CC BY
24
УДК 517.956
СУЩЕСТВОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО СМЕШАННОГО ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
C-А. Алдашев
Актюбинский государственный университет имени К.Жубанова, ул. Братьев Жубановых, 263, 030000, г. Актобе, Казахстан, e-mail: aldash51@mail.ru
Аннотация. В работе показано, что существует счетное множество собственных функций спектральной задачи Трикоми для многомерного смешанного гиперболо-параболического уравнения.
Ключевые слова: задача, сферические функции, гиперболо-параболические уравнения, спектр.
Теория краевых задач для гиперболо-параболических уравнений на плоскости хорошо изучена ([1]). Насколько нам известно, их многомерные аналоги исследованы мало ([2]).
Пусть D - конечная область евклидова пространства Ет+1 точек (x1, ....,xm,t), ограниченная в полупространстве t > 0 конусами |;х| = t, |;r| = 1 — t, 0 < t < а при t < 0 -цилиндрической поверхностью Г = {(x,t): |x| = 1} и плоскостью t = to < О, где |x| —длина вектора x = (x1, ...,xm).
Обозначим через D+и D- части области D, лежащие соответственно в полупространствах t > О и t < О. Часть конусов |x| = t, |x| = 1 — t, ограничивающих области D+, обозначим через So и S1 соответственно.
Пусть S = {(x, t) : t = О, О < |x| < 1} , Г0 = {(x, t) : t = О, |x| = 1}.
В области D рассмотрим многомерное смешанно гиперболо-параболическое уравнение
\ Axu — utt, t > О, m
Yu = \ Axu — u„ t < О, (1)
где y- действительное число, Ax— оператор Лапласа по переменным x1, ....,xm,m > 2.
Следуя ([1]), в качестве многомерной спектральной задачи Трикоми рассмотрим следующую _
Задача Т7 Найти решение уравнения (1) в области D при t ф 0 из класса С (1ДГ0) П C1 (D) П C2 (D+ U D-), удовлетворяющее краевым условиям
u
= О, u
So
О. (2)
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат хі, ....,хт,і к сферическим
г, в^ ..., вт-1, і, г> 0, 0 < 91 < 2п, 0 < ві < п, і = 2, 3,....,т — 1.
Пусть {Уа,ш (в)} —система линейно независимых сферических функций порядка п, 1 <
к < кп, (т — 2)!п!кп = (п + т — 3)!(2п + т — 2), в = (в1,..., вт-1).
Через (г) , (г) обозначим коэффициенты разложения рядов по сферическим функ-
циям У£т (в) соответственно функций т (г, в) = и (г, в, 0), V (г, в) = и* (г, в, 0).
Имеет место
г
Теорема. Задача Т7 для каждого 7 имеет счетное множество собственных функций. Доказательство. В сферических координатах уравнение (1) в области имеет вид
т — 1 1
игг -/ / г — —— д 11 — / /// — 'уи. (о)
г г 2
При і ^ —0 на Б получим функциональное соотношение между т (г, в)и V (г, в) вида
т — 1 1
тгг Н-----Тг----ОТ -7т = и (г, 61), (4)
г г 2
т-1 1 д ( д \
6 = - Е д. в. щ 'в‘щ) • 91 = ^ > 1.
Известно ([3]), что спектр оператора ^состоит из собственных чисел Ап = п (п + т — 2) , п = 0,1,..., каждому из которых соответствует кп ортонормированных собственных функций Упкт (в).
Искомое решение задачи Т7 в области будем искать в виде
сю кп
(г,в,і) = ^5^ иП (г,і) УП.т (в) (5)
п=0 к=1
где иП (г, £) -функции, подлежащие определению.
Подставляя (5) в (3) и (4), используя ортогональность сферических функций Уг,т (^) ([3]), будем иметь
^гг + 1^у^Тпг - - 1^1 = "п (О , 0 < Г < 1, (7)
при этом первое условие краевого условия (2) запишется в виде
и„ (г, г) = 0, о < г < -, А: = 1, А:„, /?. = 0, 1, .... (8)
В (6) - (8) произведя замену переменных иП (г, і) = г(1 т)/2иП (г, і) и полагая £
__ г-К
2 ’ г_*
1] = ~2~ соответственно получим
Хп
(£ + чУ
т к к ґп к к / л \
Ьип = иП£П + ——-2 ип = 7 и„, (9)
4£ + - 7Т*- = (5), 0<ї<і (10)
«£({><>) = о, о<€< і, (11)
< (О = (Ч?т~"А т„‘ (25), ^ (5) = (20,т~1,/2 (25)
А,г = ((т — 1) (3 — ?п) — 4А„)/4, к = 1, кп, п = 0,1,...
Используя общее решение уравнения (9) ([4]), в [5] показано, что решение задачи Коши для уравнения (9) имеет вид
К
(6 V) = \тпт£> л) + \тп{£)Я{£,£;£, л) + \ I [^(6)Д(6,6;^ >?)-
п
5 п
(12)
I о
где Я (£ь Щ] £, ц) = Рр (с) = Рр 0 ([6]), (л) - функция Лежандра, ц = п + (т~3), а
(;і-чі)($-ч)+2($ічі+$ч)
(їі+’/і)(ї+ч)
- функция Римана уравнения ЬиП =
А
Ш
£1 = П1
N^ - нормаль к прямой £ = п в точке (£1,^1), направленная в сторону полуплоскости П < £.
Из уравнения (12) при п = 0 с учетом (11) имеем £ £ ,
0 = —^ + 71 /^<&)р"(|)<г&(|)^ °<£<5- (13>
0
Далее из (10), (13) будем иметь
тП (£)
+ 71 / + 'Г(Ы “ 7Т" (Ы)Р" (I) ^ ^ (I)
^1,
(14)
0 < £ < -.
4 2
Решение уравнения (14) будем искать в виде
г,;'ю=^. о<с<і
(15)
1 < в - постоянная, пока неизвестная. Подставляя (15) в (14), получим
5
1 + А„ + \/2 (/3 — 1) £ 1^4 2Р^ ) й£і
0
т / м р„ (|) <г&
Из формулы ([7])
(г) г7
7 > —1,
0
2
где Г(г)- гамма-функция, вытекает, что если в = ^ — 2в, в = 1, 2,..., то
5 5
/ і?~2р„ (І4) «і = / И 4е1 = о,
2 р I ^
,1 , ^ ,
00
откуда следует, что равенство (16) имеет место У7-
Далее, подставив (15), (10) в (12), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода
5 п
иП(£,П)= 7 / / иП(£1,П1)Рм(г)^£1^П1 + ^(£,П)
(17)
1 о
2
где
/„(£, '?) = + /) + 75 / ( {Р (Р - 1) + Ап) ЄГ - 7?і
€?~1(€-ч) р/ 72(ї+ч) і-1
Учитывая оценки ([3])
к„ < Спт_2,
п
Єі(Є+ч)
р.
Єі(Є+ч)
(18)
}^£1,в = ^ — 2в, в = 0,1,....
др
-----¥к (в)
двР п,т )
< Сп™ р+1, С = сопві,
] = 1, т — 1,р =0,1,нетрудно показать, что ряд
ГО кп
Т (г, «) = £ £ П-‘гв+(1-т)/2Ук,т («)
п=1 к=1
сходится абсолютно и равномерно, если / > ^р, /3 = ц — 2в > ^т,~^.
(19)
Следовательно, функция
и (г
оо кп
(г в, і) = ^ ^ п_1г(1_т)/2иП (^ і) Уп,т (в)
п=1 к=1
(20)
является решением задачи (3), (2), (19) в области £>+, где функции (г, £) , к = 1, кп, п =
0,1, ...,находятся по формуле (17) и принадлежат классу С (г>+^ П С1 (И+ и 5) П С2 (-0+) Таким образом, мы пришли в области Д- к спектральной задаче для уравнения
Джи — и* = 7и
с условиями
и
= т ( г,
и
(21)
(22)
Решение задачи (21), (22) будем искать в виде (5). Подставляя (5) в (21), будем иметь
Л
(23)
0
Г
При этом краевое условие (22) имеет вид
(г, 0) = ??“ггЛ (1, £) = 0, к = 1, кп, /г = 1, 2,.... (24)
Решение задачи (23), (24) будем искать в виде
иП М)= Пкп (г) Тк (*). (25)
Подставляя (25) в (23), с учетом (24), получим
Я-пгг ^--------2^™ (А* — Т)^»г — 0 < Г < 1, (26)
R (0) = 0, R (1) = 0, (27)
Tk + = 0. (28)
Ограниченным решением задачи (26), (27) является функция ([8])
(г) = ^ \frasJv (fJ^r), 0 < г < 1, (29)
s=1
= п + т^-, Jv (z) - функция Бесселя первого рода, ц”—ее нули, ц = 7 + (^) , а решением уравнения (28) является
Tn,s(t) = exp (- (7 + (^^)2) t) . (30)
Далее из (25), (29), (30), с учетом (24), имеем
n~lr^ asJv (nv8r), 0 < г < 1. (31)
s=1
Разлагая функцию г13 2 в ряд Фурье-Бесселя ([9]), найдем из (31) коэффициенты as
1
2n-1 Г 1
“• = ,'Г2 f 5 <%• (32)
lJv+iКЯ 0
при этом —положительные нули функции Бесселя JV (z), расположенные в порядке возрастания.
Таким образом, из (25), (29), (30) следует, что решением задачи (21), (22) в области D- является функция
ГО kn ГО
U (г, М) = а*Г^ Jv (№) еХР (-(7 + Ш2У) Уп,т (#) , (33)
n=1 k=1 s=1
и принадлежит классу C (D-\r0) П C1 (D- U S) П C2 (D-) , где as определяются из (32).
Следовательно, задача TY для каждого 7 имеет собственные функции вида (20) и (33), причем, в силу (18), (32), их - счетное множество.
Теорема доказана.
Литература
1. А.М. Нахушев. Задачи со смещением для уравнений в частных производных, М: Наука, 2006 - 287с.
2. В.Н. Врагов. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики // Новосибирск:НГУ, 1983 - 84с.
3. С.Г. Михлин. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения.
М : Физматгиз, 1962-254 с.
4. А.В. Бицадзе. Уравнения смешанного типа. М : Изд-во А Н СССР, 1959-164 с.
5. С .А. Алдашев. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. Алматы; Гылым, 1994 - 170с.
6. E.T. Copson. On the Riemann-Green function. // J.Rath. Mech and Anal., 1958, vol 1, p.324-348.
7. Г. Бейтмен , А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Т.1-М: Наука, 1973 -294с.
8. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М: Наука, 1965 - 703с.
9. Г. Бейтмен , А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Т.2 -М: Наука, 1974 -295с.
THE EXISTENCE OF EIGENFUNCTIONS OF THE SPECTRAL TRICOMI PROBLEM FOR A MULTI-DIMENSIONAL MIXED HYPERBOLIC-PARABOLIC EQUATION
S.A. Aldashev
Kh. Zhubanov Aktubinsk State University,
Br. Zhubanovykh str., 263, Aktobe, 030000, Kazakhstan, e-mail: aldash51@mail.ru
Abstract. In work is shown that exists the counting ensemble own function spectral problem of Tricomi for multivariate mixed hyperbolic - parabolic equation.
Keywords: problem, spherical functions, hyperbolic - parabolic equations, spectrum.
