Идеально жесткопластическое течение в тонком зазоре между сближающимися соосными конусами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.376

ИДЕАЛЬНО ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТОНКОМ ЗАЗОРЕ МЕЖДУ СБЛИЖАЮЩИМИСЯ СООСНЫМИ КОНУСАМИ

Д. В. Георгиевский1

Проведен асимптотический анализ краевой задачи о безынерционном осесимметрич-ном течении идеально жесткопластического несжимаемого материала в зазоре между сближающимися соосными конусами. В качестве малого геометрического параметра взято отношение расстояния между коническими поверхностями к длине образующей. С помощью процедуры асимптотического интегрирования аналитически найдены коэффициенты нескольких главных членов разложений скоростей и напряжений. Определены подобласти. где асимптотичность заведомо отсутствует.

Ключевые слова: идеально жесткопластическое тело, тонкий слой, коническая поверхность. асимптотические разложения, скорость, напряжение, давление, сжатие, выдавливание.

An asymptotic analysis of the boundary value problem on the inertialess axially symmetric flow of a perfectly rigid plastic incompressible material inside a clearance between two approaching coaxial cones is performed. The ratio of the distance between the conical surfaces to the length of the generatrix is taken as a small geometric parameter. By means of the procedure of asymptotic integrating, the coefficients of several principal terms in the expansions for both velocities and stresses are obtained in analytical form. The subdomains where the asymptotic behavior is known to be absent are determined.

Key words: perfectly rigid plastic solid, thin layer, conical surface, asymptotic expansions, velocity, stress, pressure, compression, squeezing.

1. Описание системы и постановка задачи. Область Q, занятая несжимаемым идеально жееткоплаетичееким материалом е пределом текучести as, представляет собой тонкий слой между абсолютно жесткими соосными конусами с углом раствора (3, 0 < (3 < п (рисунок). В цилиндрической системе, связанной с одним из конусов (на рисунке с нижним), координаты точек Q описываются неравенствами

Q = {r<l sin ¡3, r ctg /3<z<b + r ctg ¡3, 0 ^ 0< 2п}, (1)

где \OOi\ = b, \OA\ = l, a = b/l ^ 1. Нижний конус неподвижен, а верхний поступательно движется вниз со скоростью V, выдавливая пластический материал под углом вверх вдоль образующих. Будем рассматривать безынерционное приближение процесса (квазистатику) и пре-

(r, z)

осесимметричным случаем деформирования, так что вектор скорости v имеет физические компоненты vr = vr (r, z), vz = vz (r, z), v$ = 0.

Кинематические храничные условия

z = r ctg (3 : vr cos в — vz sin (3 = 0; z = b + r ctg /3 : vr cos в — vz sin (3 = V sin (3 (2)

означают безотрывность и непротекание сквозь неподвижную и движущуюся конические поверхности. Касательные составляющие скорости на них, как в любой невязкой среде, не задаются, и проскальзывание может быть сколь угодно интенсивным.

Другие граничные условия статические описывают силовые характеристики сцепления пластического материала с охраничивающими его поверхностями. Количественно они выражают величину (долю предела текучести при сдвиге т3 = as/\/2), которую достигает модуль касательной компоненты тензора напряжений в каждой точке границы. Равенство этого модуля величине Ts соответствует абсолютной шероховатости (m = 1), или максимальному сцеплению. Параметр шероховатости m (0 <m ^ 1)

1 Георгиевский Дмитрий Владимирович доктор физ.-мат. паук. проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ. e-mail: georgievОmecli.matli. msu.su.

может зависеть от координат, что предполагает определенную технологию изготовления поверхностей конических стенок. Сформулируем статические граничные условия позже, по ходу изложения.

Система шести уравнений (r, z)-осесимметричной теории идеальной пластичности в Q включает два уравнения равновесия, два независимых условия соосности девиатора напряжений s и девиатора скоростей деформаций, совпадающего в силу несжимаемости с самим тензором скоростей деформаций, а также критерий пластичности Мизеса-Генки и условие несжимаемости:

p,r + srr,r + srz,z + - {srr - See) = о, (3)

srz

-p,z - (srr + See),z + Srz,r + -y = 0, (4)

Vr

Srr— = seevr,r, (5)

r

Srr(Vr,z + Vz ,r) — 2srzvr,r, (6)

2

2,2, ,2 _ 2 _ f7\

Srr Sgg -+- SrrS$$ + Srz — Ts — ( I)

Vr

Vr,r H---b Vz>z = 0. (8)

r

Здесь неизвестными являются шесть функций координат: vr, vz, srr, Sqq, srz и давление p. При этом szz — -srr — Sqq, srQ — s$z = 0. Запятые в индексах соответствуют частному дифференцированию.

Квазистатическое деформирование идеально жесткопластического материала (течение Сен-Венана) между сближающимися жесткими поверхностями давно является предметом пристального изучения в теории обработки (прессовки, вытяжки, ковки) материалов давлением и восходит к классической задаче Прандтля [1-4]. Известны различные обобщения этой задачи [5-8] на случаи сжимаемости течения, упругой деформируемости обрабатывающих поверхностей, учета динамики процесса выдавливания и других эффектов. В последние годы в упомянутых задачах интенсивно развивается [9-15] аналитическая методика асимптотического интегрирования с малым геометрическим параметром а тонкого слоя. Эта методика позволяет без привлечения дополнительных кинематических и статических гипотез, например о линейности распределения по толщине слоя касательных напряжений и поперечных скоростей, строить

а

— 1 о

вых двух членов асимптотических разложении с а 1 и а приводит к ее классическому точному решению (разумеется, в рамках приближения тонкого слоя).

Во всех приближениях, о которых идет речь, необходимо учитывать область применимости получаемых асимптотических решений. Так, решения не имеют места: а) в окрестности торцевых сечений тонкого слоя, где материал вытекает из зазора, так как граничные условия на свободной поверхности торца удовлетворяются не в каждой точке, а интегрально; б) в окрестности тех точек, где нарушается асимптотичность рядов [16] (аналоги среднего по простиранию сечения в задаче Прандтля). В случае б возможна ситуация, когда не все точки данной окрестности вовлечены в пластическое течение (например, так называемые гидростатические точки, в которых девиатор напряжений — нулевой тензор), в результате чего возникают жесткие зоны с подлежащими определению границами.

Отдельно отметим обобщение, связанное с введением в идеально жесткопластическую модель вязкости. В получающейся задаче о выдавливании сближающимися плитами вязкопластической среды, или среды Бингама, анализ существенно зависит (см. историю вопроса в [13]) от выбираемых граничных условий на поверхностях плит. Если это условия безотрывного непротекания, то решение в целом подобно решению Прандтля с сохранением сингулярностей продольной скорости и давления. Если же принимаются условия полного прилипания (а это уже возможно в силу наличия вязкости и сцепления соседних слоев), то решение становится аналогичным возникающему в плоском вязкопластическом течении Пуазейля с конечными скоростями и давлением, а также наличием жесткой зоны в середине слоя по толщине.

2. Разложения по малому геометрическому параметру. Вместо vr и vz в шестерке разыскиваемых в (3)-(8) функций vr, vz, srr, sqq, srz, p для удобства введем новую пару неизвестных компонент vx и vy:

vx — vr sin в + vz cos в, vy — vz sin в — vr cos в; vr — vx sin в — vy cos в, vz — vy sin в + vx cos в, (9) зависящую, как и srr, s$$, srz, p, от пространственных переменных x и y:

x — r sin в + z cos в, y — z sin в — r cos в; r — x sin в — y cos в, z — y sin в + x cos в■

В этих переменных область Q тонкого слоя (1) описывается неравенствами

Q = {0 <x<l, 0 <y < b sin в, 0 < в < 2п} (10)

с точностью до формы границы торцевого сечения, находящегося в зоне краевого эффекта, а также с точностью до окрестности отрезка [OOi], соединяющего вершины конусов. Криволинейная система {x, y, в} как и {r, в, z}, ортогональна и не вырождена при y = x tg в) т.е. r = 0.

xy

странственные переменные £ и ц:

И- '»)

меняющиеся в прямоугольнике 1 х sin в, и разложим неизвестные функции в ряды по малому геометрическому параметру а:

vx = V (a-1 v¡-1} + vX°} + av¡1} + ...), Vy = V (v{0} + av¡1} + ...);

(12)

seY = TS{ sf! + aslY + ...), (в, y) = {(r, r), (9,9), (r, z)}, p = тД a-1p{-1} + p{0} + ap{ 1} + ...),

причем безразмерные коэффициенты разложений с верхней чертой — функции от £ и п в формуле (11).

Структура рядов (12), а именно сингулярность при а ^ 0 продольной компоненты скорости vx и давле-p

а

давления при а ^ 0 говорит и о неограниченности суммарной силы, необходимой для того, чтобы соединить конусы и выдавить весь пластический материал из конического зазора.

Степенные разложения (12) являются асимптотическими рядами в смысле Пуанкаре в точке (x,y), или степенными асимптотиками [16, с. 30-31], если выполнены определенные соотношения порядка. На-

vx p

vXn+1}(í,n)an+l = o{vXn}(C,v)an), а ^ 0, n > -1, (13)

^^ " Е = o{v¡N\^)aN), а 0, N > -1,

n=-1

p{n+1}(£,n)an+1 = o(p{n}(£,п)ап), а ^ 0, n ^ -1, (14)

^ - Е P{n4C,v)an = o(pW(C,v)aN), N > -1.

TS i

n= - 1

Равенства (13) и (14) — условия асимптотичности последовательностей {^Хп}(£,п)ап} и {ps{n}(£,п)ап} в точке (£, п) при а ^ 0. В некоторых точках (£, п) прямоугольника 1 х sin в (или при пересчете (11) в (x, y)

разложений должна быть выбрана отличной от (12).

3. Асимптотическое интегрирование. Подстановка разложений (12) в (9), а затем в систему уравнений (3)-(8) и уравнивание коэффициентов при одинаковых степенях dn (n ^ —2) приводит к системе восьми уравнений главного асимптотического приближения

p{-1} = 0, — p{-1} sin в + p{0} cos в — sjrn cos в + sin в = 0, (15)

p{-1} cos в + p{0} sin в + (v{?} + s{0}) n sin в + ■{Г} cos в = 0, (16)

v{x-l} = 0, vX-1}s{0} = (v{-1} sin2 в — vX0} sin в cos в + v{0} cos2 в), (17)

s{r} [2 (v{;¡1} — у{0}) sin в cos в + vX,} (sin2 в — cos2 в)] = 2v{Z} (v{-1} sin2 в — vX,} sin в cos в + у{0} cos2 в), (18)

(■^r-}) + (S(9(9^ + 2sír} + (■{r}) = 1, (19)

(£vX-1} )¿ + S^í} =0 (20)

относительно восьми неизвестных функций с чертой и верхними индексами { —1} (две штуки) и {0} (шесть штук). Каждая из шести групп равенств (15)—(20) — следствие соответствующих равенств (3)-(8). Выделим несколько этапов процедуры асимптотического интегрирования.

1°. Из первого равенства (17), условия несжимаемости (20), кинематических граничных условий (см. (2))

П = 0 : v{0} = 0; п = sin в : v{0} = — sin в

и факта отсутствия источников-стоков в вершинах конусов можно найти главные члены компонент вектора скорости:

= f, 40} = (21)

2°. Рассмотрим теперь систему двух уравнений (15) и уравнения (16). Продифференцируем обе части (16) и аналогичного ему уравнения (15) по п и учтем, что p{-i} от п не зависит. Два раза интегрируя по п каждое из получившихся равенств, запишем

(p{0} — s{0}) cos в + s{Z sin в = bi(£) — ai (£)п, (Р{0} + s{0} + 4в}) sin в + cos в = Ы£) — ^(Оп, где ai, a2, bi и b2 — некоторые функцин £. Отсюда следует, что

(sf) — sí0}) sin в cos в + (sin2 в — cos2 в )40} = b(£) — а(()п, (22)

где b = bi sin в — b2 cos в, a = ai sin в — a2 cos в• Но левая часть (22) в точности представляет собой компоненту sxy девиатора напряжений в криволинейной системе (x,y,d), те. sxy меняется линейно по толщине слоя:

Sxy = b — aп. (23)

Вспомним теперь о статических граничных условиях из п. 1. Задание, вообще говоря, зависящих от £ шероховатостей обеих конических поверхностей эквивалентно заданию на отрезках {0 < £ < 1, п = 0}и {0 < £ < 1, п = sin в} компоненты sxy. Но этого достаточно для вычисления в (23) коэффициентов a(£) и b(£). Например, при абсолютном сцеплении sxy| 0 = 1 и sxy|n=sinв = — 1, так что распределение sxy по толщине зазора имеет вид sxy = 1 — 2п/ sin в- Итак, функции a(£), b(£) и sxy(£,п) в (23) можно считать

известными. 3°

гебраических уравнений относительно S{°}, S^, S{°} и v!0!. Одно из оставшихся уравнений — условие пластичности Мизеса-Генки (19), а остальные три записываются следующим образом:

s{0} = slf (sin2 в — 2 cos2 в — 2V^0¿ sin в cos в), (24)

s{0} (3 sin в cos в + (sin2 в — cos2 в)Vx°}) = s{0} (sin2 в — 2 cos2 в — 2^°} sin в cos в), (25)

40} (sin2 в — cos2 в) — (2s{0} + s{0}) sin в cos в = b — a^ (26)

Общее решение системы (19), (24)-(26)

= у/1 - [Ъ - аг])2 (2 cos2 (3 - sin2 /3) — 2(6 — arj) sin (3 cos (3, (27)

1

"7з

22

4°в} = VI -(b-arj)2, (28)

4z} = ±\/3y/l - (b-ar/)2 sin (3 cos (3 + (b -arj) (sin2/? -cos2/?), (29)

с'0,1 = ±^¿-j==L== (3o,

содержит пока нераскрытую неопределенность вида ±. Интегрируя по п равенство (30), получим

V3

40} = VI -(Ъ-аг,)2 + д(0, (31)

где g(£) — произвольная функция.

4°. Из (16) и второго уравнения (15) следует, что

= [40}(sin2 в - cos2 в) - (2sí0} + sin в cos в] (32)

или после подстановки в (32) найденных напряжений (27)-(29)

p{-1} = -a({). (33)

В качестве граничного условия для интегрирования уравнения (33) следует взять J5{_1}|^=1 = 0, так как в окрестности места истечения материала из зазора давление должно быть конечным (например, равным атмосферному). Тогда коэффициент при сингулярной составляющей в разложении (12) давления становится известным:

1

p{-1} = j a(í) dí (34)

?

Отметим, что из физического смысла функция p{-1}(£) при движении £ от 1 к 0 возрастает и максимальна вблизи вершин конусов. Это дает возможность заключить, что a(£) > 0, после чего выбрать

нужный знак в формулах (27)-(31). Действительно, коэффициент vX 1} в (21) при сингулярной составляющей продольной скорости от п не зависит. Следовательно, зависимость от r¡, т.е. вид профиля продольной скорости по толщине, определяется коэффициентом V{0} в (31). Данный профиль должен быть выпуклым в сторону движения материала или, другими словами, скорости на конических границах должны быть меньше, чем в середине слоя. Так как a > 0, то в (27)—(31) необходимо оставить верхние знаки.

5°. Найдем теперь последнюю неизвестную функцию p{0} в главной системе (15)-(20). Уравнение для нее, как ранее и для p{~1}, выводится из (16) и второго уравнения (15):

(p{0} + 2s{0} sin в cos в + 40} (sin2 в - cos2 в) + 4? sin2 в) = 0. Принимая во внимание найденные напряжения (27)—(29), можно записать

{0} = 4vi-(b-ar?)2 + /(e). (35)

p

Итак, восемь искомых коэффициентов асимптотических разложений (12) с верхними индексами {—1} и {0} определяются выражениями (21), (27)—(29), (31), (34) и (35), где следует оставить верхние знаки. В (31) и (35), как видно, входят две неизвестные функции от которые находятся из анализа следующего по а приближения. Пример такого анализа содержится в [10].

4. Области отсутствия асимптотичности. Поскольку в разложениях (12) функций ьх н р найдены два первых коэффициента — при а-1 и а0, то можно на данном этапе проверить условия асимптотичности первых двух членов последовательностей {уХп}(£,п)ап} и {р{п}(£,п)ап} в (13) и (14). Эти условия выглядят так:

40}(С,п) = о(4"1}&п)/а), р{0}(е,п) = о^Ч^/а), а ^ 0, или с учетом выражений (21), (31), (34) и (35)

^ VI= »(!;),

а 0, (36)

_L^l_(6_ai?)2 + /(e)=0^I J a(i)dij, a —> 0.

(37)

Левые части в (36) и (37) имеют порядок 0(1), а ^ 0, за исключением, возможно, тех точек, где Ь—ап = ±1- Последнее условие может реализоваться на самих конических поверхностях (см. (23)) в случае абсолютного сцепления пластического материала с поверхностями (шероховатость равна единице).

Заменим в (37) интеграл на (1—£){a), где (a) — среднее значение a(£) на интервале от £ до 1 (положим, что (a) = O(1)). Тогда область, где справедливы соотношения порядка (36), (37), описывается системой

£ ~ aq, 1 — £ ~ aq, 0 <q< 1, а ^ 0. (38)

Условиям (38) не удовлетворяют точки, находящиеся вблизи вершин O и Oí конусов, а также в окрестности места истечения материала из зазора. В каждой из этих подобластей необходимо строить другие асимптотические разложения и сращивать их с найденными вдоль отрезков £ = Ca и £ = 1 — Ca (C = O(1) при а ^ 0).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 12—01—00020-а, 11-01-00181-а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Prandtl L. Anwendungsbeispiele zu einem Henckyschen Satz über das plastische Gleichgewicht // Z. Angew. Math, und Mech. 1923. 3, N 6. 401-406 (Прандтль Л. Примеры применения теоремы Генки к равновесию пластических тел // Теория пластичности. М.: ИЛ, 1948. 102-113).

2. Prager W., Hodge P.G. Theory of perfectly plastic solids. N.Y.: Wiley, 1951 (Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. М.: ИЛ, 1956).

3. Hill R., Lee E.H., Tapper S.J. A method of numerical analysis of plastic flow in plane strain and its application to the compression of a ductile material between rough plates //J. Appl. Mech. 1951. 18, N 1. 46-52 (Хилл P., Ли E., Tannep С. Метод численного анализа пластического течения при плоской деформации и его приложение к сжатию материала между шероховатыми пластинами // Механика. Период, сб. пер. ин. статей. 1953. 19, вып. 3. 114-126).

4. Ильюшин A.A. Полная пластичность в процессах течения между жесткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые приложения // Прикл. матем. и механ. 1955. 19, № 6. 693-713.

5. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение, 1990.

6. Задоян М.А. Пространственные задачи теории пластичности. М.: Наука, 1992.

7. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001.

8. Кийко И.А. Обобщение задачи Л. Прандтля об осадке полосы на случай сжимаемого материала // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2002. № 4. 47-52.

9. Георгиевский Д.В. Асимптотические разложения и возможности отказа от гипотез в задаче Прандтля // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2009. № 1. 83-93.

10. Георгиевский Д.В. Асимптотический анализ пластического течения вдоль образующей в тонком цилиндрическом слое // Прикл. механ. и техн. физ. 2010. 51, № 5. 111-119.

11. Георгиевский Д.В. Течение Сен-Венана в тонком слое, подверженном пластическому сжатию // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2011. № 4. 104-115.

12. Георгиевский Д.В. Сжатие-сток асимптотически тонкого идеально жесткопластического сферического слоя // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 6. 65-68.

13. Георгиевский Д.В., Юшутин B.C. Квазистатическое сжатие и растекание асимптотически тонкого нелинейно-вязкопластического слоя // Прикл. механ. и техн. физ. 2012. 53, № 3. 150-157.

14. Георгиевский Д.В. Асимптотическое интегрирование задачи Прандтля в динамической постановке // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2013. № 1. 97-105.

15. Георгиевский Д.В. Выдавливание пластического материала из кругового сектора с малым углом раствора и стоком в вершине // Прикл. матем. и механ. 2013. 77, № 1. 153-160.

16. Кравченко В.Ф., Несененко Г. А., Пустовойт В.И. Асимптотики Пуанкаре решений задач нерегулярного тепло-и массопереноса. М.: Физматлит, 2006.

Поступила в редакцию 23.09.2013