Устойчивость трансверсально-изотропной оболочки вращения при осевом сжатии Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.36:521.1

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 1

К. А. Антипов, К. Г. Петров, А. А. Тихонов

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ МЕТОД ТРЕХОСНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА*

В работе [1] впервые опубликован метод полупассивной стабилизации космического аппарата (КА), движущегося по кеплеровой круговой орбите в геомагнитном поле, основанный на использовании электродинамического эффекта влияния лоренцевых сил, воздействующих на заряженную часть поверхности КА. Доказано, что путем управляемого изменения радиуса-вектора ро центра заряда КА относительно центра масс КА можно создать управляемый момент лоренцевых сил и использовать его в качестве восстанавливающего в окрестности прямого положения равновесия КА в орбитальной системе координат. Предложен определенный вариант закона управления радиусом-вектором ро, реализующий данный метод для орбит с небольшими наклонениями i и вырождающийся для средних и больших значений i.

В данной работе дается обобщение указанного метода на случай произвольного положения КА в орбитальной системе координат и предлагается новый закон управления, пригодный для орбит с любыми наклонениями. Доказывается возможность использования лоренцевых сил для трехосной стабилизации динамически симметричного КА в орбитальной системе координат.

Рассматривается КА, цещ^ масс котоpого движется в ньютоновском центральном гравитационном поле Земли по круговой кеплеровой орбите радиуса R. Пpедполагает-ся, что КА снабжен заpяженной повеpхностью (этаном) площади S с pаспpеделенным по ней с плотностью а электpическим заpядом Q = f a dS. Исследуется вращательное

S

движение КА относительно его центра масс в орбитальной системе координат1 Српр (рис. 1) с началом в центре масс КА, ось Ср(ро) коте^ой направлена по касательной к

орбите в сторону движения, ось Сп(ро) —по нормали к плоскости орбиты, ось Ср(ро) —

-» -> -»

вдоль радиуса-вектора R = Оз С = Rpo центра масс КА относительно центра Земли О3. Исследование пpоводится с учетом вpащения орбитальной системы координат относительно инеpциальной системы с угловой скоростью и>о. В качестве инеpциальной системы кооpдинат пpинимается система ОзХ*У*Z*, ось O3Z*(к*) коте^ой направлена по оси собственного вpащения Земли, ось О3Х*(i*) —в восходящий узел оpбиты, а плоскость (X*Y*) совпадает с плоскостью экватс^а. Используется также жестко связанная с КА система его главных центральных осей инерции Cxyz (орты i,j,k). Оpиентация орбитальной системы координат относительно системы O3X*Y*Z* определяется на основании равенств i* = — sin u ро + cos u ро, j* = cos i cos u ро — sin i по + cos i sin u ро,

к* = sin i cosu ро + cos i По + sin i sinu (ро, где i = (k*, про) —наклонение оpбиты;

u = (i*, Со) —аpгумент шиpоты, причем u = ^о^, где и>о — орбитальная угловая скорость центра масс КА.

Ориентация осей xyz относительно осей рпр определяется матрицей A направляю-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-01073) и Рособразования (грант № 1216-РО2).

1 В работе используются правые декартовы прямоугольные системы координат. © К.А.Антипов, К.Г.Петров, А.А.Тихонов, 2006

Рис.1. Рис.2.

щих косинусов аг, вг, Y i (i = 1, 2, 3) так, что имеют место равенства

ро = aj + a2j + азк, ро = + въЗ + взк, Со = YiÍ + 72р + 7зк.

Если определять ориентацию КА в орбитальной системе координат с помощью «самолетных» углов р, в, ф (рис. 2), то элементы матрицы A примут вид

а1 = cos ф cos в, а2 = — cos р sin ф + sin р cos ф sin в, а3 = sin р sin ф + cosp cos ф sin в, в1 = sin ф cos в, в2 = cos р cos ф + sin р sin ф sin в, в3 = — sin р cos ф + cos р sin ф sin в, 71 = — sin в, y2 = sin р cos в, 73 = cos р cos в.

В процессе движения КА относительно геомагнитного поля взаимодействие заряда экрана с геомагнитным полем приводит к возбуждению сил Лоренца. Главный момент этих сил относительно центра масс КА определяется по формуле

M Л = J ер х (v х B ) dS,

где р — радиус-вектор элемента dS экрана относительно центра масс КА, а v — скорость элемента dS относительно геомагнитного поля. В работе [2] показано, что при нецентральном распределении заряда момент Mл можно аппроксимировать выражением

^ (1) T

Мл = P х A (vc х Be), (2)

где P(1) = Qj0, p0 = x0i + y0j + z0k = Q-1 f apdS — радиус-вектор центра заряда КА относительно его центра масс,

vc = R — йз х R = R(u0 — из cos i) <jo + Ru3 sin i cos u jo

— скорость центра масс КА относительно геомагнитного поля, йз = из к* —угловая скорость суточного вращения Земли, Bc — вектор магнитной индукции геомагнитного поля в центре масс КА, заданный своими компонентами в орбитальной системе координат. Такая аппроксимация момента MЛ допустима при не слишком малых величинах

|ро| ввиду пренебрежимо малого в этом случае влияния характера распределения заряда по поверхности экрана на динамику КА. В условиях квадрупольного приближения геомагнитного поля вектор В с определяется по формуле [2]

'Box Ben 1 B0'C/

Rз R

sin u — cos u 0 \ 0 0 — 1 |r M(1) +

^2cosu 2sinu 0 J

4 12sinu —2cosu 0 0 13 cos u 3 sin u

+

Дз R

0 t

—2 |г М(2)Г 0

cos u sin u 0

(3)

где Г

cos ф — sin ф 0

cos i sin ф cos i cos ф sin i | , ф — часовой угол восходящего узла, — sin i sin ф — sin i cos ф cos if

M(1)

M(2)

'з<?22 - Ы

3h22

Ы

3h2

I

— 3*72 ~~ 2^2 2^2 2 92

— мультипольные тензоры 1-го и 2-го рангов, представляющие собой соответственно дипольный и квадрупольный магнитные моменты, выраженные через гауссовы коэффициенты дпт, кт [з].

Для нахождения проекций момента Мл на оси х,у,г представим выражение (1) в виде

а в1 7Л / ъспВсх ^ «2 р2 72 I I -ъс^Всс 1 . (4)

вз 73/ \vceBcn - ЪСгВа;

ММ Л = Q(xoi + yoj + zok) х

В работе [1] показано, что момент Мл лоренцевых сил может значительно превышать гравитационный и другие возмущающие моменты и может использоваться как восстанавливающий момент в системе ориентации КА.

Пусть программное движение КА в орбитальной системе координат задано некоторым значением матрицы направляющих косинусов А = Ао(£). В частности, матрица Ао может быть постоянной. Например, в [1] был рассмотрен случай, когда матрица Ао —единичная. Подставляя А = Ао в выражение (2), найдем такие значения вектора Р , при которых Мл обращается в ноль в программном режиме движения КА, т. е. является восстанавливающим моментом в окрестности ориентации Ао. Очевидно, что о(1)

вектор Р должен удовлетворять условию

L(1)

QkA0 (ve х Be),

где к = к(Ь) —произвольная скалярная функция. При этом координаты центра заряда определяются по формулам

xo = k(í)[aio venBez — Piove^Bez + 7io(vexBen — venBex)],

yo = k(í)[«20 vevBez — foovetBez + Y2o(vexBev — vevBex)], zo = k(í)[«3o vevBez — foovetBez + Y3o(vexBev — vevBex)]-

(5)

Следовательно, если координаты центра заряда КА будут изменяться по закону (5), то момент Мл будет восстанавливающим в окрестности заданного положения и может

3

быть использован для поддержания заданной ориентации КА. Равенства (5) можно рассматривать как закон управления положением центра заряда для осуществления заданной ориентации КА.

С учетом гравитационного момента Mг, как наибольшего из всех возмущающих моментов, и диссипативного момента Мд дифференциальные уравнения вращательного движения КА под действием Мл, Mг = 3c2 jo х (Jjo) [4] и Мд строятся по схеме Эйлера—Пуассона:

-^-(JcJ) + LU х (JcJ) = Мл + Mr + Мд,

d М М d М (6) -77С0 = Со X Ш - WoCo, -17V0 = V0 X и, —Со = Со X UJ + UJоСо, dt dt at

где J = diag(A, B,C) — тензор инерции КА в системе координат Cxyz, cJ — абсолютная угловая скорость КА. В качестве диссипативного момента будем рассматривать момент Мд модельного типа, пропорциональный относительной угловой скорости КА в орбитальной системе координат: Мд = -Иди', где Нд = diag(h1, h2, hg), hi > 0 (г = 1, 2, 3), w' = cJ — МО = pi + qj + rk. Тогда

Мдх = — hi(cx — JoPi), Мду = —h2(cy — uofh), Мдг = —hg(cz — овз)-

Пусть моменты инерции КА таковы, что A = B = C .В этом случае, как следует из уравнений (6), существует положение одноосной гравитационной ориентации, определяемое моментом Mг, в котором ось Cz коллинеарна оси CQ (т. е. ф = в = 0), а положения осей Cx и Cy не определены (угол ф может принимать любые значения). Покажем, что момент Mл позволяет при наличии демпфирования обеспечить стабилизацию КА в положении равновесия, соответствующем любому наперед заданному значению угла ф и нулевым значениям углов ф и в. Для этого подставим в (5) значения ф = в = 0, ф = фо =const. Закон полупассивного управления КА в данном случае примет вид

xo = —k(vc^Boz sin фо — vavBcz cos Фо),

yo = —k(vc$Bcz cos фo + vcvBcz sin фo), (7)

zo = k(vc$Bcv — vcvBcx)-

Выбор коэффициента k(t) может быть осуществлен исходя из различных соображений, например из условия равенства единице {po)t — среднего по времени значения jo. В этом случае

R\3

к=1.Ж

1/128 j ^288 d1 — 39 d2 + 136 d3 — 52 mj2 — 200 m233 —

— 26m11 m22^j cos6 г — (шd1 + 23d2 + 264d3 + 116m22 — 600m233 —

— 70 m11 m22) cos4 i — (544 d1 + 85 d2 — 120 d3 + 28 m22 + 600 m23+ + 142 m11 m22) cos2 i + (416 d1 + 147 d2 + 8 d3 + 194 m122 + 200 m332 + 392 m11 m22) |r| + 1/16{ ^10gf — 7d4) cos4 i — (б d4 + 20cos2 i —

— 8 go h1 cos i sin3 i +13 d4 + 10 go 2 } R2

J32+

+ 1/8{ ^24 ¿1 - 3 ¿2 + 12 ¿3 - 8ш12 - 16 ш|3 - 4 шц ш22) сое5 г - 2 (^8 ¿1 - ¿2+ + 12 ¿3 + 4ш22 - 16 ш33 - 6 шц ш22^ сое3 г - - (2 - 12 (3 - 12 ш^2 + 16 ш|3+ + 20 шц ш22^ сое г}яЗ + 1/2 - Я2 сое г 8т2 г (^0 - ^э сое + + {-11/64^16 ¿1 - 3(2 + 8 (3 - 4 ш122 - 8 ш332 - 2 шц ш22) сое4 г+ + 1 /32(48 ¿1 +43 (2 + 8 (з + 36 Ш122 - 152 Ш332 + 50 шп сое2 г+ + 1 /64^208 ¿1 + 97 (2 + 72 (3 + 172 ш22 + 216 ш33 + 22 ш11 ш22) }яэ2+

+ {1/2(4 сое2 г - 2д0 Ь\ сое г 8т г + 1/2 ^3 (4 + 2д0^ }я2 (^0 - сое г)

(-0,5)

где шц = 3д| - д0/2, Ш12 = 3Ь|, Ш22 = -3д2 - д0/2, Ш13 = 3д1/2, Ш23 = 3^/2,

Шзз = д0, ¿1 = ш2з + ш2з, ¿2 = ш?1 + ш22, ¿з = Ш33 (шп + Ш22), ¿4 = М + д^ .

Для выяснения возможности практической реализации управления (7) целесообразно оценить модули функций х0 (£), у0 (£) и г0 (£) для наиболее реальных значений параметров КА и его орбиты.

С помощью ЭВМ выполнены расчеты максимальных по времени значений |р01 для параметров орбиты из диапазона 0 ^ г ^ 90°, 6800 км ^ Я ^ 13200 км. На рис. 3 показаны результаты расчетов для граничных значений радиуса орбиты: кривая 1 соответствует Я = 6800 км, а кривая 2 — Я = 13200 км. Промежуточным значениям радиуса соответствуют кривые, заполняющие пространство между кривыми 1 и 2.

Рис. 3.

Из рис. 3 видно, что |р01 принимает значения порядка 1 м для орбит с произвольными наклонениями и, следовательно, практическая реализация рассматриваемого закона управления не вызывает принципиальных трудностей.

Докажем, что полупассивное упpавление (7) пpи наличии демпфиpования в системе КА pешает задачу трехосной стабилизации КА в орбитальной системе координат. Вначале рассмотрим случай малых значений наклонения г и докажем существование и асимптотическую устойчивость положения pавновесия у = в = 0, ф = фо =соп81, а затем рассмотрим случай произвольных значений наклонения г и докажем устойчивость данного положения pавновесия при постоянно действующих возмущениях.

При рассмотрении малых колебаний КА справедливо предположение о малости углов у, в и ф\ = ф — фо и их производных по времени. Поэтому в окрестности рассматриваемого положения равновесия моменты Мл , Мг и Мд могут быть разложены в ряды по степеням этих малых величин. В результате получим их проекции с точностью до членов второго порядка малости в виде

млх = lii (t)f + li2 (t)e + li3 (t^i, мгх = 3^¡2(c - A)f, мдх = -hif,

Млу = li2 (t)f + l22(t)e + l23 Шъ мгу = 3w2(c - А)в, мду = -h2e,

Мл2 = li3 (t)f + l23(t)e + l33 (t^i, Mrz = 0, МД2 = -h3*i>i

где ln(t) = -Qk [(vcnBce - vceBcv)2 + (vce cos фо + vov sin ф0)2В2сc] li2(t) = l2i(t) = -Qk(vce cos фо + vcv sin фо)^сп cos фо - vce sin фо)ВСz, li3(t) = l3i(t) = Qk(vc^Bcn - vcvBcx)(vcv cos фо - vce sin фо)Всх, l22(t) = -Qk [(vc^Bce - vceBcv)2 + (vcn cos фо - vce sin фо)2В2сJ , l23(t) = 1з2 (t) = -Qk(vcxBcv - vcvBcx)(vcx cos фо + vcv sin фо)Bcz, l33(t) = -Qk(v2c e + v2c V)B2C z.

Динамические уравнения Эйлера (6) в матричной форме примут вид

(8)

f

+ H

f

\ф1

f

+ M ( в

\ф1>

+ X = 0,

(9)

J

hi 0 иоС\ где H = ( 0 h2 0 к-^оС 0 h3

(4ш1(Л - С) - lii(t) li2(t) -li3(t)N

-li2(t) 3wl(A - C) - l22(t) -l23(

-li3(t) -l23(t) -l33(t)

X—вектор с компонентами Xj(t, tp, 6,ф\) (j = 1,3), нелинейным образом зависящими от Компоненты тц(t) матрицы M, зависящие, вообще говоря, от малого параметра sin г, представим в виде суммы членов тЦ (t), не зависящих от г, и членов mj(t), содержащих множителем малый параметр sin г. Тогда

M = M(0) + sin г ■ M(1) =

= diag(3^02(A - С), :íu2(A - С), 0) - (¡m\t)) +sni ■(-¡%)(t)).

Рассмотрим систему линейного приближения уравнений (9) при i = 0:

J I в J + H i в J + M(0) j 0 I =0.

Поскольку при i = 0 имеют место равенства vq£ = R(^o — 3), vcn = vcq = 0, i ' 3

Bc£

K3 \¿

-j^-j <j 3!1 sin м0 - /г} cosmo +

Кз

g2 sin(2m0) — h2 cos(2m0)

{Кз\3 ( Кз Bcr, = ( j \ ~9i ~ 3-^ gl cosmo + К sin м0

Б,

cz

Кз\ [ i i 3 R3

— j <2g1cosu0+ 2h1smu0 +- —

6g2 cos(2m0) + 6h2 sin(2u0) — g00

(10)

где и0=и-ф, то 4°}(í) = -kQvlx(Bl<v + B'¿x cos'2 ф0), = '-Qv2C!íB2cc¡ sin 2ф0

(0)/

l^t) = —hQvlBcrBcz sin Ф0, l20)(t) = —kQv'C¿B'Cn + Blz sin2 Ф0),

l23)(t) = —kQv'c^BcvBcz eosФ0, l33)(t) = —kQv2cBcZ,

где Bc£, Bcn, Bcz определяются по формулам (10).

Представим lj0)(t) в виде lj0)(t) = j + "j0)(t), где j = (lj\t)}¿ —среднее по t

значение функции l(0)(t). Тогда

l(0icp = —Qkv2c¿&cn)t + Bcz)t eos2 Ф0),

l(2cp = Qkv2ci(B2c()t sin Ф0 eos Ф0, l(3Cp = —Qkv2c6{BcvBcx)t sin Ф0, l2lp = —Qkvl¿&2cn)t + Б2z)t sin2 Ф0),

l(3Cp = —¿BcnBcz)t eos Ф0, 43Cp = —¿Б2Сc)f.

Вычислим необходимые средние по времени:

6 п /г, \ 8

02 9 Кз

(0)

ю,:=* (f)6 (f )8 ++<)

(Во,Вое), = | №) KsS - 2(s;si +/.¡tí)].

Соответственно и матрица М будет представлена в виде

М = МСР) + М(0) (г) + втг М(1)(^.

Далее, аналогично проделанному в п. 4 работы [1], нетрудно доказать с использованием теорем Беллмана [5] и Малкина [6], что рассматриваемое положение КА устойчиво для малых г при постоянно действующих возмущениях, а для достаточно малых г —

асимптотически устойчиво. Тем самым обоснована применимость предлагаемого метода полупассивной стабилизации КА в рассматриваемом положении равновесия для орбит малого наклонения.

Перейдем к рассмотрению задачи о стабилизации КА, находящегося на орбитах среднего и большого наклонений. Представим матрицу M в виде M = Mcp + M(í). Здесь матрица Mcp — результат покомпонентного усреднения матрицы M по времени, т. е.

(4w2(A — C ) — l 11 ср —l 1 2ср —l 13ср\

— ¿12ср 3^Q(a — C) — 122ср —123ср I ,

— 113ср —123ср —133ср/

где Incp = —Qk[(v2CvB2cç)t + vl¿(B2cn)t + (BQc)t cos2 фо) + (vQVB2Cc)t sin2 фо+

+2vc£i({vcnBc z)t cos фо sin фо — (vc^Bo^B^) t)],

l12cp = l21cp = —Qk[vci(vcvB2cz)t cos 2фо + ((vQ()t — v2cx(BQx)t)sinфо cos фо],

l13cp = l31cp = Qk[(vcx(vcvBcvBcç) t — (v2qv Bc^Bcq) t )cos фо+ +vcç((vcnBcçBc()t — vcç (Bcn Bcz ) t )sin фо],

lcccp = —Qk^nB2,ç)t + v2c¿(BCn)t + (BQz)t sin2 фо) + (v^B2,c)t cos2 фо —

—2vcç((vcnBQc)t cos фо sin фо + (v^Bc^Bcn)t)],

l23cp = l32cp = —Qk[(vcç(vcnBcnBcc)t — (vQnBcçBcz)t) sin фо+ +vcç(vcç(BcnBcc)t — (vcvBoxBox)t)cosфо],

l33cp = —Qk(v2c¿B2c¿)f + (vCnBCc)t).

Вычислим необходимые средние:

(BCn)t = 1/2 ^cos2* + (g12 + h12)sin2i)R36R-6 + 9((hQ2 — hQ2 + g12 — 1/2gf — —gQ2)cos4i + 1/4 (—3 g12 — 3 hQ2 + 2gf )cos2i + hQ2 + gQ2 + 1/4 (g12 + hQ2 )) R38 R-8,

О ООО o

(v2CnB2CÍ)t = —1/32 w32R38R-6( —153 hQ — 153g1 — 36 hQ — 50g£ +150 g^ cos2i —

2 2 2 2 2 —81cos6ig1 + 225cosQig1 +9 h1 cos4i + 225 h1 cos2i + 36 hQ cos6i+

+50 gf cos6 i — 150 gf cos4 i — 36 gQ2 — 180 cos2ihQ2 + 180 cos4igQ2 — 180 cos2 igQ2+

+180 cos4ihQ2 + 36 cos6igQ2 + 9cos4ig12 — 81 hQ2cos6i) —

— 1/16 W32 (—2 h12cos2i — g12 — h12 — 6 gf +3 g12cos4i — 6 g02cos4i + 3 h12cos4i —

—2 g12cos2i + 12 g02cos2i)R36R-4,

(vcriBcíBcn)t = —1/4sin2i cos i (g12 — 2 g02 + hf)^ R36R-5 + 3/8 cos i((6 hQ2 — —9 h12 + 6 gQ2 + 5 gf — 9 g12)cos4i + 2 (6 hQ2 + 3hQ2 — 5 gf + 3g12 + 6gQ2)cos2i+

+5 gf — 18 hQ2 +3 hQ2 + 3 g12 — 18gQ2 )w3 R38R-7,

BeZ)t = 9/8(9/2h22 + 9 cos2 igl2 + 27/2 cos4 ihf — 15/2g2 cos2 i+ +27/2 cos4 igf + 9 cos2 ig|2 — 27/2 cos4 ig^2 — 27/2hf cos4 i + 9h22 cos2 i+ +27/4g°°2 cos4 i + 11/4до2 + 9cos2 ihf + 9/2g22 + 27/8(h|2 + gf))R3R-8+ + (h12 cos2 i + gl2 + hl2 + до2 — 2g0hl cos i sin i — до2 cos2 i + gl2 cos2 i)R3R-6,

(vCBc)t = —1/64^з2R38R-6(—45g02 + 162 (cos4igf +cos2ig2 2 — h\2 — gl 2) — —810 h22 — 162 h22cos6i + 162 hl 2cos4i + 162 hl 2cos2i + 162 h|2cos6i + 81 g02cos6i— — 135 g02cos4i + 162 cos6ig|2 + 486 cos2ig|2 — 162 cos6 igl 2 + 486 cos2ih22 + + 162cos4ih22 + 99g02cos2i + 162cos4igl 2 — 810 gf) — 1/4 w32R36 R-4(—g02 +

+2 hpcos2i — 3 gj; 2 — 3 h^ — 2 g0 hl cos3i sin i—

0 0 ООО

—g0 cos4i + gl cos4i + 2 g0 hl cos i sin i + 2 gl cos2i + 2 g0 cos2i + hl cos4i),

(ver,Be6Bec)t = 3/16 щ R37R-6(g0 g0 sin2 i(3 cos2 i +1) — 7gl gl — 7 hl h2 — —2 cos2i(h l hl + gl gl¡ ) + 9 g l cos4igl + 6 g0 hl cos i sin3 i + 9 h \h2 cos4i),

(BevBcX)t = 3/4(2hl g0 cos2i + (3g0 g0 — 7gl gl — 7 hl hl)cos3i+ +(3 h2 hl — g0 g0 + 3gl gl)cos i)R3!R-7 ,

(vcvBbc)t = -

(vcvBcvBec)t = 0.

Рассмотрим сначала систему линейного приближения уравнений (9):

J j + H ^0 j + M ^ 0 j =0. (11)

Если заменить в ней матрицу M ее средним значением, получим

J j + H ^ 0 j + Mcp ^ 0 j =0. (12)

С помощью замены x i = ф, Х2 = 0, хз = фi , Х4 = p, X5 = 0, X6 = фi систему (11) можно привести к безразмерному виду

x = (N + N (t))x,

(13) 87

где

N

(-hi А С

Auj 0 0 ~A

0 -h2 0

Auj 0

1 0 -h3

C^o

1 0 0

0 1 0

0 0 1

tllcp

м

t!2cp

м

0 0 0

¿12cp hscp

M

^22cp ¿23cp

'23cp ¿33cp

CJ0

0 0

0 0

0 0

Система X = Nx (безразмерный вид системы (12)) имеет ограниченные решения на полуоси [0, тогда и только тогда, когда действительные части корней характери-

стического уравнения det(A/ — N) = 0 неположительны. Проведенный с помощью ЭВМ численный анализ показал, что существует область параметров ИСЗ и его орбиты, при которых выполнено это условие и, следовательно, в этой области действительные части собственных значений матрицы N удовлетворяют неравенствам a.j < —Д, j = 1..6, Д = const > 0.

Согласно [7] (с. 169-170), введем в рассмотрение функцию

exp

Д

5 (12 max \Nij \)k к\

k=0

Обозначим через D наибольшее значение этой функции на полуоси [0, Если

~ 6 ~ Д

||N(t)|| = max \пц\ < т0 нулевое решение системы (13) (или (11)) асимито-

j i=i 2

тически устойчиво [7]. Следовательно, нулевое решение исходной нелинейной системы (9) будет устойчивым при постоянно действующих возмущениях [6].

Большое количество проведенных численных экспериментов показывает, что если параметры системы удовлетворяют неравенствам

4ш$(А — C) — lnCp > 0, 3ug(A — C) — ¡22cp > 0, ¡33cp(3^o2(A — C) — I22cp) + (I23cp)2 < 0,

то есть матрица Mcp положительно-определенная, то все перечисленные выше условия удовлетворяются и, следовательно, стабилизируемое движение = в = 0, ф = фо = const устойчиво при постоянно действующих возмущениях.

Таким образом, доказана возможность использования лоренцевых сил для трехосной стабилизации динамически симметричного КА в орбитальной системе координат.

Расчеты подтверждают, что для реальных условий эксплуатации КА возможно осуществить полупассивную стабилизацию КА в магнитном поле Земли известными техническими средствами.

С целью подтверждения эффективности предложенного метода полупассивного управления и апробации его для конкретных значений параметров КА, орбиты и начальных условий движения проведена серия численных экспериментов с помощью ЭВМ.

Для каждого набора значений параметров КА, его орбиты и начальных условий движения расчеты выполнялись по двум математическим моделям — соответственно

4

- 1 +

3

k

t

при наличии полупассивного управления по закону (7) и при его отсутствии. В результате построены графики зависимостей «самолетных» углов ориентации КА от аргумента широты — безразмерной угловой величины и = ^о^ на интервале 0 ^ и ^ 60, что соответствует примерно 10 оборотам КА по орбите.

На рис. 4 приведены результаты расчетов стабилизируемого движения КА ф = в = 0, ф = фо = 1 при следующих значениях параметров КА и его орбиты: Я = 7 • 106 м,

_ Л________ 1 1 1 1 1

1 / ------ -------

1 1___________,

г 1

7.............

\ \ \ Ч________J \!___^ J

! ! 1 1 ! 1 ! !

0 10 20 30 40 50 60

Рис. 4.

i = 1.045 рад, A = 103 кг-м2, Q = 5 ■ 10~3 Кл, C/A = 0.75, hl = h2 = h3 = h = 0.5. В качестве начальных значений выбраны р(0) = 0.2 рад, ф(0) = 0.2 рад, 0(0) = 0.2 рад, Шх(0) =0.1 рад/с, Шу(0) = 1.1 рад/с, (0) =0.1 рад/с.

Сплошной линией показана зависимость р = р(и), пунктирной — ф = ф(п), точечной — в = в (и).

На рис. 5 представлены колебания КА при отсутствии управления при тех же значениях начальных условий (коэффициент демпфирования также сохраняется). В этом случае для координат центра заряда были взяты следующие значения: xo = yo =

0, zo = 1 м.

Сравнение графиков на рис. 4 и 5 показывает, что введение в систему КА предложенного полупассивного управления позволяет за короткое время достичь режима стабилизированного движения.

Summary

K. A. Antipov, K. G. Petrov, A. A. Tikhonov. The electrodynamical method for attitude stabilization of a dynamically symmetric spacecraft.

The electrodynamical method of semi-passive attitude stabilization of an orbital spacecraft is under consideration. The method exploits the Lorentz force influence of geomagnetic field on a charged spacecraft surface. The development of the method for arbitrary inclinations of the orbit and arbitrary stabilyzing attitude positions of spacecraft in the orbital frame is proposed. The convenience of the method for attitude stabilization of a dynamically symmetric spacecraft in the orbital frame is proved.

Литература

1. Тихонов А. А. Метод полупассивной стабилизации космического аппарата в геомагнитном поле // Космич. исследования, 2003. Т. 41. №1. С. 69-79.

2. Петров К. Г., Тихонов А. А. Момент сил Лоренца, действующих на заряженный спутник в магнитном поле Земли. Ч. 2: Вычисление момента и оценки его составляющих // Вестн. С.Петербург. ун-та. Сер. 1. 1999. Вып. 3 (№15). С. 81-91.

3. Mandea M. et al. International geomagnetic reference field — 2000 // Physics of the Earth and planetary interiors. 2000. Vol. 120. P. 39-42.

4. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1975. 308 с.

5. Беллмамн Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: Иностр. лит-ра, 1954. 216 с.

6. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

7. Мартынюк А. А. и др. Устойчивость движения: метод интегральных неравенств. Киев: Наук. думка, 1989. 272 с.

Статья поступила в редакцию 23 июня 2005 г.