Логико-математическая модель структурно-сложной технической системы и ее применение Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 625.855.4

П.В. Холодных

ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛь СТРУКТУРНО-СЛОжНОй

технической системы и ее применение

Современные технические системы, такие, как энергоблоки АЭС, атомные корабли и суда, магистральные трубопроводные системы представляют собой многоагрегатные пространственно распределенные автоматизированные технические комплексы (АТК) агрегатов, механизмов и устройств, связанных между собой единством потоков энергии, вещества и информации (ресурсов). Процессы в таких системах характеризуются гигантскими причинно-следственными цепочками и «переплетающимися» обратными связями. При проектировании таких сверхсложных АТК и их управляющих систем возникает ряд принципиально новых и нерешенных проблем [1]. Первая группа проблем связана с объективной оценкой важнейших системных свойств АТК - структурной надежности, живучести и безопасности. Вторая группа проблем, относящаяся к теории процессов управления, связана с выработкой решений по реконфигурации структуры АТК при заранее непредсказуемых комбинациях отказов компонентов.

Решение отмеченных проблем требует существенного развития моделей и методов структурного анализа. Сложность процессов эволюции АТК в пространстве структурных состояний вынуждает принимать ряд упрощений при построении математических моделей. Так, в логико-вероятностных методах (ЛВМ) расчета надежности структурно-сложных систем [6, 7] общепринятыми являются гипотезы о бинарности состояний компонентов (элементов и связей), об одном типе отказов (обрыв или «вырывание» элемента из структуры), а также об отсутствии так называемых зависимых отказов. При этом полагается возможным описать как условия выполнения АТК своего функционального назначения, так и условия безопасности его функционирования в форме логических функций от состояний работоспособности всех элементов системы.

Следуя работам [6, 7], при принятых допущениях такими логическими функциями являются функции работоспособности системы (ФРС). При

записи ФРС в виде минимальной ДНФ (МДНФ) каждый ее конъюнкт будет представлять т. н. кратчайший путь успешного функционирования (КПУФ). Каждый конъюнкт записанной в МДНФ инвертированной ФРС будет представлять т. н. минимальное сечение отказов (МСО). Заметим, что ФРС является функцией состояния всех элементов системы, поэтому пространство состояний аргументов функции имеет N = 2п значений, где п - число элементов в системе. В связи с этим разработка математических моделей и формальных аналитических методов получения ФРС в виде КПУФ и МСО для структурно-сложных систем, позволяющих уйти от прямого перебора, реально возможного только для малых систем, является чрезвычайно актуальной для теории и практики.

В работах [2, 3] предложены, а в [5] развиты аналитические подходы к получению ФРС для класса многоагрегатных АТК, характеризующихся рядом особенностей, главные из которых состоят в наличии в их структуре:

элементов типа «перемычка», обеспечивающих передачу ресурсов в том или ином направлении в зависимости от структурного состояния АТК и заложенных в управляющую систему алгоритмов;

замкнутых, как правило, «переплетающихся» контуров, состоящих из агрегатов и устройств, обеспечивающих необходимые условия протекания в АТК процессов выработки, передачи и преобразования ресурсов;

«закольцованных» схем передачи ресурсов, например, энергии между распределительными щитами.

Логико-математическая модель структурно-сложных технических систем

Так же как и в работах [2-7], для описания элементов введем в рассмотрение две бинарные переменные:

х . - индикатор работоспособности /-го элемента (х = 1, если элемент работоспособен, и х. = 0 в противном случае);

y. - индикатор, характеризующий факт выполнения или невыполнения своего назначения (возложенной на него функции) ( y = 1, если элемент на своем выходе выдает необходимый продукт (энергию, вещество, информацию), и y. = 0 в противном случае).

Элемент может не выполнять своего назначения не только из-за потери собственной работоспособности (т. е. при x = 0 ), но и при неполучении на свои входы необходимых для своего функционирования ресурсов от смежных элементов.

Множество элементов разделим на два класса. Первый класс (класс P - produce) - элементы-источники или элементы-производители некоторого ресурса. Второй класс (класс T - transport) -элементы, обеспечивающие передачу, распределение или переработку одного вида ресурса в другой. К первому классу элементов АТК относятся, например, аккумуляторные батареи, ядерные реакторы, дизель-генераторы и т. п. агрегаты, в которых существует «начальный» источник энергии (химической, ядерной, тепловой). Ко второму классу относятся, например, кабельные линии передачи электроэнергии, трубопроводные коммуникации, распределительные щиты, парогенераторы, турбогенераторы, насосы и т. п. агрегаты. Класс /-го элемента обозначим символом c. е {P, T} .

Дополнительно к бинарным переменным xt и y введем в рассмотрение маркеры И, которые назовем путевыми маркерами. Эти маркеры являются, по существу, метками, характеризующими пути и направления передачи ресурса от .-го элемента к /-му для обеспечения условий функционирования последнего. Ивдекс z = c. помечает класс элемента-поставщика ресурса. Например, H j означает, что j-й элемент является производящим и передает ресурс со своего выхода непосредственно на вход /-го элемента. ИТ. означает, что ресурс поступает от j-го элемента, относящегося ко второму классу.

Теперь для каждого отдельного элемента можно записать логическое условие его функционирования в виде:

Я = x f (HZ. • y., z = c. ; j е N, ); i е N, (1)

где N - множество индексов всех выделенных в структуре АТК элементов, N = {1, 2, ..., n}; N, -множество индексов элементов, смежных -му элементу и являющихся поставщиками всех необходимых для обеспечения его функционирования

ресурсов (энергия, рабочая среда, управление); ^ - логическая функция бинарных переменных И*. ■ у., записанная в базисе операций конъюнкция и дизъюнкция и характеризующая условие достаточности поступающих на вход /-го элемента ресурсов. В отличие от работ [2-5] логическая функция / 1 записывается не как функция от переменных у., а как функция от произведения переменных у. на путевой маркер И^ , где г - класс j-го элемента-поставщика.

Система из п логических уравнений (1) с включенными в нее путевыми маркерами описывает все функциональные и ресурсные связи в АТК и представляет собой математическую модель его структуры, являясь, по существу, «базой знаний».

Метод формализованного получения

логических функций работоспособности системы в аналитическом виде

Одна из основных задач анализа системы уравнений (1) - нахождение решений относительно различных у с целью получения логической функции работоспособности системы как функции индикаторов работоспособности элементов У = У (х1,1 е N). Решение системы логических уравнений (1) может быть найдено, например, методом последовательных подстановок со сведением исходной системы к одному логическому уравнению относительно, например, переменной у1.

В процессе подстановок будут получаться промежуточные уравнения вида:

у, = А(х,Щ.,Ук ;1,.,к е 1: п,к * ^ +

' (2)

+ В(х, Щ., Ук j,k е 1: п,к * ^у*,

где функции А и В представлены в виде ДНФ и содержат в своих выражениях различные переменные и маркеры х1, И2: j, ук, но при этом не содержат в себе переменной у,.

Отдельные конъюнкты Кг, входящие в А и В, будут, очевидно, представлять собой логические произведения соответствующих переменных работоспособности х1, переменных выхода ук и путевых маркеров И*. :

К =П X П ИIj П ук.

/ /,. к

При любых фиксированных значениях х1, И2. ., ук уравнение (2) является простым логическим уравнением вида

у = А + В • у. (3)

Согласно таблице истинности это уравнение имеет два возможных решения:

1. У, = А + В; 2. у, = А .

Выбор одного из решений должен быть согласован с логикой функционирования системы. В некоторых случаях часть В необходимо сохранить, чтобы не потерять важную часть решения, в других же, наоборот, - необходимо отбросить ее, иначе возможно поглощение части верного решения. Наборы маркеров И*], входящие в каждый конъюнкт выражения, позволяют, руководствуясь приведенными ниже правилами, определить, какие конъюнкты необходимо отбросить, а какие -сохранить. Однако этот анализ необходимо производить в конце решения, когда все подстановки завершены.

В каждом конъюнкте Кг будет содержаться индивидуальный набор маркеров И*, поэтому конъюнкты поглощать друг друга не будут, даже если выбрать частное решение у5 = А + В. С другой стороны, в В могут содержаться «полезные» конъюнкты, которые необходимо сохранить. Поэтому предлагается всегда выбирать решение У, = А + В, оставив анализ на последний шаг.

Таким образом, в результате последовательных подстановок решение для выбранной переменной ух будет получено в виде выражения, в котором отсутствуют у:

у, =Х Кк; Кк =П • п = ■нк .(2)

к 1е! (к) 0,ЛеМ (к)

Произведение маркеров Ик = П И^ за-

0,/)еМ (к)

меняется на единицу или нуль. Выбор значения основывается на следующем требовании: конфигурация АТК, описываемая Хк ■ Нк, будет работоспособной, если все задействованные в ней элементы будут обеспечены всеми необходимыми ресурсами от своих поставщиков. При этом, все элементы должны быть напрямую или косвенно связаны с элементами Р-класса, т. е. с источниками энергии, ресурса, информации и т. д. в системе. На основе этого требования строится следующее правило.

Будем говорить, что в конъюнкте Ик содержится путь Ь = И21. И4 ...И2". длиной т, со-

\ , Л 12 , ^ 1т , Jm

стоящий из всех или части маркеров И2j, входящих в Ик, если = 4+1 для любого , е 1: т -1, и маркеры, входящие в Ь , не повторяются. Например, возможны пути И^ Ир3 Ит4, ИТ45ИТ54 и т. п. Значение Ик будет равно единице, если для лю-

бого Т-маркера ИТ}, входящего в Ик, можно найти хотя бы один путь, завершающийся Р-маркером: Ь = ИТИТ ...ИР . В этом случае конъюнкт

1, J J, Jг 1т , Jm

Кк = Хк ■ Нк = Хк, т. е. сохраняется. Если хотя бы для одного Т-маркера ИГ не существует пути, приводящего к Р-маркеру, то 1-й элемент не будет обеспечен, по крайней мере, одним из ресурсов, и Ик = 0, а конъюнкт Кк = Хк ■ Нк = 0, т. е. отбрасывается на основании несоответствия «физическим» принципам работы системы. Например,

И1 = И4,5И5,4 = 0 , а И2 = И1,2Ир3 = 1 .

Хрестоматийный пример

Сущность предлагаемого подхода к нахождению логических функций работоспособности технической системы удобно пояснить на примере анализа системы, структурная схема которой приведена на рисунке. Рассматриваемая система обладает всеми указанными ранее особенностями структурно-сложных систем, такими, как

энергетические «обратные связи» (между элементами 1, 4 и 1, 5), обеспечивающие самоподдержание процесса функционирования;

«закольцованную» схему передачи и распределения электроэнергии (элементы 1, 2, 3); управляемые перемычки (элементы 6, 7, 8). Система уравнений, описывающая структуру системы, имеет вид:

У1 = Х1( Х6 И1г У 2 + Х8 Ии Уз) У2 = Х2 (Х6ИТ,1 У1 + Х7И2Т,3Уз + И2Р4У4)

< Уз = хз(Х8И3З1У1 + х7ИЗ2У2 + И3Р5У5) У4 = Х4 И4ТД У1

У5 = Х5 И5д У1

Пример структурно-сложной системы 1-3 - распределительные щиты; 4, 5 - электрогенераторы, требующие энергию и для собственных нужд; 6-8 - кабельные перемычки

В уравнениях для у у2 и у3, характеризующих наличие на выходах элементов 1, 2 и 3 энергии, кроме переменных работоспособности Х1 х3 также содержатся переменные х6, х7 и х8, характеризующие исправность соответствующих кабельных перемычек, связывающих данные элементы.

Найдем решение системы относительно у . Для начала подставим уравнения у4 и у5 в уравнения для переменных у2 и у3:

у = х1( Х6 Н{г у г + Х8 Ии у3)

< у2 = х2(хбИ2д у! + Х7И2,3 у3 + Х4Ир4И41 у1) (6) ^ у3 = Х3(Х8 Н1,1 У1 + Х7 Н1,2 у2 + Х5 И1,5 И5д У1)

Далее, совершим подстановку у3 в уравнение для у2 и раскроем скобки.

у 2 = Х2( Х6 И1,1 У1 + Х7 Н[,3 Х3( Х8 Н1Л У1 + Х7 И1,2 У2 +

+ Х5И1,5,И1,1 уу ) + Х4И2,4Н1Л Я ) = Х2 Х6И2^1 У1 +

+ х2 х3 х7 х8 И 2 ,3 И3,1 у1 + х2 х3 Х7 И2 ,3 Н3,2 у2 + + х2 х3х5 х7 И2,3И3,5И5,1 у1 + х2 Х4 И2,4 И4,1 У

Это уравнение имеет вид у2 = А + Ву2. Возьмем его частное решение:

у2 — А. + В — Х2 Х6 -Н2 1 у1 + Х2 Х3 Х7 Х8 -Н2 3 -И2 1 у1 +

+ Х2 Х4ИрАИ1лу1 .

Рассмотрим конъюнкт х2х3х7Н23Н\2 . В нем отсутствуют переменные ук , поэтому его можно считать завершенной конфигурацией. В произведении маркеров Н\—\2 нет ни одного Р-маркера, поэтому ни для И23, ни для Нт32 нельзя построить путь к источнику ресурса. Следовательно, ИТ23И[2 равен нулю, и мы можем использовать этот факт для упрощения выражения, не дожидаясь окончания процесса решения относительно

у1 : х2 х3 х7И2,3И3,2 = 0 .

у 2 — х2 х6 И Т,1 у + х2 х3 х7 х8 И Т,3 И1,1 у1 + + х2х3х5х7И13Ир,5И11у1 + х2х4И2Р4И4Г,1У .

Подставим полученное выражение в уравнение для у3 и раскроем скобки:

У = х3( х8 ИТ1 у1 + х7 ИТ 2( х2 х6 И Т,1 у1 +

+ х2 х3 х7 х8 И Т,3 И Ъ у1 + х2 х3 х5 х7 И\,Ъ Ир,5 ИТД У1 +

+х2 х4 И 2^4 И Т,1 У1) + х5 И 3^5 ИТД У1) = х3 х8 И1Л У1 +

+ х2 х3 х6 х7 ИЪ,2 И Т,1 У1 + х2 х3 х7 х8 И1,2 И1,1 И1,1 у +

+ х2 х3 х5 х7 ИТ 2 И2Т,3 Ир5 И5,1 у1 + х2 х3 х4 х7 И1,2 Ир,4 И1,1 у + +х3 х5 И3Р5 И1,1 у1 .

Затем подставим полученные для у2 и у3 выражения в уравнение для у1 :

у1 — х1(х6И1 ,2 (х2 х6ИТ,1 у1 + х2 х3 х7 х8И2,3И3 ,1 у1 + +х2 х3х5х7 ИТ2,3Ир,5И11у1 + х2 х4 ^^Д у1) +

+х8 Ии( х3 х8 И[д У1 + х2 х3 х6 х7 И1,2 И Т,1 У1 + +х2 х3 х7 х8 ^ И Т,3 И3,1 у1 + х2 х3 х5 х7 И1,2 И\,3 Ир,5 И1,1 У1 +

+х2 х3 х4 х7 И3 ,2 И 2,4 Ит ,1У + х3 х5 И3,5 И5 ,1 у1 ^ —

= хх х ИТ ИТ V + хх х х х х ИТ ИТ ИТ V + +хх х х х х ИТ ИТ ИР ИТ у +

+х1 х2 х4 х6 И\ 2 И р4 И 4,1 у1 + х1 х3 х8 И1Т3 И3Т,1 у + +х1 х2 х3 х6 х7 х8 И1,3 И 3 ,2 И 2 ,1 у1 +

+х1 х2 х3 х7 х8 И13 И1а И Т,3 И3Т,1 у1 + +х2 х3 х5 х7 х8 И1,3 И Т 2 И2Т,3И3Р5 И5д У1 +

+хх х х х х ИТ ИТ ИР ИТ у +хх х х Ит ИР Ит у

Полученное уравнение имеет вид у — Ву. Его частное решение:

у — В — х х2 х6 И\л Н^ +

I х^ х3 х6 х^ х^ ИИ1 2 Н 2 3 Н 3 1 I

+ххххххНт Нт НР Нт +

-ГЛ1 1,211 2,311 3,511 5,1 -т

I -1 2 ИИ 2 4 ИИт 1 I х1 хг х^ И И1 3 ИИт 1 I

+ х1 х2 х3 х6 х7 х8Н1 ,3 Н3,2 Н 2 ,1 +

(7)

+XXXXXHT Нт Нт Нт +

1 2 3 7 8 1,3 3,2 2,3 3,1

+хх хх х хНТ Нт Нт НР Нт +

т^,l^,2Л,тЛ,5^,7^,8l 11,311 3,211 2,^-* 3,^-' 5,1 т

I X ^ X ИИ1 3 ^^^ 2 Н2 4 Н4 1 I I х1х3 х^ XН1 3Н3 5ИИ5 1 .

Уравнение (7) не содержит в правой части переменных ук, к е1:5. Осталось сделать последний шаг в решении - проанализировать оставшиеся конъюнкты:

• х х2 х6Нт12Н21 — 0 , так как Н^Н21 — 0 из-за отсутствия Р-маркеров;

• х1 х2 х3 х6 х7 х8 Н1т2 Н [3 НтЪ1 — 0, так как Н^ Н23* х Н^ — 0 (нет Р-маркеров);

• х1 х3 х^ х^ И И1 2 ИИ" 2 3 И И3 5 И И5 1 — х1 х3 х^ х^ х7 , так как для всех т-маркеров можно составить пути к Р-маркеру Н^Н^, -33,5,

на основании чего Н12Нт23НРР—\1 — 1;

• Х1Х2Х4Х6И12И2 4И41 — Х1Х2Х4Х6, так как И12^ х И12И24Ит41 — 1 (существуют пути И^Ир4 и ттТ И ) , ,

П 4,1 1,2Л 2,4 Л

• п Х3 п И^з ИТЪ1 — 0, так как И^ И^ — 0 (нет Р-маркеров);

• Х1Х2 Х3 Х6 Х7 Х8 И1Т3 И3Т2 И 2Т1 — 0, так как И 3 И 2* х ИТ21 — 0 (нет Р-маркеров);

• х1 х2 Х3 х7 п И1Т3 И3Г2 И2Г3 И^ — 0, так как И13 и3Т2 И 2Т3 И3Т1 — 0 (нет Р-маркеров);

Х1Х2ХзХ5Х7И1 3И3 2И2 3И3 5Н5 1 — Х1Х2ХзХ5Х7С*л ,

так как И' 3И12И23И35И5 1 — 1 (существуют пути

ЯТ цР ттТ ттТ ттР ттТ ттР ттТ ттТ ттР

1,3И3,5 , И3,2И 2,3И3,^ , И 2,3И3,5^И5,1И1,3И3,5);

Х Х2 Х3 Х4 Х7 С(з И И1 з Из 2 И 2 4 И 4 1 — Х Х2 Х3 Х4 Х7 ( , так как И\3ИТЪ2ИР14Н41 — 1 (существуют пути ИТ ИТ ИР И3 И2 И[Т иТ ИТ ИР )

1,3 3,2 2,4 ^2 ^,4 ^ 4,1 1,3 3,2 2,4

• х1 х3 х5 х8 И 3 И35 И5 1 — х1 х3 х5 Хз, так как ИТ13ИР35.ИТ51 — 1 (существуют пути И1Т3 ИР5,

И5Г,1И11зИ3Р5).

В итоге, получаем ФРС в виде ДНФ:

У'*! — Х1Х2 Х3 Х5 С6 Х7 I Х1Х2 Х4 С6 I Х1Х2 Х3 Х5 Х7 ( I

I Х1Х2 Х3 Х4 Х7 Хз I Х1Х3 Х5 сл .

Пользуясь правилами булевой алгебры, приведем ФРС к минимальной форме (при этом конъюнкт Х1Х2 Х3Х5 Х7Хз будет поглощен), являющейся дизъюнкцией отдельных КПУФ:

— Х1Х2 Х3 Х5 (6 Х7 I Х1Х2 Х4 (6 I Х1Х2 Х3 Х4 Х7 сл I Х1сз Х5 сл.

Инвертированная ФРС в МДНФ представляет собой дизъюнкцию отдельных МСО:

У1 — Х1 I Х2 Х3 I Х2 Х5 I Х2 СЛ + Х"з Х4 I Х"з + Х4 Х5 I.

IХ.^ Хз +Х4 Х7 Хз I Х5 Х7 .

Анализ показывает, что решение абсолютно верное, физически объясним каждый его КПУФ и МСО. В решении нет ни лишних, ни упущенных комбинаций элементов - конъюнктов в ФРС. Точно учитывается и назначение перемычки, и выделяются в решении все четыре контура циркуляции энергии. Такой результат, к сожалению, не был получен ранее. Предлагавшиеся методы зачастую не давали правильных результатов, либо «выдавали лишние корни», либо «теряли» объективно имеющиеся [2]. Это отмечено также в статье [4].

Практическое применение

Предложенный подход к построению корректной логико-математической модели АТК на основе топологии структурной схемы и аналитический регулярный метод вывода функции работоспособности системы в форме КПУФ и МСО

позв оляет решать следующие важные задачи проектирования:

1) выполнение количественных оценок вероятностных показателей надежности и безотказности АТК с использованием отработанных в тео-р ии ЛВМ алгоритмов и процедур [6, 7];

2) оценку качества структурной организации АТК по детерминированным показателям, таким, как ^-отказоустойчивость, ^-отказоустойчивость, К-отказоустойчивость как функция от кратности отказов [1-3, 5] с выявлением всех «узких мест» -опасных комбинаций отказавших элементов минимальной кратности, позволяющую исключить тем самым создание т. н. «структурно-порочных» систем;

3) решение задачи синтеза алгоритмов реконфигурации структуры АТК при любых заранее непредсказуемых комбинациях отказов элементов и связей, обеспечиваемое содержанием в КПУФ полной информации о всех минимальных комбинациях Х аботоспособных компонентов, при которых АТК может выполнять свое функциональное назначение; такая задача сформулирована в [1, 2, 8] как получение ответа на вопрос, как собрать структуру из оставшихся в строю элементов.

Автором разработан программный комплекс <^ги^о^ег», реализующий метод, рассмотренный в данной статье.

Дальнейшее развитие метода связано с потребностями выполнения структурного анализа комплексов, у которых «выходной эффект» (лрсвень работоспособности, эффективности, живучести) зависит не только от комбинаций работоспособных и неработоспособных элементов, но и от порядка следования отказов во времени. Это класс автоматизированных комплексов с подсистемами аварийной защиты, у которых возможно неизбежное накопление так называемых «скрытых» отказов и, как следствие, каскадный (цепочечный) характер развития аварийных ситуаций. В этих случаях возникает потребность в формализованном методе построения полного графа деградации АТК. Алгоритмическая процедура решения такой задачи заложена в [3]. Важным является и учет двух типов отказов элементов, в частности, коротких замыканий и обрывов. Решение этого класса задач на основе использования рассмотренных здесь корректных логико-математических моделей предложено в [5].

Автор выражает благодарность И.П. Симакову за обсуждение постановок важных задач системного анализа и путей их решения, а также Г.Н. Черкесову за проявленное внимание к этой работе.

список литературы

1. Войтецкий, В.В. Развитие методологии, теории и принципов организации комплексных систем управления техническими средствами кораблей (судов) и управляющих систем типа АСУ ТП технических комплексов с повышенным риском эксплуатации [Текст] / В.В. Войтецкий, И.П. Симаков // Юбилейный научно-технический сб. НПО «Аврора». -1995. -С. 46-86.

2. Астров, В.В. Применение методов вероятностной логики и исследования операций к анализу живучести пространственно-распределенных энергетических систем [Текст]/ В.В. Астров, И.П. Симаков, Г.Н. Черкесов; Под ред. акад. АН СССР Ю.Н. Руденко // Методические вопросы исследования надежности больших систем энергетики. Живучесть систем энергетики. -Иркутск: СО АН СССР. -1979. -С. 49-60.

3. Симаков, И.П. Аналитические методы структурного анализа автоматизированных технических комплексов при оценке их безопасности и надежности [Текст] / И.П. Симаков // Матер. Всесоюзной конф. по надежности, живучести и безопасности автоматизированных технических комплексов. -Суздаль-Москва: Изд-во Ин-та проблем управления АН СССР, 1989.

4. Черкесов, Г.Н. Логико-вероятностный анализ

надежности сложных систем на основе общего решения систем логических уравнений [Текст] / Г.Н. Черкесов, Ю.В. Степанов // Научно-технические ведомости СПбГПУ -2003. -№ 2. -С. 149-158.

5. Симаков, И.П. Математические модели, формализованные методы и программные средства объективной оценки показателей надежности и безопасности структурно-сложных технических систем [Текст] / И.П. Симаков, И.П. Холодных // Вычислительные, измерительные и управляющие системы. -СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. -С. 130-139.

6. Рябинин, И.А. Надежность, живучесть и безопасность корабельных электроэнергетических систем [Текст] / И.А. Рябинин, Ю.М. Парфенов. -СПб: Изд-во Военно-морской академии им. Н.Г. Кузнецова, 1997. -430 с.

7. Рябинин, И.А. Надежность, живучесть и безопасность структурно-сложных систем [Текст] / И.А. Рябинин. -СПб: Изд-во Политехника, 2000. -248 с.

8. Колесников, Р.Д Автоматизация управления судовыми энергетическими установками в аварийных ситуациях [Текст] / Р.Д. Колесников, А.С. Смирнов // Вопросы судостроения. Сер. Автоматика и телемеханика. -1985. -№ 30. -С. 14-20.

УДК 519.1+519.8

А.М. Магомедов

об одной специальной реберной 2-РАСКРАСКЕ двудольного графа

В прикладных задачах востребованы различные виды реберной раскраски графов. Реберная раскраска называется правильной, если цвета любых двух смежных ребер различны. Наименьшее число цветов, достаточное для правильной реберной раскраски графа G, называется реберным хроматическим индексом и обозначается х'^). Связь х'^) с максимальной степенью Д^) вершин графа G исследована в 1964 г. В.Г. Ви-зингом [1]: Д(О) < х'(О) < Д^) 11. В 1981 г. I. Но1уег доказал [2] ОТ-полноту задачи проверки равенства Д^) — х '.

Правильная раскраска называется интервальной, если для каждой вершины номера цветов инцидентных ребер заполняют интервал. Исходные данные к расписанию, где в системе объ-

ектов X обслуживаются объекты множества Y, обычно представляются в виде двудольного графа G = (X, Y, E). Если степень каждой вершины из X равна a, будем говорить, что G является (a^-графом; если при этом степень каждой вершины из Y равна b , будем говорить, что G является (a, ¿)-графом. D. Hanson, C.O.M. Loten, B. Toft в 1998 г. доказали [3], что при нечетном А любой (2, А)-граф имеет интервальную раскраску А +1 цветом.

Результаты, относящиеся к правильной раскраске, используются, например, при построении расписаний, а результаты, относящиеся к интервальной раскраске, - при оптимизации расписаний. Обширный обзор задач теории расписаний приведен в [4]. Некоторые аспекты построения