, 1995). Ceci n'empeche pas des grands deplacements d'introduire des non-linearite geometrique dans les calculs. Ce probleme est resolu par une strategie developpee pour le materiau bois, capable de suivre au cours du temps les directions d'anisotropie (Mauget and Perre, 1999). La loi de comportement est ecrite sur un systeme de coordonnees locales, qui tourne avec le solide. La rotation choisie dans cette formulation est la rotation R qui apparait dans la decomposition polaire de l'application lineaire tangente F. Ceci nous conduit a definir une configuration intermediaire notee C'(t). Contrairement aux configurations initiale et courante, la configuration intermediaire n'a de sens que localement. Le signe ' est utilise pour chaque tenseur exprime dans la configuration intermediaire. Dans cette configuration, les tenseurs sont invariants par rotation et satisfont la condition d'objectivite. Le transport des tenseurs entre C(t) et C'(t) s'ecrit simplement, par exemple pour le tenseur des contraintes de Cauchy et le tenseur des deformations:
ct ' = R ct R et s' = R s R, [11]
La decomposition de la deformation entre deux configurations voisines C(t) et C(t+dt) est detaillee sur la figure 2. L'ensemble de la demarche est explique dans un autre article (Mauget and Perre, 1999).
5 CARACTERISATION PHYSIQUE
Plusieurs dispositifs experimentaux ont ete developpes au LERMaB pour caracteriser les proprietes de transferts des milieux poreux : mesure de la diffusivite en regime permanent et en regime transitoire, mesure de la permeabilite a l'air, determination de la pression capillaire par porosimetrie mercure ou par traitement d'images a partir de vues microscopiques... Seules deux de ces techniques sont brievement exposees ci-apres.
5.1 Mesure de la diffusivite en regime permanent
La methode utilisee en regime permanent consiste a imposer de part et d’autre de l’echantillon la meme temperature et deux valeurs differentes d’humidite relative. La mesure du flux massique induit par cette force motrice permet de calculer le coefficient
de diffusion de vapeur d'eau. Cette technique est assez largement utilisee, elle est precise mais relativement lente.
Les mesures ont ete effectuees en utilisant le systeme d’etancheite PVC-CHA (Fig. 3) et un protocole de mesure bien etabli (Zohoun et Perre 1997). Une solution saline saturee regule l’humidite relative dans la partie inferieure. L'ensemble est place dans une enceinte climatique qui permet de controler l'humidite relative sur la face superieure et la temperature de l'ensemble. Le flux de vapeur traversant l'echantillon est mesure par le suivi de la masse de l'ensemble (solution saline+PVC-CHA+echantillon+verre). Seule la partie lineaire de la perte de masse en fonction du temps est exploitee pour calculer le flux.
Dans les conditions de nos essais, la masse volumique du gaz pg est pratiquement
constante et le flux est monodimensionnel. L'expression generale du flux de vapeur peut etre simplifiee (Zohoun et Perre 1997) pour obtenir l'expression suivante:
qm = - f Dv-dp1 [12]
f : diffusivite reduite
coefficient de diffusion de la vapeur d'eau dans le bois coefficient de diffusion de la vapeur d'eau dans l'air
3
pv(kg/m ): masse volumique de la vapeur d’eau; Dv(m2/s): coefficient de diffusion de la vapeur d’eau dans l’air.
Le facteur f permet de prendre en consideration la resistance a la diffusion occasionnee par le milieu poreux, comparee a une lame d’air de meme epaisseur. Nous l’appelons "diffusivite reduite".
5.2 Mesure de la permeabilite a l’air
Un dispositif experimental a egalement ete developpe afin de mesurer la permeabilite a l'air d'echantillons de milieux poreux. Le support a ete congu afin de pouvoir mesurer la permeabilite sur la meme geometrie que celle employee pour la mesure de diffusion (Fig. 4). La mise en place de l'echantillon s'effectue en faisant le vide entre la paroi en aluminium et la membrane en caoutchouc. Ce vide plaque la membrane contre la paroi et autorise une mise en place facile de l'echantillon. Durant la
Towards fluxmeter
Binding screw
Collar
І
1
Towards pressure gauge
Gas flux
її-
F
_ Rubber tube
(CHA)
Aluminum cylinder
(ALU)
Vacuum or overpressure
Sample
Gas inlet at controlled pressure
Fig. 4 Schema du dispositif ALU-CHA con^u pour les mesures de permeabilite (d'apres Agoua et Perre, 2002)
mesure, une surpression est appliquee a la place du vide. Cette surpression (2 bars en mesure de routine) assure une etancheite laterale parfaite. Le principe de mesure est tres simple : il consiste a mesurer, grace a un debitmetre massique, le flux de gaz qui traverse l'echantillon en reponse a la difference de pression totale imposee de part et d'autre de cet echantillon par un regulateur de pression precis a 0,1 mbar.
Pour ce parametre, la difficulte experimentale est de concevoir un appareil capable d'atteindre la tres large gamme de valeurs que l'on rencontre sur les milieux poreux. Le dispositif utilise ici est capable, sur une meme geometrie, de mesurer des valeurs de permeabilite allant de 10-11 m2 a 10-18 m2. Pour la determination de la permeabilite a la valeur de la pression atmospherique, la mesure est assez rapide: une douzaine d'echantillons peut etre caracterisee par demi-journee. En revanche, l'elaboration de la courbe de variation de la permeabilite en fonction de la pression totale, de la pression atmospherique a environ 50 mbar, est bien plus longue : une a deux journees selon l'echantillon. Avec la configuration experimentale, la loi de Darcy prend la forme suivante :
H-gQLP
Kg =
AДPP
[13]
Kg est la permeabilite au gaz (m3/m ou m2), |ag la viscosite dynamique du gaz (Pa-s),
Q le flux volumetrique (m3-s-1), L la longueur dans la direction du flux (m), P la pression a laquelle le flux est mesure (Pa), A l'aire de la section droite de l'echantillon (m2), AP la
difference de pression aux bornes de l'echantillon (Pa) et P la pression moyenne dans l'echantillon (Pa).
Quelques resultats
Les figures 5 et 6 montrent quelques resultats obtenus sur des echantillons prepares a partir de panneaux de MDF (Medium Density Fiberboard). Grace a la mesure de ces deux parametres independants (diffusivite et permeabilite) sur les memes
echantillons, l'evolution des proprietes de transfert dans le MDF lorsque la masse volumique du panneau augmente a ete clairement mis en evidence (Fig. 5). A l'aide d'un modele simple de pores, deux parametres morphologiques globaux peuvent etre extraits de ces mesures : le facteur de tortuosite et le rayon moyen equivalent des pores. Par ailleurs, nous savons que pour un gaz, le glissement moleculaire aux parois du milieu poreux augmente la permeabilite apparente du milieu (Siau, 1984). Cette augmentation depend de la taille des pores et du libre parcours moyen du gaz. C'est pourquoi la taille equivalente de pores peut etre calculee en exploitant la dependance de la permeabilite en fonction de la pression moyenne (Fig. 6). Dans une etude complete sur les panneaux de MDF, nous avons montre que ces deux fagons indirectes de determiner la taille des pores donne des resultats tres coherents (Agoua et Perre, 2002).
it
О
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.02
□Deuxieme ♦ Premier
—□—•—*-«a ♦
-*o-
♦♦
10
Permeabilite (10-13)
100
Fig. 5 Evolution concomitante de la permeabilite et de la diffusivite en fonction de la masse volumique de panneaux de MDF (Medium Density Fiberboard)
0.04
0
6.E-13
5.E-13
~ 4.E-13 <u 'c <u f5
Si 3.E-13
(Q
2.E-13
H <u Q.
1.E-13 0.E+00
0 10 20 30 40 50 60 70 80
PatmlP
Fig. 6 Evolution de la permeabilite a differents niveaux de pression (echantillon de MDF de 800 kg/m3 de fabrication industrielle)
MDF(Echantillon T1, densite = 0,806)
6 CARACTERISATION MECANIQUE
Nous avons vu que le comportement mecanique est generalement fort complexe : il depend du temps, de la temperature, de la teneur en eau et souvent de la direction materielle. Le choix d'une loi de comportement et la caracterisation des parametres de cette loi est donc particulierement delicate. Nous limitons l'expose au caractere viscoelastique, en gardant a l'esprit que des demarches similaires doivent etre conduites pour les autres aspects imposes par le comportement reel du materiau (plasticite, mecanosorption...). Afin de simplifier l'expression generale [10], les tests sont souvent
Temps (h)
Fig. 7 Schema de principe du dispositif experimental de fluage a haute temperature. Exemple d'evolution temporelle de la deflexion au cours d' essais de fluage thermo-active pour differentes essences de bois selon la direction radiale (d'apres Passard and Perre, 2001)
effectues selon une direction materielle. Pour simplifier le calcul du produit de convolution, l'effet du temps peut etre observe par des tests de fluage, des tests de relaxation ou des essais harmoniques menes a differentes frequences. Enfin, les effets de la temperature et de la teneur en eau ne peuvent etre apprehendes qu'en faisant varier ces parametres, de fagon discrete ou continue. Pour le comportement viscoelastique, la fonction fluage est souvent definie a l'aide d'une serie d'elements de Kelvin places en serie (Genevaux 1989, Martensson 1992, Mohager and Toratti 1993, Hanhijarvi 1999). Ce choix conduit a une expression mathematique facile a mettre en reuvre dans un code numerique:
N
n=1
1- exp
-t
[14]
La dependance en temperature ou en teneur en eau peuvent etre exprimes par le biais d'un temps materiel ou en changeant le temps caracteristique xn. L'activation thermique, par exemple, peut etre exprimee a partir d'une loi d'Arrhenius:
Storage modulus (MPa)
Storage modulus (MPa)
Fig. 8 Diagramme de Cole-Cole obtenu avec les quatre elements de Kelvin identifies a partir de differents essais de fluage. La reponse du modele est tracee pour trois niveaux de temperature (40°C, 60°C et 80°C) et deux etats hydriques (bois vert et bois a 8 %). La gamme de frequence s'etend de 3-10-5 a 1.5-10-3 Hz, ce qui represente des temps caracteristiques variant de 10 minutes a 10 heures
AWn est l'energie d'activation associee a l'element n.
Le comportement viscoelastique thermo-active du bois a ete caracterise pour plusieurs essences a l'aide de test de fluage a temperature lineairement croissante suivi d'un plateau a differentes temperatures. Le dispositif experimental utilise un autoclave (Fig. 7) qui permet de caracteriser le bois sature d'eau jusqu'a 125 °C (Passard and Perre 2001). Par exemple, dans les simulations presentees au paragraphe suivant, quatre elements de Kelvin thermo-actives ont ete utilises; Les parametres de ces elements ont ete identifies utilisant simultanement quatre essais effectues avec des cheminements temps-temperature differents (Perre and Passard, 2004). De plus, un effet d'hydro-activation a ete ajoute a partir de donnees de la litterature (Irvine 1984). Dans nos simulations, l'effet de la teneur en eau est obtenu en corrigeant la temperature comme suit:
La teneur en eau critique Xcr est egale a 0,18 (base seche). La figure 8 presente a l'aide d'un diagramme Cole-Cole le comportement viscoelastique ainsi defini.
La resolution numerique des jeux d'equations est assuree par le code TransPore, developpe par Patrick Perre, en collaboration avec Ian Turner pour la partie transferts. La methode des Volumes Finis (schemas structures ou non structures) est exclusivement utilisee pour traiter les equations de conservation de chaleur et de masse (Patankar 1980), tandis que la methode de Elements Finis a ete retenue pour traiter les equations propres a la mecanique des solides (Zienkiewicz and Taylor, 1989). Ce choix permet de tirer le meilleur des deux mondes : les volumes finis sont tres performants pour traiter les equations de conservation et les termes de convection/diffusion, tandis que les elements finis permettent de tirer parti des nombreux acquis de la simulation en mecanique du solide.
La figure 9 montre un exemple de maillage d'elements finis et des volumes de controle construits a partir de ce maillage. Il s'agit d'un schema non-structure, dont le principal interet est la versatilite geometrique. Ici, le maillage a ete raffine pres des faces d'echange, de fagon a ameliorer la precision dans les zones ou les gradients sont importants. Dans le cas de milieux heterogenes, le raffinement peut avoir lieu aux endroits de fort gradient spatial des proprietes. Ce type de maillage permet aussi de representer n'importe quelle geometrie (la morphologie d'un milieu poreux par exemple).
Les equations non-lineaires et couplees sont traitees par une methode de Newton-Raphson. Les systemes lineaires sont resolus par des algorithmes ecrits sur des matrices creuses. La methode du double gradient conjugue stabilise avec preconditionnement par blocs est utilisee.
Les contraintes et deformations creees par le retrait sont resolues par Elements Finis. En petites perturbations, aucun effet geometrique n'est pris en consideration. Dans le cas de non-linearites geometriques, la rotation est identifiee a partir de l'application lineaire tangente pour calculer la configuration intermediaire. La formulation lagrangienne actualisee est alors mise en place. Dans le cas du couplage complet entre transferts et mecanique, les volumes et faces de controle sont recalcules a chaque iteration a partir de la nouvelle configuration. Les champs de variables doivent alors etre recalcules sur le nouveau maillage de fagon a respecter les bilans de masse et d'energie. En particulier, la densite du solide, la porosite, la teneur en eau a la saturation sont actualises. Ce couplage est maintenu jusqu'a la fin du procede.
[16]
7 METHODE NUMERIQUE
Fig. 9 Exemple de maillage non-structure. Les volumes de controle (en bas) sont construits a partir des elements finis (en haut).
8 QUELQUES EXEMPLES DE SIMULATION
8.1 Simulation 3-D du sechage a haute temperature d'une planche de bois
Ce premier exemple montre les possibilites offertes par le code TransPore du point de vue des transferts couples de chaleur et de masse. La figure 10 donne un exemple de simulation (2 heures de sechage) lors d'un sechage convectif a haute temperature.
Fig. 10 Simulation 3-D de sechage a haute temperature (Tseche: 140°C, Thumide : 80°C) d’une planche de bois. Le huitieme de la planche est represente, faces d’echange devant, en haut et a droite; Humidite, temperature et pression calculees a 2 heures de sechage
La description tridimensionnelle associee a une formulation performante de transferts permet de montrer comment la montee en pression interne (effet de la temperature) s'exprime en terme de transferts de liquide dans la direction longitudinale du bois, direction fortement privilegiee par l'anisotropie. Dans cet exemple, on voit tres bien comment la temperature, qui monte a partir du bord lateral deja sec de la planche, induit une montee en pression dans la meme zone. Une region existe alors pour laquelle le gradient de pression est important et la teneur en liquide est suffisante pour un ecoulement en regime de Darcy. Ces mecanismes couples expliquent la zone saturee d'eau qui apparait en bout de planche, a mi-epaisseur dans la partie droite. Une analyse plus detaillee de ces resultats est presentee ailleurs (Perre and Turner 1999).
8.2 Simulation 2-D du sechage dissymetrique d'une planche de bois
Dans ce troisieme exemple, la face inferieure d'une planchette de bois a ete impermeabilisee de fagon a obtenir un sechage dissymetrique. Le sechage n'intervient que sur la face superieure et sur la petite face laterale. Le champ de deformation du au retrait est donc desequilibre, ce qui induit une courbure de la section. En fonction de la rapidite du sechage et de l'epaisseur de la planchette, cette courbure peut etre importante (Fig. 11). Il est ainsi necessaire d'effectuer les calculs en grandes deformations (ou au moins en grands deplacements). Cependant, meme si les rotations sont importantes, la deformation pure reste modeste, de l'ordre de grandeur du retrait du bois. Il n'est donc pas absolument necessaire de prendre en compte ces modifications de forme dans le calcul des transferts couples. Grace a ce type de simulation, il est possible d'analyser des configurations experimentales assez complexes.
8.3 Reduction des contraintes par un choix judicieux des conditions de sechage
La simulation complete, physique et mecanique, du sechage du bois a base de modele cognitif alimentee par une caracterisation experimentale des proprietes physiques et rheologiques valables sur une large plage de variation des parametres temperature et teneur en eau permet d'utiliser le modele comme outil operationnel d'optimisation de la conduite du sechage. La figure 12 presente l'aboutissement d'une
Moisture: 0.05 0.09 0.14 0.18 0.22 0.26 0.31 0.35
30 hours
Fig. 11 Deformation d'une section de planche lors d'un sechage disymetrique. Une formulation en grands deplacements est necessaire ici.
a)
о s
■a о та
n
Q.
Time (hours)
b)
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■o
e
та eg
eg
Q_
Time (hours)
c)
О
e
га
e
>
<
Time (hours)
Fig. 12 Teneur en eau moyenne (MC) et contrainte a differentes positions (0,^) calculees en fonction du temps pour trois conduites de sechage contrastees:
a) Ts = 40°C, Th = 35°C, b) Ts = 80°C, Th = 60°C et c) Ts = 80°C, Th = 76°C
reflexion visant a jouer sur l'activation thermique et hydrique du comportement rheologique pour reduire significativement le niveau de contrainte de sechage tout en reduisant le temps de sechage. Le premier cas est representatif du sechage traditionnel, le deuxieme utilise seulement l'activation thermique tandis que le dernier met a profit a la fois l'activation thermique et l'activation hydrique. Ce principe est aujourd'hui utilise a l'echelle industrielle pour le sechage des feuillus tropicaux et protege par un brevet. Sur des sechoirs de 100 m3 de bois, il permet de diviser par deux le temps de sechage a qualite egale, voire meilleure.
Simulation 2-D en grandes deformations d’une frite de pomme de terre
Ce cinquieme et dernier exemple presente une configuration pour laquelle la prise en compte du couplage complet entre transferts et mecanique est riche d'enseignements. Le produit seche ici est de la pomme de terre. Ce produit, constitue de cellules vegetales fraiches et non lignifiees, a une teneur en eau initiale tres elevee (400 a 800 % base seche) et un retrait considerable. La perte d'eau s'accompagne d'un collapse tres important: sur une large plage de teneur en eau, la perte de volume correspond exactement au volume de l'eau retiree. La forme de l'echantillon, une frite classique, permet une resolution 2-D en deformations planes generalisees (Fig. 9).
Fig. 13 Configuration geometrique de ce quatrieme exemple. Domaine de calcul 2-D associe
0 200 400 600
Teneur en eau (%)
Fig. 14 Cinetiques de sechage calculees grace a un couplage complet pour differentes valeurs du coefficient de diffusion (suppose ici independant de la teneur en eau)
136 ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2004. Том 10. № 1А. Transactions TSTU.
Fig. 15 Forme et teneur en eau d'une frite de pomme de terre durant le sechage (1, 2, 5, 10, 25 et 40 heures de sechage). Diffusivite massique = 3-10"10 m2/s
Teneur en eau J Teneur en eau
La figure 10 montre les cinetiques de sechage calculees lorsque le couplage complet est pris en consideration (Perre and May, 2001). Ces cinetiques sont tout a fait inhabituelles: la premiere phase a decroissance lineaire de la vitesse de sechage est en fait la premiere phase de sechage, phase reputee a vitesse de sechage constante. Ce paradoxe apparent est simplement du a la prise en consideration de l'evolution de la surface d'echange lorsque le sechage progresse. Bien que la surface du produit reste saturee d'eau libre, la vitesse de sechage diminue. Grace a des dispositifs experimentaux performants, des cinetiques analogues ont ete observees experimentalement (May and Perre 2002). La deuxieme phase de sechage ne commence veritablement qu'a la fin de cette periode, avec une decroissante plus accentuee de la vitesse de sechage. Bien entendu, la faculte de migration de l'humidite dans le milieu poreux (valeur du coefficient de diffusion suppose, par souci de simplification, independant de la teneur en eau) a un impact direct sur la duree de la premiere phase de sechage.
Afin de mieux imaginer la variation simultanee du champ de teneur en eau et de la forme de l'echantillon, ces informations sont regroupees sous la forme de vues en perspective (Fig. 11).
CONCLUSION
Ce texte a rappele les differentes formulations physiques des phenomenes de transferts de chaleur et de masse et des aspects mecaniques qui interviennent durant le sechage de milieux poreux. Le traitement numerique de ces equations implique le choix du degre de coulage qui sera pris en consideration durant le calcul. De la pertinence de ce choix resulte la pertinence des resultas simules. Enfin, avant de pouvoir proceder a la resolution numerique, le besoin crucial, la difficulte et l'apport de la caracterisation des proprietes physiques et mecaniques du materiau doivent rester bien presentes a l'esprit.
Du point de vue de la simulation, l'ensemble formulation/caracterisation/outil numerique est tres performant et fort prometteur. Des phenomenes nouveaux ont deja ete observes et expliques, des nouveaux procedes peuvent etre apprehendes et des procedes existants ameliores. Du point de vue du calcul numerique, une etape reste a franchir : la prise en compte du couplage de maniere implicite, par resolution directe d'un systeme a 5 ou 6 inconnues (selon que l'on est en 2-D ou en 3-D) par nreud du maillage. Cette resolution serait a meme de traiter tres efficacement des configurations pour lesquelles le changement geometrique a un effet direct sur les transferts internes (exsudation par exemple). La prise en consideration de la variabilite naturelle des produits d'origine biologique nous conduit aussi a envisager un macro-modele qui, calculant plusieurs dizaine d'echantillons en parallele, permettrait une reelle "optimisation" des procedes.
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Сушка деформируемых материалов: формулировка, физико-механические характеристики, моделирование и имитация
П. Перре
Национальная школа инженерии сельского хозяйства, вод и лесов, Нанси, Франция
Ключевые слова и фразы: диффузия влаги; усадка материала; сушка древесины; сушка пищевых продуктов.
Аннотация: Рассматриваются физическая формулировка переноса в сыпучих средах и механическая формулировка напряжений и деформаций, возникающих при усадке материалов. Эти формулировки приводят к многочисленным физическим и механическим характеристикам, без которых моделирование не имеет познавательного смысла. На примере древесных материалов и пищевых продуктов, подверженных сильной деформации, проиллюстрированы основные этапы характеристик и возможности прогнозирования, предоставляемые численным моделированием.
Drying of Deforming Materials: Formulation, Physical-Mechanical Characteristics, Modeling and Simulation
Key words and phrases: moisture diffusion; material shrinkage; wood drying; foodstuff drying.
Abstract: Physical formulation of transfer in granular media and mechanical formulation of tension and deformation occurring at material shrinkage are considered. These formulations lead to numerous physical and mechanical characteristics, without which modeling has no cognitive sense. The example of wooden materials and foodstuffs subject to strong deformation show basic characteristics and possibilities of forecasting provided by numerous modeling.
Trocknung der deformierenden Materialien: Formulierung, physikalisch-mechanische Charakteristiken,
Modellierung und Imitation
Zusammenfassung: Es werden die physikalische Formulierung der
Ubertragung in den Schuttmedien und die mechanische Formulierung der beim Austrocken entstehenden Spannungen und Deformierungen betrachtet. Diese Formulierungen fuhren zu vielen physikalischen und mechanischen Charakteristiken, ohne deren die Modellierung keinen Erkennungssinn hat. An Beispiel der stark deformierten Holzmaterialen und Lebensmittel sind die Hauptetappe der Charakteristiken und die durch die Zahlmodellierung angegebenen Moglichkeiten der Prognostizierung illustriert.
