CC BY
46
УДК 621.833
П.Г. Сидоров, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4872)33-25-08, А.А. Пашин, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-23-80,
A.В. Плясов, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-23-80, [email protected],
B.Я. Распопов, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой (4872) 35-19-59, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
СТРУКТУРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РЫЧАЖНО-ЗУБЧАТЫХ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ В ПЛАНЕТАРНЫХ И МНОГОПОТОЧНЫХ ПЕРЕДАЧАХ
Рассмотрены рычажно-зубчатые кинематические цепи с одним водилом. Описаны их особенности и формируемые на их основе механизмы планетарного типа. Представлен метод образования простейших планетарных механизмов и новая схема многопоточной передачи квазидифференциального типа.
Ключевые слова: кинематическая цепь, зубчатое колесо, водило, сателлит, рядовой зубчатый механизм, планетарный зубчатый механизм, дифференциальный зубчатый механизм.
В структуре любых зубчатых механизмов содержатся плоские или пространственные рычажно-зубчатые кинематические цепи с одним неподвижным звеном, роль которого выполняет либо рычажное звено, либо одно из зубчатых звеньев.
Поэтому основные свойства любых зубчатых механизмов базируются на особенностях формирования и функционирования их рычажно-зубчатых кинематических цепей. Это формирование требует системного изучения, так как, на наш взгляд, недостаточно рассмотрено в технической литературе [1, 2, 3, 4]. Более глубокое рассмотрение этого вопроса выявляет единую структурную основу формирования всех зубчатых механизмов, что позволяет создавать новые технические решения на их конструкции.
Рассмотрим особенности рычажно-зубчатых кинематических цепей. На рис. 1 представлена плоская рычажно-зубчатая кинематическая цепь, содержащая три одновенцовых зубчатых звена 1, 2 и 3 и одно рычажное звено 4, образующее с тремя зубчатыми звеньями три низшие вращательные кинематические пары O1, O2 и O3 . При этом зубчатые звенья, в свою очередь, зацепляясь между собой, образуют два рабочих зацепления "1-2" и "2-3", то есть две высшие центроидные кинематические пары.
Первая особенность рассматриваемой рычажно-зубчатой цепи состоит в том, что она содержит только одно рычажное звено и «3 зубчатых звеньев (в нашем случае «3 = 3). Звенья образуют низшие кинематические пары, число которых рн равно числу зубчатых звеньев рн = пз и высшие центроидные кинематические пары, число которых рв = пз -1.
151
У
о
з
Рис. 1. Четырёхзвенная рычажно-зубчатая кинематическая цепь с одним внешним и одним внутренним зацеплениями
Из условия существования высших центроидных кинематических пар по теореме зацепления Виллиса [1] расстояния между центрами низших кинематических пар ОО2 и О2О3 - строго фиксированные, определяются центроидами зубчатых звеньев и не изменяются во времени. Неизменность этих межосевых расстояний обеспечивает рычаг, из чего следует, что он является важнейшим звеном, образующим кинематическую цепь.
Вторая особенность рычажно-зубчатой цепи состоит в её замкнутости, то есть в её структуре отсутствуют звенья, входящие менее чем в две кинематические пары. Зубчатые звенья имеют относительную подвижность относительно рычага 4 (обозначим его И). Подставляя приведенные выше структурные параметры цепи в формулу П. Л. Чебышева [1, 2], получаем
Таким образом, группа зубчатых звеньев пз в рычажно-зубчатой цепи, смонтированной на рычаге, - это виртуальный рядовой многозвенный зубчатый механизм на подвижном основании И с одной степенью свободы. При задании закона движения одного из зубчатых звеньев (например, звена 1) зубчатые звенья 2 и 3 будут совершать строго определенные движения относительно рычага И в плоскости существования кинематической пары «рычаг - неподвижная плоскость Оху », то есть в плоскости
Ж = 3пз - 2рн - рв = 3пз - 2пз - (пз -1) = 1.
И
(1)
Оху или параллельной ей плоскостях вокруг параллельных осей О1, О2 и О3 и О4, расстояния между которыми не изменяются во времени.
Это вскрытое исключительно важное свойство рычажно-зубчатой цепи как виртуального механизма на подвижном основании позволяет воспользоваться известными из механики методами обращенного движения [2] или виртуальной остановки [5] и вместо абсолютных движений зубчатых звеньев рассматривать их движения относительно рычага, мысленно (виртуально) остановив это звено.
При трехзвенном зубчатом исполнении, когда все три звена 1, 2 и 3 движутся в одной плоскости Оху (рис. 1) и имеют одновенцовые конструкции, уравнения кинематических связей между зубчатыми звеньями согласно указанным методам принимают вид
©1 -©И
ип =
И
и13 =
©2 -©И ©1 -©И ©3 -©И
(2)
И И
где ©1, ^2, Ю3, и ©и - угловые скорости звеньев; и^; и13; - внутренние
передаточные отношения между звеньями многозвенной цепи.
Уравнения (2) очень важны, так как именно они открывают исключительные возможности для создания новых рычажно-зубчатых цепей и их перевода их в новые структурные образования механизмов зацеплением. Эти уравнения описывают взаимосвязи, присущие любым рычажно-зубчатым цепям. В технической литературе эти свойства отнесены к свойствам только планетарных механизмов [3].
Третья особенность плоской рычажно-зубчатой цепи вытекает из уравнения (1) и состоит в том, что число зубчатых звеньев должно быть больше или по крайней мере равно двум пз > 2.
Четвертая особенность плоской цепи состоит в соосности оси вращения рычага и осей вращения отдельных зубчатых звеньев и её параллельности осям вращения всех зубчатых звеньев. Это послужило основанием назвать ось вращения рычага основной осью вращения. Соответственно зубчатые звенья 1 и 3, оси вращения которых О1 и О3 соосны оси О4, называются основными зубчатыми звеньями или центральными колесами. Обозначаются они обычно буквами: а - центральное колесо с внешними зубьями, Ь - центральное колесо с внутренними зубьями. Зубчатое звено 2, ось вращения которого О2 параллельна основной оси О4 (Ои), реализует в рычажно-зубчатой цепи одновременно два вращательных движения: вместе с рычагом вокруг оси О4 и вокруг собственной оси О2. По виду совершаемого планетарного движения звено 2 называется сателлит и обозначается буквой g.
Абсолютное плоско-параллельное движение рычага h в плоскости Oxy реализуется путем сложения переносного поступательного и относительного вращательного движений. За полюс переносного движения принимаем точку O, за полюс относительного - точку O4 (Oh). Положение
O4 в абсолютной системе отсчета определяется радиусом-вектором о ^) [ хО4<^ X УО4^)].
Таким образом, рычажно-зубчатая замкнутая кинематическая цепь по рис. 1 содержит четыре подвижных звена ( п = 4), среди которых одно рычажное 4 (И), входящее только в низшие кинематические пары, два центральных колеса 1 (a) и 3 ( Ь ) и один сателлит 2 (g). В совокупности они образуют три низшие вращательные и две высшие центроидные кинематические пары.
Число обобщенных координат для плосковременной определенности движений всех четырех звеньев в абсолютной системе отсчета Oxy определится по формуле П.Л. Чебышева [1] как W = 3 • 4 - 2 • 3 - 2 = 4. Это означает, что положения и движения всех звеньев цепи заданы, если известны четыре независимые координаты (уравнения движения звеньев):
хо4 = ш); уо4 = .М x
Ф4 х = Ш); Ф14 = /4(X. где первые три уравнения описывают плоскопараллельное движение рычажного звена И в плоскости Оху (уравнения кинематических связей в плоскостной кинематической паре "рычаг И - плоскость Оху"); Ф14 = /4(t) - закон относительного движения входного звена группы зубчатых звеньев относительно водила И. Движения зубчатых колес g и Ь следует определять либо через их функции положения фg = fg (фа)
и Фь = /ь (фа) относительно центрального колеса а, либо через внутренние передаточные отношения цепи:
И = Ща -ЩИ = zg .
(3)
uag
Щg -
а
= И.И = Ща - Щ =-иаЬ ~ uagugЬ ~ ~
ЩЬ-ЩИ 2а
(4)
где 2а, Zg и zь - числа зубьев зубчатых звеньев цепи.
Из уравнений (3) и (4) следует, что только два звена четырехзвен-ной рычажно-зубчатой цепи: рычажное И и центральное зубчатое а (или Ь) активно влияют на её кинематику движения в целом. Зубчатые звенья g и Ь (или а) совершают зависимые движения, определяемые через внутренние передаточные отношения. В структуре цепи они являются статиче-
ски определимыми структурными элементами с одной низшей и одной высшей кинематическими парами и известны в технической литературе [4] как монады, степень подвижности которых по формуле П.Л. Чебышева равна нулю (Wj^ = 3 • 1 - 2 • 1 -1 = 0), а это означает, что наслоение или освобождение монад от связей в геометрических элементах низшей и высшей кинематических пар с сохранением кинематических пар на звеньях не изменяет подвижности виртуального зубчатого механизма на подвижном
основании - водиле (Wh = 1). В этом состоит пятая особенность рассматриваемой рычажно-зубчатой цепи - возможности её структурного образования наслоением монад.
Из уравнений (4) также следует, что при отсутствии источника относительного движения звена 1 ( Ф14 = f^(t) = const) угловые скорости
ф 14 = ®1 - ®h = 0, и ®1 = ®2 = ®3 = ®h. Это указывает на то, что все зубчатые звенья никак не проявляют себя относительно водила и вращаются вместе с ним с угловой скоростью переносного движения юе = ®h как единое звено.
Очевидны два варианта обеспечения относительных движений зубчатых звеньев в планетарной группе и в механизме в целом.
Первый вариант, когда о>1 ф 0 и входное центральное колесо получает движение от независимого (по отношению к водилу) второго источника движения. В этом случае планетарный механизм складывает два независимых вращательных движения (со стороны водила и входного центрального колеса), имеет две степени свободы (W = 2) и является дифференциальным планетарным механизмом.
Второй вариант, когда о>1 = 0 и входное центральное колесо планетарной группы переходит в разряд опорного центрального колеса, неподвижного аксоида, закрепленного на стойке. В этом случае планетарный механизм имеет один независимый вход (водило) и один выход (сателлит или другое центральное колесо) и носит название рядового планетарного механизма (W = 1).
Перейдём теперь к структурному образованию различных ры-чажно-зубчатых механизмов. Для перевода четырехзвенной рычажно-зубчатой цепи (см. рис. 1) в новое структурное образование перенесем начало координат О абсолютной системы отсчета Oxy в полюс относительной системы отсчета рычага O4 (Oh).
В этом случае (рис. 2) на рычаг h накладываются две связи, и он переходит в разряд четвертого вращающегося ведущего звена с законом движения Ф4x = /3 (t). В новом структурном образовании соединение "рычаг-стойка" с одной степенью свободы переходит в разряд простейшего рычажного механизма и известно в технической литературе как механизм первого класса по Ассуру-Артоболевскому [1].
Выше показано, что зубчатые звенья, смонтированные на подвижном рычаге, представляют собой виртуальный рядовой зубчатый механизм на подвижном основании. Чтобы выяснить, чем является новое структурное образование, определим его структурные параметры. Число подвижных звеньев п = 4, число низших кинематических пар рн = 4, число высших кинематических пар рв = 2, а подвижность
Ж = 3п - 2 рн - рв = 3 • 4 - 2 • 4 - 2 = 2.
(5)
(6)
Это означает, что механизм имеет две степени свободы, и для плос ковременной определённости движений всех его звеньев достаточно вы полнить условие, вытекающее из (3):
^134 = ^134 = 0;
Ф4 х = М); Ф14 = /4({).
Из уравнений (6) заключаем, что представленное на рис. 2 структурное образование является дифференциальным планетарным механизмом [2] с двумя степенями свободы, очень востребованным современной техникой. При двух входах (малое центральное колесо а или большое Ь и водило И) он имеет один выход (большое центральное колесо Ь или малое а). При постановке сателлитов g на сферические опоры третьего класса механизм не имеет избыточных связей, нечувствителен к неточностям изготовления и условиям нагружения.
Рис. 2. Дифференциальная рычажно-зубчатая планетарная передача с двумя входами 1 и 4 и одним выходом 3
Из уравнений (6) очевидно также, что при отсутствии источников относительного движения звеньев [9^4 = f4(11) = const] механизм по схеме
рис. 2 полностью адекватен механизму первого класса по Ассуру-Артоболевскому [1], в котором группа зубчатых звеньев, смонтированных на водиле, является виртуальным зубчатым механизмом на подвижном основании. Таким образом, напрашивается вывод, что вторым структурообразующим соединением в дифференциальном механизме является зубчатый механизм на подвижном основании - рычаге. Особенностью дифференциального механизма является его неделимость на простейшие структурные образования из-за единого общего звена - рычага, одновременно входящего в структуру рычажного и зубчатого механизмов [2].
Число степеней свободы в механизме по рис. 2 можно уменьшить до единицы, если одно из входных звеньев (например, звено 3) перевести из разряда подвижных в разряд опорных звеньев, жестко закрепив его на стойке (рис. 3). В результате этого перевода получаем новое структурное образование - рядовой планетарный трёхзвенный механизм с одной степенью свободы (W = 1) и одним входом на малом центральном колесе 1 и выходом на водиле 4 (h) (или наоборот).
Одна степень свободы нового структурного образования означает, что для плоско-временной определённости движений его трёх подвижных звеньев достаточно выполнить условие, вытекающее из уравнений (3):
j
Рис. 3. Рычажно-зубчатая планетарная передача с одним входом и одним выходом при неподвижном звене 3
Рис. 4. Рычажно-зубчатая планетарная передача с одним входом и одним выходом при неподвижном звене 1
(7)
Если в схеме по рис. 2 наложить три связи на входное центральное зубчатое колесо 1, получим тоже рычажно-зубчатую планетарную передачу с одной степенью свободы (рис. 4).
Завершим исследование случаем, когда все три связи налагаются только на рычажное звено четырёхзвенной рычажно-зубчатой цепи (рис. 5). Структура механизма: п = 3; рн = п = 3, рв = п -1 = 2, Ж = 1. Для плосковременной определённости движений трех подвижных зубчатых звеньев 1, 2 и 3 в этом случае достаточно выполнить условие, вытекающее из уравнений (7)
Это структурное образование представляет собой рядовую двухступенчатую зубчатую передачу с соосным расположением входа 1 и выхода 3 с двумя рабочими зацеплениями: внешним "1 - 2" и внутренним "2 - 3" в одной плоскости.
Рис. 5. Рядовая двухступенчатая рычажно-зубчатая передача с одним внешним и одним внутренним зацеплениями и соосным расположением входа и выхода
Из изложенного следует, что все простейшие (с одним водилом) планетарные и дифференциальные зубчатые механизмы как неделимые структурные образования образуются из рычажного механизма первого класса «стойка-водило» путем наслоения на его ведущее звено (водило) зубчатых звеньев (центральных колёс и сателлитов), образующих с води-лом второй, многозвенный зубчатый механизм на подвижном основании
х0134 = т34 =Ф4 х = 0;
134 °134
(8)
Ф1х = Ф14 = ).
с подвижными и неподвиж-ными осями вращения зубчатых звеньев - планетарную группу с последующим присоединением её входа либо к независимому источнику движения (дифференциальное исполнение), либо к стойке (рядовое планетарное исполнение) [6].
Выделить эти структурообразующие элементы в самостоятельные механизмы без разрушения единого неделимого образования не представляется возможным из-за общего их звена - водила, входящего одновременно в структуру рычажного и виртуального зубчатого механизмов.
На рис. 6 приводится иллюстрация нового метода структурного образования планетарного рычажно-зубчатого механизма [6].
Рис. 6. Иллюстрация метода формирования рядового планетарного
механизма: а - рычажный механизм; б - неделимые соединения: рычажный механизм и планетарная группа; в - дифференциальный механизм; г - планетарный механизм
Планетарные группы "¿к - _/£" допускают разные комбинации между центральными колесами и сателлитами. Они содержат I центральных колёс и ] сателлитов, активно влияющих на кинематику группы. При
I = 3, ] = 2 планетарная группа "3к - 2, смонтированная на водиле, переходит в разряд многопоточной зубчатой передачи "3к - 2g - И", если присоединить одно из больших центральных колёс (например, ¿1) к стойке
(рис. 7). Планетарный механизм по одному из этих вариантов [7] образуется одновременным параллельным наслоением на входной вал двухвенцо-вого центрального колеса а^, а на водило И - двух сателлитов gl и g2, то
есть присоединяются две монады «1 - gl и а2 - g2.
Планетарный механизм с четырьмя основными звеньями (три центральных колеса и водило) и четырьмя рабочими зацеплениями - это двухступенчатый неделимый механизм, обеспечивающий передачу энер-гии с входа на выход двумя параллельными потоками. В этой схемах активные сателлиты не имеют прямых кинематических связей между собой. Благодаря одновенцовым конструкциям их можно устанавливать в водиле на низшие кинематические пары третьего класса, что гарантирует инвариантность трансмиссий к неточностям изготовления и режимам нагружения.
ж
Рис. 7. Двухступенчатая многопоточная рычажно-зубчатая передача
квазидифференциального типа
Главные преимущества передачи очевидны:
- многопоточность передачи: число потоков Кр = ас£а, где ас = аС1 = аС2 = 3; 5; 7; 9...- число сателлитов в ступенях; £а = 1,7...1,85 -
коэффициент перекрытия в рабочих зацеплениях;
- многовариантность исполнения в одном габарите, позволяющая
варьировать передаточным числом в диапазоне Аг < и^Ц ^ < гЬ2 , где
1 < Аг = 2а - га = 1ь2 - = 2 - < 10 при неизменных конструкциях корпуса, водила и зубчатых звеньев тихоходной ступени за счёт изменения только чисел зубьев зубчатых звеньев а1, gl и ¿1 быстроходной ступени;
- предпочтительный диапазон изменения общего передаточного числа 15 < иа ь < 125 (250);
- выпукло-вогнутый контакт зубьев в тихоходной, наиболее нагруженной ступени, и как следствие этого - высокая нагрузочная способность в целом в лимитированных габаритах;
- короткая, статически определимая кинематическая цепь при высоком КПД (до 0,98).
Изложенное позволяет утверждать, что основой рядовых зубчатых, планетарных и многопоточных зубчатых механизмов являются замкнутые рычажно-зубчатые кинематические цепи с одним рычажным и одним неподвижным звеном, роль которого может выполнять либо рычажное, либо одно из центральных зубчатых звеньев.
160
Выделение в структуре механизмов зацеплением рычажного звена как структурообразующего элемента и особая его роль как подвижной или неподвижной платформы для размещения и организации зацепления зубчатых звеньев позволяют по-новому взглянуть на закономерности формирования центроидных зубчатых механизмов и действующий инструментарий их анализа и синтеза. Известные в науке и технике технические решения на зубчатые механизмы не охватывают всей возможной их гаммы, а поэтому приведённый метод их структурного образования является мощным инструментарием для направленного поиска новых технических решений на схемы и конструкции силовых многопоточных передач с новыми техническими возможностями по передаточным числам, нагрузкам и габаритам.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ.
Список литературы
1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. М.: Наука, 1975. 635 с.
2. Планетарные передачи: справочник / под ред. В.Н. Кудрявцева и Ю.Н. Кирдяшева. Л.: Машиностроение, 1977. 536 с.
3. Кирдяшев Ю.Н., Иванов А.Н. Проектирование сложных зубчатых механизмов. Л.: Машиностроение, 1973. 352 с.
4. Кожевников С.Н., Есипенко Я.И., Раскин Я.Н. Механизмы: справочник / под ред. Кожевникова С.Н. М.: Машиностроение, 1976. 784 с.
5. Яблонский А. А. Курс теоретической механики: Статика, кинематика, динамика. 13-е изд. М.: Интеграл-Пресс, 2006. 608 с.
6. Сидоров П.Г., Пашин А.А., Плясов А.В. Многопоточные зубчатые передачи. М.: Машиностроение, 2011. 340 с.
7. Двухступенчатая планетарная передача: пат. 2402707 Рос. Федерация. № 2008139793/11; заявл. 08.10.2008; опубл. 27.10.2010, Бюл. № 30
P.G. Sidorov, A.A. Pashin, A.V. Plyasov, V.Ya. Raspopov
STRUCTURAL TRANSFORMATIONS OF GEAR KINEMATIC CHAINS WITH A LEVER TO PLANETARY AND MULTILINE TRANSMISSIONS
Gear kinematic chains with one carrier are considered. Their features and gear mechanisms of planetary type are described. A method of formation of elementary planetary gears and a new kinematic scheme of the multiline quasidifferential transmission are presented.
Key words: kinematic chain, gear, carrier, satellite, ordinary gear, planetary gear, differential gear.
Получено 18.10.11
