СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЛОКАЛЬНАЯ ЕДИНСТВЕННОСТЬ И АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПОГРАНСЛОЙНОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ СИСТЕМЫ ДВУХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЗНЫМИ СТЕПЕНЯМИ МАЛОГО ПАРАМЕТРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Существование, локальная единственность и асимптотическая устойчивость погранслойного решения краевой задачи Неймана для системы двух нелинейных уравнений с разными степенями малого параметра

Б. В. Тищенкоа

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2

Поступила в редакцию 30.06.2021, после доработки 09.07.2021, принята к публикации 13.07.2021.

В работе используется асимптотический анализ для исследования существования, локальной единственности и асимптотической устойчивости решения погранслойного типа одномерной нелинейной начально-краевой задачи с неоднородными условиями Неймана. Доказательство соответствующих теорем проводится при помощи асимптотического метода дифференциальных неравенств для различных типов квазимонотонности правых частей.

Ключевые слова: система нелинейных уравнений, малый параметр, пограничные слои, верхнее и нижнее решения, асимптотическое приближение решения, условия квазимонотонности. УДК: 517.928, 517.925. РЛСБ: 02.30.Hq, 02.30.Mv.

ВВЕДЕНИЕ

В статье рассматривается сингулярно возмущенная система двух одномерных нелинейных параболических уравнений с различными степенями малого параметра при старших производных. Правые части этих уравнений удовлетворяют определенным условиям квазимонотонности — условиям на знаки производных функций правых частей по аргументам, отвечающим тем компонентам системы, которые входят в каждом из уравнений в качестве параметров. Целью работы является получение достаточных условий существования, локальной единственности и асимптотической устойчивости стационарного по-гранслойного решения краевой задачи Неймана. Настоящая работа является составной частью более общего исследования по получению условий существования и устойчивости решений прикладных задач с внутренними переходными слоями [1-7]. Несмотря на то что основным фокусом подобных исследований являются внутренние переходные слои, теоретическое исследование возникающих в этих задачах погранслоев также важно, особенно для реализации численного решения, когда требуется хорошее начальное приближение для оптимизации численного счета [8, 9], и, в частности, в ходе реализации алгоритмов решения коэффициентных обратных задач по восстановлению свойств среды на основании данных о движениях фронтов (см. [10-13] и работу Лукьяненко и др., 2019 в этом журнале).

Ранее в работе [14] был затронут вопрос о пограничных слоях для системы эллиптических уравнений с различными степенями малого параметра. Однако в этой работе авторы ограничились выписыванием системы уравнений для пограничных функций. В настоящей работе приведен алгоритм построения асимптотики погранслойного решения для аналогичной системы уравнений, указан способ построения верхнего и нижнего решений в случае различных условий квазимонотонности а также доказана локальная единственность и асимптотическая устойчивость такого решения как стационарного решения

а Е-шаП: bogdanmsu@yandex.ru

параболической задачи с указанием локальной области притяжения.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим систему параболических уравнений:

£4Ужж - Уг = /(у, г, х, е), е2^ - г = #(у, г, х, е),

х е (-1,1), г е М+, (1)

где е е (0, е0] — малый параметр; функции /(и, V, х, е), #(и, V, х, е) принадлежат классу С("+2)(/„ х х [-1,1] х [0,е0]), где /„ и 1У — некоторые допустимые интервалы изменения переменных и и V, п — порядок требуемого асимптотического приближения. Здесь и далее используются обозначения М+ := (0, М+ := [0, М- := (-то,0), М- := (-то,0].

Поставим следующие начальные и краевые условия:

Ух(т1, г)= я(т), у(х, 0) = и0(х), гж(т1, *) = Ь(т), г(х, 0) = V0(х),

считая что а(т) и — константы, функции и0(х), -у°(х) гладкие на отрезке [-1,1] и удовлетворяют условиям согласования и!£(т1) = а(т), (^1) = Ь(т).

Очевидно, что стационарные решения задачи (1), (2) — это решения краевой задачи Неймана

е4и'' = /(и, V, х, е), е2«" = $(и, V, х, е), х е (-1,1),

и'(т1) = а(т), и'(т!)= Ь(т). (3)

Пусть выполнены следующие условия.

Условие 1. На множестве 1У х [-1,1] уравнение /(и,V, х, 0) = 0 имеет изолированное решение и = х) и выполняется неравенство х), V, х, 0) > 0.

Условие 2. Обозначим х) = х), V,х,0).

На отрезке [-1,1] уравнение х) = 0 имеет изолированное решение V = ^(х) и всюду на этом отрезке выполняется неравенство Ну(^(х), х) > 0.

Пусть при всех (и, V) € I« х /у, е € (0, ео] на отрезке [-1, 1] правые части уравнений задачи (3) удовлетворяют одному из четырех типов квазимонотонности (КМ), то есть выполняются неравенства: Условие 3(а).

/у (и, V, х, е) < 0, д«(и, V, х, е) < 0 (ЫЫ тип); /у (и, V, х, е) > 0, д«(и, V, х, е) > 0 (РР тип). Условие 3(б).

/у (и, V, х, е) < 0, д«(и, V, х, е) > 0 (ЫР тип); /у (и, V, х, е) > 0, д«(и, V, х, е) < 0 (РЫ тип). Введем на множестве (V, х) = /у х [-1,1] функции V(V, х) := ду х), V, х, 0)+ /у (<£>(«, х), V, х,0)

+ ■

■ х), V, х, 0),

/„(<£>(«, х), V, х,0) г/(х) := V(^(х), х) и константы гг(т) := г/(т1).

Условие 4. г(х) > 0 на отрезке [-1,1].

(4)

2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО РЕШЕНИЯ

В текущей секции мы остановимся на построении асимптотического приближения решения задачи (3).

Асимптотическое приближение п-ого порядка решения задачи (3) строится в виде сумм

и„ = и„(х, е) + РП+1«(Ст, е) + яП+2«(Пт, е), (5)

V« = «п(х, е) + Р^ «(Ст, е)+ Д^Пт, е). (6)

Функции, зависящие от переменной х, описывают поведение решения вдали от границ отрезка (регулярная часть). Функции, зависящие от растянутых переменных £т = (х ± 1)/е и пт = (х ± 1)/е2, описывают поведение решения в окрестности точек х = т1 (пограничные функции).

Каждая из функций, входящих в правые части (5), (6) представляется в виде разложения по степеням малого параметра:

и(т )(x, е

г(т)

( х, е

Р^ЧСт , е

Р^МСт, е

й(+)2и(Пт, е

( т), «+2^(Пт

(Пт, е

= V еги(т )(х),

=0

= > с»

¿=0 п +1

) (х);

= £ е¿ Р(т )и(Ст),

¿=0 +1

(7)

]Те4 Р^ЦСт);

¿=0 +2

^¿Д^Упт)

¿=0 +2

¿=0

Замечание 1. Во избежание разночтений автор обращает внимание читателя на различие в (7) между, например, Р^ЧСт, е) и Р^+1 м(Ст) - суммой и ее отдельным членом.

2.1. Регулярная часть

Системы уравнений для функций регулярной части стандартным образом (см. [15]) получаются из равенств

4 сййп-4(х, г)

дх2 2 д2г „_2(х, е)

дх2

- /(м„(х, е), Vп(х, е), х, е) = О (е"+1) ,

— д(ип(х, е), гп(х, е), х, е) = О (е"+1)

путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях е в разложении Тейлора по малому параметру функций, входящих в эти равенства.

В частности, в нулевом порядке, принимая во внимание Условия 1 и 2, следует положить

«0(х) = у(^(х), х), щ(х) = ^(х). (8)

Обозначим /«(х) := /«(у>(^(х), х), ^(х), х, 0), г«(х) := д«(у(^(х), х), ^(х), х, 0), (х) := (^(х), х),

/«т) := /и(т1),

:= £«(Т1),

д,

( ) :=

) := К(Т1). (9)

В аналогичном смысле понимаются и обозначения для других частных производных функций / и д.

Функции А>ого порядка и/Дх) и к = \,п,

находятся из систем

/«(х) ^ (х) + /у (х) V й (х) = (х), д«(х) «й(х) + Зу(х) (х) = С(х),

(10)

где Рй(х), С(х) — известные на каждом шаге функции. Системы (10) также разрешимы в силу Условий 1 и 2, так как их определители равны /«(х) • ^ (х) > 0.

2.2. Функции пограничного слоя

Системы уравнений для функций пограничного слоя получаются путем приравнивания слагаемых с одинаковыми степенями е в разложении Тейлора равенств

2 д^+кСт, е)

дС2

д^^(Ст, е)

дС2

1 д^+^Пт, е)

дп!

Р( т )/(Ст, е), Р( т )д(Ст, е), = й( т)/(пт, е), = й( т)д(пт, е),

(11)

(12)

где

Р( т )/(Ст, е) := /(йп(еСт Т 1, е) + Р^+1 «(Ст, е), V«(е^ Т 1, е)+ Р^МСт, е), е^ Т 1, е) -- / («п(еСт Т 1, е), V«(еСт Т 1, е), е^ Т 1, е),

а функции Р( т)д(Ст, е) определяются аналогичным образом;

п

п

п

2

е

Д(т)/(Пт, е) :=

/ (и„(е2пт Т 1, е) + РЩ!и(еПт, е) + Д^^Пт, е), V«(е2Пт Т 1, е) + Р«+^(епт, е) + Д«+^(Пт, е), еПт Т 1, е) -

- /(«п(е2Пт Т 1, е) + Р^+1 и(е^т, е), V«(е2Пт Т 1, е) + Р^+^е^т, е), е2Пт Т 1, е), функции Д(т)д определяются по аналогии с Д(т )/.

Будем требовать, чтобы для асимптотического приближения точно выполнялись краевые условия задачи (3):

Рк( т )и(Ст) ^ 0, рк+^(Ст) ^ 0 при Ст ^ ±~;

( )

ди(т )(х, е)

дх

7(Т )

дК( т) (х, е)

х=т 1

дх

йкт)и(пт) ^ 0, v(nт) ^ 0 при пт ^

г = 0,1, .... (14)

Приравнивая члены при одинаковых степенях е

( )

х= 1

б(т ). (13)

Также учтем требование убывания на бесконеч- в (13), получаем следующие условия на кон-ности для входящих в асимптотику погранслойных цах отрезка для пограничных функций различного функций (см. (7)): порядка:

_2 ¿Д и

¿Д0т ) V

пт =

' ¿Ст

£0

¿х

¿х

+

¿Пт

Ст=°

¿щ

пт=

пт=0

0;

¿Р0( т ) V

+

¿р( т) и

х= 1

¿Ст

+

¿Ст

¿Д;т) и

+

сЖ^и

Ст=0

¿Пт

0;

Ст =0

¿Пт

,(т )

пт =

+ ■

¿Рк(+) и

х= 1

А; = 1, п;

¿Ст

+ ■

¿Дк+2и

Ст =0

¿Пт

0,

пт=0

¿«0 ¿х

с1г>к

¿х

+

¿Р( т ) V

х= 1

пт =

+ ■

¿Ст

¿рк+) V

+

¿Дт) V

Ст=0

х= 1

¿Ст

+ ■

¿Пт

)

4+2'

б(т );

пт =

¿Д(т IV

Ст=°

¿Пт

0,

Пт =

(15)

Выпишем явно получающиеся из (11), (12) уравнения для пограничных функций. Начнем с функций нулевого порядка — они должны удовлетворять уравнениям

/(^(Т1), Т1)+ Р0( т )и(Ст), ^(Т1)+ Р0( т)v(Cт), Т1,^ = 0,

^} ~ д1т1} + РоТ)'»(Ст), ) + Р0(т)'КСт), т1, о) = О,

+ ), Т1) + Р0(Т)«(0) + 4т)«(»Тт). ) + Р„(ТЧ0) + Т1, о) -

- / (^(т1), Т1) + Р0( т)и(0), ^(Т1) + Р0( т 40), Т1,0) = 0,

¿Пт

¿2 ДтЦпт)

¿П2

0.

(16)

Г

Для функций Д(т)v(nт) из самих разложений

Принимая во внимание (8), нетрудно видеть, что тривиальные функции пограничного слоя нулевого выражений (12) получаются уравнения порядка, то есть

Р0( т) и(Ст) = РГ ЧСт) = 0

( )

Д0т)и(пт) = ДГ' v(nт) = 0

( )

(17)

¿н|

удовлетворяют уравнениям (16), а также граничным тогда как при получении уравнений для функций условиям (14), (15). Д(т)и(пт) и Д^т)v(ит) также учитывается (17),

0

0

0

0

0

0

откуда

¿2 Д(т)и -(т) (т) -(т) (т) „ ¿2Д(т )v

--/(т)д т),ы_/(т)д т)г, = 0) Д = О,

¿п!

'т 'т

а учет ( 4), ( 5), в свою очередь, влечет

тривиальность Д(т) v(nт), Д1+,,м(пт), и й2т) v(пт).

Уравнения для функций Р(т)v(Zт), Р(т)и(Ст) имеют вид

0=/«т )р( т) и+/ т )р( т )v,

( )

¿2р (т)

т

Выразим Р( т)и из первых уравнений и подставим во вторые, учтем граничные условия (14), (15) и получим задачи для Р(т ^

¿2Р( т) V -( т) ( т )

¿Р( т V

Р

¿Ст ( )

б( т )-

Ст=0

¿30

¿х

х=т 1

=: Р1 т),

= 0.

Функции Р( т)v(Zт ) и

Р1( )

и(^т) можно выписать

в явном виде:

Р( T)v(Cт ) = Т

Р1

( )

;(т).

Ст1

)

Р

( )

■(Ст) = ±-

/ГУ #)

Для Д2т)и(пт) имеем задачи:

с1щ ¿Д2т )и

/т) • Д2т)и, Д2т)и(±то) = 0 ,

¿пт

а( т )-

пт =0

¿и0

¿х

т) и

х=т 1

¿Ст

г( т) ' 2 ,

откуда

Д2( )и(п ) = Т

( )

Ст =0

( )

На данном этапе завершено построение асимптотического приближения нулевого порядка.

Построение асимптотики к-ого порядка, к ^ 1, производится по следующему алгоритму.

Предварительно находим (х) и (х) (см. (10)). На первом шаге решаются задачи

¿2Д(т )

й+З1-

= Д(,т)д(пт), v(±то) = 0

( )

в которых Д^,т)д(пт) — известные функции, пт £ Следовательно, их решения:

Пт П1

ДЙ^пт) = / ¿т/ Д1т)д(п2) ¿п2.

Замечание 2. В силу тривиальности погранс-лойных функций нулевого порядка, а также функ-

ций Д(т)v(nт), Д1+;и(пт) и Д2+ ^(пт) функции

( )

( )

Д3т)д(пт) = 0, откуда Д3+^(пт) = 0 — об этом упоминалось в [1, 7], однако не было расписано явно.

На втором шаге определяются функции Р;(+)и(Ст) и Р/Шv(Cт) из следующей системы уравнений:

( )

( ) г(т )

/

• Р'(+)V - Р£) /,

¿2Р ( т ) v

¿С2 ¿РЙ V

¿Ст

Ст=0

-1' ¿х

¿ДЩ V

х=т 1

¿пт

р(т )

пт =

где Рй(+)/(Ст), Рй(+)д(Ст) известны.

На последнем шаге находим функции д£+2и(пт) как решения задач

¿2Д(,т )

й+2с

= /т ) • д!+2и + д£2/, д^+2и(±^) = 0,

¿п|

¿Дй+2'ы

( )

¿пт

пт =0

¿»-й ¿х

х=т 1

¿Ст

=: г

( ) й+2

Ст=°

где д£+2/(пт) известны.

В завершение в силу [16] отметим справедливость для искомых функций экспоненциальных оценок

Р( т)и(Ст) Д( т)и(пт)

< Ср е_к|ст|, Р^(т)v(Zт) < Ср е_к|ст|,

< Сд е_^пЧ Д(.т)v(пт) < Сд е г|пт|,

3 = 0,1,...,

(18)

где Ср, Сд, к, 7 — некоторые положительные константы.

3. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ Теорема 1. Пусть выполняются Условия 1-3(а) или 1-3(б),4. Тогда для достаточно малых е > 0 существует классическое решение (ие(х), ve(х)) задачи (3), для которого пара функций (ип(х, е), V«(х, е)) является равномерным на отрезке [-1, 1] асимптотическим приближением с точностью О (еп+^, то есть

|и«(х, е) - ие(х)| + |К(х, е) - ^(х)! < Сеп+1,

х £ [-1,1], (19)

где С — не зависящая от е положительная константа.

Эту теорему будем доказывать при помощи асимптотического метода дифференциальных неравенств (см. [1, 17-19]).

0

е

2

3.1. Существование решения в общем случае

Обозначим

Ьи е(и, г>) := - /(«>г'> х. е)>

¿х2

V) := — 9(и> г'>х'£)-

Верхнее и нижнее решения задачи (3) определяются следующим образом.

Определение 1. Пары функций (и(х),У(х)) и (ЩХ)>К(Х)) называются, соответственно, верхним и нижним решениями задачи (3), если для них выполняются следующие неравенства:

(АО. Ц(х) < Л{х), У_{х) ж е [-1, 1];

(А,). Ьи,е(й,у) < 0 < ЬиАН,*>),¥_ < г» < V, X € (-1, 1),

Ьи,е(и,У) < 0 < Ь^£{и,У_),и < « < и, X е (-1,1);

(Аз). ?7ж(-1) < а(-) < их(-\), > а(+) > 1[ж(1),

Утверждение 1. Пусть существуют пары функций (и,У) и (Ц_,У_), являющиеся, соответственно, верхним и нижним решениями в смысле Определения 1. Тогда существует хотя бы одно классическое решение (ие, V,,) задачи (3), причем

Щх) < иЕ{х) < й(х), У_{х) < г>е(х) < У(х), (20)

где х е [-1,1]. Это утверждение доказано, например, в [18].

3.2. Обоснование асимптотики

Согласно асимптотическому методу дифференциальных неравенств [1, 17] будем строить верхнее и нижнее решения задачи (3) — функции и, Ц_, V, V как модификации функций ип(х,£), Уп(х,е)\

и = и„(х, е) + епа(х) + е^2^ и(пт),

V = к(х, е) + е«в(х) + е^р^Ст), и = ип(х,г) - гпа(х) -

V = Уп{х,е) - е"/3(х) - ьп+1р^+\г,(СТ).

(21)

Функции а(х) и в(х) будем определять как решение системы уравнений:

/„(х) • а(х) - (х)| • в(х) = А, -|<?и(х)| • а(х) + Vv(х) • в(х) = В

при х е [-1,1] с положительными константами А и В. Здесь использованы обозначения (9). В силу Условий 1, 2, а также 3(а) (ЫЫ, РР типы) или 3(б) и 4 (ЫР и РЫ типы) эта система однозначно разрешима:

(ЫЫ, РР)

ди(х)А+Цги(х)1В \ди{х)\А + !и{х)В а(х) =-—-———--, р(х) =

Покажем, что функции а(х), в(х) принимают строго положительные значения. Сначала заметим: для ЫЫ и РР типов КМ из условий 1-3(а) следуют неравенства

7ги(х) = ди(х) - йЩ -ди(х) > 0 и ¿Щ-ди(х) > 0; /„(х) /„(х)

для ЫР и РЫ типов КМ из условий 1, 2, 3(б), 4

вытекают неравенства

Их) = 9у(х) + ' 9и{х) > 0 и ^гЩ- ■ ди(х) < 0.

/„(х)

/„(х)

Следовательно, во всех случаях Vv(х) > 0 — зная это, остается лишь заметить положительность числителей и знаменателей в силу тех же условий 1-4.

Будем строить верхнее и нижнее решения удовлетворяющими равенствам в условии (Л3). Этого можно добиться, если потребовать

¿а ¿х

¿¡3 ¿х

+

¿ГП+2 и

х= 1

¿Пт

+

¿р

■Й'

х= 1

¿Ст

Пт =

Ст =0

(22)

Эти условия будут выполнены, если положить, например,

гп+2м('?т) = ±"

(23)

где к„, к, — некоторые произвольные положительные константы.

Докажем теперь, что функции, определенные выражениями (21), удовлетворяют неравенствам (Л1)-(Л3) и тем самым действительно являются верхним и нижним решениями задачи (3).

Лемма 1. При достаточно малых значениях е пары функций (и(х,е),У(х,е)) и {и_{х,е),У_(х,£)), определенные выражениями (21), являются соответственно верхним и нижним решениями задачи (3)

Для доказательства Леммы 1 нужно проверить выполнение неравенств (Л1) — (Л3)

Условие (Л1 ) выполняется, поскольку функции а(х), в(х) принимают строго положительные значения и являются поправками порядка еп, а г«+2и(пт) и Р^ЧСт) ограничены и являются поправками порядков еп+2 и еп+1 соответственно — следовательно,

/„(х) • ^ (х)

/„(х) • ^(х) ' при достаточно малых е

(ЫР, РЫ)

д„(х)А+\й(х)\В \ди{х)\А + !и{х)В

«(.г') =-7 , л л-> !3УХ) =-7 , л л-•

/„(х) • V(х) /„(х) • V(х)

Здесь использованы обозначения (4), (9).

и -Ц = 2епа(х) + 0(е"+2) > 0,

V - V = 2ь"/3(х) + 0(ь"+ ) > 0.

Для доказательства условия (Л2) будем требовать при х е (-1, 1) выполнения более жестких условий:

0

0

0

(NN ) (PP ) (NP ) (PN )

LU < L„ AÛ,V)<0<Lu AU-, Y.) < Lu

Lv, Au,V) < L„, AÛ,V)<0<LVi AU, Y) < L„. Л«>Ю;

LU Aû.v) < Lu AÛ,V)<0<Lu < Lu

Lv, Au,v) < L„, AU.V) <0<LV Aû, Y) < L„. Au, Y);

LU Aû.v) < Lu AÛ,V)<0<Lu AU, Y) < Lu AU,1'),

Lv, Au,v) < L„, AU.V) <0<LV < Lv, Au, Y);

LU Aû.v) < Lu AÛ,V)<0<Lu ALL,v) < Lu AU,1'),

Lv, Au,v) < L„, AÛ,V)<0<LVi ALL, Y) < Lt, Au, Y)-

В любом случае приходим к неравенствам

LuAÛ.v) < -£пА + 0{еп+х) <0, LuALL,v)^£nA + 0{£n+l) >0; Lv,e{u,V) < —£пВ + О (е"+1) < 0, Lv,e(u,V) > £пВ + О (е"+1) > 0.

решение (ме(x), ve(x)), для которого справедливы неравенства (20) — из них при x G [-1,1] следует

0(£п) + U(x) - Un-l(x,t) < ие(х) - Un-l(x,t) < (24) < Щх) - £/n_i(x, е) + Oie" ),

0(е") + У(х) - K-i(x,e) s' v,(x) - K-i(x,e) s' <F(x)-K-i(x,e)+0(en),

Неравенства (24) выполняются при достаточно малых е и указанном выше выборе констант А, В.

Выполнение условия (Аз) следует из способа построения верхнего и нижнего решения, а именно (22), (23).

Лемма 1 доказана. □

Замечание 3. Вместо поправки еп+2гп( +)2и(п ) в (21) можно использовать еп+1р«+)1и(Ст), тогда для р«+\и(Ст) достаточно потребовать

dp.

( )

1 и

«т(т1)Н--г?—(0) = 0 вместо первого

¿Ст

равенства в (22).

Применяя к задаче (3) Лемму 1, в которой в качестве верхнего н нижнего решений выступают функции (Ц_,У_.) и (II, V), определенные выражениями (21), получим, что у задачи (3) существует

_I

откуда после замены индекса п на п +1 (в этом месте неявно используется асимптотика порядка п + 1 — именно по этой причине требуется

С(п+2)

гладкость

функций / и д) с учетом (21) следует оценка (19). Теорема 1 доказана. ■

4. ЛОКАЛЬНАЯ ЕДИНСТВЕННОСТЬ И АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО РЕШЕНИЯ

Обозначим

, 4д2и ди

дх2 д^

2 д 2v д-1

dx2 dt 2.

Пары

функций

Т/

Определение

(ит(х,1),Ут(х,г)) и {ит(х,г),у_т(х,г))

называются, соответственно, верхним и нижним решениями задачи (1), (2), если для них выполняются следующие неравенства:

Т

(Bi). LLAxJXU (x,Î),

(Вз). tr^(-l.i) < «(-> ^

F^-UKbC-UyJt-U),

VT(x,t) < VT{x,t), (x,t) G [-1, 1] x

(B2). LU*7 >*') < 0 < LiAU?, *'), VT ^ V ^ V ,

l[T < и < UT,

(x, t) g (-1,1) x : (x, t) g (-1,1) x :

Т

Утверждение 2. Пусть существуют пары функций (и , У ) и являющиеся,

соответственно, верхним и нижним решениями задачи (1), (2) в смысле Определения 2. Тогда существует единственное решение (уе(х,£), ¿е(х,£)) задачи (1), (2), причем на

множестве [-1, 1] x R+ выполняются неравенства:

Т

U1 (x,t) < yE{x,t) < U (x,i), VT(x,t) < ^(x,i) < VT(x,t).

Это утверждение доказывается в [18].

u, v, x

Рассмотрим теперь функции

иТ(ж, t, е) = иЕ(х) + (и 1 (ж, е) — иЕ(ж)) е_А(, УТ{х,г,ь) = г>е(х) + (V¡(х,е) - г>е(х)) , ^ ит(х, t, е) = + (¿^ (ж, е) - иЕ(ж))

Ут(х,1,ь) = г>е(х) + (У^ж.е) — г>е(х)) ,

где Л — положительная константа, (ие(х),ve(x)) — существующее согласно Теореме 1 точное решение задачи (3), а Ц_¡(ж,е), Ц^ж,е), и\(х,е), У\(х,е) — верхние и нижние решения задачи (3), построенные на основе асимптотического приближения первого порядка (^(х, е), V (х, е)) (см. (5), (6), (21)).

В полной аналогии с [19] можно доказать, что при достаточно малом Л функции (25) являются нижним и верхним решениями задачи (1), (2). Отсюда с учетом Утверждения 2 немедленно следует основной результат этого параграфа — Теорема 2.

Теорема 2. Пусть выполняются Условия 1-3(а) или 1-3(б),4. Тогда для достаточно малых е > 0 решение (ие(х), ve(х)) задачи (1), (2) локально единственно как решение задачи (3) и асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова с областью притяжения не меньше [£1(ж,е),^1(ж,е)] х [У^ж.е), У^ж.е)].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая работа является полезным дополнением к работам по исследованию задач с внутренними переходными слоями для систем с различными степенями малого параметра при старших производных. Конкретно у этой работы существует несколько полезных и интересных направлений для расширения и/или обобщения: 1) двумерный случай; 2) граничные условия Дирихле или Робена; 3)дополнительное исследование устойчивости по граничным условиям.

Несмотря на то что как в настоящей работе, так и в [1, 7] изучается лишь случай на отрезке, принципы доказательств, методы и результаты исследований в перспективе будут без значительных изменений перенесены на задачи в многомерных звездных областях с гладкими границами.

Автор выражает благодарность Н. Т. Левашовой за

ценные замечания и помощь в оформлении статьи.

Работа выполнена при финансовой поддержке

РНФ (проект № 18-11-00042П).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бутузов В. Ф., Левашова Н. Т., Мельникова А. А. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. 52, № 11. С. 1983.

2. Генералов Е.А., Левашова Н. Т., Сидорова А.Э. и др. // Биофизика. 62, № 5, C. 876 (2017).

3. Sidorova A.E., Levashova N.T., Semina A.E., Mel'nikova A.A. // Mathematical Biology and Bioinformatics. 2018. 13, N 2. P. 454.

4. Levashova N. T., Sidorova A.E, Semina A.E, Ni Mingkang. // Sustainability. 2019. 11, N 13. P. 3658.

5. Левашова Н.Т., Нефедов Н.Н., Орлов А.О. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. 59, №4. С. 611.

6. Нефедов Н.Н., Никулин Е.И., Орлов А. О. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2020. 60, №9. С. 1513.

7. Левашова Н. Т., Тищенко Б. В. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. (в печати) 2021.

8. Lukyanenko D., Nefedov N., Nikulin E., Volkov V. // Lect. Notes in Comput. Sci. 2017. 10187. P. 107.

9. Volkov V., Lukyanenko D., Nefedov N. // Lect. Notes in Comput. Sci. 2017. 10187. P. 721.

10. Lukyanenko D.V., Grigorev V.B., Volkov V.T., Shishlenin M.A. // Computers and Mathematics with Applications. 2019. 77, N 5. P. 1245.

11. Lukyanenko D. V., Shishlenin M.A., Volkov V. T. // J. Inverse Ill-Posed Problems. 2019. 27, N 5. P. 745.

12. Волков В. Т., Нефедов Н. Н. // Ж. Вычисл. матем. и матем. физ. 2020. 60. № 6, С. 975.

13. Nefedov N.N., Volkov V.T. // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2020. 28, N 5. P. 633.

14. Бутузов В.Ф., Неделько И. В. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. 40, № 6. С. 877.

15. Васильева А. Б., Бутузов В.Ф. // Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М. 1990.

16. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. // Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М. 1973.

17. Нефедов Н.Н. // Дифференц. уравнения. 1995. 31, №4. C. 719. // Differ. Equ., 1995. 31, N 4. P. 668.

18. Pao С. V. // Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations. New York: Plenum Press, 1992.

19. Мельникова А. А. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. 59, №7. С. 1184.

The Existence, Local Uniqueness, and Asymptotic Stability of the Boundary Layer Type Solution of the Neumann Problem for a Two-Equation Nonlinear System with Different Powers of a Small Parameter B. V. Tishchenko

Department of Physics, Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991 Russia E-mail: bogdanmsu@yandex.ru

In this paper, we consider the existence, local uniqueness, and asymptotic stability of a solution of the boundary-layer type for a nonlinear one-dimensional initial-boundary problem with inhomogeneous Neumann conditions. The corresponding theorems are proved for different types of quasimonotone righthand sides of the equations by the method of upper and lower solutions and its modification; namely, the asymptotical method of differential inequalities.

Keywords: nonlinear system of equations, small parameter, boundary layers, lower and upper solutions, asymptotic approximation, quasimonotonicity. PACS: 02.30.Hq, 02.30.Mv. Received Received 30 June 2021. English version: Moscow University Physics Bulletin. 2021. 76, No. 5. Pp. 296-304.

Сведения об авторе

Тищенко Богдан Викторович — аспирант; тел.: +7-917-561-47-53, e-mail: bogdanmsu@yandex.ru.