CC BY
123
РАДИОФИЗИКА
УДК 621.396
СИНТЕЗ СУБОПТИМАЛЬНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕНИЯ ПОДХОДА КЕЙПОНА
© 2008 г. А.А. Логинов, О.А. Морозов, М.Ю. Семенова, С.Л. Хмелев
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского sme@nifti.unn.ru
Пнступила в р2дакцию 04.03.2008
Рассматривается алгоритм синтеза цифровых субоптимальных КИХ-фильтров, основанный на обобщении подхода Кейпона, направленный на обработку нескольких (в общем случае) частотных компонент сигнала. Алгоритм позволяет синтезировать информационно-оптимальные фильтры в условиях, когда априорной информации недостаточно для точного задания спецификации, необходимой в случае применения традиционных подходов. Проведено сравнение результатов использования различных фильтров в задаче демодуляции ЧМн сигналов в условиях аддитивного шума высокого уровня и сдвига центральной частоты.
Ключ2вы2 слнва: алгоритм, цифровые фильтры, обработка сигналов.
Введение
Цифровая фильтрация является в настоящее время основным инструментом при решении ряда задач обработки сигналов. Выбор типа (КИХ или БИХ) фильтра обычно производится с учетом специфики решаемой задачи. В задачах обнаружения и оценки параметров радиосигналов традиционно используются КИХ-фильтры, что связано с их устойчивостью, в том числе, к конечной точности вычислений, а также возможностью адаптивно менять свои характеристики. Синтез КИХ-фильтров, вообще говоря, состоит из трёх этапов: задание требуемой спецификации; аппроксимация заданной спецификации путём решения некоторой задачи оптимизации; реализация фильтра на программном или аппаратном уровне. Методы синтеза фильтров делятся на две большие категории: оптимальные и субоптимальные методы [1].
Оптимальные методы характеризуются тем, что в них численно итерационно ищется минимум заданной функции качества. Традиционные методы [1, 2] основаны на использовании среднеквадратичного приближения к заданной АЧХ (метод взвешивания и метод частотных выборок), либо на использовании минимаксного приближения (алгоритм Паркса - Маклеллана и его модификации). В ряде задач обработки ра-
диосигналов априорная информация, необходимая для задания полной спецификации фильтра, не может быть получена с достаточной точностью. В результате при использовании классических подходов возникает неопределенность, которая, в принципе, может быть устранена с помощью оптимизационных процедур. Однако отсутствие общих критериев подобной оптимизации в условиях недостатка информации существенно осложняет процесс принятия решения.
В качестве альтернативы классическим подходам могут быть предложены методы синтеза фильтров, учитывающие специфику решаемой задачи и, тем самым, значительно уменьшающие множество вариантов, из которых производится выбор. В частности, в работе предлагается метод построения информационно-оптимальных линейных фильтров на основе обобщения подхода Кейпона. При этом могут быть использованы различные критерии оптимальности.
Постановка задачи
Подход Кейпона [3] основан на минимизации дисперсии на выходе некоторого линейного фильтра при условии единичного коэффициента пропускания на заданной частоте /0 (здесь и
(1)
далее предполагается, что все частоты выражены в относительных единицах, т.е. / = / / й,
где й - частота дискретизации). Из данного определения следует, что синусоида частоты /0, поданная на вход фильтра, пройдет на его
выход без искажений. Подавление других частот в среднеквадратичном смысле осуществляется путем минимизации дисперсии на его выходе.
Математически данная задача представляет собой задачу условной оптимизации:
’е(Л )= 1,
(сНЯ„с ^ шт,
где с - вектор коэффициентов фильтра, е(/) -
вектор комплексных экспонент частоты /,
Я X, - автокорреляционная матрица (АКМ)
входного сигнала. Система (1) методом неопределенных множителей Лагранжа сводится к задаче безусловной оптимизации, аналитическое решение которой имеет вид [3]:
с _ Я -Ж)
С _ еН (/о *>(/0)' (2)
Необходимо особо отметить, что в подходе Кейпона предполагается, что автокорреляционная матрица не вырождена, а количество коэффициентов фильтра определяется рангом матрицы. Увеличение количества коэффициентов приводит к вырождению АКМ и существованию бесконечного числа решений, удовлетворяющих заданным ограничениям (1). Традиционным подходом в данной ситуации является замена обратной матрицы на псевдообратную матрицу Мура-Пенроуза, что соответствует решению минимума нормы [3].
Вместе с тем, данный подход может быть обобщен следующим образом. Существование бесконечного набора решений, удовлетворяющих поставленным ограничениям, позволяет выбрать из них одно, отвечающее некоторому критерию, который согласно общему математическому подходу должен быть выбран в виде функционала, оптимум которого соответствует решению с заданными свойствами. Критерием оптимальности, вообще говоря, может служить любой выпуклый функционал, зависящий от коэффициентов фильтра, применение которого обеспечивает подавление нежелательных частотных компонент сигнала. Выпуклость функционала в этом случае гарантирует единственность решения при линейных ограничениях. Эффективность такого подхода показана, например, в [4, 5], где в качестве критерия опти-
мальности использовался функционал «минимальной спектральной полосы».
Кроме того, в ситуации, когда интересует обработка нескольких частотных компонент сигнала (например, при обработке частотно-манипулированного (ЧМн) сигнала), подход может быть обобщён путём добавления в систему оптимизации соответствующих дополнительных линейных ограничений.
В итоге, задача синтеза субоптимального фильтра может быть сформулирована в виде следующей задачи условной оптимизации:
£ ск ехр (/ 1к)_ Ъ}, ] _ 1.. .Ыь
к _0
(3)
где ск - коэффициенты фильтра, N - порядок фильтра, - интересующие нас частотные компоненты, Ъ - коэффициенты пропускания
на соответствующих частотах, Nь - количество
накладываемых ограничений, Ф - оптимизируемый функционал.
Традиционным критерием оптимальности фильтра является критерий минимума нормы вектора коэффициентов, соответствующий максимальному в среднеквадратичном смысле подавлению белого гауссова шума [2]:
N-1
ф, _£ Ы2. (4)
к _0
Использование критерия (4) приводит к синтезу фильтров, близких по своим характеристикам к фильтрам Кейпона, построенным на основе псевдообратной матрицы. Примеры частотных характеристик фильтров, полученных на основе использования данного критерия, приведены на рис. 1а, рис. 2а.
При использовании принципа оптимизации функционала для получения оптимального решения в условиях недостаточной информации при ограниченном числе коэффициентов фильтра может быть обосновано [3] применение функционала информационной энтропии в форме Берга, аргументом которого, в силу неотрицательности и ограниченности, может служить амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтра:
Ф2 _“| 1оВ( \Н(/)) # , (5)
где частотная характеристика фильтра Н (/) представляет собой преобразование Фурье от коэффициентов фильтра:
N-1
Н(/)_ £Ск ехр(- 2га/к).
к _0
Примеры амплитудно-частотных характеристик фильтров, полученных на основе использования данного критерия, приведены на рис. 1в, рис. 2в.
В рамках информационного подхода также может быть использован функционал энтропии Ренье, которая является частным случаем обобщения традиционных видов энтропии [6]. Функционал Ренье, зависящий от параметра ?, адаптированный для решения задачи синтеза фильтра, выглядит следующим образом:
Ф? ^-^1082 (Н(/)?/) (6)
1 - ?
При ? _ 2 данный функционал эквивалентен функционалу (4), при ? _ 1 осуществляется предельный переход к функционалу энтропии Шеннона [6]. При решении задачи синтеза фильтра наиболее интересным случаем является использование дробного значения параметра ? . Примеры амплитудно-частотных характеристик фильтров, полученных на основе использования данного критерия при ? _ 0.5, приведены на
рис. 1б, рис. 2б.
Также на рис. 1(г, д, е) приведены примеры частотных характеристик чебышевских линейных фильтров, построенных средствами системы Ма^аЬ.
Анализ частотных характеристик
Анализ рис. 1 и 2 позволяет сделать следующие выводы. АЧХ фильтров, построенных на основе среднеквадратичного критерия, обладают наиболее узким главным лепестком, но самым высоким уровнем боковых лепестков. Применение энтропийных критериев (5), (6) позволяет понизить уровень боковых лепестков при некотором уширении главного лепестка. При этом следует отметить, что широкий главный лепесток позволяет эффективно работать при большей неопределенности относительно центральной частоты обрабатываемого сигнала, что может быть вызвано, например, эффектом Доплера.
На основе традиционных подходов возможно построение фильтров с различными свойствами, в том числе аналогичными тем, которые получаются на основе предложенного подхода при единственном линейном ограничении. Однако существенной сложностью при этом, вследствие отсутствия чётких критериев, явля-
ется выбор одного варианта из неограниченного набора возможных фильтров.
Также предложенный подход позволяет синтезировать фильтры с комплексными коэффициентами, настроенные на обработку нескольких частотных компонент сигнала с различными (в том числе нулевыми) коэффициентами пропускания, что иллюстрирует рис. 2.
Численный алгоритм
Рассмотрим алгоритм синтеза фильтров, основанный на оптимизации системы (5). Существенная сложность решения данной оптимизационной задачи при использовании произвольных критериев на основе традиционного подхода Лагранжа не ограничивает предложенного подхода, поскольку задача синтеза фильтра, как правило, должна быть решена один раз. Вместе с тем, решение может быть получено на основе численных алгоритмов прямой оптимизации функционала при заданных линейных ограничениях. Реальные и мнимые части коэффициентов фильтра при этом выступают в качестве независимых оптимизируемых параметров.
В работе при численной реализации использовался метод Хука - Дживса [7]. Выбор этого метода связан с его высокой эффективностью в условиях эллиптической формы дна функционала задачи (3), а также возможностью учитывать ограничения на каждом шаге итерационного процесса.
В частности, метод Хука - Дживса позволяет ограничить процедуру поиска областью параметров, в которой выполняются поставленные линейные ограничения. Число линейных ограничений Nь определяет число зависимых коэффициентов, которые могут быть выражены через ^ - Nь) независимых коэффициентов
путем решения линейных уравнений (например методом исключения Гаусса). Для ограничения области поиска следует оптимизировать только независимые коэффициенты.
Необходимо также отметить, что выполнение поставленных линейных ограничений не гарантирует (при Nь > 1) наличия на заданных
частотах экстремума частотной характеристики фильтра. Введение ограничений на производную АЧХ при этом нецелесообразно, поскольку относительно коэффициентов фильтра данные ограничения являются нелинейными и, следовательно, существенно усложняют процесс синтеза. Описанная проблема может быть решена на основе добавления линейных ограничений на
Рис. 1. Частотные характеристики НЧ фильтров, синтезированных на основе применения функционалов минимума нормы (а), энтропии Ренье (б), энтропии Берга (в), а также фильтров Чебышева с различными параметрами (г, д, е); N _ 20
Рис.2. Частотные характеристики фильтров, направленных на обработку ЧМн сигналов, синтезированных на основе применения функционалов минимума нормы (а), энтропии Берга (б) и энтропии Ренье (в); N = 20 ,
/1 = 0.2, /2 = 0.3, Ъ1 = 1, Ъ2 = 0.5
частотную характеристику фильтра в виде не- добных ограничений может быть произведен
равенств в соответствующих частотных диапа- путем добавления к оптимизируемому функ-
зонах. В рамках метода Хука - Дживса учет по- ционалу штрафной добавки, которая равна ну-
Рис. 3. Схема предлагаемого численного алгоритма оптимизации
лю в области разрешенных значений и линейно возрастает в области запрещенных. Важным моментом является также то, что добавление линейных ограничений позволяет по-прежнему гарантировать единственность решения.
Схематически алгоритм синтеза фильтра представлен на рис. 3.
Моделирование
Для иллюстрации предложенного подхода проведено исследование устойчивости решения задачи демодуляции ЧМн сигналов относительно уровня аддитивных шумов в присутствии эффекта Доплера. Для исследования был выбран ЧМн сигнал с индексом модуляции, равным единице, часто используемый в задачах спутниковой связи, перенесенный на центральную частоту 24 кГц. Параметры моделируемого сигнала: девиация частоты 8 кГц, частота манипуляций 16 кГц, частота дискретизации 320 кГц, ширина полосы 32 кГц.
В качестве алгоритма демодуляции была использована стандартная некогерентная схема с использованием полосовых фильтров [8]. Решение о принятом бите принималось сравнением величины выхода каждого из фильтров. Сравнение производилось в середине символьного интервала. Коэффициенты фильтров получены на основе предложенного подхода с использованием функционалов минимума нормы (4) и максимума энтропии Берга (5), а также на основе критерия Чебышева. Количество коэффициентов фильтров было выбрано равным 20.
Следует отметить, что фильтрация сигнала с помощью фильтра минимума нормы соответствует вычислению фурье-компонент на соответствующей частоте, а выбор 20 коэффициентов при заданных параметрах - оптимальной длине фильтра для разделения частотных компонент ЧМн сигнала [8].
Исследование проводилось путем моделирования ЧМн сигнала, наложения на него адди-
тивного шума и реализации алгоритма демодуляции. На рис. 4 приведены результаты исследования вероятности символьной ошибки P от уровня аддитивного шума в отсутствии сдвига центральной частоты. На рис. 5 приведены результаты исследования вероятности символьной ошибки от величины доплеровского сдвига при отношении сигнал/шум 12 дБ. Каждая точка на графиках получена путём усреднения по 106 символам.
Анализ рис. 4 и 5 позволяет сделать выводы, что использование различных полосовых фильтров в задаче демодуляции ЧМн приводит к построению алгоритмов, имеющих различную степень устойчивости к аддитивным шумам. Причём степень данной устойчивости существенно зависит от величины сдвига центральной частоты. При нулевом сдвиге наиболее эффективным, как и следовало ожидать, является алгоритм на основе фильтра минимума нормы. При этом данный алгоритм является наименее устойчивым к наличию сдвига центральной частоты. Использование фильтров максимума энтропии обеспечивает выигрыш при больших частотных сдвигах ценой некоторого проигрыша при малых. Фильтры Чебышева позволяют строить алгоритмы демодуляции как лучше, так и хуже рассмотренных выше, в зависимости от заданных параметров, а также критериев сравнения.
Традиционным статистическим подходом для решения задач в подобных условиях является поиск фильтра, который позволит минимизировать среднюю ошибку демодуляции с учётом распределения вероятностей для уровня шума и частотных сдвигов. Однако практическое применение данного подхода, как правило, ограничено, во-первых, недостатком априорной информации, во-вторых, необходимостью перебора практически бесконечного набора возможных линейных фильтров, для каждого из которых необходимо проводить статистические исследования.
Рис. 4. Зависимость вероятности символьной ошибки от отношения сигнал/шум для фильтров минимума нормы (линия 1), фильтров максимума энтропии (линия 2), фильтров Чебышева (линии 3, 4), изображенных на рис. 1 (д, е)
Рис. 5. Зависимость вероятности символьной ошибки от величины сдвига центральной частоты при отношении сигнал/шум 12дБ для фильтров минимума нормы (линия 1), фильтров максимума энтропии (линия 2), фильтров Чебышева (линии 3, 4), изображенных на рис. 1 (д, е)
Предлагаемый в статье подход к синтезу фильтров не является оптимальным в смысле минимизации ошибки при решении какой-то конкретной задачи, но позволяет синтезировать информационно-оптимальные фильтры в условиях, когда априорной информации об обрабатываемом сигнале недостаточно для применения традиционных статистических подходов.
Заключение
В данной работе предложен субоптималь-ный подход к синтезу информационно-оптимальных линейных фильтров, позволяющих обрабатывать несколько (в общем случае) частотных компонент сигнала. Подход основан на обобщении подхода минимальной дисперсии Кейпона и позволяет в качестве критерия оптимальности использовать различные функционалы. Критерием оптимальности в самом общем виде является подавление нежелательных час-
тотных компонент. Рассмотрены примеры применения критериев минимума нормы коэффициентов и максимума энтропии в формах Берга и Ренье. Предложен численный алгоритм решения задачи синтеза фильтра, основанный на методах многомерной оптимизации. Приведен пример решения задачи демодуляции ЧМн сигналов на базе предложенного подхода. Показана область применения подобного подхода синтеза фильтров.
Список литературы
1. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. СПб.: Питер, 2003. 604 с.
2. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. М.: Советское радио, 1980. 224 с.
3. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990. 551 с.
4. Логинов А.А., Морозов О.А., Солдатов Е.А., Фидельман В.Р. Алгоритм обработки фазоманипули-рованных сигналов избыточным линейным фильт-
ром в задаче определения временной задержки. // Автометрия СО РАН. 2006. Т. 42. № 4. С. 91-99.
5. Логинов А.А., Морозов О.А., Солдатов Е.А., Фидельман В.Р. Применение нелинейной цифровой фильтрации на основе подхода минимальной дисперсии Кейпона в задаче определения временной задержки // Вестник ННГУ. Серия Радиофизика. 2005. В. 1(3). С. 65-70.
6. Зарипов Р.Г. Новые меры и методы в теории информации. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2005. 364 с.
7. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1982.
8. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. М.: Издательский дом «Вильямс», 2003. 1104 с.
SUBOPTIMAL DIGITAL FILTER SYNTHESIS ON THE BASIS OF CAPON APPROACH EXTENSION
A.A. Loginov, O.A. Morozov, M.Yu. Semenova, S.L. Khmelev
The Capon approach extension is used to create a synthesis algorithm for suboptimal digital FIR filters aiming to process several (in the general case) signal frequency components. The algorithm makes it possible to synthesize information-optimal filters under conditions when a priori information is insufficient to specify the amplitude response needed in classical approaches. A comparison is made of the application of various filters in the problem of FSK signal demodulation in the presence of high level additive noise and a shift of the central frequency.
