CC BY
311
УДК 550.42:553.93/94
ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫй АНАЛИЗ И ЕГО СОВРЕМЕННЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ*
И.А. Рябинин
Военно-морская академия им. Н.Г. Кузнецова, Санкт-Петербург
Эл. почта: [email protected] Статья поступила в редакцию 27.01.2010, принята к печати 15.02.2010
Статья имеет сугубо информационный характер. Во введении сообщаются сведения о логико-вероятностном анализе (ЛВА) как аппарате исследования надежности, живучести и безопасности структурно-сложных систем (ССС) любой природы. Интерес чистых математиков к ЛВА продемонстрирован серией работ, в которых в прямой постановке или косвенно используются логико-вероятностные методы. Современные возможности ЛВА показаны на примерах его использования в задачах оценки систем физической защиты (СФЗ) объектов; оценки структурной значимости сложных систем (Safety) и оперативного контура управления российскими сегментами Международной космической станции; для моделирования характеристик информационной безопасности и др. Прокомментирован интерес к ЛВА в информационных технологиях и обсуждено развитие ЛВА.
Ключевые слова: анализ, подход, валидность, направленные логические производные, ассоциативные системы, системы функциональной безопасности.
LOGICAL PROBABILISTIC ANALYSIS AND THE SCOPE THEREOF**
I.A. Riabinin
N.G. Kuznetsov Navy Academy, Saint-Petersburg, Russia E-mail: [email protected]
The article is strictly introductory to logical probabilistic analysis (LPA) as an instrument of evaluation of reliability, viability, and safety of structurally complex systems (SCS) of any kind. The interest of mathematicians proper to LPA is demonstrated with a series of papers where LPA is employed either explicitly or implicitly. The scope of LPA is exemplified with its use for evaluation of physical defense systems (PDS) of technical objects, structural value of complex systems, and operative control circuit of the Russian segments of International Space Station, and for modelling of informational safety parameters. Comments are given on interest to LPA in information technologies. Directions of futher development of LPA are outlined.
Keywords: analysis, validity, directional logical derivatives, associative systems, functional safety systems.
* ОТ РЕДАКЦИИ: Проф. И.А. Рябинин в своей статье не акцентирует внимание на собственно проблемах биосферы. Важность ее публикации определяется тем, что в ней обсуждены соотношения разработанного автором логико-вероятностного исчисления, эффективного в анализе структурно-сложных технических систем, с математическими методами, уже нашедшими применение в экологии и биологии. Например, одна лишь поисковая система сайта ScienceDirect издательства Elsevier дает по признакам «нечеткая логика (fuzzy logics)», «вероятностная логика (probability logics)» и «экология (ecology)» более 1000 публикаций. Необходимость математического анализа сложных экологических систем отражена в ряде статей, доступных в журнале «Биосфера» (см. т. 1, № 1, с. 25-38, 48-57; т. 1, № 2, с. 178-185). В связи с этим уместными будут слова Чарльза Дарвина: «Я всегда глубоко сожалел, что не зашел достаточно далеко хотя бы в понимании великих ведущих принципов математики, ибо сдается мне, что те, кто наделен таким пониманием, наделены разумом высшего качества (extra sense)» (цит. по Robert M. May «Uses and Abuses of Mathematics in Biology», SCIENCE, 6 February 2004, VOL 303, p. 790-793). Есть все основания считать, что логико-вероятностная методология станет востребованной в естественных науках о сложных системах, включая биосферу.
**EDITORIAL NOTE: In his presentation Prof. I. A. Riabilin does not focus on problems related to biosphere proper. The expediency of publication of the present article follows from the discussion therein of the relationships between logical probabilistic calculus, which has been developed by the author for analysing of structurally complex technical systems, and mathematical approaches that are already used in ecology and biology. For example, the keywords "fuzzy logics", "probability logics" and "ecology" at the input of the ScienceDirect search machine (Elsevier V. B.) will yield over one thousand publications at the output. The need for advanced mathematics in studies of complex ecological systems is exemplified by several papers already published in Vol. 1 of the present journal (No 1, p. 25-38 and 48-57; No. 2, p. 178-185). Indeed, much earlier Charles Darwin wrote "I have deeply regretted that I did not proceed far enough at least to understand something of the great leading principles of mathematics; for men thus endowed seem to have an extra sense." (sited by Robert M. May in «Uses and Abuses of Mathematics in Biology», SCIENCE, 6 February 2004, VOL 303, p. 790-793). There are all reasons to believe that the logical probabilistic methodology will find applications in natural sciences dealing with complex system including the biosphere.
Введение
Логико-вероятностный анализ (метод) в период с 1962 по 2002 гг. в моих публикациях назывался вероятностной логикой. И только в работах [1, 2] было четко сказано, что логико-вероятностное исчисление (ЛВИ) - это не вероятностная логика (ВЛ).
Предметом логики вероятностей является вычисление вероятности истинности высказываний, принимающих только два значения: «истинно» (1), «ложно» (0).
Предметом вероятностной логики является оценка истинности высказываний (гипотез), принимающих множество значений в промежутке (0<х<1).
Иначе говоря, в первом случае имеют дело с двузначной логикой, во втором - с многозначной логикой.
С феноменом ЛВИ удобнее всего ознакомиться на сайте в сети Internet [3], а с особенностями его при -менения в случае немонотонных, повторных и правильных функций алгебры логики - на сайте [4].
Наиболее авторитетное (с научной точки зрения) изложение ЛВИ, как аппарата исследования надежности и безопасности ССС, содержится в статье [5] и монографии [6], которая до сих пор неизвестна читателям (судя по отсутствию ссылок на нее в сети Internet).
ЛВА проблем надежности, живучести и безопасности (НЖБ) в период с 1970 по 2008 гг. изложен в монографии [7] и брошюре [8].
В книге [7] изложены все основные понятия и определения теории НЖБ ССС в их историческом становлении и развитии на протяжении 38 лет. Книга, насыщенная большим числом примеров, правил и формул, является своеобразным самоучителем по ЛВИ.
Оживление интереса математиков к логико-вероятностному анализу
Долгое время не удавалось вызвать интерес к ЛВИ у чистых математиков, хотя такие попытки и делались. В монографии [6] на с. 44-48 доктор физ.-мат. наук Н.В. Хованов дал общее чисто теоретико-вероятностное ре -шение задачи о вероятности состояния сложного вентиля, собранного по «мостиковой схеме» из пяти простых вентилей.
На основании «формулы полной вероятности» Николай Васильевич получил многопараметрическую формулу (3.8) (нумерация ведется в соответствии с источником [6]), из которой следует вывод об абсолютной правильности и точности решения этой задачи с помощью логико-вероятностных методов (ЛВМ) более простым и удобным для ЭВМ и инженеров способом.
Классический способ решения таких задач предполагает, что вычислитель умеет проводить преобразования формул событий, используя дистрибутивности операций объединения и пересечения множеств. А также знает формулы сложения и умножения вероятностей и понимает, что такое «независимость событий в совокупности» и что такое «условная вероятность».
Предположение о том, что современный пользователь умеет, знает, понимает и пр., по нашему мнению, несколько завышено.
Если же говорить о чистых математиках, то следует отметить несколько диссертационных работ, защищенных по физико-математическим наукам, в которых в прямой постановке ставится вопрос об использовании логико-вероятностных методов:
- Витяев Е.Е. «Логико-вероятностные методы извлечения знаний из данных и компьютерное познание» [9];
- Ступина Т.А. «Построение логико-вероятностной модели прогнозирования систем разнотипных переменных» [10];
- Демин А.В. «Логико-вероятностный метод извлечения знаний и его применение в задачах прогнозирования и управления» [11].
В диссертационной работе Б.А. Кулика «Логический анализ систем на основе алгебраического подхода» [12] следует отметить новый подход к моделированию и анализу систем с многими состояниями, позволяющий производить расчеты вероятностных характеристик этих систем без нарушения законов булевой алгебры и классических законов теории вероятностей за счет синтеза алгебры множеств и теории многоместных отношений.
Теоретические исследования Б.А. Кулика, направленные на увеличение эффективности и результативности логического анализа систем, обогатили дискретную математику за счет расширения алгебры множеств.
Академик Л.Д. Фаддеев в статье «Миллион за сложность» [14], говоря о математической логике, сказал:
«Казалось бы, формальная наука. С другой стороны, она - основа теории алгоритмов, которая находит самое широкое применение в вычислительных машинах. В этой области возникает так называемая проблема сложности, когда обратно в математическую логику возвращаются задачи, связанные с оценкой сложности алгоритмов. Это направление сейчас активно развивается. Слава богу, эта задача вызывает интерес у молодежи, поскольку она связана с компьютерной наукой».
Здесь уместно выделить работу молодой участницы международной научной школы (МНШ) Моделирование и анализ безопасности и риска (МАБР) Анастасии Горо-пашной [13], которая развила теорию ЛВМ в области немо -нотонных структур. Первым, кто обратил внимание в начале 80-х гг. на важности и актуальности НЖБ, когда сценарий развития аварии должен описываться немонотонными функциями алгебры логики (ФАЛ), был Александр Сергеевич Можаев. В отличие от ЛВМ, использующих только две логические операции, он ввел и отрицание, назвав этот метод общим логико-вероятностным методом (ОЛВМ) [15]. Развивая эту новую методологию моделирования, он сумел создать уникальный программный комплекс (ПК) АРБИТР (21.02.2007), но «не хватило времени» заниматься теорией, т.е. теоремами и формулами. Это досталось А.В. Горопашной, которая рассмотрела два вида немонотонных ФАЛ:
- первого типа, когда в дизъюнктивно-нормальной форме (ДНФ) для любого номера аргумента i входит только отрицание аргумента (X), а сам аргумент xi в функцию не входит;
- второго типа, когда в ДНФ хотя бы для одного номера i входят как утверждение xt, так и отрицание X.
Немонотонные логические функции первого типа можно привести к монотонным путем замены переменных [4]. Немонотонные логические функции второго типа нельзя привести к монотонным. Предложенные в работе [13] методы позволяют оценивать важность аргументов ФАЛ для любых немонотонных функций.
Кроме математических диссертаций с использованием ЛВМ интересно отметить работы В.П. Голикова [16, 17], в которых он использовал ЛВМ для определения количества простых чисел в натуральном ряду, которые не превосходят данное n (формула решета Эратосфена).
Использование ЛВМ в информационных технологиях
Здесь в первую очередь нужно упомянуть о публикациях независимого эксперта Олега Анатольевича Панина, который в работах [18-20] достаточно подробно и на количественных примерах высказался о ЛВМ, как:
- о «мощном механизме анализа структурно-сложных систем» и его пригодности для анализа безопасности интегрированных систем защиты (ИСЗ) [18];
- о необходимости внедрения ЛВМ в практику проектирования систем физической защиты (СФЗ) потенциально-опасных и критически-важных объектов [19];
- о возможности структурирования ассоциативной (бесструктурной) СФЗ с помощью ЛВМ и измерения их эффективности. «ПрименениеЛВМ для оценки эффективности СФЗ таит в себе большие потенциаль -ные возможности и должно найти себе достойное место в практике реального проектирования», - сказано в выводах [20].
В докладе ООО «ПСФ ИСТОК» [21] сообщается о том, что «(изначально модуль Safety разрабатывался исключительно для оценки структурной надежности топологических структур, порождаемых моделями сетей жизнеобеспечения, и был встроен в ряд программ для расчета инженерных сетей. После зна -комства с работами И.А. Рябинина выяснилось, что круг задач, которые могут решаться методами ана -лиза структурно-сложных систем, гораздо шире. В частности, особый интерес представляет оценка безопасности проектируемых или уже эксплуатируемых систем».
В статье М.М. Матюшина [22] «Использование логико-вероятностной модели оценки значимости структурных элементов оперативного контура управления российским сегментом Международной космической станции» отмечается, что одной из актуальнейших на сегодняшний момент задач, связанных с улучшением работы системы управления полетами российского сегмента (РС) Международной космической станции (МКС), является снижение риска совершения ошибок, в том числе наземным контуром управления. Рассматриваются вопросы получения количественной оценки безошибочности работы оперативного контура управления (ОКУП) РС МКС, а также влияния безошибочности работы структурных элементов ОКУП на безошибочность его функционирования в целом. Описывается процесс построения логико-вероятностной модели оперативного контура управления, применяющейся для решения этих задач.
В работе В.Д. Шарова [23] «Синтез априорного оценивания безопасности предстоящих полетов по группе факторов "Среда"» предлагается методика разработки синтезированной функции оценивания влияния внешней среды на безопасность предстоящих полетов, основанная на применении известного ЛВМ.
Особо следует выделить работу авторов из Словакии Е.Н. Зайцевой и Ю.В. Поттосин «Оценка вероятности анализа невосстанавливаемых систем с использованием методов алгебры логики» [24], в которой для анализа надежности систем с несколькими уровнями работоспособности предложено использовать, по терминологии авторов, направленные логические производные, которые позволяют определить наборы переменных при заданных изменениях
7 -й переменной и для заданного изменения функции. Для структурной функции
Ф(*,,...,*„) = Ф(Х): {0,1}" 0 {0,1} (1)
логическая направленная производная по i -й переменной определяется как
дФ( J ^ j = {Ф(« , X) ~ j} Л Ж«; , X) ~ j} oxi (а 0 а)
где, Ф(а,.,x) = Ф(х],...,xi-],a,xi+],...xn) a e {0,]}, а символ ~ обозначает операцию эквивалентности. Всего для булевой функции могут быть определены четыре типа направленных логических производных по i -й переменной:
5Ф(0 о 1) 1 сХ,. (0-0 1), дФ(0 -)1) / дх. (10 0), <0Ф(10 0) /cXt.(0 01), дФ(1 -0) 0) /dxt(1 -0) 0)
Для монотонной булевой функции, которой является структурная функция (1), имеют смысл два типа производных: 5Ф(0 0 1) / cXt (0 0 1) дФ(1 0 0) / dxi (1 0 0) . Добавим от себя, что для немонотонной булевой функции будут иметь смысл все четыре типа производных. Статья прекрасно проиллюстрирована простым, но весьма наглядным примером, определениями и вычислениями.
Небольшая работа Е.В. Матвеева и М.А. Смирновой «Моделирование характеристик информационной безопасности объекта с помощью логико-вероятностного подхода» [25] претендует на первое применение ЛВМ в области защиты информации. Авторы считают, что на примере данной работы можно убедиться, что «логико-вероятностныйметод может применяться не только для проектирования опасных производственных объектов или систем управления технологическими (промышленными) процессами, но и в области защиты информации для определения надежности этой защиты».
Диссертационные работы:
- Тарасовой Т.Е. «Методика определения значимости элементов учебных программ на основе логико-вероятностных методов» [26];
- Галиева Р.Ф. «Совершенствование систем управления строительных организаций с использованием механизма логико-вероятностного моделирования процессов управления» [27];
- Черткова Р.А. «Анализ структурной надежности при проектировании смежных систем передачи информации с применением логико-вероятностных методов» [28];
- Мосягина А.А. «Мониторинг потенциально опасных объектов на основе логико-вероятностного моделирования» [29];
свидетельствуют, что ЛВМ помогают молодым ученым из разных городов России становиться кандидатами педагогических, экономических, технических наук. Были обнаружены диссертации с использованием ЛВМ по юридическим и даже медицинским наукам (в области диагностики). А докторские диссертации Г.Н. Антонова и В.С. Викторовой [30] подтверждают их высокий уровень и практическую направленность.
То же самое можно было бы сказать и о монографии С.В. Богословского под названием «Логико-вероятностные методы в экономике» [31], которая предназначена для потенциальных заказчиков - менеджеров крупного бизнеса в различных областях экономики.
«Чтобы новые подходы к ЛВИ совершили такой же революционный прорыв на финансовом рынке, какой в середине XIX века совершил Джордж Буль в развитии индуктивной логики, а в середине XX века Г. Марковиц в выборе оптимального портфеля с помощью аналитического аппарата теории вероятностей, потребуется некоторое время и приложение многих творческих усилий в вопросах формализации сценариев управления риском в бизнесе», - писал я [6, с. 72] с надеждой на счастливую судьбу ЛВА в XXI веке.
Составление сценария успеха (неуспеха) какой-либо организационной системы является творческим процессом, присущим людям, глубоко знающим функционирование такой системы, т.е. предметникам (назовем их для краткости из-за знания предмета исследования). Только специалист-предметник может на естественном языке сформулировать полное число гипотез, которые приводят систему к успеху (или неуспеху).
Механический перенос знаний и результатов ЛВИ из области технических систем, в которых они были первоначально созданы, в область экономики (с учетом ее специфики) не может существенно обогатить знаниями эти новые предметные области.
В работе [31], к сожалению, отсутствует раздел формализации экономических задач. Все примеры взяты из техники (рис. 1.2, 3.6, 3.9, 4.2, примеры 3.7, 3.9, 3.11 и др., нумерация в соответствии с источником).
Определенной новизной обладает термин валидность (невалидность), под которым понимается полное соответствие качества продукции требованиям стандартов (ГОСТ Р ИСО 9001:2001, ГОСТ Р40.002-96). Под нева-лидностью (в отличие надежности) понимается не только отказ, но и любой дефект, не лишающий изделие работоспособности. Всякое несоответствие требованиям стандартов в двоичной логике объявляется «ложью» (0). Поэтому в монографии [31] исследуется не надежность, а именно валидность экономических систем. Несмотря на близость этих понятий, следует признать, что надежность является частным случаем валидности.
Метод группового исчисления логических ситуаций путем их разложения по подфункциям [31, с. 59-78] позволяет сводить модели сложных логических структур к совокупности несовместных последовательно-параллельных структур. Иначе говоря - это обобщение известного разложения логической функции по некоторому набору ее аргументов. В работе [6, §5.6] он изложен под названием схемно-логического метода.
Возвращаясь к вопросу формализации ССС любой природы, следует знать:
- составление функции работоспособности системы (ФРС) (или неработоспособности) с помощью кратчайших путей успешного функционирования (КПУФ) или минимальных сечений отказов (МСО) является весьма трудным делом;
- применение графов и матриц связности значительно упрощает процесс нахождения ФРС ССС [32];
- не зная ФРС ССС, но умея на языке алгебры логики сформулировать полную группу несовместных гипотез функционирования ССС, специалист в состоянии решать эти задачи [33, 31];
- применение графического аппарата схем функциональной целостности (СФЦ) и программного комплекса АРБИТР [34] позволяет решать задачи автоматизированного структурно-логического моделирования разных свойств устойчивости, эффективности и риска функционирования различных видов и классов систем большой размерности и высокой структурной сложности.
О современных возможностях ЛВА можно судить по докладам [35-40] на Международной научной школе МАБР-2009.
О технологии автоматизированного структурно-логического моделирования надежности, живучести, безопасности, эффективности и риска функционирования систем лучше всего судить по статье А.С. Можа-ева [34]. Однако из-за малого тиража (150 экземпляров) эта информация труднодоступна для читателей. В этой работе А.С. Можаев, идя на помощь пользователям ПК Relex и Risk Spectrum, способных решать задачи только для простых структур типа дерева отказов, за счет существенного усложнения технологии СФЦ (увеличения числа реальных элементов с 15 до 48 и введения 88 фиктивных элементов) сумел придать ей свойства «квази-дерева отказов СФЦ» и решить, таким образом, структурно-сложную задачу (задачу, известную под номером 35 [33]). Если ему удастся разработать алгоритм построения таких «квази-деревьев» для любых ССС, то это будет существенная помощь Западу.
В большой статье четырех авторов [41] рассматривается новая и перспективная информационная технология автоматизированного моделирования, носящая название «общий логико-вероятностный метод», реализованная в программном комплексе автоматизированного структурного моделирования (ПК АСМ) и обеспечивающая оценивание надежности, живучести, безопасности, эффективности и риска функционирования разнородных систем различной физической природы и назначения, обладающих высокой структурной сложностью.
О практическом применении комплекса АРБИТР можно много полезного узнать из доклада А.С. Можаева на 17-м научном семинаре НТЦ ПБ 23 ноября 2009 г. [42].
Заключение
1. «Работы и исследования в области логико-вероятностного анализа не только важный этап в теории и практике расчетов надежности и безопасности структурно-сложных систем, но и значимое теоретическое открытие в области логики и ме -тодологии науки» [8, с. 34; 37, с. 116].
2. Большинство реальных систем относятся именно к классу ССС, но из-за математических трудностей они пока изучаются, в основном, описательным путем. Кроме трудностей математического характера, следует обратить внимание на трудности творческого характера, связанные с необходимостью структурирования таких задач. Составление сценария успеха (валидности) требует глубоких знаний об особенностях функционирования таких систем.
3. В случае «структурно-простых систем», когда ФАЛ системы является бесповторной, нецелесообразно такие исследования называть анализом, методом или исчислением. Точнее будет термин «подход», которым пользовались авторы [18, 25, 35, 36].
Литература
1. Ryabinin I.A. Probabilistic logic and logical-probabilistic calculus // International scientific school «Modelling and analysis of safety and risk in complex systems». MASR-
2002. - Р. 19-23.
2. Рябинин И.А. Вероятностная логика и логико-вероятностное исчисление / / Труды международной научной школы «Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах» МАБР-2002. - С. 23-27.
3. Рябинин И.А. Феномен логико-вероятностного исчисления // www.szma. com/obzor3.pdf.
4. Рябинин И.А. Математическое понятие логико-вероятностного исчисления и особенности его применения в случае немонотонных, повторных и правильных функций алгебры логики // Труды международной научной школы «Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах» МАБР-2009 - С. 17-25. (http:/logic-cor. narod.ru/Ryabinin.pdf).
5. Рябинин И.А. Логико-вероятностное исчисление как аппарат исследования надежности и безопасности структурно-сложных систем // Автоматика и телемеханика, № 7,
2003. - С. 178-186.
6. Рябинин И.А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. 2-е издание, переработанное и дополненное. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2007. - 276 с.
7. Рябинин И.А. Логико-вероятностный анализ проблем надежности, живучести и без -опасности. Новочеркасск: Южно-Российский государственный университет (Новочеркасский политехнический институт), Лик, 2009. - 600 с.
8. Смысл логико-вероятностного анализа проблем надежности, живучести и безопасности. Осмысление специалистами содержания книги И.А. Рябинина «Надежность, живучесть, безопасность. Очерк разных лет». Новочеркасск: Лик, 2009. - 56 с.
9. Витяев Е.Е. Логико-вероятностные методы извлечения знаний из данных и компьютерное познание: автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук по специальности 05.13.01, Омск, 2006.
10. Ступина Т.А. Построение логико-вероятностной модели прогнозирования систем разнотипных переменных: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук по специальности 05.13.18, Новосибирск, 2006.
11. Демин А.В. Логико-вероятностный метод извлечения знаний и его применение в задачах прогнозирования и управление: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук по специальности 05.13.11, Новосибирск, 2008.
12. Кулик Б.А. Логический анализ на основе алгебраического подхода: дис. ... д-ра физ.-мат. наук по специальности 05.13.01, СПб, 2008.
13. Горопашная А.В. Методы анализа безопасности сложных технических систем: дис. ... канд. физ.-мат. наук по специальности 05.13.01, СПб, 2009.
14. Фаддеев Л.Д. Миллион за сложность // Известия, 09.08.2002.
15. Можаев А.С. Общий логико-вероятностный метод анализа надежности структурно-сложных систем: уч. пособие. Л.: ВМА, 1988.
16. Голиков В.П. Некоторые аналитические свойства решета Эратосфена // Двойные технологии. № 3, 2002. - С. 25-33.
17. Голиков В.П. Рациональный алгоритм вычисления значений функции распределения простых чисел // Двойные технологии. № 4, 2003. - С. 53-58.
18. Панин О.А. Анализ безопасности интегрированных систем защиты: логико-вероятностный подход // Специальная техника, http://st.ess.ru/publications/5-2004/ panin.pdf, С. 1-10.
19. Панин О.А. Проблемы оценки эффективности функционирования систем физической защиты объектов / / БДИ - безопасность, достоверность, информация. № 3 (72), 2007. С. 23-27.
20. Панин О.А. Как измерить эффективность? Логико-вероятностное моделирование в задачах оценки систем физической защиты // БДИ - безопасность, достоверность, информация, № 2 (77), 2008. - С. 20-24.
21. ПСФ ИСТОК. Оценка структурной значимости элементов сложных систем // PSF ISTOK, 2006-2009, www.istok-soft.ru. Модуль оценки структурной значимости элементов систем Safety.
22. Матюшин М.М. Использование логико-вероятностной модели оценки значимости структурных элементов оперативного контура управления российским сегментом Международной космической станции // Космонавтика и ракетостроение, ЦНИИ-МАШ, № 1, 2007. - С. 144-152.
23. Шаров В.Д. Синтез функции априорного оценивания безопасности предстоящих полетов по группе факторов «Среда» / / Проблемы безопасности полетов, № 11, 2007.
24. Зайцева Е.Н., Поттосин Ю.В. Оценка вероятности отказа невосстанавливаемой системы с использованием методов алгебры логики // Информатика, № 2, 2007. - С. 77-85.
25. Матвеев Е.В., Смирнова М.А. Моделирование характеристик информационной безопасности объекта с помощью логико-вероятностного подхода, http://ksi.avo.ru/ seminar/22.pdf.
26. Тарасова Т.Е. Методика определения значимости элементов учебных программ на основе логико-вероятностных методов: автореф. дис. - канд. пед. наук, Тольятти, 2000.
27. Галиев Р.Ф. Совершенствование систем управления строительных организаций с использованием механизма логико-вероятностного моделирования процессов управления: автореф. дис. ... канд. экон. наук по специальности 08.0.05, Москва, 2007.
28. Чертков Р.А. Анализ структурной надежности при проектировании сложных систем передачи информации с применением логико-вероятностных методов: автореф. дис. ... канд. техн. наук по специальности 05.13.12, Воронеж, 2004.
29. Мосягин А.А. Мониторинг потенциально опасных объектов на основе логико-вероятностного моделирования: автореф. дис. ... канд. техн. наук по специальности 05.13.10, Москва, 2009.
30. Викторова В. С. Агрегирование моделей анализа надежности и безопасности технических систем сложной структуры: авто-реф. дис. ... д-ра техн. наук по специальности 05.13.01, Москва, 2009.
31. Богословский С.В. Логико-вероятностные методы в экономике. Санкт-Петербургская академия межотраслевых наук (АМОН), 2007. - 196 с.
32. Смирнов А.С., Гайдамович Д.А. Применение графа и матрицы связности для нахождения функции работоспособности электроэнергетических систем // Электричество, № 5, 2000. - С. 21-25.
33. Рябинин И.А. Основы теории и расчета надежности судовых электроэнергетических систем. 2-е издание, переработанное и дополненное. Л.: Изд-во «Судостроение», 1971. - 456 с.
34. Можаев А.С. Технология автоматизированного структурно-логического моделирования надежности, живучести, безопасности, эффективности и риска функционирования систем / / Фундаментальные проблемы безопасности. М.: Вузовская книга, 2008. - С. 174-201.
35. Карасев В.В., Карасева Е.И., Соло-женцев Е.Д. Развитие логико-вероятностного подхода к управлению риском и эффективностью в экономике // Труды международной научной школы «Моделирование и ана-
лиз безопасности и риска в сложных системах» МАБР-2009. - С. 187-197.
36. Долинский Л.Б. Моделирование дефолтов по облигационным займам на основе логико-вероятностного подхода // Труды международной научной школы «Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах» МАБР-2009. - С. 198-200.
37. Кулик Б.А. Феномен логико-вероятностного исчисления // Труды международной научной школы «Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах» МАБР-2009. - С. 111-116.
38. Лисейчиков Н.И., Тумар В.А., Пегов Д. Обоснование алгоритма анализа взрывопожаробезопасности объектов хранения взрывчатых материалов логико-вероятностными методами // Труды международной научной школы «Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах» МАБР-2009. - С. 440-442.
39. Римов А.А., Можаев А.С. Методические основы оценки надежности и риска электрических систем и сетей // Труды международной научной школы «Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах» МАБР-2009. - С. 445-452.
40. Сукач Е.И., Рыбалтовская Д.В., Кулага В.Н. Расширение метода логико-вероятностного моделирования сложных систем // Труды международной научной школы «Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах» МАБР-2009. - С. 471-476.
41. Рябинин И.А., Можаев А.С., Свирин С.К, Поленин В.И. Технология автоматизированного моделирования структурно-сложных систем // Морская радиоэлектроника, № 3 (21), 2007. - С. 58-63; № 4 (22), 2007, с. 54-59; № 1 (23), 2008, с. 60-63; № 2 (24), 2008, с. 5255.
42. Можаев А.С. Теоретические основы, опыт применения и направления развития общего логико-вероятностного метода и программного комплекса «АРБИТР» моделирования надежности, живучести, безопасности и риска систем // Выступление на 17-м научном семинаре НТЦ ПБ 23 ноября 2009 г., Москва.
