Корректность задачи Дирихле для вырождающихся многомерных гиперболо-параболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 4, С. 3-8

УДК 517.956

КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

С. А. Алдашев

В работе показано, что задача Дирихле в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболо-параболических уравнений однозначно разрешима.

Ключевые слова: задача Дирихле, гиперболо-параболическое уравнение, цилиндрическая область, сферические функции.

Теория краевых задач для вырождающихся гиперболо-параболических уравнений на плоскости хорошо изучена [1]. Насколько нам известно, их многомерные аналоги исследованы мало [2].

В данной работе для вырождающихся многомерных гиперболо-параболических уравнений доказано, что задача Дирихле в цилиндрической области однозначно разрешима, а также получен критерий единственности регулярного решения.

Пусть Оав — цилиндрическая область евклидова пространства Em+i точек (xi ,...,xm, t), ограниченная цилиндром Г = {(x,t) : |x| = 1}, плоскостями t = a > 0 и t = в < 0 гДе |x| — длина вектopa x = (xi,..., xm).

Обозначим через Оа и Ов части области О „в, а через Га, Г^ — части поверхности Г, лежащие в полупространствах t > 0 и t < 0 aa — верхнее, a a в — нижнее основание области

Пусть далее S — общая часть границ областей Оа, О в, представляющая множество {t = 0, 0 < |x| < 1} в Em-

В области Оав рассмотрим вырождающиеся смешанные гиперболо-параболические уравнения

0 í g(t)AxU - ut, t> 0, (1)

[p(t)Axu - utt, t < 0,

где g(t) > 0 при t > 0 g(0) = 0 g(t) G C([0, a]) p(t) > 0 при t < 0 p(0) = 0 p(t) G

C([в, 0]) П C2((в, 0)), а Ax — оператор Лапласа по переменным x1;..., xm, m ^ 2.

В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат xi,..., xm, t к сферическим г,в i ,...,dm-1, t,r ^ 0 0 < di < 2п, 0 < di < п, i = 2, 3,... ,m - 1 в = (0Ь... ,0m-i).

Задача 1 (задача Дирихле). Найти решение уравнения (1) в области Оав при t = 0 из класса С{£1ар) П C2(Q,a U удовлетворяющее краевым условиям

u\u = ^i (r, в), u|r = ^i (t,e), (2)

i и а 1 г а

uL = ^2 (t,e), U \ = ^2 (Г,в) (3)

© 2014 Алдашев С. А.

при этом (1,0) = (а, в), фг(О,0) = ф2(0,0), <2(1,0) = ф2(в,0).

Пусть {УП то(0)} — система линейно независимых сферических функций порядка п, 1 ^ к ^ кп, (т — 2)! п! кп = (п + т — 3)! (2п + т — 2) Жг(5), I = 0,1,..., — пространства Соболева.

Лемма 1 [3, с. 142]. Пусть f (г, 0) £ Ш2(5). Если I ^ т — 1, то ряд

те fe.,,

fíf^wí In

n=0í=1

/ M) = ££ /2 (r)Yk (4)

а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка р ^ I — т + 1, сходятся абсолютно и равномерно.

Лемма 2 [3, с. 144]. Для того чтобы f (г, 0) £ Жг(5), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам

те kn

l/o1(r)| < Cl, |/n(r)|2 < C2, C1,C2 = const .

n=1í=1

Через ^2n(r) ^ín(t)j ^2n(t) обозначим коэффициенты разложения функций

(r, 0) ^>2(r, 0), (t,0), ^2(t, 0) в ряд вида (4) соответственно.

Теорема 1. Если ^1(r, 0), (r, 0) G W2(S), ^1(í,0) G W2(ra), ^2(í,0) G W(Гв),

l > и

cos = 0, s = 1, 2,..., (5)

где pLsn — положительные нули функций Бесселя первого рода J , (m-2) (г), ¡3' =

' ' ' гаН J

//з л/PÍO то задача 1 однозначно разрешима.

< В сферических координатах уравнение (1) в области имеет вид

( m — 1 1 , \

git) urr Н--ur--к ou — щ = U,

r r2

6(.) = - V_i_^

U" Hi>:-U'" * ] »;<»>; V

g1 = 1, gj = (sin 01... sin 0j-1)2, j> 1.

Известно [3, с. 144], что спектр оператора $ состоит из собственных чисел An = n(n + m — 2) n = 0,1,... , каждому го которых соответствует kn ортонормированных

собственных функций ^^(0).

Так как искомое решение задачи 1 в области íla принадлежит классу C(Q,a)C]C2(Q,a), то его можно искать в виде

п(г,М) = ££ иПМ)1П;т(0), (7)

п=0 к=1

где иП(г, ¿) — функции, подлежащие определению.

Подставляя (7) в (6), используя ортогональность сферических функций Угт(0) И; будем иметь

g(¿) -^пг — —— ^пь = к = 1,..., кП] п = 0,1,..., (8)

при этом краевое условие (3), с учетом леммы 1, запишется в виде

иП(г,а)= <1jr), й£(М) = Vfra(i), k = 1,..., kn, n = 0,1,... (9)

В (8) и (9), произведя замену v^(r,t) = u^{r,t) — получим

git) (v*rr + - - vknt = fn(r, t), (io)

иП(г,а)= <1ra(r), иП(1,^)=0, k = 1,...,k„, n = 0,1,..., (11)

fair, t) = VL + V΄(r) = v\n{r) - tâM-

j (1 —m) 7

Произведя замену ö„(r,i) = r 2 u„(r,t), задачу (10), (11) приведем к следующей задаче

Lvkn = g(t) (vknrr + ^v^j - vknt = fk(r, t), (12)

иП(г,а)= (r), un(1,t) =0, (13)

- {{m -1)(3 - m) - 4A„) fe (i-m) (i-m) k

K = --^—---, fn(r,t)=r 2 /„(r,i), ¥>ïra(r)=r 2 cpfn(r).

Решение задачи (12), (13) ищем в виде t) = и kn(r,t) + u2n(r,t), где и ^(r, t) — решение задачи

LU kn = /га (r, t), (14)

и in(r, a) = 0, и kn(1,t) = 0, (15)

a ukn (r, t) — решение задачи

Lukn = 0, (16)

u2fcn(r,a)= <n (r), uL(1,t)=0. (17)

Решение вышеуказанных задач, аналогично [4, с. 83], будем искать в виде

те

un(r,t) = £ Rs(r)Ts(t), (18)

s=1

при этом пусть

те

/га (r, t) = J] as>n(t)Äs(r), <kn (r) = ^ bs,nRs(r). (19)

те

/ra(r,t) = X) as,n(t)Rs (r), -

s=1 s=1

Подставляя (18) в (14) и (15), с учетом (19) получим

Rsrr + д* + fiRs = 0, о < г < 1, (20)

Rs(1) = 0, |Rs(0)| < œ, (21)

Tst + ^g(t)Ts(t) = -as>n(t), 0 < t < a, (22)

Ts (a) = 0. (23)

Ограниченным решением задачи (20), (21) является [5, с. 404]

Я8(г) = у/?Мц8,пг), (24)

п+(т—2) 2

где V = 2—^ ^ = К,п-

Решением задачи (22), (23) будет

t а £

7 ,п(4) = (вхр ( — 5(0 ( У а5 ,п(о(вхр ^ , п\ 5(6) ^ (25)

0 í 0

Подставляя (24) в (19) получаем

те

Г 2/пМ) = г = ХХпЛОЧпг)' 0 < г < 1. (26)

5=1 5=1

Ряды (26) — разложения в ряды Фурье — Бесселя [6, с. 83], если

1

аа,п(г) = 2[Л+10Ч«Г2/ (27)

0

1

Ь3,п = 2[Л+1(^>га)]-2 I лДфк1п(ОМ^,пО (28)

0

где , п, 5 = 1, 2,..., — положительные нули функций Бесселя /(г), расположенные в порядке возрастания их величин.

Из (18), (24), (25) получим решение задачи (14), (15) в виде

те

<М) = £ у/^Тз,пШ^з,пГ), (29)

5 = 1

где а? п(£) определяется из (27).

Далее, подставляя (18) в (16), (17), с учетом (19), получаем задачу

+ ^2,п0(*№ = 0, 0 < I < а, 75 (а) = Ъ3,п,

решением которой является

(30)

7 , п(4) = Ъ5 , п вхр ^^ ,nJ 0(0 ^ •

í

Из (24), (30) получим

те а

= £ьв>пл/г^ехр^>гау (31)

5=1 í

где Ъ5,п находится из (28).

Следовательно, единственным решением задачи (1), (2) в области является функ-

ция

те кп

п=0 к=1

(32)

где икп(г,■£), икп(г, ¿) определяются из (29), (31).

Учитывая формулу [6, с. 20] 2/(г) = ^—(г) — (г), оценки [3, с. 147] и [4, с. 654]

1 ( \ 2 ( п п Ш = соя (г--«/--

)+ о

,3/2

V ^ 0,

|кп I ^ с1"

т—2

яЬ

— Ук (в)

1+1, ] = 1,...,т-1, ¿ = 0,1,

а также леммы 1 и 2, ограничения на заданные функции (¿,0), ^(г, 0), можно показать, что полученное решение (32) принадлежит классу С(Па) П С2(^а). Далее, из (29)-(32) при £ ^ +0 имеем

и

те кп

(г,0,0) = т(г,0) = ЕЕтпк(г)Гпкт(0),

п=0к=1

£

тк (г) = ^кп(о) + Е г

(2-т) 2

5 = 1

0

а^пЮ ехр ^ / ) ^

(33)

а

+ б^.п еХР (^2,п J ^

| (т — 2) (Цз.пГ)-

Из (27)—(29), (31), а также из лемм 1 и 2 вытекает, что г(г, 0) £ И^й"), I > ^гр. Таким образом, учитывая краевые условия (3) и (33), в области ^^ приходим к задаче Дирихле для многомерного уравнения Чаплыгина

р(£)Джи — ий = 0

(34)

с краевыми условиями

= т (г,0) и1Гв = ^М^ = ^2(г,0)-

(35)

Таким образом, справедливость теоремы 1 следует из теоремы 2, доказанной в [7, 8]->

Теорема 2. Если г(г, 0), (р2{г,в) £ Ш^в), £ И^О^д), I > и выполняется

соотношение (5), то задача (34) (35) в классе С(Пв) П С2(^в) однозначно разрешима.

и

1

2

Литература

1. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных.—М.: Наука, 2006.— 287 с.

2. Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики.—Новосибирск: НГУ, 1983.—84 с.

3. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения.—М.: Физматгиз, 1962.-254 с.

4. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.—М: Наука, 1966.—724 с.

5. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.—М.: Наука, 1965.— 703 с.

6. Вейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2.—М.: Наука, 1974.—297 с.

7. Алдашев С. А. Корректность задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Чаплыгина // Владикавк. мат. журн.—2013.—Т. 15, № 2.—С. 3-10.

8. Алдашев С. А. Корректность задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений с оператором Чаплыгина // Научные ведомости БелГУ. Математика и физика.—2012.—№ 5(124), вып. 26.—С. 12-25.

Статья поступила 19 марта 2012 г. Алдашев Серик Аймурздевич,

Казахский национальный педагогический университет им. Абая, зав. кафедрой фундаментальной и прикладной математики КАЗАХСТАН, 480100, г. Алматы, пр. Достык, 114 Е-шаИ: [email protected]

CORRECTNESS OF DIRICHLET PROBLEM FOR DEGENERATING MULTI-DIMENSIONAL HYPERBOLIC-PARABOLIC EGUATIONS

Aldashev S. A.

Unique solbability to Dirichlet's problem in the cylindrical domain for degenerated multidimensional hyperbolic-parabolic equation is shown in the article.

Key words: Hyperbolic-parabolic equation, Dirichlet's problem, cylindrical domain, spherical harmonic.