Динамика автоволнового фронта в модели развития урбоэкосистем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Динамика автоволнового фронта в модели развития урбоэкосистем

А. А. Мельниковаа, Н. Н. Дерюгинав

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: а [email protected], ь [email protected] Статья поступила 14.06.2017, подписана в печать 15.09.2017.

В работе рассмотрена нелинейная сингулярно возмущенная система параболических уравнений в двумерной области. Система может применяться для моделирования движения автоволнового фронта в модели развития урбоэкосистем в случае неоднородной среды, параметры которой меняются со временем. Асимптотический анализ задачи проводился с применением методов теории контрастных структур. Получено асимптотическое приближение решения типа фронта нулевого и первого порядков.

Ключевые слова: сингулярные возмущения, урбоэкосистема, автоволновое решение, внутренний переходный слой, система «реакция-диффузия».

УДК: 517.95. PACS: 02.30.Jr, 87.10.Ed.

Введение

В настоящей работе рассматривается краевая задача для нелинейной параболической системы в двумерной области. Это сингулярно возмущенная система уравнений с периодическими условиями по времени. Известно [1, 2], что в задачах подобного типа могут существовать решения с внутренним переходным слоем. В работе исследуется вопрос об асимптотике решения типа фронта. Данную задачу можно рассматривать как математическую модель распространения автоволнового фронта в двумерной области в случае неоднородной среды, параметры которой меняются со временем. В работах [3, 4] подобная система используется для описания развития урбоэкосистемы.

Рассматриваемая система относится к типу систем «реакция-диффузия», которые используются для моделирования переходных процессов различной природы в химической кинетике, биофизике, экологии и других областях. Нелинейные системы с различными коэффициентами диффузии компонент могут описывать формирование структур в диссипативных средах [5, 6]. В биофизике модель ФитцХью-Нагумо [7] в различных модификациях (см., например, [8]) применяется для описания волн возбуждения в активных средах. Модели на основе систем «реакция-диффузия» изучаются как аналитическими методами [9-12], так и в численных экспериментах [13-15].

Получение численных решений с внутренними переходными слоями в двумерном случае требует значительных вычислительных мощностей и применения методов параллельного программирования (см., например, расчет модели урбоэкосистемы в работе [4]). Прежде чем начинать численный эксперимент, целесообразно провести аналитическое исследование модели. Это позволит оценить адекватность модели, оптимизировать выбор начального приближения и сетки для численного счета.

В настоящей работе анализ системы уравнений проведен асимптотическими методами теории контрастных структур, ознакомиться с которыми можно в работах А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова и Н.Н. Нефедова (см., например, [16-18]). Асимптотический анализ позволяет определить характер зависимости решения от управляющих параметров и модифицировать модель так, чтобы наилучшим образом воспроизвести изучаемый процесс. Получено асимптотическое приближение решения типа фронта нулевого и первого порядков по малому параметру, определена форма и скорость фронта.

Системы параболических уравнений с решениями типа фронта рассматривались в работах [1, 19] для одномерного случая, а стационарное решение с переходным слоем для эллиптической задачи описано и обосновано в работе [2].

Решение типа фронта для краевой задачи типа «реакция-диффузия» с периодическими условиями получено в статье [20], вопрос создания динамических адаптивных сеток для сингулярно возмущенных задач с периодическими условиями изучен в работе [21].

Отметим, что полученная в настоящей работе асимптотика требует обоснования, которое может быть проведено по методу дифференциальных неравенств [22] через построение верхнего и нижнего решений, как это сделано в работах [1, 2].

1. Постановка задачи

В работе [4] предложена пространственно-временная модель урбоэкосистемы:

put — pDuAu = —p-1(u(u — a(x,y, t))(u — 1) + uv),

pvt — pDvAv = —yv + [iu, —L < x, y < L, t > 0; (1)

du

dx

du = 0, dv dv

x=TL ~ дУ y = ^L dx x=^L dy

y=TL

= 0.

Здесь 0 < p <1 — малый параметр, A — оператор Лапласа, a(x, y, t) >0 — функция, непрерывно диф-

ференцируемая по совокупности переменных, Y >0, в > 0 — параметры системы, yDu , yDV — коэффициенты диффузии, и — функция интенсивности антропогенных факторов, а v — функция интенсивности природных факторов. Урбоэкосистема — это экосистема города и пригорода, и переход от городской среды к сельской происходит в узкой пространственной области — городской окраине. Предполагается, что графики функций и и v имеют переходный слой, соответствующий переходу от городской среды к сельской. В работе [4] получено численное решение задачи (1) в виде движущегося фронта по каждой из компонент. Вопрос состоит в получении аналитического решения модельной системы.

В определенной области изменения параметров а, в, y многочлен в правой части первого уравнения (1) имеет три действительных корня (см. [4]) и может быть представлен в виде и(и — а(х, у, Т)) х х (и — 1) + uv = u(u — ф1 (v, х, у, t))(u — ф2{и, x, у, t)), где 0 < ^1(v, x, у, t) < -02(v, x, у, t). Чтобы проанализировать структуру решения, целесообразно рассмотреть метод построения асимптотического приближения решения задачи (1) для случая правой части первого уравнения, когда переменная v входит как малая добавка, один корень многочлена зависит только от времени, а второй только от пространственных переменных. Рассмотрим в области D с достаточно гладкой границей dD задачу

е4Ди — e4ut = u(u — у1^)) (и — у3(х, у)} — sv, s2Дv — s2vt = yv — и, (x, у) g D c R2, t g (0; +to),

ди

дп

=0

dD

dv

дп

= 0.

dD

(2)

Решение удовлетворяет периодическим условиями по времени и(х, у, t) = u(x, у, t+T), v(x, у, t) = = v(x, у, t+T) при (x, у) g D, t g (0; +то). Здесь 0 < s = y2 < 1 — малый параметр, Д — оператор Лапласа, D — ограниченная односвязная область с достаточно гладкой границей dD, jL — производная по нормали к LD. Параметр в и коэффициенты Du, Dv положили равными 1. Выбор периодических условий по времени позволяет в данной задаче не рассматривать вопрос формирования контрастной фронта в окрестности начального момента времени и вопрос согласования начальных и граничных условий.

Условие 1. Пусть у^Т), у3(х, у) непрерывно дифференцируемые функции при (х, у) g D, t g (0; +то), причем у^Т) <0< у3(х, у), и у^Т) — периодическая функция. Ниже будут сформулированы дополнительные условия на функции у^Т) и у3(х, у).

Известно, что в задачах, подобных (2), возможно существование решений с внутренним переходным слоем. Внутренний слой образуется как переход от одного устойчивого корня вырожденной системы (2) к другому (вырожденной называется система (2) при s = 0). Вырожденная система для настоящей

задачи имеет два устойчивых корня относительно и -компоненты: у^Т), у3 (х, у) и неустойчивый корень и = 0; устойчивые корни для v -компоненты: Y-V(T), Y-1 У3(х, у).

В работе получено асимптотическое представление периодического решения задачи (2) с внутренним переходным слоем, который в каждый момент времени t расположен в окрестности некоторой гладкой замкнутой кривой С с D. Внутри кривой С решение для и - и v -компонент Близко к решениям у3(х,у) и y-V3(x,у) вырожденной системы, а вне кривой — к корням у1(Т) и y-1 У1(Т) соответственно.

2. Общий вид асимптотики

Кривая С в каждый момент времени Т g (0; +то) разделяет область D на две части: с границей

С и D^ -, границей которой являются С и LD. Асимптотика решения задачи строится отдельно

в каждой из областей и D^ -:

и(х, у, t)

u( )(x, у, t), (x,у) g D^ \

u(+)(x, у, t), (x,у) g D^+),

v(x, у, t)

v( )(x, у, t), (x, у) g D^ \

v(+)(x, у, t), (x, у) g D^+).

Функции u( ), u(+) , v( ), v(+) имеют вид

u(u)(x,у, t) = u0t)(x, у, t) + Q0u)u(£, 0, t) +

+ M)u)u(a, 0, t) + su|t)(x, у, t) + sQj(t)u(£, 0, t) +

+ sM(t)u(ct, 0, t), (3) v(u)(x, у, t) = v)t)(x, у, t) + q0t)v(£, 0, t) +

+ M)t)v(ct, 0, t) + su|t)(x, у, t) + sQ( u)v(£, 0, t) +

+ sM( u)v(a, 0, t).

Здесь Uu^(x, у, t), Vu)(x, у, t) — члены регулярной части асимптотики; Q(±)u(£, 0, t), Q(±)v(£, 0, t), M(±)u(ct, 0, t), M(±)v(ct, 0, t) (i = 0, 1 ) — функции переходного слоя, описывающие решение вблизи кривой С; £ = г/s, а = г/s2 — переменные переходного слоя, (г, 0) — локальные координаты точки (x, у) в окрестности кривой С.

Определим положение кривой С условием пересечения и-компоненты решения задачи (2) с неустойчивым корнем и = 0 вырожденной системы: u(x, у, Т)(х,у)ес = 0.

Асимптотические представления (3) согласованы до непрерывности на кривой С в каждый момент времени Т:

и0u'>(х,у, Т)(х,у)ес + Q0u)u(0, 0, Т) + M0U)u(0, 0, Т) +

+ suу, Т)(х,у)ес + sQ|t)u(0, 0, Т) +

+ sM(u)u(0, 0, t)= 0, (4)

V0т)(х, у, Т)(х,у)еС + Q0U)v(0, 0, Т) + M0U)v(0, 0, Т) +

+ svу, Т)(х,у)ес + sQ|t)v(0, 0, T) +

+ sM( u)v(0, 0, t) = v*(0, t),

где v*(0, t) — значение v-компоненты на кривой перехода. Функцию v*(0, t) представим в виде суммы

v* (в, Т) := v0($, t) + £v1(0, t), (5)

каждое слагаемое которой будет определено в процессе построения асимптотического решения.

Потребуем также, чтобы на кривой С были согласованы до непрерывности первые производные функций u(-)(x, у, Т), u(+')(x, у, Т), v(-)(x, у, Т), v(+)(x, у, Т), взятые по нормали к С:

ди(т ) ди(+) дv( ) дv(+)

дп с дп С дп с дп

(6)

3. Регулярная часть

Действуя по методу пограничных функций [17], получим для регулярной части асимптотики соотношения

«От^х, у, Т) = ^(t), u0+)(x, у, Т) = <р3(х, у),

v>0-^(x, у, Т) = Y-V(T), v0+)(x, у, Т) = Y-V3(x, у).

(7)

Функции регулярной части первого порядка «1-)(х, у, t) = -Y-1 (^3(х, у) - <p4t)) 1,

«1+)(х, у, t) = Y-1 (^3(х, у) - <p4t)) 1 ,

v[-)(x, у, t) = -y-2 (^3(х, у) - -р1 (Т)) 1 , v|+)(x, у, Т) = y-2 (р3(х, у) - рЧт)) 1 .

4. Функции переходного слоя

4.1. Переход к локальным координатам

Выберем в области D точку O(x0, у0) и перейдем к полярной системе координат (р,в), р ^ 0, 0 < в < 2п с центром в точке О по формулам

х = х0 + р cos в, у = у0 + р sin в. (8)

Для упрощения записи будем считать х0 = 0, у0 = 0. В координатах (р, в) кривая С задается уравнением

р = р*(в, Т) := р0(в, Т)+ ер1 (в, Т). (9)

Для описания переходного слоя в 5-окрестности кривой С стандартным способом (см. [16]) вводятся локальные координаты (г, в). Величина |г | — это расстояние от точки (x, у) до кривой С вдоль нормали к С; г >0, если точка (х, у) лежит внутри области, ограниченной кривой С; г < 0, если (х, у) находится вне этой области; г = 0, если (х,у) е С; в — тот же полярный угол, что и в формулах (8).

Если 5-окрестность {(0 < |г| < 5) х (0 < в < 2п)} достаточно узкая, т. е. величина 5 достаточно мала, чтобы нормали проведенные из различных точек кривой С не пересекались внутри этой окрестности, то существует однозначное соответствие между координатами (х, у) и (г, в), которое задается формулами

х = р* (в, Т) cos в — г - sin а,

(10)

у = р* (в, Т) sin в + г • cos а,

где

sin а =

cos а =

р* (в, Т) sin в + р* (в, Т) cos в ^р*(в, t)2 + р*1Ш ’

р* (в, Т) cos в - р* (в, Т) sin в

{-sin а, cos а} — координаты единичной внутренней нормали к кривой С.

Для упрощения записи формул будем обозначать функции

«0т)(р* cos в - г sin а, р* sin в + г cos а, Т)

как «0т)(г, р*, в, Т) и аналогичные обозначения будем применять для других функций переменных (х, у), в частности через р3(г, р*, в) обозначим функцию р3(р* cos в - г sin а, р* sin в + г cos а). Введем полезную в дальнейшем функцию

[(u, v, г, р*, в, Т, е) := «(« - р^Т))(и - р3(г, р*, в)) - ev.

(11)

Сформулируем условия на функции ^1(т)

и р3(х, у).

Условие 2. Пусть уравнение ^1(Т) + р3(0, р0, в) = = 0 определяет простую замкнутую гладкую кривую С0: р = р0(в, Т) € D, в € [0; 2п], t е (0; +то) , причем функция р0(в, Т) — периодическая с периодом Т. Кривая С0 является нулевым приближением кривой перехода С.

Условие 3. Пусть функции Р3(г, р*(в, Т), в) удовлетворяет условию (0, р0(в, Т), в) = 0 при всех

в € [0; 2п], Т € (0; +то) .

4.2. Система уравнений для определения функций переходного слоя

Асимптотика решения вблизи кривой перехода С задается Q - и М-функциями, зависящими от растянутых переменных £ и а. Запишем выражения для оператора задачи Д - JT в переменных (£, в, Т) с учетом разложения р* в сумму (9):

д2

Д - дТ = е 2 д£2 + е 111 + Е е‘ 2L

д£2

i=2

и в переменных (а, в, Т):

д

д2

Д - dt = е 4 д02 + е 2^2 + 12 е *Ni,

да2

где Li, N, i ^ 1, — дифференциальные операторы первого и второго порядка, коэффициенты которых зависят от неизвестных пока функций р0(в, Т), р1(в, Т), определяющих кривую С (см. (9)). В частности,

д

L1 = р0 sin^ - а)(а$ + 1) — +

р0р0Т

д

+

д£ (р^в + е2)'/а д£

д

+ (р0вав c°s(^+а)+р0вв sin(в - а)+2р0в cos(в - а)) —.

(12)

Уравнения для функций Q(t)u(£, в, t),

Q(t)v(£, в, t) (i = 0, 1) получаются приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях е в равенствах

е2 д!^ + £ ek+2LkQ(T)u =

ое

к=1

= f(u(T) (е£, р*, в, Т) + Q(t)u, v(t) (е£, р*, в, t) + Q(t)v,

е£, р*, в, Т, е) -

-f (й(т) (е£, р*, в, Т), и(т) (е£, р*, в, Т), е£, р*, в, Т, е), ^Q(Т)V + £е^(^ = yQ(t)v - Q^u, (13)

д£2

k=1

(tL

где u(t) := u0T) + е^т), Q(T)u := Q0T)u + еQ и аналогичный смысл имеют обозначения и(т), Q(t)v (аргументы опущены).

Уравнения для функций M(T'>u(a, в, Т),

M(t'>v(g, в, t) (i = 0,1) получаются при выделении коэффициентов при одинаковых степенях е в равенствах

d2M(T)u

до2

+ ^ екЫкМ(^)

k=2

= f(u(T)+ Q(t)u + M(t)

- f (u(T) + Q(T)u,

u=

u, v(t) + Q(t)v + M(t)v,

е2о, р*, в, t^j -

v(t) + Q(t)v, е2о, р*, в, Л,

е

2 d2M(T)v до2

+ Y^ еК-2ЫкМ(т^ =

k=2

= yM(t)v - M(t)u

(14)

где M(t)v := m0t)v + еМ(т^, M(t)u := M0T)u + + еМ^^, аргумент г функций ы(т) , и(т) заменен на е2о, аргумент £ функций Q(t)u , Q(t)v заменен на ео. Например, под ы(т) подразумевается й(т)(е2о, р*, в, Т).

4.3. Функции переходного слоя нулевого порядка

Функции M(t)v при I = 0, 1 определяются из задач

d2M.(T)v

= 0, M(t)v(^to, в, Т) = 0,

до2

которые имеют только тривиальные решения: М0т^(о, в, Т) = 0, М(т^(о, в, Т) = 0.

Здесь и далее в g [0; 2п] и t g (0; +то) рассматриваются как параметры.

Функции переходного слоя нулевого и первого порядков получаются из соотношений (13), (14) выделением коэффициентов при е0 и е1 после разложения входящих в них функций по формуле Тейлора по степеням е. Дополнительные условия получаются из условий непрерывности (4) и условий

убывания на бесконечности |Q(t)v(^to, в, Т)| = 0,

|M(t)u(^to, в, Т)| = 0, i = 0, 1.

Функции Q0T)u определяются из уравнений

(:

77(Т)

(0, р0, в, Т) + Q0T)u - <р>х (Т)) х

х ^0т)(0, р0, в, t) + Q0T)^ х

(0, р0, в, t) + Q0T)u - ^3(0, р0, в)) = 0.

u

7Г(Т)/

Решения этих уравнений: q0t)u(£, в, Т) = 0.

Функции q0t)v(^, в, Т) определяются из задач

d2Q0T)v

= yQ((t)v

д^2 _ '^0

q0t)v(0, в, Т) = 00(в, t) - v0t)(0, р0, в, Т),

0

Q0T)v(t^, в, Т) = 0, решения которых легко выписать:

Q0-)v(£, в, Т) = (v0(в, t) - y-V(T)) е^, (15)

Q0+W, в, t) = V(в, t) - y-V(0, р0, в)) е-^\ Запишем уравнения для функций M^u:

d2M0T)u

до2

х

= (й0т)(0, р0, в, t)+ М0Т)^ х (4t)(0, р0, в, t) + M0T)u - ^1(Т^ х х ^й0т)(0, р0, в, t) + M0T)u - ^3(0, р0, в^.

Уравнения для функции М0 )u определены при о < 0, а для функции m0+)u — при о ^ 0. Введем непрерывную функцию

и(о, в, Т) :=

u0 )(0, р0, в, Т) + м0 )u(о, в, Т), о < 0, ^ы0+)(0, р0, в, Т) + м0+)u(о, в, Т), о ^ 0. Запишем уравнение для функции и(о, в, Т):

д2« _ _ _

до^ =и(и - ^1 (Т)) (и - ^3(0, р0, в)), -то < о < +то.

о (16) Будем искать такое решение уравнения (16), которое удовлетворяет условиям

и(-то, в, Т) = ^1 (Т),

и(+то, в, Т) = ^3(0, р0, в),

и(0, в, Т) = 0. (17)

Уравнение второго порядка (16) эквивалентно системе уравнений

ф=ди, дФ=-^1(t))(u-лр0,в)), (18)

для которой точки (^1(Т);0) и (^3(0, р0, в);0) являются точками покоя типа седла на фазовой плоскости (и, Ф). Существование решения задачи (16), (17) означает существование соединительной сепаратрисы между этими точками покоя, которая имеет вид параболы [23]: Ф(и) = k (и - ^1(Т)) (и - ^3(0, р0, в)). Функцию Ф(и) подставим в систему (18), например, так, как это сделано в работе [19], определим

постоянную k = - 1/л/2 и получим уравнение для относительно функции р0(в, Т]:

-Ч0 + -3(0, ро, в] = 0. (19)

Уравнение (19) разрешимо в силу условия 2.

Учитывая, что Ф = Ц, запишем уравнение первого порядка для функции ы(а, в, t]:

ly = —J2 (и - -1 (Т]) (и - -3(0, ро, в]).

Выпишем решение этого уравнения, удовлетворяющее условию ы(0, в, t] = 0:

и(а, в, t] =

= -4Q-3(0, ро, в) (1 - ехр(Ка(-3(0, р0, в) - у1 (О))) У1 (t) - -3(0, ро, в] ехр(Ка(-3(0, ро, в] - -40)) '

В выражение (15) входит неизвестная функция ^(в, Т], которую можно определить из условий сшивания производных (6). Запишем условия сшивания с учетом перехода к локальным координатам (г, в]:

Чг ((0'/л т)+i^T(0 М] =

=о+1^04 (0 , в , о.

1 8Q(-]u

(20)

ди( ] .

— (0 , р*, в, Т) + -dr -

д£

:(0, в, Т] +

1 дМ( ]и ди(+]

+ ——*------(0, в, Т) = -JT— (0, р*, в, t] +

-2 да

дг

. 1 dQ(+]u (0 в Т] . 1 дМ(+] и Т]

+ -“д^"(0, в, Т] + (0, в,Т].

Выделяя в равенствах (20) старшие слагаемые с коэффициентом --1 в первом равенстве и с коэффи-

_2

циентом - 2 во втором, получим

дQ0 ] v

(0, в, Т]

дм0-]и

да

(0, в, Т]

дQ0+)v

д£

(0, в, Т],

дм0+]и

да

(0, в, Т].

Подставляя в первое равенство выражения (15) для функций qQt)v(£, в, Т], получим

^(в, Т] = 0.

Можно проверить, что производные функций м(т]и(а, в, Т] равны при а = 0, если р0(в, Т] — решение уравнения (19).

4.4. Функции переходного слоя первого порядка

Продолжая действовать по алгоритму метода теории контрастных структур, запишем задачи для функций Q|t)u(£, в, Т], Q(t)v(^, в, Т], М(т]и(а, в, Т].

Из соотношений (13) получаются выражения для функций Q(t)u(£, в, Т]:

У(1Т](0, р0, в, Т] + Q |t)u =

= Т

vQt)(0, Р0, в, Т) + QQt)v(£, в, Т) 4т)(0, ро, в, Т] (у3(0, ро, в] - у 1 (Т))

Подставим выражения для qQt)v(£, в, Т] и найденные ранее функции регулярной части и выпишем решения уравнений (21):

Qi(t)u(£, в, Т] = Т-7-370-^------ту. (22)

т(у3(0, ро, в] --40)

Функции Q,(t)v(£, в, Т] определяются из уравне-

ний

д^(т)г

+ А(в, Т]

дQ0т)v

= yQ ( т]v - Q,( t)u.

Здесь А(в, Т] — коэффициент при д| в дифференциальном операторе L 1, заданном выражением ( 1 2). Уравнения для функции Q(-)v определены при £ < 0, а для функции Qj(+]v — при £ ^ 0.

После подстановки известных функций QQt)v(£, в, Т] и Q(t)u(£, в, Т] (см. (22)) придем к уравнениям

д^(-]

д£2

- yQ ,( ]v =

-^А(в, t]eVY£ -

,VY£

д2Q (+]

vy

y(-3(0, ро, в] - - 1 (т)) ’

(23)

- yQ (+] v =

д£2

-М»^ А(в. Oe-vY£ +

,-Уг£

VY ' y(-3(0, ро, в] - - 1 (т))’

которые будем решать с дополнительными усло-

виями

Q(т)и(тх, в, Т] = 0,

Q(t)v(0, в, Т] = v 1 (в, Т] - V 1 ^](0, ро, в, Т],

где v1(в, Т] — второе слагаемое суммы (5). Решения уравнений (23) можно выписать в явном виде:

Q( ]v(£, в, Т] = ^ +

1

Y2(-3(0, ро, Т] - -1 (Т))

+£e£VY (-А(в Т]- (Т)______________1___________

+£ I (,) 2y 2yV7(-3(0, ро, в] --40)

- | eVY +

У

)■

Q!+Iv(£' М>=(V1 - y2(-3(0. ро1 О --1 (0) )

+ £е-£У^ ^А(в, Т]-3(Qр0, в) +

(24)

е-£Уг +

+

2yVy(-40, ро, в] --40)

Условие непрерывности асимптотических разложений (20) для v-компоненты в нулевом порядке по - дает равенство

дv( ]

дГ (0, ро. в.т] +

дQ( ]v

(0, в, Т] =

V

= Ёдр (о, ла т)+dp (ОЛ t).

Подстэвим в равенства выражения (7) и (24) и найдем функцию v( (0, Т):

1

v>(0> Т) 272(^3(0, ро, 0) - <р((Т)) ' 2Т^Г dr

fо, Т) := <

Введем обозначения

(О, ро, 0, t), v0-)(0, ро, 0, Т) +

+ q0-)v(£, 0, Т),О,ро, 0, Т,о), £ < О, F«(u0+)(O, ро, 0, t), v0+)(O, ро, 0, Т) +

+ q0+)v(£, 0, t),0, ро, 0, Т,о), £ ^ О; fu(ст, о, Т) := fu(u(<r, о, t), Vo, о, ро, 0, Т, О), f(а, 0, Т) := др*(«(ст, 0, t), Vo, О, ро, 0, Т, О),

где функция f (u, v, r, р*, 0, t, e) задана выражением (11).

Функции M(t)u(ct, 0, t) определяются из задач

o2m(t)u

дст2

1 " - /«(ст, 0, T)M(t)u = F(ст, 0, Т),

M(t)u(0, 0, Т) = -w(t)(0, t), M}t)u(t«, 0, t) = О,

где

F(ст, 0, t) = /u(ct, 0, 0^(0, t) + -д-(ст, 0, Т)р1 -

w(t)(0, t) = й(т)(0, рО, 0, t) + Q,(t)u(0, 0, t) +

+

дйОт)

др*

+ Ф(ст, 0, Т)

Ф 2(ст(, 0, Т) Dct( х

дст

дст

Выпишем производные Шда u (О, 0, Т), используя выражения (27):

dM(T)u (О, о, Т) = -дФ(о, о, Т)Ф-1 (о, о, T)w(^(о, Т) +

дст дст

+ Ф-1(О, 0, Т)

Ф(ст, 0, t)F(ст, 0, Т) Dct. (29)

+^ ^ (О, ро, 0).

^ТО

(25)

Справедливы равенства

дф д^и

— (о, о, Т) = ^ (о, о, Т) = f (о, Vo, о, ро, 0, Т) = О,

Ф(ст, 0, t)fu (ст, 0, Т) Dct =

^ТО

^ fu (u, Vo, ро,, о, Т) Dct =

^ТО

= f (u, vo, О, ро, 0, Т)|ю(.з = О,

Ф(ст, 0, t) Dct = -<р((Т),

Ф(ст, 0, t) Dct = -^з(0, рО, 0).

(3О)

(26)

Подстэвим в (28) выражения (29), учитывая равенства (3О), и придем к уравнению относительно р1 (0, Т):

Fu (о, о, Т)^((Т) (й(-)(0, ро, о, Т) + Q(-)u(0, о, Т^ +

+7u(0, о, Т)^з(0, ро, 0) (й(+)(0, ро, о, t) + Q(+)u(0, 0, Т)) +

■ /u(0, о, Т) («(т)(0, ро, о, Т) + Q(t)u(0, о, Т)) ,

+то

+ р1

df

Ф(ст, 0, Т) —— (ст, 0, t) Dct = О. др*

(0, Po, 0, т) • р1.

Здесь через р( обозначена функция р((0, Т), входящая в сумму (9). Решения задач (26) можно выписать в явном виде:

M{t)u(ct, 0, Т) = -Ф(ст, 0, Т)Ф-1 (О, 0, T)w(t)(0, Т) +

Из равенств (21) с учетом краевых условий для функций Q(t)v(£, 0, Т) при £ = О получим

-р1 (Т) ^u( )(О, рО, 0, t) + Q( )u(0, 0, t)j =

Vi(0,Т)

^з(0, ро, 0) - р1 (Т)’

(О, ро, 0) (й(+)(0, ро, 0, t) + Q|+)u(0, 0, Т))

vi(0,Т)

Ф(ст2, о, t)F(ст2, о, t) Dct2, (27)

^з(0, ро, 0) - р((Т)'

Уравнение для р((0, Т) принимает вид

^ТО

где Ф(ст, 0, Т) = дст (ст, 0, Т).

В выражения (27) входит неизвестная функция р((0, Т), которую можно определить из условия сшивания производных (2О) для u-компоненты в порядке 0(е-1):

dM,(-V ^ ч dM,(+)u л ч

1 -(О, 0, Т) = —1--(О, 0, Т). (28)

+ ТО

р1

Ф(ст, о, Т)Д- (ст, о, Т) Dct = О. (31)

др*

Найдем производную df (ст, 0, Т), дифференцируя функцию f (u, v0,0, р*, 0, Т, О), заданную выражением (11):

f(ст, 0, Т) = др*(О, ро, 0)-«(ст, 0, Т) («(ст, 0, Т) - р1 (Т)) . Вычислим интеграл:

+Ж

Ф(а, в, Т) д-(а, в, t) da =

— Ж

др3

~др*

+ Ж

(0, ро, в)

— Ж

u(a, в, t) (u(a, в, Т) - р((Т))

ди

da

da =

др3

др*

(0, ро, в)

р3(0,ро,в)

р1(т)

2

цр((Т)) du =

( Яр3

= 3 W(0, Р0, в) И0, Р0, в) - р((Т)) х

2

X (р3(0, Р0, в)) = 0.

Коэффициент при pi в уравнении (31) отличен от нуля по условиям 1 и 3 (при вычислении интеграла было использовано условие 2), поэтому уравнение имеет только тривиальное решение

Р1(в, t) = 0.

Выпишем выражения для функций и(х, у, t), v(x, у, t) — асимптотического приближения решения:

и(х, у, t)

v(x, у, t)

и{R, в, t) + eu|—)(х, у, t) +

+ £Q( -и (§, в, t) + §м( -и (§j, в, t) , Vх2 + У2 > Р0(в, t),

< и{R, в, Т) - р3(0, р0, в) +

+ р3(х, у) + ей^)(х, у, Т) +

+ eQ(+)и (§, в, Т) + оМ^и (§2, в, Т) ,

л/х2 + У2 < Р0(в, Т);

. (32)

Y-1р1(Т) (1-ехр(уД§)) + §v(1 )(х,у, Т) +

+ Q( ^v (§7 в, 0 , л/х^+у2 ^ pо(в, t),

< 7—(р3(ху) (( - exp(-VY§)) +

+ §v(+)(х, у, t) + Q(+)v (§, в, Т) ,

^х2 + У2 < Р0(в, Т).

(33)

Под г в формулах подразумевается локальная координата в окрестности кривой С.

5. Пример

Рассмотрим пример задачи (2). Пусть область D — это круг х2 + у2 ^ 0.9 и пусть функции р((Т) и р3 (х, у) задаются выражениями р((Т) = -0.75 - 0.125 cos(2nt), р3(х, у) = U - х2 - у2. Для функций р1 (Т), р3(х, у) в области D выполнены условия 1-3. Функция р0(в, Т), задающая положение фронта в нулевом порядке, определяется

из уравнения (19): р0(в, Т) = 1 - cos82nt.

Уравнение кривой фронта р = р0(в, Т) не зависит от в, поэтому = 0. Можно показать, что в этом случае ав = 0 и коэффициент А(в, Т) в выражении (24) для функции Q(t)(^, в, Т) принимает вид А(в, Т) = (р0т(в, Т) - р0(в, Т)).

Если р0в = 0 и р((в, Т) = 0, то формулы (10) перехода к локальным координатам упрощаются: х = (р0(в, Т) - г) cos в, у = (р0(в, Т) - г) sin в. Из этих соотношений можно выразить г : г = Р0(в, Т) -

- д/х2 + у2 .

Вычислим v(^, Т) по формуле (25):

vi (в, Т) =

1

272(р3(0, р0, в) - р((Т))

+

др3

+ т^= ^(0, Р0, в) =

2

2^/7 дг y2(6 + cos 2пТ)

д (

(2

2

+

+ 27/7 дг (И - (л(вт) - г )2)

г=0

___________________Р0 (в, Т)

Y2(6 + cos 2пТ) 7^7 '

Период Т изменения решения задается периодом функции р((Т) и равен 1.

u(x,0,t)

Рис, 1. Сечение асимптотики первого порядка и(х, у, Т) при у = 0 в различные моменты времени. Параметры: § = 0.05, 7 = 2

Рис. 2. Сечение асимптотики первого порядка v(x, у, Т) при у = 0 в различные моменты времени. Параметры:

§ = 0.05, 7 = 2

Графики функций и(х, у, Т), v(x, у, Т), заданных формулами (32), (33), приведены на рис. 1 и 2.

Заключение

В работе получено асимптотическое приближение периодического решения задачи с внутренним

переходным слоем. Внутренний слой локализован в окрестности замкнутой кривой, которая с точностью 0(е2) задается функцией р0(в, t). Скорость фронта W(в, t) определяется производной ^dpta (q, t).

Полученное решение обладает четкой структурой: внутри кривой фронта решение для u -компоненты Близко к функции <^3(х, у), а вне кривой — к периодической функции <^*(Т) (для v -компоненты наблюдается аналогичная структура решения). Отметим, что переходный слой v -компоненты сосредоточен в е-окрестности кривой перехода, тогда как для u-компоненты слой локализован в е -окрестности кривой.

Отметим, что полученная асимптотика требует обоснования, которое может быть проведено по методу дифференциальных неравенств [22] через построение верхнего и нижнего решений, как это сделано в работах [1, 2].

Приведенный метод построения асимпотического приближения решения может применяться для анализа моделей автоволновых процессов в активных средах и получения приближенного решения модели урбоэкосистемы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 16-01-00437, 15-01-04619).

Список литературы

1. Левашова Н.Т., Мельникова А.А. // Дифференциальные уравнения. 2015. 51, № 3. С. 339. (Levashova N.T., Mel’nikova А.А. // Differ. Equations. 2015. 51, N 3. P. 342.)

2. Бутузов В.Ф., Левашова H.T., Мельникова А.А. // ЖВМ и МФ. 2013. 53, № 9. С. 9. (Butuzov V.F., Levashova N.T., Mel’nikova А.А. // Comput. Math. Math. Phys. 2013. 53, N 9. P. 1239.)

3. Сидорова А.Э., Левашова H.T., Мельникова А.А., Семина А.Е. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон.

2016. № 6. С. 39. (Sidorova А.Е. et al. // Moscow University Phys. Bull. 2016. 71, N 6. P. 562.)

4. Сидорова А.Э., Левашова H.T., Мельникова А.А., Семина А.Е. // Математическая Биология и биоинформатика. 2017. 12, № 1. С. 186.

5. Murray J.D. Mathematical Biology II. New York: Sprin-ger-Verlag, 2003.

6. Meinhardt H. Models of biological pattern formation. London: Academic Press, 1982.

7. FitzHugh R. // Biophys. J. 1961. 1, N 6. P. 445.

8. Zarnitsina V.I. et al. // J. Nonlinear Sci. 2001. 11, N 1. P. 57.

9. Ham Y. // J. Comput. Appl. Math. 1999. 103. P. 287.

10. Hagberg A., Meron Е. // Nonlinearity. 1994. 7, № 3. P. 805.

11. Wu S.L., Zhao H.Q. // Commun. Nonlinear Sci. Nu-mer. Simul. Elsevier B.V. 2011. 16, N 9. P. 3610.

12. Larralde H. et al. // Phys. Rev. A. 1992. 46, N 10. P. 855.

13. Чуличков А.Л. et al. // Математическое моделирование. 2000. 12, N 3. С. 75.

14. Kessler D., Levine H. // Nat. Mater. 1998. 394, N 6693. P. 556.

15. Prum R.O., Williamson S. // Proc. R. Soc. B Biol. Sci. 2002. 269, N 1493. P. 781.

16. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. школа, 1990.

17. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Нефедов Н.Н. // Автоматика и телемеханика. 1997. № 7. С. 4.

18. Божевольнов Ю.В., Нефедов Н.Н. // ЖВМ и МФ. 2010. 50, № 2. С. 276.

19. Melnikova А., Levashova N., Lukyanenko D. // Lecture Notes in Computer Science. 2017. 10187. P. 492.

20. Волков B.T., Нефедов Н.Н. // ЖВМ и МФ. 2006. 46, № 4. С. 615.

21. Lukyanenko D. V. et al. // Model. Anal. Inf. Syst. 2016. 23, N 3. P. 334.

22. Pao C.V. // J. Math. Anal. Appl. 1999. 234, N 2. P. 695.

23. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука, 1980.

The dynamics of the autowave front in a model of urban ecosystems A. A. Melnikovaa, N. N. Deruginab

Department of Mathematics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University.

Moscow 119991, Russia.

Е-mail: a [email protected], b [email protected].

A nonlinear singularly perturbed system of parabolic equations in a two-dimensional domain is considered. The system can be used to simulate the motion of an autowave front in a model of the evolution of urban ecosystems in the case of an inhomogeneous medium whose parameters vary with time. An asymptotic analysis of the problem is performed using methods of the theory of contrast structures. An asymptotic approximation of a front-type solution of the zero and first orders is obtained.

Keywords: singular perturbations, urban ecosystem, autowave solution, internal transition layer, reaction-diffusion system.

PACS: 02.30.Jr, 87.10.Ed.

Received 14 June 2017.

English version: Moscow University Physics Bulletin. 2018. 72, No. 3. Pp. 284-292.

Сведения об авторах

1. Мельникова Алина Александровна — канд. физ.-мат. наук, ассистент; e-mail: [email protected].

2. Дерюгина Наталья Николаевна — магистр; тел.: (495) 939-10-33, e-mail: [email protected].