Построение асимптотического приближения решений краевой задачи для релятивистского конечно-разностного уравнения Шрёдингера с сингулярным осцилляторным квазипотенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование

УДК 517.958, 517.963

Построение асимптотического приближения решений краевой задачи для релятивистского конечно-разностного уравнения Шрёдингера с сингулярным осцилляторным квазипотенциалом

И. В. Амирханов *, С. А. Васильев t, Д. Г. Васильева t, А. Ф. Каращукt, В. Э. Денисов Д. Н. Удин §

* Объединённый институт ядерных исследований ул. Жолио-Кюри, д. 6, Дубна, Московская обл., Россия, 141980

^ Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

* ТНК-ВР

ул. Арбат, д. 1, Москва, Россия, 119019

§ Отделение IBM по Центральной и Восточной Европе Донаусштрассе, д. 95, Вена, Австрия, А-1020

В статье с помощью асимптотических методов исследуются решения краевой задачи для релятивистского конечно-разностного уравнения Шрёдингера с сингулярным осцилляторным квазипотенциалом. Для собственных функций и собственных значений этой задачи получены соответствующие нерелятивистские пределы.

Ключевые слова: асимптотические методы, математическое моделирование, квазипотенциальный подход.

1. Введение

Сингулярный гармонический осциллятор является одной из немногих задач нерелятивистской квантовой механики, имеющих точное решение [1]. Эта модель используется при описании многих явлений — взаимодействие многих тел, квантовый эффекта Холла и т.д.

В данной статье с помощью асимптотических методов исследуются решения краевой задачи для релятивистского конечно-разностного уравнения Шрёдингера [2-7] с сингулярным осцилляторным квазипотенциалом, которое является линейным дифференциальным уравнением бесконечного порядка с малыми параметрами при старших производных. Таким образом, для построения решений, представляющих собой набор собственных функций и собственных значений, возможно использование методов, применяемых в теории сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений [8-13].

От дифференциального уравнения бесконечного порядка можно перейти к уравнению конечного (но высокого) порядка путём отбрасывания производных больше порядка 2т. В данной работе также исследовано поведение собственных функций и собственных значений при неограниченном возрастании порядка уравнения т .

Статья поступила в редакцию 17 марта 2008 г.

2. Постановка задачи

Рассмотрим релятивистское конечно-разностное уравнение Шрёдингера [5-7] в релятивистском конфигурационном пространстве для радиальных волновых функций связанных состояний двух одинаковых элементарных частиц

Я0аё + V(г) - 2сVЗ2 + т2с2 ^(г, 1) = 0,

(1)

тттъА о 2 , ( Л Й21(1 + !) ( тл\

Я0ай = 2тс2 сЫ —Ш +---т^— ехр — Ш =

I I 1 / I .л

\шс тг(г + —) \тс

4 7 V 1 те/ 4

= ~ (-^тс2 (П_, ^ + 1) ^ 1 ( ^\РВР ВР = _ Р=0 (2р)!! тг(г + т) р=0 р! VтсУ ' 7 '

где т, з и I — масса, импульс и момент элементарных частиц, а V(г) — квазипотенциал.

Если в этом уравнении формально устремить величину скорости света к бесконечности (с ^ то), то это уравнение переходит в нерелятивистское уравнение Шрёдингера

[-Н2Я2 + Н21(1 + 1)/г2 + т^(г) - з2] ^(г) = 0. (2)

Для удобства перейдём к системе единиц, в которой Й =1, т =1. Пусть далее I = 0 (случай 5*-волны) и

£ =-,ЛЕ,<» = 2д2Д/ 1 + е2з2 + 1, „(г) = V(г), з2 = (1 + 0, 25е%,и) ЛЕ,<»,

с

тогда уравнение (1) можно переписать в виде:

^о - Ле,и фе,и (г) = 0, (3)

^ 2(-1)р

ьи = ¿2 + е2Ьи + „(г) = £ е2р-2£2р, Ар = "(2Р)!Ге е (0,1],

и и п(_ 1\р+1

Ь2 = ¿2 = -Я2 + „(г), ьи = £ е2р-2^2р+2 = £ е2р-2^2р+2.

Это дифференциальное уравнение бесконечного порядка с малым параметром (е ^ 1) при старших производных и поэтому его можно отнести к классу сингулярно возмущённых уравнений.

Если в уравнении (3) ограничиться конечным порядком т > 1, то можно записать: _

Ь2т - Ле,2т

^е,2т(г) = 0, т

Ь2т = ¿2 + е2Ь2т = £ е2р-2£2р + „(г),

р=1

Т£ — с-2р-2г — 2( 1) г2р-2п2р+2

= 6 ^+2 = р= (2р+2)Йе ° , р=1 р=1 41 '

где ¿2 — эллиптический самосопряжённый оператор порядка 2, Ь2т — эллиптический самосопряжённый оператор порядка 2т, ^е,2т(г) — решение дифференциального уравнения порядка 2т.

Для этого дифференциального уравнения сформулируем краевые задачи А2™ на отрезке [0, го] и на полупрямой [0, для нахождения собственных

функций [^е,2т,7]и=1 и собственных значений [Ле,2т,7]и=1 следующим образом:

\2т. 1е .

Л 2 £

¿2т - Ае,2то| ■фе,2т(т) = 0, (4)

£>е,2т(0) = Бгфе,2т(го) = 0, Ъ = 0, 1, . . . , т - 1; (5)

краевые условия задачи :

£>е,2т(0) = Я>е,2ш(+го) = 0, Ъ = 0, 1,...,т - 1. (6)

Если положить £ = 0, то получим вырожденные задачи Ао и Бо для нахождения собственных функций [^0,7]°=1 и собственных значений [Ао,7]°=1 такого вида:

краевые условия задачи Ао.

[¿2 - Ао] Мг) = 0, (7)

^о(0)= ^о(го) = 0; (8)

краевые условия задачи Бо:

^о(0) = = 0. (9)

В связи с этим возникает вопрос о поведении собственных функций [^е,2т,7]°=1 и собственных значений [Ае,2т,7]°°=1 задач и Б^™, во-первых,

при устремлении малого параметра к нулю (£ ^ 0) при фиксированном порядке т оператора ¿2т, во-вторых, при возрастании порядка т и фиксированном £.

Собственные функции [^е,2т,7]°°_1 и [^о,7]°°= 1 (решения соответствующих задач А2™, Ао и Б2т, Бо) являются элементами гильбертова пространства Н (Пг)(Г = А, Б) со скалярным произведением ^)н(ог) = ^(г) ^(г)ёг С Н(Пг)), в котором действует множество линейных непрерывных самосопряжённых операторов А (Пг) : Н (Пг) ^ Н (Пг) задач А2™, Б^™, Ао, Бо (¿2™,¿2 С А, т > 2), где Пг, Г = А, Б — область определения операторов (индекс А соответствует отрезку [0,го], а индекс Б — полупрямой [0, +то)). Через 11А (Пг)|| н обозначим норму операторов А (Пг)

||А (Пг)|н = «ир , ||^||н = (^,^)Н/2.

фен,ф=о ||^||н

Приведём достаточные условия разрешимости задач Ао, Бо и Ае™, Б2™ [9].

Условие 1. Оператор ¿2 при граничных условиях .задач Ао или Бо должен быть положительно определённым, т.е.

(¿2^о),^о)н(пг) = / ЫФо)Фо ёг = I Р^о|2 ¿г + | ^г)^2 ёг > 0,

Ог Ог Ог

для любых функций и (г) С С °(Г) и функций С Н (Пг) из области определения Пг, удовлетворяющих краевым условиям соответствующих вырожденных задач (Ао или Бо).

Условие 2. Оператор ¿2™ при граничных условиях задач А2™ или Б^™ должен быть положительным, т.е.

™-1 2(-1)р+1 _ Г (L2m^е,2m,^е,2m)н(Пг) =13 (2-+2)М ^ У Р^^™) ^е,2ш ¿г =

т-1 2 2

= Е <* > О,

Р=1 4 7 Пг

для любых £ Н(Пг) из области определения Пг, удовлетворяющих краевым

условиям соответствующих сингулярно возмущённых задач или Б^™).

Известно, что вырождение задач Л'т, Б'т в задачи Л0, Б0 будет регулярным, если число корней с отрицательной вещественной частью и положительной вещественной частью дополнительного характеристического уравнения, имеющего в нашем случае вид

т (-1)р

Р(а2т) = Е ^(а2™)2'-2 = 0,

совпадает с числом краевых условий выпадающих слева и, соответственно, справа при переходе от задач Л2™, Б^™ к задачам Л0, Б0.

Для нашего случая достаточное условие регулярности вырождения задач Л2™, Б2™ в задачи Ло,Бо имеет место, если выполняется следующее условие. Условие 3. Для вещественной части обобщённой характеристической фор-

га

мы оператора е2р-2£2р, которая получается заменой в нем на (г£)2р

р=1

должно выполняться неравенство

т ^ т

Ке Мб) = Е -р-в2р-2е2р > С Е в2р-2|£|2р > 0,

Р=1 ^ I'/" р=1

где С не зависит от £, тогда задачи Л2™ и Б"™ регулярно вырождаются в задачи Л0 и Б0.

Пусть далее Ле,2ТО,1 < Ле,2ТО,2 < ... < Ле,2ТО,п < ... и Ао,1 < Ло,2 < ... < Ао,„ < ... — упорядоченные в порядке возрастания собственные значения [Ле,2т,,7]^=1, [Ло,7]^=1 , которым соответствуют полные ортонормированные системы собственных функций [^£,2^,7]^=1, [^0,7]^=1 .

Так как для задач Л2™ и Ло область определения Па операторов Ь2ТО и ¿2 совпадает и для любой функции £ Па , удовлетворяющей краевым условиям

задачи Л2™, в силу условия 2 выполняется

(Ь2m^£,2m,'0e,2m)я(ПА) ^ (Ь2^£12m,^e,2m)н(ПA) , то из минимаксной теории собственных значений Куранта [9] следует:

Ле,2то,7 ^ Л0,7, 7 = 1 2 . . . . Аналогичная оценка имеет место и для задач Б2™ и Бо.

3. Формализм построения асимптотического решения краевой задачи для случая произвольного потенциала у(т)

3.1. Общая схема построения асимптотики. Регулярный и

пограничный ряды

Для поиска решений задач Л2™ и Б^™ здесь привлекаются методы, применяемые в рамках теории сингулярных возмущений дифференциальных уравнений [8-13].

Будем искать формальное решение ^е,2т(г) рассматриваемых задач в виде такого асимптотического ряда

©^е,2т(г) = ^2т(г,б) + Щ™^ (Р1,е) + (Р2, е) =

= ^2 Ек (г) + П2т,&^(РО + ^2т,к^(Р2)) , (10)

к=0

что его частичная сумма

3

©j= £fc (Ф2ш,к(r) + П2ш,к^(pi) + ^2ш,кф(р2))

к=0

будет удовлетворять неравенствам для решения задачи A^™

max |фе,2ш - ©jфе,2ш| < Ma ej+1 ref^A ,ro —

и задачи B2™

max |фе,2ш - ©j| < MB £j + 1, re [¿b

а также аналогичным неравенствам для краевых условий данных задач, где Ma, Mb и ¿a ^ 1,5b ^ 1 — положительные постоянные, независимые от r и е. Тогда

для фе,2ш асимптотическое решение будет иметь вид: j

^e,2m(r) = ^2 ек (^2m,fc(r) + Щш,кФ(р1) + ^2ш,кФ(р2)) + jtO,

к=0

где ¿^(r) = ej+1z?m(r) — погрешность асимптотического приближения решения фе,2ш частичной суммой ©jфе,2ш

(r) = фе,2ш - ©j^£,2ш.

Здесь ^2ш(г, е) = ^2rn,o(r) + е^ш,^^ е2ф2ш,2(r) +... — регулярная часть разложения, П2ш^(р1 ,е) = П2ш,о^(р1)+еП2ш,1^(р1)+е2П2ш,2^(р1)+... — пограничный ряд, описывающий поведение решения на левом краю отрезка [0, ro] или полупрямой [0, ^2шф (Р2, е) = ^2ш,0^(р2) + е^2ш,1^(р2) + е2^2ш,2^(р2) + ... — пограничный ряд, описывающий поведение решения задачи А2ш на правом краю отрезка [0, ro] (для задачи В2ш ^2шф(р2, е) заведомо равно нулю, так как решение задачи Bo выбирается таким образом, чтобы оно стремилось к нулю при r ^ вместе со всеми своими производными, но для сохранения общности мы все-таки будем выписывать задачи для нахождения ^2шф(р2,е) и в этом случае).

Для пограничных функций П2ш,кф, ^2ш,кф здесь введены новые независимые (растянутые) переменные р1 = r/е и р2 = (ro — r) /е.

Асимптотику собственных значений Ле,2ш будем искать в виде следующего асимптотического ряда по степеням е:

Ле,2ш = Л2ш,0 + еЛ2ш, 1 + е2Л2ш,2 + . . . , (И)

где частичная сумма

j

©jЛе,2ш = екЛ2ш,к

к=0

будет удовлетворять неравенству |Ле,2ш — ©jЛе,2ш| < Mе^1 (M — положительная постоянная, независимая от r и е).

Асимптотическое приближение собственного значения Ле,2т будет иметь вид: Ле,2т = £ ^Л2т^ + Д2™, где Д2™ = е, + 1 Д2™, Д2™ = Ле,2™ - б,-Ле,2™

— погрешность асимптотического приближения собственного значения Ле,2ТО частичной суммой.

Кроме того, будем предполагать возможность разложения функции «(г) в виде сходящегося ряда в окрестности точки г = 0 и окрестности точки г = го

«(г) = £ «¿г3, «(г) = £ ^(г — го)8,

в=-1 в=-1 или, переходя к растянутым переменным, получим:

«Ы = £ «Ур1, «Ы = £ (—1)|8|^2е8р2. (12)

в=-1 в=-1

Главные члены асимптотики. Подставим разложения (10), (11) и (12) в уравнение (4) и краевые условия (5) задачи А2™, а также в уравнение (4) и краевые условия (6) задачи В2™, и приравняем члены, стоящие при одинаковых степенях е, таким образом, чтобы получить краевые задачи для нахождения членов разложения ф2ТО,к, П2ТО,кф, ф и Л2т,к соответствующих задач.

При этом на пограничные функции П2ТО,кф и ф мы накладываем такие

дополнительные условия, которые обеспечивают стремление этих функций к нулю вне пограничного слоя, т. е.

П2т,кф(р1) ^ 0, ф(р2) ^ 0, к = 0, 1, 2,...

при е ^ 0 и фиксированном г.

Нулевое приближение. В нулевом приближении мы получим систему для нахождения ф2т,о, П2т,оф, ^2т,оФ и Л2т,о задач А2™ и В^™ такого вида:

[¿2 — Л2m,о]Ф2m,0 = 0, ¿2 = — £2 + «(г), (13)

2(—1)р ё2р

¿2™П2™,оф = 0, ¿2га = £

р= (2р)!! ар2р' ¿2 о ф = 0 ¿2 = V 2( —1)Р ^

£г(ф2т,о(0) + П2™,оф(0)) = ^(ф^о^) + 02™,оф(г)) = 0,

П2то,оф(р1) ^ 0, 02га,оф(р2) ^ 0, е ^ 0, г = 0,1, 2, ...,т — 1,

где г = го для А2™ и г = для В2™.

Как известно [9], собственные функции [ф/,2т,о,^7=1 и собственные значения [Л2т,о,7]^=1 совпадают с решениями соответствующих вырожденных задач Ао или Во.

Таким образом, пограничные функции Щ^оф^), 02т,оф(р2) можно найти как решения следующих краевых задач:

Ь^Щ^оф = 0, (14)

£%т,оф(0) = -Я>2т,о(0), ^^,0^1) ^ 0, £ ^ 0, г = 0, 1, 2, . . . , Ш - 1, (15)

= 0, (16)

= -№/>2т,0(г), ^2т,0^(р2) ^ 0, £ ^ 0, г = 0, 1, 2, . . . , Ш - 1, (17) П2т,0^(Р1) и ^2т,0^(Р2) будем искать в таком виде:

т— 1 т—1

П2т,0^(Р1) = Е C2)?m,1 вХр(-«2тР1), ^2т,0^(Р2) = Е C'?m,2 вХр (-а2™^)

С=1 С=1

Здесь мы имеем столько же произвольных постоянных С^ 0 и С^ 0 , сколько

граничных условий задач А2™ или В^™ выпадает при переходе к вырожденным задачам А0 или В0.

Значения а2™ ( £ = 1,..., 2ш - 2) являются корнями дополнительного характеристического уравнения [9]

Р(а2™) = Е Утт(а2т)2Р—2 = 0,

которые могут быть найдены численно.

Известно, что у данного алгебраического уравнения число корней с положительной и отрицательной вещественной частью одинаково [14]

Ив (а;2™) > 0, С = 1,ш - 1, Ив (а^™) < 0, С = ш,ш - 2. Из краевых условий

£^,0^(0) = -£>2^,0(0), £^,0^) = -^^(г), г = 0,1,2,..., ш - 1

получим систему из 2ш линейных уравнений для нахождения коэффициентов

/^2ш,1 .^2™,2 /А 1 о \

С 0 , С^ 0 (С =1, 2,..., ш) вида:

(б2то О \

11 о , (18)

О Б?), ^ ;

где блочные матрицы

= №, гС )^с=1, ^ , гс = (-а2™)г—1,

02™ = №, гС ^2, гС = (а2™^-\

^ 2тТ _ (р2ш,1 р2ш,1 .^,2™,2 .^,2™,2

С = ^С1,0 ,...,Сто,0 , С1,0 ,...,Сто,0

ь 2™Т = (^,...,^,92™,...,^™),

= -£^,0(0), = -^^(г), г = 1,...,ш - 1.

Так как значения а^^ = 1, 2ш - 2) попарно различны, то матрицы Б2™, Б2™, Б2™ являются невырожденными и существует обратная к О2™ матрица (Б2™)-1. Тогда единственное решение алгебраической системы (18) существует и имеет вид: С 2™ = (Б2™)-1Ь2™.

Таким образом, мы полностью построили нулевое приближение ^2т,0, П2ТО,0^, ^2^,0^, Л2т,0 задач А2™ и В^™.

Нахождение следующих членов асимптотических рядов. В случае к > 0 для задач А2™ и мы получим системы уравнений и дополнительные условия для нахождения ф)2т,к, П2ТО,к;ф, 02т,кф и Л2ТО,к такого вида:

[¿2 — Л2m,о]ф2m,fc = Л2т,кф2т,о — ^|™(г), (19)

ф = ^2Г(Р1>, ¿2™02™,к ф = З^Ы, (20)

^ (ф2™,к(0) + ф(0)) = Я* (ф2т,к(г) + 02™,кф(г)) = 0, (21)

Щ™^ ф(р1) ^ 0, ф(р2) ^ 0, е ^ 0, к = 1, 2,..., г = 0,т — 1,

[к/2К2т 2/ 1)Р+1 к-1

й|™(г) = £ ,2 ,)2)„ Я^фш,*—? — £ Л2т,рф2ш,*!-Р, р=1 (2р + 2)- р=1 к-2

92Г(Р1) =--~ П2т,к-1ф + £ (Л2т,Р — «¿Рр) П2т,к-р-2ф,

Р1 р=о

V" к-2

З2Г(Р2) = —02га,к-1ф + £ (Л2т,Р — ( —1)Р«2рр) 02т,к-Р-2ф. Р2 - У 7

р=о

Известно [9], что если Л — простое собственное значение самосопряжённого оператора А, действующего в гильбертовом пространстве Н(Пг), и ф £ Н(Пг) — соответствующая нормированная собственная функция ||ф||я(пг) = 1, то в Н1(Пг) — ортогональном дополнении к ф в Н(Пг) — оператор А — Л/ имеет ограниченный обратный (А — Л/^^Пр) (псевдорезольвенту ). Уравнение

А^ — Л^ = шф — Л, Л £ Н(Пг) относительно ^ £ Н1(Пг) и числа ш разрешимо, именно

ш = ф)Н(Пг), ^ = (А — Л/)Н1(Пг)(шф —

где (шф — Л) £ Н1(Пг).

Таким образом, при к > 0 для Л2ТО,к,п и ф2ТО,к,п получим

Л2т,к,п = (Л^фо^я^) = J Лк™(г) фо,„(г)ёг, п = 1, 2,...,

Пг

ф2то,к,п = (^2 — Л2то,о,п)я1(Пг)Л|та,

где Н1(Пг) — ортогональное дополнение к собственным функциям фо,п £ Н(Пг), (Г = А,В) вырожденной краевой задачи (Ао или Во) при условии ||фо,и||я(пг) = 1-Пограничные функции П2ТО,кф(Р1),02т,кф(Р2) при к > 0 могут быть найдены из краевых задач следующего вида:

ф = З2Г, (22)

Я^™,*ф(0) = —^>2^(0), П2™,кф(Р1) ^ 0, е ^ 0, г = 0,т — 1, (23)

¿2™02™,к ф = з2г, (24)

ф(г) = —^гф2т,к(г), 02™,кф(Р2) ^ 0, е ^ 0, г = 0, т — 1. (25)

Решения этих краевых задач будем искать в виде:

П2т,к^(Р1) = П2™,к Ф(Р1) + П2™,к Ф*(Р1), (26)

^2т,к^(Р2) = ^2:,к Ф(Р2) + ^2:,к Ф*(Р2), (27)

где

1 1 П2™,к^ы = е С^1 в-, ^2™,к^ы = Е с^2 в--^

С=1 С=1

— общие решения однородных уравнений (22), (24), а

1 1 П™,кФ*(Р1) = Е С^Ые-', ^к^Ы = Е Сс2::,2(Р2)е-^

С=1 С=1

— частные решения данных неоднородных уравнений.

Так как а2™ попарно различны, то определители Вронского

W

2т Л 2т

е-а1 р1 ... е-ат-1Р1

и Ж

/ 2т \ 1 / 2т \ 1

стем функций (^е-и (^е-, отличны от нуля. Это означает,

2т Л 2т

е-а1 Р2 . . . е-а„г_1Р2

составленные из си-

что частные решения неоднородных уравнений (22), (24) можно найти методом вариации постоянных, т.е.

б^П 1 = Р1, 02™^2 = Р2, П Т =( ,1 (Р1) п Т =( dCC,:: ,2(Р2)

1 \ dрl ,..., dрl у , 2 у dр2 ,..., dр2 у , РТ = (0,...,0,з2Г), РТ = (0,...,0,32Г),

где, как показано выше, det ¡О2™! = 0, det |Б2™| = 0. Тогда неизвестные функции

О2^^!) и C?:k,2(р2) могут быть найдены из систем вида: П1 = (Б2™) 1 Р1,

П2 = (Б2™) 1 Р2. После интегрирования и подстановки найденных неоднородных решений в (26), (19), будем иметь столько же произвольных постоянных, сколько граничных условий задач А2™ или В2™ выпадает при переходе к вырожденным задачам А0 или В0.

Таким образом, описанный алгоритм позволяет найти асимптотическое решение задач А2™ и В^™ для любого порядка

3.2. Обоснование асимптотики

Сформулируем следующую теорему.

Теорема 1. Если самосопряжённые эллиптические операторы Ь2 , удовлетворяют условиям 1-3 для .задач А2™, В2™, А0, В0 и функция ^(г) £ С^ пред-ставима в виде равномерно сходящихся рядов в окрестности точки г = 0 и окрестности точки г = г0

и(г) = Е ^г5, ^(г) = Е (г - г0)5 в=-1 в = -1

то решение краевых задач А2™ и В^™ существует.

Соответствующее п-е собственное значение Ле,2ш,п и соответствующая п-я собственная функция фе,2ш,п(г) оператора ¿2ш имеют следующие асимптотические представления:

Ле,2ш,п = Л2т,0,п + £Л2ш,1,п + £2Л2ш,2,п + ... + eJ + 1A2m, (28)

фе,2ш,п(г) = £ £7 (ф2ш^,п(г) + Щш^пф^) + ^2шЛпФ(р2)) + е^1^2™^), (29)

где Л2т,о,п = Ло,п — п-е собственные значение (которое предполагается простым) и ф2ш,о,п(г) = фо,п(г) — п-я собственная функция оператора ¿2 для краевых задач Ао и Во; функции Щш^пф, ^2ш,й,пф и значения Л2ш^,п. при

к > 0 определяются из систем уравнений и краевых условий, приведённых в пункте 2.

Для остаточных членов ,Йт(г) и А2ш справедлива оценка

~2ш

Я

+

=2т

Я

0(е5+1), А2т = 0(1),

а для производной порядка р от частичной суммы фе,2ш,п:

Я

= 0(е5-9+1), 1 < д < 8 > 2т - 2,

2т

2т

5

Я

точнее во внутренней подобласти [¿, го — :

= 0(е5+1), < а в погранслойных областях (0, и [го — го):

я = 0(е5-9+1), 1 < |д| <

Доказательство. Построенная функция фе,2ш,п(г) удовлетворяет краевым условиям задач А2™ и В2™. Далее, так как

||Фо||Я = ||ф2т,о||Я = 1, то ||фе,2ш|Я = 1 + О(б). В силу наших построений

¿2ш — ©5 Ле,2ш

©5 Фе,2ш(г) = е5 + 1/2т,

где /2ш — ограниченная функция ( /?ш = 0(1).) Но тогда, согласно оценки [9],

Я

М |Л — Ле,2т,п| < ¿2шФ — Лф

Я

Я,

где ф £ Пг — произвольная функция из области определения оператора -¿2ш , а Л > 0 — произвольное вещественное число [9], ив силу оценки

||Фе,2ш||Я = 1 + О(е)

получим

Ле,2ш,п — ©7 Ле,2т = б^А2™, где

А 2т 77

< ¡Л' !я / У ©7фе,2ш |

Я

откуда вытекает оценка А2™ = 0(1).

Пусть Т° — замкнутая линейная оболочка, состоящая из собственных функций ©3^£,2т,п(г)) отвечающих соответствующим собственным значениям ©3Ле,2ТО,п, лежащим на отрезке [Л0,п - Л0,п + где ^ — некоторое число ^ >

^ а. Тогда существует такая функция

а

L2m©j^e,2m — ©jAe,2m ©j^e,2m

H

= 1, для которой

H

©j ^e,2m — ^T

Положим 3d = min [Ao,n — A0>n-1; Ao,n+1 — A0,n имеют место следующие неравенства

H

< 2a/d [9].

тогда при достаточно малом е

A

e,2m,n— 1

-1 — A0,n-1 ^ d Ae,2m,n — A0,n ^ ^ A

e,2m,n+1 — A0,n+1 ^ d

Таким образом, на отрезке [Л0,п - Л0,п + заключено единственное собственное значение Ле,2ТО,п оператора -С2:, которому отвечает единственная нормированная собственная функция ^£,2т,«(г), совпадающая с нормированной функцией фх, и справедлива оценка

||^е,2™,п - ©3Фе,2:,п/ ||©3^е, 2ш,п||я ||я < О (е^) .

Теперь, если положить фе,2т,п = ||©3фе,2т,п|н Фе,2т,п, то получим, что ^

~2m

ез+1^2т = ^е,2т,„ - ©3фе,2™,„ и для г2™ справедливо

v2m

H

O(1).

В силу наших построений и того, что Л^™^ ^ Л0,7, 7 =1, 2,..., а также

L2m — ©j A

j Ae,2m

©j^,2m(r) = ej+1/2m, /2m „ = O(1),

H

получим

и, значит,

T e ~2m L2mzj

<

H

L 2m — Ae,2m

»2m zj

= O(ej+1)

H

L 2m — A

e,2m

;2m

H

+ |Ae,2m|

,2m

H

= O(ej+1).

Так как ^з™ удовлетворяют граничным условиям задач а2™ и в2™ и в силу условий 1-3 имеем

-2m j

m- 1

p=1

2p

Dp»

-2m

H

+

D »2m

H

+

-2m j

H

< C e2(j+1)

Wj2m

w

2m

H

= O(1)) , а C > 0 — положитель-

где эд^ — ограниченная функция

ная константа, не зависящая от г и е. Отсюда сразу вытекают оценки для ¿з™, приведённые в условиях теоремы. □

4. Поведение собственных функций и собственных значений при неограниченном возрастании порядка уравнения т ^ го

Исследуем некоторые вопросы поведения собственных функций и собственных значений задач а2™ и в2™ при неограниченном возрастании порядка уравнения

- Ле,2: ^£,2:^) = 0, Ш ^ ГО.

Рассмотрим задачи A2m,B2m и A2m+2,B2m+2 для нахождения [фе^т.,7]^=1,

,2:+2,7],у=1, [Ле,2:+2,7]7=1 (собственные значения занумерованы

^TJ7=1 ^ LV-/£,2m+2,7J7=1>

с учётом монотонности)

j

j

j

2

2

2

Пусть Д2т+2ф и д2т+2ле

'е,2т+2 ||н

1,

г,2т || н

1.

Сформулируем следующую теорему.

Теорема 2. Если положительные самосопряжённые эллиптические операторы, действующие в Н(Пг), —2 , -2т удовлетворяют условиям 1-3 для .задач, А2т, Во, то справедливы следующие оценки при т то

Д2т+2 Л 2т Ле,п

<

ге ге

-2т+2 ^2т

<

2е'

2т

Д2т+2фе

<

2е'

2т

н ^ (2т + 2)!!'

н ^ (2т + 2)!!'

Доказательство. Положим Д2т+2- — г2т+2 - г2т — ^Т^Г ^2т+2. Из вариационной теории собственных значений получим

Ле,2т+2,п < 8Ир ((Д2т+2- + -ЦтМ , 1М1н — 1,

V 1 -1

(<£, Фе,2т,7)н — 0, 7 — 1, П - 1 < Ле,2т,п + А, где Л — наибольшее положительное собственное значение оператора д2т+2ь. по-

скольку Л ^

Д2т+2-

оценка

Д2т+2 Л а2т Ле,п

н

2т

имеем

д2т+2 л.

2т Ле,п

<

ге ге

^2т+2 ^2т

н

откуда следует

< 2е /(2т + 2)!!.

Для Д2т+2фе имеет место

Г2т+2 — Ле,2т+2

о^2т

Д2т+2фе — , , ^2т,

(2т + 2)!!

где ^2т — ограниченная функция (||У2т||н — 0(1)), причём (^т, Д2т+2фе)н — 0, значит оператор (г2т+2 — Ле,2т+2) имеет ограниченный обратный (Ь2т+2 — Ле,2т+2)н1 (псевдорезольвенту). Таким образом

2£2т . _1

Д2т+2фе — (2т + 2)!! 2т+2 — Ле,2т+^ ^ ^2т,

откуда следует, что

Д2т+2фе

<

2е

2т

н " (2т + 2)!!'

□

5. Построение асимптотического решения в случае линейного сингулярного осцилляторного

квазипотенциала

Рассмотрим краевую задачу В^т на оси [0, то+) для и(г) — кг2 + д/г2. Решением вырожденной краевой задачи Во является система функций:

фо,п — N ехр(—0, 5^2кг)(^2кг)8Е(—п, 28 + 1, 5, ^2кг), 8 — 0,25[—1 + л/1 + 8д],

А„ — /0, 5 к [4п + 2+ /1 + 8д], п — 1, 3, 5,....

Как было показано выше, для нулевого приближения ф2т,о,п — Фо,п. Отсюда найдём П2т,о,пф(р1) и ^2т,о,пф(р2)

т_1

П2т,о,пф(Р1) — £ Сок„ ехр( —«кР1), ^2т,о,пф(Р2) — 0, к=1

п «-и ^2т,0,п(0)

С0кп — £ Ак,в--'

з=1 1

Ам — ^-т, 1, в — 1,...,т - 1,

п («г - а8)

г=в

^ (—Г а2г—2

2-, (2г)! а

— А2д+1,3 — - ^^-—, 9 — 1, 2,..., (т - 1)/2, ¿,8 — 1,...,т - 1.

п (аг - а«)

В первом приближении мы получим ^2т,1,п — Фо,п, А2т,1,п — 0. Решением типа погранслоя в этом приближении будет функция:

т—1

П2т,1,„ф(р1) — Е С^п ехр(-а^р), ^2т,1,п^(Р2) — 0,

к=1

^ ^1Л ¿^2т,1,п(0) С1кп — е -¿г«-.

в=1

В следующем приближении мы получим ^2т,2,п — Фо,п, А2т,2,п — £4АП, п — 1, 3, 5,..., погранслойные функции в этом приближении имеют вид:

т—1

П2т,1,п^(Р1 ) — Е ^к„(г,е)ехр(-е—1ак"), ^2т,2,п^(Р2) — 0,

к=1

£) — йкп + Р1Ты,

т— 1

р=0 т— 1

Е (ак - а)

В — 1 в — _ в —_1_

П (аз - ак), П (а, - ак)2 , Р'к (ар - ак) П (аз - ак).

З^к з^к З^к

Таким образом, процедуру построения асимптотического ряда можно продолжить далее и построить асимптотическое решение рассматриваемой задачи с точностью до любого заданного порядка £.

6. Заключение

На основе методов теории сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений были рассмотрены краевые задачи для сингулярно возмущённого дифференциального уравнения высокого порядка. Полученные результаты свидетельствуют об эффективности метода пограничных функций для данного класса задач.

В рамках этой работы проведено исследование дифференциального уравнения порядка 2т с малым параметром при старшей производной и было получено следующее:

1) был применён метод пограничных функций и получена асимптотика собственных функций и собственных значений по малому параметру, отражающая погранслойный характер решений этого уравнения;

2) показана сходимость асимптотических решений к решениям соответствующих вырожденных краевых задач при £ ^ 0;

3) исследовано поведение собственных функций и собственных значений при неограниченном возрастании порядка уравнения m то;

4) рассмотрена задача на полупрямой для случая осцилляторного потенциала и построено асимптотическое приближение её решений для произвольного порядка m.

Литература

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — М.: Наука, 1989.

2. Logunov A. A., Tavkheltdze A. N. // Nuovo Cimento. — Vol. 29. — 1963. — P. 380.

3. Logunov A. A., Tavkheltdze A. N. // Nuovo Cimento. — Vol. 30. — 1963. — P. 134.

4. Logunov A. A., Tavkhehdze A. N. // Phys. Let. — Vol. 4. — 1963. — P. 325.

5. Kadyshevsky V. G. // Nucl. Phys. — Vol. B6. — 1968. — P. 125.

6. Kadyshevsky V. G., Mateev M. // Nuovo Cimento. — Vol. 55A. — 1967. — P. 275.

7. Kadyshevsky V. G., Mir-Kasimov R. M., Skachkov N. B. // Nuovo Cimento. — Vol. 55A. — 1968. — P. 1233.

8. Тихонов А. Н. // Мат. сб. — Т. 31(73), № 3. — 1952. — С. 575.

9. Вишик М. И., Люстерник Л. А. // УМН. — Т. 12, вып. 5 (77). — 1957. — С. 3.

10. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. — М.: Наука, 1973.

11. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высш. школа, 1990.

12. Бутузов В. Ф, Нефедов Н. Н., Федотова Е. В. // ЖВМиМФ. — Т. 27, № 2. — 1987.

13. Бутузов В. Ф, Нефедов Н. Н., Полежаева Е. В. // ЖВМиМФ. — Т. 29, № 7. — 1989.

14. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М., 1971.

15. Жидков Е. П., Кадышевский В. Г., Катышев Ю. В. // ТМФ. — Т. 3, № 2. — 1970.

16. Дамфорд Н., Шварц Д. Линейные операторы. — М.: Мир, 1974. — Т. 3.

UDC 517.958, 517.963

Asymptotic Solution of Boundary Problem for Relativistic Finite-Difference Schrodinger Equation with Singular Oscillator Quasipotential

I. V. Amirkhanov *, S. A. Vasilyev t, D. G. Vasilyeva t, A. F. Karaschuk t,

V. E. Denisov D. N. Udin §

* Joint Institute for Nuclear Research Joliot-Curie str., 6, Dubna, Moscow Region, Russia, 141980

t Peoples' Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya str., 6, Moscow, Russia, 117198

* TNK-BP Arbat str., 1, Moscow, Russia, 119019

§ IBM Central and Eastern Europe Donaostrasse, 95, Vienna, Austria, A-1020

Using the asymptotic methods the solution of boundary problem for the relativistic finite-difference Schredinger equation with the singular oscillator quasipotential is studied. For this problem eigenvalues and eigenfunctions are considered. It is shown that they have correct non-relativistic limits.