Структурное представление противоточного теплообменника в пакете численного моделирования динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.6-52

СТРУКТУРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОТИВОТОЧНОГО ТЕПЛООБМЕННИКА В ПАКЕТЕ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ1

И.А. Дан илу шкип, В. В. Снеговой2

Самарский государственный технический университет,

443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

Для полученных передаточных функций модели процесса теплообмена при встречном направлении взаимодействующих потоков осуществлён ряд структурных преобразований, целью которых являлось получение структуры, реализуемой в пакете численного моделирования динамических систем.

Ключевые слова: противоточный теплообменник, структурное представление, передаточная функция, моделирование динамических систем.

Поведение некоторых технологических агрегатов, в промышленности с достаточной степенью точности может быть описано уравнением материального баланса, а в ряде случаев - системой таких уравнений. Тепловые процессы, протекающие в противоточном теплообменном аппарате, могут быть описаны системой дифференциальных уравнений вида [1]:

аа(*>о+у1Э6^с,0+а1а(Дс,/)=а21[а(<,/)-а(х,/)], о<*</,

81 дх

(1)

д&Ш) _ ?) + а262(х,1) = а12[61 (х,0-62(х,О], 0 < х </, ./ >0 (2)

дt дх

с соответствующими граничными

а(о,о=«1(о. в2(1>о=82(о (3)

и начальными условиями

0\ (ДС.0) - 001 (х), 02 (х,0) = £>02 (х) . (4)

Здесь - распределение температур греющего и нагреваемого агента

соответственно, - скорости потоков греющего и нагреваемого агентов, / - длина теплообменника. Коэффициенты а;, а2 имеют смысл коэффициентов теплообмена потоков с внешней средой; а]2 и а2] - коэффициенты теплообмена между греющим и нагреваемым агентами и между нагреваемым и греющим агентами соответственно. В рамках данной работы коэффициенты теплообмена зависят от геометрических характеристик теплообменника и физических параметров греющего и нагреваемого агентов.

В [2] методами структурной теории распределённых систем [1] получено структурное представление противоточного теплообменника как объекта управления.

'Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 09-08-00297-а) и Целевой программны «Развитие научного потенциала высшей школы на 2009-10 гг.» (проект № 2.1.2/4236).

2 Данилушкин Иван Александрович, кандидат технических наук, доцент.

Снеговой Василий Владимирович, магистрант-

Структура учитывала наличие обратных связей по распределённому сигналу. Далее в [2] рассмотрен случай контроля температур в фиксированных точках на входах и выходах потоков теплообменного аппарата, при нулевых начальных условиях. Путём решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода, получены аналитические передаточные функции, обеспечившее представление теплообменника как МНОГОСВЯЗНОЙ сосредоточенной системы С двумя входами Qinl(p) = g\{p), Qm(p) = ёг(р) и двумя выходами Qoutl(р) = Q,(/,р), Qou(1 (р) = Q2(0,р) (рис. 1). Передаточные функции Wu(p) и Wn(p) имеют следующий вид [2]:

Wn{p) = - e~^

ana2l(l-e-^1 -bll-b2l)-e~b'!

Щг(Р) = -

«12

vi vjv2(^j +b2f + ct12a21(l-e V ^ -bll~b2l)’

(l _ e-V-¥)+ +b2)-e^l+e-21^-1)

~V\v2+ b2)2 + alxan^l + b2l +e~lhJ~b'! -1)_

ViV2(6,+62)

где коэффициенты b\ и b2 определяются выражениями

= —{p + a, + cc21), b2 =— [p + a2 + a12), Vi v2

(5)

,(6)

(7)

вм(Р)

Q»2(P)

ЦАР)

Щ 2ІР)

Qonlip) —-

W22( P) -----------

QouaiP)

Рис. 1. Упрощенная структурная схема теплообменника

Передаточные функции ^22(/>) и Ж21 (/?) могут быть получены из (5) и (6) соответственно путём замены индексов 1 и 2 по правилу 1-^2, 2-^1 [1, 2]. Такой эффект возникает из-за симметричности уравнений задачи (см. (1), (2)).

Полученные в [2] выражения (5), (6) неудобны для анализа, однако они могут использоваться для численного моделирования динамической системы в специальных пакетах численного моделирования, таких как $шш1шк [3]. Для этого структуры передаточных функций должны быть преобразованы таким образом, чтобы их можно было реализовать с помощью типовых блоков пакета моделирования. Функция (5) может быть записана в следующем виде:

{ (. -А./-А./ ... Л \

Wn (p) = — e~bl!-

1-

viv2 (^i + b2)2 + cc^otji (l - e ^ ^ - b^l — b2l)

(8)

Далее, разделив числитель и знаменатель дроби на выражение У|У2(&1 +й2)2 и приведя выражение в скобке к общему знаменателю, получаем:

Wn{p) = — И'-

(9)

Введём обозначения

(р) = --e-W, W™(р) = а.іга2і(1 6 ¥ ¥ ¥ М)

V] +й2)2

(10)

Тогда, с учётом выражения для передаточной функции замкнутой системы

^с1оЗе<1 (р) )

^Лгес*(,Р)

^с/оїй£/(,Р) ‘

(11)

1 ^direct С/0 ‘ ^feedback (р)

где И^/гегсДр) - передаточная функция разомкнутой системы, охваченная отрицательной обратной связью с передаточной функцией W/eedback(p) > передаточная функция (9) может быть представлена в виде структуры (рис. 2).

Q>lP)

Ол*г(р)

у— Ь) - "»

W®(p) *—

Р и с. 2. Структурная схема реализации передаточной функции (5)

Подставляя выражения (7) в (10) получаем окончательные выражения для передаточных функций (12):

(12)

1 — exp ( 1 1 (ax +a21) •exp f I \ —p

L. vi ; I V1 )

/ ( (

a12a21 'vlv2 1 - exp

\ 1 V

cti + g21 а2 +a12 V vi v2

\>

■ exp

— + -Л’і v2

\ >Л

•P

/ ))

{P-(V1 +v2)+v2 '(al +a2l)+ vl ' (a2 +a12))2

_______________________________________

P'(v 1 + ^2) + v2 ’(al +a2l)+v1 '(a2 + at2)

(13)

Выполним структурные преобразования для передаточной функции (6). Разделив числитель и знаменатель второго слагаемого на - + Ь2)2 , получаем

ГГ12 (Р) = -

а12

vlv2(bl+b2) Введём обозначения

а21а]2(1 -21{ЪХ +Ь2Уе~^1 -е~2!^)) __________У]I у2 (^1 + ^2 )2_

1 , а21апк-е-^-Ь^-ЬЛ

У,У2

(ь1+ь2у

.(14)

^2}(Р)=-----ЯГ~1Л’ ^122)<Р) ^ е"*"*> С15)

^2^1 +Ь2)

^(3}{р) = «2^12(1-2^1+^}-^)(р)-^)(р)^(22>(р))

^2(^1 +й2 )2

С учётом обозначений (10), (15) выражение (14) может быть представлено в виде

1+^1(2)(р)

(16)

Передаточная функция (16) может быть реализована в виде структуры, представленной на рис. 3. Подставляя выражения (7) в выражения (15) получим окончательные выражения для передаточных функций структуры на рис. 3:

а12 (17)

уг£Чр) =

Р-(У] + у2)+у2-(сс1+сс21)-+-у, ■(а2+сс12)’

\У^] (р) = ехр

{ (

а] +а21 | а2 +а,2

у2

■ехр

-I-

V

^У| У2

•р

(18)

а12а2Г^2

1-ехп -2-1-

-2-1

V

V

1 1

----------[---------

V, у2

\ у •р

/ Л

а12а21-27ехр

(р-(у,+у2}+у2-(а1+а21) + уг(а24-а12))2

^ /^'х1 +а21 [ а2+с *2

-/•

V у1

(1 11 \

-ехр -1' н— Р

К и *2) /

Р-(г’1 + у2)+Р2-(а1 +а2[)+^ -(а2 + а12)

(19)

Полученные структуры (рис. 2, 3) могут быть реализованы пакете численного моделирования динамических систем, что позволит выполнять численные эксперименты, связанные как с исследованием объекта управления, так и систем автоматического управления.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. БутковскийА.Г. Структурная теория распределенных систем. - М., Наука, 1977.-320 с.

2. Данилушкин И.А., Лежнев М.В. Структурное представление процесса теплообмена при встречном направлении взаимодействующих потоков// Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Технические науки». Выпуск Ха 1 (19)-2007. - Самара: СамГТУ. - 2007. -С. 16-22.

3. Черных И. В. SIMULINK: среда создания инженерных приложений/ Под общ. ред. к.т.н. В.Г. Потемкина. - М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2003. - 496 с.

Статья поступила в редакцию 24 февраля 2009 г.

UDC 621.6-52

STRUCTURAL REPRESENTATION OF COUNTER FLOW HEAT EXCHANGER ADAPTED TO A SOFTWARE PACKAGE FOR MODELING DYNAMIC SYSTEMS

I.A, Danilushkin, V. V, Snegovoy]

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya sir., Samara, 443100.

Transfer functions for counter flaw heat exchanger as control object were deduced previously. The paper describes structural transformations of the transfer functions which make it possible to build the model at a software package for modeling dynamic systems.

Key words: counter flow heat exchanger, structural representation, transfer function, modeling dynamic systems.

1 Ivan A. Danilushkin, Candidate of Technical Sciences, Associate professor. Vasiliy V. Snegovoy, Graduate student.