CC BY
135
ИА. РЯБИНИН
УДК 519.87:82-4 © 2011: И.А. Рябинин; ФНИ «XXI век»
СТРУКТУРНО-СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ И ИХ ФОРМАЛИЗАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
И.А.Рябинин,
почетный профессор,
Военно-Морская академия им. Н.Г. Кузнецова, Санкт-Петербург, Россия
Эл. почта: [email protected] Статья поступила в редакцию 04.10.2011, принята к печати 14.11.2011
Установление структурных особенностей биосферы, существенно влияющих на ее устойчивость, может сделать соответствующие объекты предметом логико-вероятностного анализа (ЛВА), уже оцененного в технических науках. В качестве введения в ЛВА определено понятие структурно-сложных систем. Приведен пример такой технической системы и произведена ее формализация с помощью функции алгебры логики.
Ключевые слова: организованная сложность, структурно-сложные системы, логико-вероятностное исчисление, функция алгебры логики, вероятностная функция, схема функциональной целостности.
STRUCTURALLY COMPLEX SYSTEMS AND THEIR FORMALISATION USING LOGICAL ALGEBRA FUNCTIONS I.A. Ryabinin,
Professor Emeritus N.G. Kuznetson Navy Academy, Saint-Petersburg, Russia E-mail: [email protected]
Structural relationships between different components of the biosphere, as they are presented with flowcharts, may be significant for environmental stability. Their elucidation may make them suitable for probabilistic logical analysis (PLA), which has already found applications in reliability analysis of technical systems. As an introduction to PLA, the definition of structurally complex systems is presented. An exemplary technical system of such kind is formalised using logical algebra functions.
Keywords: organised complexity, structurally complex systems, probabilistic logic calculus, logical algebra functions, probabilistic function, structural integrity diagram.
Введение
Логико-вероятностная методология может быть востребованной в тех науках о сложных системах, в которых существует какая-либо организованность (упорядоченность), когда элементы системы структурированы. К числу таких систем можно отнести и экологические - в той степени, в какой они оказываются представимыми в виде блок-схем, которые часто существенно помогают в анализе процессов, происходящих в биосфере.
Как писал Дж. Клир [1], «по-настоящему важной характеристикой задач из данной области, задач, которые так мало изучены, является то, что в отличие от неорганизованных ситуаций, к которым применены статистические методы, в этих задачах существенно такое свойство как организованность... Такую группу задач можно назвать задачами организованной сложности. Это новые задачи, их будущее во многом зависит от их решения. Наука должна совершить третий рывок, может быть более великий, чем "покорение" в XIX веке задач типа организованной простоты и победа в ХХ веке над задачами неорганизованной сложности.».
Насущные потребности современной науки, техники, практической деятельности в целом настоятельно выдвигают задачу разработки системного подхода к исследованию любых явлений и процессов окру-
жающего нас мира. Вполне естественно, что системный подход необходим также к проблеме надежности и безопасности технических изделий и комплексов, от которых в немалой степени зависит состояние окружающей среды.
Здесь и ниже под термином «система» будем понимать множество (совокупность) действующих элементов, взаимосвязанных между собой и рассматриваемых как единое структурное целое. Эти связи (отношения) и отличают систему от простого конгломерата частей. Рассматриваемые в определенном контексте отношения целиком зависят от решаемой задачи. Для каждой конкретной задачи мы включаем в рассмотрение те или иные существенные или интересующие нас связи и исключаем тривиальные связи.
Интуитивное представление о сложности системы связывает это свойство с
- объемом оборудования (числом элементов, их весом, габаритами и т. д.);
- разветвленностью связей между элементами и степенью их взаимодействия (многосвязанностью, многорежимностью и пр.);
- квалификацией персонала, осуществляющего изготовление элементов, монтаж, наладку и эксплуатацию системы;
- стоимостью изготовления всей системы;
- трудностью оценки ее эффективности, надеж-
ности и безопасности (многокритериальность, комплексность).
Понятие сложности учитывает как сложность структуры системы, так и сложность функций, реализуемых системой.
Под структурно-сложными системами мы будем понимать такие системы, которые при математическом описании не сводятся к последовательным, параллельным или древовидным структурам. Структурно-сложные системы (ССС) описываются сценариями сетевого типа с циклами и неустранимой повторностью аргументов при их формализации. Независимо от природы изучаемой ССС при решении соответствующих задач можно использовать одни и те же абстрактные модели, а именно логико-вероятностные.
Единственным практически реальным и доступным путем для проектирования и исследования ССС является моделирование.
Здесь будет уместным сказать, что большинство реальных систем относятся к классу ССС, но из-за математических трудностей они пока изучаются в основном описательным путем. Больше повезло структурно-простым системам (СПС), для исследования которых разработаны количественные методы.
Структура связей внутри общества, бизнеса, финансов и т. д. не является простой. Это система с огромным числом переплетающихся связей, и люди, принадлежащие к различным ячейкам (группам), мо -гут быть связаны гораздо более крепкими узами взаимных интересов, чем соседи по деревне, квартире или даже родственники в семье.
Пусть для создания какого-либо продукта (самолета, ракеты, реактора и т. д.) требуется специалист-физик (х1, х2) и математик (х3, х4). Один научный коллектив (х1, х3) знает только русский язык, а другой (х2, х4) - только английский. Возникает вопрос: насколько возрастает эффективность (надежность) двух этих коллективов, если им придать еще и высококлассную переводчицу (х5)?
Такая интерпретация простейшей мостиковой структуры, приведенной на рис. 1, дана с целью подчеркнуть широту распространенности ССС не только среди чисто технических систем, но и в среде организационных, банковских и гуманитарных систем. Другое дело, что не всегда эти логические связи очевидны, и не всегда имеется большое желание их обнаружить и структурировать систему.
-И х2
Х4
Х5
-И XI
Хз
Рис. 1. Мостиковая система.
Используя основные понятия математической логики [4, с. 25-41], запишем логическую функцию работоспособности системы (ФРС) через логическую сумму (V) логических произведений (л) кратчайших путей успешного функционирования (КПУФ):
уе(х1,...,х5) =
= (х1лх3)ч(х2 ах4)у (х1лх5лх4)у (х2лх5лх3) (1)
Кратчайший путь успешного функционирования системы (КПУФ) представляет собой такую конъюнкцию (логическое произведение) ее элементов, ни одну из компонент которой нельзя изъять, не нарушив условий функционирования системы - процесса создания некоторого продукта в нашей задаче [4, с. 82]. Такую конъюнкцию можно записать в виде следующей функции алгебры логики:
П*= А х,
1Е п,-
(2)
где означает множество номеров, соответствующих данному пути.
Кратчайший путь успешного функционирования системы описывает логические условия одного из возможных самостоятельных вариантов выполнения поставленной задачи с помощью минимального набора работоспособных элементов.
Обычно для упрощения записи функции алгебры логики знаки логического умножения (л) и скобки опускаются. Тогда выражение (1) будет иметь вид:
4
Ус(х 1,-,х5) = х1х3\/х2хАух1х5хА\гх2х5х3=^Х[1 (3)
Функция алгебры логики (3) записана в так называемой дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ).
Общепринятая форма записи со знаками алгебры логики (лч —), скобками и в строку является менее наглядной записью по сравнению с матричной записью функций алгебры логики (ФАЛ), введенной мной еще в 1967 г. [5], в которой дизъюнкции записываются параллельными строками. В этом случае выражение (3) имеет вид:
ус(х1,...,х5) =
ж,х3 П>
х2х4 п2
х1 х5 х4 Пз
х2х5х3 п4
(4)
Формализация структуры рис. 1 означает исчисление, позволяющее заменить операции с объектами (в данном случае с людьми) операциями с соответствующими им знаками (х1, ..., х5).
ФРС (4) является повторной и самой простой из класса ССС. Она формализует понятие истинности (способности создания продукта) двух коллективов ученых вместе с переводчицей.
Но нас интересует эффективность этой системы, которую удобно выразить через вероятностную меру, то есть через вероятность истинности
Л{уе(*1,...,*5) = 1} =/№ = 1) Д(х2= 1) = 1)}, (5)
где: (5) - вероятностная функция (ВФ),
= 1) - вероятность истинности аргумента X,-(т. е. этим выражением определяется, с какой веро-
И.А. РЯБИНИН
ятностью, например, переводчица х5 осуществляет перевод русского математика английскому физику и наоборот).
И, если нам известны все =1) и функция (4), мы не можем вычислить вероятностную функцию (5) путем прямого замещения аргументов их вероятностями истинности и знаков (л, V) арифметическими знаками ( •, +), что связано с необходимостью применения известной формулы суммы вероятностей совместных событий.
Согласно этой формуле, вероятностную функцию (5) в общем виде можно вычислить по формуле:
р{у{х1,...,хт)=\}=яс= пл=Хдп,)--ЕЕш, лп,.)+ХЕЕрш„ лп, лп,)-...+
г ) г ) к
+ (-1Г1Р(П1лП2л...лП,) (6)
Вопросами разработки методов и алгоритмов преобразования функций алгебры логики в вероятностную функцию занимается специальный раздел дискретной математики, получивший название логико-вероятностное исчисление [4, с. 42-73], в котором установлены четкие правила замещения логических аргументов х . в функциях алгебры логики д>(Х[,...,Хи) вероятностями их истинности ^{х,- =1}, а логических операций конъюнкции (л), дизъюнкции (V), отрицания (—) -арифметическими операциями умножения (•), сложения (+), вычитания (-).
Так, например, применив к ФРС (4) один из методов логико-вероятностного исчисления - алгоритм орто-гонализации [4, с. 112], получим выражение:
х^ хзх^
ус(х1,...,х5)= х 1Х2Х3Х4 . (7)
Х^Х^Х^ Х4Х5 X1X 2 X
Штрихами над соответствующими символами обозначены отрицания аргументов, т. е. параметры, истинное значение которых «ложь» (0). Функция (7) называется ортогональной дизъюнктивной нормальной формой (ОДНФ), в которой логические произведения любых пар дизъюнктивных членов равны нулю, т. е. являются несовместными.
В ОДНФ (7) уже можно замещать все члены соответствующими вероятностями (х. —» х; —>Qi), а операции (л, V) - арифметическими операциями умножения и сложения.
Я^Дх,,...,^) = 1} =RR3 + RgR + QRRR +
+ QRRQR + RQQRRy
где: Qt =P(i,.=1}= P{*,=0}.
Заменяя в (8) Q =1-R, получим полином
R{yc(xlv..,x5) = 1} =R1R3 + RR - RRR+RRR +
+RRR+RiRR - RRRR - (9)
- R1R2R3R5 - R2R3R4R5 - R1R2R4R5 - R1R3R4R5 +
Приняв условие равенства всех R. = R, получим од-нопараметрический полином
R = 2R2 + 2R3-5R4 + 2R5.
(10)
Для ответа на поставленный вопрос о значении элемента х5 для эффективности системы рассмотрим структуру рис. 1 без элемента х5:
Уя2(х1,...,Х4)= , (11)
R^ = R1R,+R2R,-R1R2R3R,. (12)
При R. = R = const
Rc= 2R2 - R4. (13)
Rc-Rc= 2R3-4R4 + 2R5. (14)
При R = 0,9 имеем:
Rc-Rc2 = 0,01458; RC = 0,97848; Rc= 0,9639.
К формализации структуры рис. 1 можно подойти и с противоположной стороны, т. е. записать функцию неработоспособности (ФНС) через минимальные сечения отказов (МСО):
ye(xi,...,xs) =
Х1Х2 X3X4 Х1Х5Х4 X2X5X3
(15)
ФНС (15) также является повторной, и для ее решения воспользуемся каким-либо другим алгоритмом ЛВИ.
Применим к ФНС (15) алгоритм разрезания [4, с. 104] по аргументу х5:
ус(хи...,х5) = х5
XlX2 Х1Х2 Xl Х2
_ X3X4 X3JC4 _ X3X4
Х5 _ _ vx5 _ _ = Х5 __
Xl 1X4 Xl 0X4 Х1Х4
Хг 1хз Х2 Охз X2X3
(16)
(8)
Х1Х2 _ XI Х2 Х1Х2
vx5 _ _ = Х5 _ _ vx5 _ _
X3X4 Хз Х4 X3X4
Qc= Q5 (1 - R1R3) (1 - RA) + + R5 [1 - (1 - QQ (1 - Q3Q4)]. (17)
При Q. = Q = const получим однопараметрический полином
Qc = 2Q2 + 2Q3- 5Q4 + 2Q5, (18)
который полностью повторяет полином (12), но только через Q.
При Q = 0,1 имеем:
Qc = 0,02152, Rc = 1-0,02152 = 0,97848.
Как же до сих пор решались аналогичные вопросы оценки надежности ССС зарубежными и отечественными учеными?
Для систем мостикового типа Б. С. Диллон [6], А. П. Ковалев [7] и другие использовали так называемое эквивалентное преобразование соединения треугольником Д в соединение звездой (Д I ) и наоборот _^Д ). ^^
В результате такого преобразования сложная мос-тиковая схема заменялась системой с последовательным и параллельным соединением элементов. Авторы понимали, что этот метод вносит некоторую погрешность, которой в практических задачах можно и пренебречь.
Долгое время не удавалось вызвать интерес к ЛВИ у чистых математиков, хотя такие попытки и делались. Так, например, в докладе на Втором международном конгрессе математических методов в надежности в 2000 г. [8] мною было заявлено: «Математик, в совершенстве знающий алгебру логики и теорию вероятностей, но не знакомый с логико-вероятностными методами (ЛВМ), не может преобразовать функцию алгебры логики (ФАЛ) трех структур [9, с. 17] к форме перехода к полному замещению (ФППЗ) и соответствующим вероятностным функциям». При этом в докладе приводились упомянутые ФАЛ [9, с. 115, 175, 183] и полученные однопараметрические полиномы [9, с. 117, 178, 185].
Среди трех упомянутых структур присутствовала и самая простая (из области структурно-сложных систем), собранная по мостиковой схеме.
На вызов, обращенный к чистым математикам, был получен ответ от доктора физико-математических наук Н. В. Хованова, приведенный в полном объеме в публикации [4, с. 44-48], где было отмечено, в частности: «Спешу выполнить мое давнее обещание - дать общее чисто теоретико-вероятностное решение Вашей задачи о вероятности состояния сложного вентиля, собранного по "мостиковой схеме" из пяти про -стых вентилей. Тем способом, который описывается ниже, эта задача обычно решается на практических занятиях со студентами, слушающими элементарный курс теории вероятностей, при прохождении темы "формула полной вероятности". При этом предполагается, что студенты также умеют проводить преобразование формул событий, используя дистрибутивность операций объединения и пересечения, а также знают формулы сложения и умножения вероятностей и понимают, что такое «независимость событий в совокупности» и что такое "условная вероятность". Надеюсь, что выведенная общая формула (8) будет полезна (безвредна) для Вашей интересной концепции логико-вероятностных вычислений».
Далее на четырех страницах текста был получен абсолютно точный результат. Классический способ решения таких задач предполагает, что вычислитель
умеет проводить преобразования формул событий, используя дистрибутивность, объединения и пересечения множеств. А также знает формулы сложения и умножения вероятностей и понимает, что такое «независимость событий в совокупности» и что такое «условная вероятность». Предположение о том, что современный пользователь умеет, знает, понимает и пр., по нашему мнению, несколько завышено.
Есть еще один способ точного решения такой задачи, а именно, можно обратиться к полному перебору всех возможных состояний системы, т. е. обратиться к совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ).
Продемонстрируем на примере мостика запись условий работоспособности в трех дизъюнктивных изоморфных формах (ДНФ, ОДНФ и СДНФ).
yc=(Xi,...,X5)=
Xl Хз -
Х5Х4
Х2 х4
X5X3
X1X3 . 1 xix,x3x4 х5
Xl хг х4 2 Х1Х2Х3 х4 х5
Xj Х2Х3Х4 3 Xl х2 Х3Х4 х5
х,х2хз х4х^ 4 X1.Y, Хз А-4Х5
Xl X, Л"з Х4Х5 5 X1X2X3 Х4Х5
б X, х2 Х3Х4Х5
7 XiX2X3X4X5
8 X! Х2 Хз Х4 Х5
9 х,х2х3 Х4Х5
10 XiX2 X. Х4Х5
11 Х,Х2ХЗХ4Х5
12 Х,Х2Х 3X4X5
13 Х,Х2ХзХ4Х5
14 Xi х2 л"3 Х4Х5
15 XlX2-Y 3X4X5
16 Xj Х2Х3Х4 X5
(19)
Запись ФРС в ДНФ самая экономная, но для сложных структур не позволяет осуществить прямой переход к вероятностной функции.
Запись в ОДНФ требует знаний алгоритма ортого-нализации.
Запись в СДНФ самая громоздкая, но позволяет осуществить простой переход в ВФ без всяких дополнительных алгоритмов.
Как правило, формализация работоспособного состояния (или состояния отказа) в надежности начинается с рассмотрения принципиальной или структурной схемы системы, объекта. Реальные (а не виртуальные) элементы таких систем имеют и реальные связи с другими элементами. Поэтому составление матрицы непосредственных путей, как и схемы функциональной целостности (СФЦ), не представляет слишком большого труда, а таковые сценарии функционирования системы становятся понятными даже и неспециалистам по надежности.
Даже на примере самой простой ССС возникли некоторые трудности, связанные с ее формализацией, и особенно с определением вероятностной функции (нужно знать соответствующие алгоритмы ЛВМ).
Эти трудности многократно возрастают с ростом числа структурных элементов таких систем. Чтобы получить конкретное представление об этом,
И.А. рябинин
приведем некоторые количественные характеристики по другому известному примеру (задача № 35 в [4, с. 193; 9, с. 182]).
Рассмотрим вполне реальную систему (рис. 2), состоящую из трех генераторов (х1, х2, х3) одинаковой мощности, трех главных распределительных щитов ГРЩ (х4, х6, х9), трех связей между ними (х5, х7, х8) и шести вторичных распределительных щитов (ВРЩ)
(х10 - Х15).
Кольцо, образованное элементами х4, х5, х6, х7, х8, х9, и составляет основную трудность аналитического решения задач надежности такой системы энергоснабжения (СЭС).
Лад
Лфсмычха
ncjiu-MVii:!
ВРЩ
Ч,
X.
ГРЩ
X -
15
Пврвмтха
jam
n ДНФ СДНФ 2n
КПУФ мсо ПУФ со
5 4 4 15 15 32
15 92 31 2322 30 446 32 768
Приложение 1
На рис. 3 приведена схема функциональной целостности (СФЦ) мостиковой структуры.
Рис. 3. Схема функциональной целостности (СФЦ) мостиковой структуры и соответствующая система логических уравнений.
Составим систему логических уравнений последовательно для каждого элемента.
Первый элемент:
У1 = x1
(22)
Рис. 2. Кольцевая структура системы энергоснабжения.
Однопараметрическими полиномами, аналогичными формулам (10) и (18), будут:
P{y (x1,.., x15) =1} = Rc = 18R7-21R8+80R9-339R10+ + 585R"-511R12+243R13-60R14+6R15 (20)
P{y (X1,.., X15) = 0} = Qc = 12Q2 -13Q3-30Q4 + + 51Q5-12Q6+66Q7-195Q8 + 100Q9 + 174Q10 -- 243Q11 + 82Q12+ 33Q13-30Q14+ 6Q15. (21)
В табл. 1 представлены числа членов ДНФ и СДНФ двух сравниваемых структур.
Табл. 1.
Уравнение (22) показывает, что функция работоспособности первого элемента у1 определяется только состоянием самого элемента х1, что видно на рис. 1 и 3.
Второй элемент:
y2 = x2
(23)
Уравнение (23) показывает, что функция работоспособности второго элемента у2 определяется только состоянием самого элемента х2, что также видно на рис. 1 и 3.
Третий элемент:
У3 = Х3 л (У1 v У5)
(24)
Уравнение (24) показывает, что функция работоспособности третьего элемента у3 определяется состоянием самого элемента х3, а также и состоянием элемента у1 или состоянием элемента у5 в смысле выполнения ими функций работоспособности. На рис. 3 это последнее логическое условие отображено двумя входящими в элемент 3 стрелками.
Логико-вероятностные методы хороши своей точностью, прозрачностью и удобством программирования для ЭВМ. Кроме того, с их помощью удается объективно выявлять роль (важность) каждого элемента структуры.
Формализовать ССС можно и с помощью системы логических уравнений (схем функциональной целостности А. С. Можаева), но тогда необходимо либо уметь решать эти уравнения, либо иметь доступ к программному комплексу «АРБИТР» [10].
В Приложении 1 (автор А. В. Струков) показана формализация «мостика», показанного на рис. 1.
Четвертый элемент:
У4 = Х4 Л (У2 V У5).
(25)
Уравнение (25) показывает, что функция работоспособности четвертого элемента у4 определяется состоянием самого элемента х4, а также и состоянием элемента у2 или состоянием элемента у5 в смысле выполнения ими функций работоспособности. На рис. 3 это последнее логическое условие отображено двумя входящими в элемент 4 стрелками.
Пятый элемент:
У5 = Х5 Л (У1 V У2).
(26)
теория
Уравнение (26) показывает, что функция работоспособности пятого элементаy5 определяется состоянием самого элемента x5, а также и состоянием элемента y j или состоянием элемента y2 в смысле выполнения ими функций работоспособности. На рис. 3 это последнее логическое условие отображено двумя входящими в элемент 5 стрелками.
И, наконец, шестой узел (фиктивный элемент), определяющий функцию работоспособности мостиковой структуры:
Уб = Уз v У4.
(27)
Уб = Уз v У4 = [x3 • (У1 v У5)] v [x4 • (У2 v У5)] = [заменяем У1 на x1 согласно (22) и У2 на x2
У 6 =
Приложение 2
Выше было сказано, что понятие сложности учитывает как сложность структуры системы, так и сложность функций, реализуемых системой. На примере «мостика» удалось продемонстрировать сложность именно структуры.
Приведем теперь еще один пример формализации задачи при простой структуре, но со сложной функцией.
На рис. 4 представлена блок-схема надежности реальной многофункциональной технической системы, состоящей из независимых элементов [11].
Уравнение (27) показывает, что функция работоспособности системы определяется состоянием элементов 3 или 4, логические уравнения для которых определены выше (24, 25).
Выразим условие (27) выполнения заданной функции (функции работоспособности) через состояния самих элементов, то есть через х1, ..., х5:
(28)
согласно (23)]
= [х3' (х1 V У5)] V [х4 • (х2 V У5)] = (29)
[заменяем у5 на уравнение (26)]
= {Х • [х1 V (х5 -(У V У2))]} V {Х4 • [х2 V (х5 • (У1 V У2))]}= (30)
[заменяем У1 на х1 согласно (22) и У2 на х2 согласно (23)]
= {х3 • [х1 V (х5 • (х1 V Х2))]} V {Х4 • [х2 V (х5 • (х1 V Х2))]} (31)
Используя распределительный закон для конъюнкций, запишем (31) в виде
= {х3 • [х1 V (х5х1 V х5х2))]} V {х4 • [х2 V (Х5Х1 V х5х2))]} (32)
Используя сочетательный закон, запишем (32) в виде
= {х3 • [(х1 V Х5Х1) V х5х2]} V {х4 • [(Х2 V Х5Х2) V х5Х1]} = = {Х3 • [Х1 V х5х2]} V {Х4 [Х2 V х5Х1]} =
= Х3 •Х1 V х3х5х2 V Х4Х2 V Х4х5х1 (33)
Таким образом, описан переход от системы логических уравнений к логической функции.
Перепишем (33) в форме логической матрицы
Рис. 4. Блок-схема надежности реальной технической системы.
Сложность функционирования этой системы заключается в блоке В, который работает на блок D или на блок Е. ФРС рис. 4 в ДНФ примет вид
AD BD BE CE
у( A,..., e) =
(35)
Эта функция повторная (из-за В, Д Е) и монотонная. Замещать высказывания вероятностями их истинности нельзя. Автор работы [11], перебрав 32 состояния из пяти аргументов в СДНФ, определил 19 членов, которые обеспечивают работоспособность системы. Затем, объединяя ряд состояний по правилам алгебры логики, поэтапно пришел к формуле
ÄBCDE АБСЕ у{А,...,Е) = В DE ABD AD
(36)
(34)
что полностью соответствует ФРС (4) основного текста.
в которой уже можно переходить к вероятностной функции, так как она записана в ОДНФ.
Для получения многопараметрического и одно-параметрического полиномов целесообразно преобразовать аргументы (А, В, С, Ц Е) в соответствии с табл. 2.
и.А. рябинин
Табл. 2. заключение
A B C D E
x3 x4 x5
Перепишем выражение (36) в x:
Х^ Х^Х^Х^
у(х1,...,х5) = x2x4xs .
Х1Х2Х4 X, Хл
R^RQRQR+QQRR+RQR+QRR+RR,. (38)
При равенстве всех R получим R = 4R2-3R3 - R4 + R5,
c '
Qc = Q2 + 3Q3-4Q4 + Q5.
1. Логико-вероятностная методология может быть востребована в науках о сложных системах, в которых существует какая-либо организованность (упорядоченность), когда элементы системы структурированы.
2. Установление структурных особенностей биосферы, существенно влияющих на ее устойчивость, должно способствовать интересу и к логико-вероят-
(37) ностному анализу (ЛВА), оцененному в технических науках [2, 3].
3. Формализация структурно - сложных систем с по -мощью функций алгебры логики требует глубоких знаний той предметной области, в которой проводится логико-вероятностный анализ.
4. Эти знания позволяют составить все кратчайшие пути успешного функционирования (КПУФ) или все минимальные сечения отказов (МСО) системы.
Формализовать ССС можно и с помощью системы логических уравнений (так называемых схем функци-
(39) ональной целостности - СФЦ), но тогда необходимо либо уметь решать эти уравнения, либо иметь доступ
(40) к программному комплексу «АРБИТР» [10].
литература
1. Клир Дж. Системология. Автоматизация решения системных задач. - М.: Радио и связь, 1990. - С. 351.
2. Рябинин И.А. Логико-вероятностный анализ и его современные возможности // Биосфера. - 2010. - Т. 2. - С. 23-28.
3. Поленин в. И., Рябинин И. А., Свирин С. К., Гладкова И. А. Применение общего логико-вероятностного метода для анализа технических, военных организационно-функциональных систем и вооруженного противостояния. - СПб.: №КА, 2011. - С. 18.
4. Рябинин И. А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. 2-е издание, переработанное и дополненное. - СПб.: СПбГУ, 2007. - 276 с.
5. Рябинин И. А. Основы теории и расчета надежности судовых электроэнергетических систем. - Л.: Судостроение, 1967. - 362 с.
6. Диллон Б., Сингх ч. Инженерные методы обеспечения надежности систем. - М.: Мир, 1984. - 318 с.
7. Ковалев А. П., Спиваковский А. в. О преобразовании «треугольник-звезда» в расчетах надежности сложных по структуре схем // Электричество. - 1998. - № 10.
8. RyabininI. A. Logical-Probabilistic Methods and Their Possibilities // Second International Conference on Mathematical Methods in Reliability, Bordeaux, France, July 4-7, 2000, ABSTRACT BOOK, Vol. 2.
9. Рябинин И. А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. - СПб.: Политехника, 2000. - 248 с.
10. Можаев А. С. Программный комплекс автоматизированного структурно-логического моделирования и расчета надежности и безопасности систем АРБИТР (ПК АСМ СЗМА), базовая версия 1.0. Разработчик и правообладатель: ОАО «СПИК «СЗМА», Санкт-Петербург. Автор: Можаев А. С. // Свидетельство об официальной регистрации № 2003611101. М.: РОСПАТЕНТ РФ, 2003. - 1 с. // Аттестационный паспорт Федеральной службы по экологическому, технологическому и атомному надзору (Ростехнадзор) РФ, № 222 от 21 февраля 2007 г. - 6 с.
11. Case T. A reduction technique for obtaining a simplified reliability expression // IEEE Transactions on Reliability. - 1977. - Vol. R-26. -P. 248-249.
