Структурно-параметрическая идентификация упругого элемента спутника-гиростата Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 534.113

СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ УПРУГОГО ЭЛЕМЕНТА СПУТНИКА-ГИРОСТАТА

© 2014 В.А. Русанов1, А.В. Данеев2, А.Е. Куменко2

1 Институт динамики систем и теории управления им. В.М. Матросова СО РАН, г. Иркутск 2 Иркутский государственный университет путей сообщения

Поступила в редакцию 12.11.2014

Предложен прямой алгоритм структурно-параметрической идентификации дифференциальной модели демпфированных колебаний упругого элемента спутника-гиростата в форме уравнений Лагранжа II рода. Разработано соответствующее программно-математическое обеспечение, в его рамках приведен пример апостериорного моделирования поперечных колебаний защепленной штанги-балки. Ключевые слова: имитационное моделирование, структурно-параметрическая идентификация.

1. МОТИВАЦИИ И ПОСТАНОВКИ РЕШАЕМЫХ ЗАДАЧ

Определение динамических характеристик упругих элементов крупногабаритных космических конструкций (УЭККК) относится к числу наиболее важных и трудных проблем динамики, что обусловлено жесткими требованиями к точности их ориентации и стабилизации [1]. Динамические свойства таких конструкций в значительной мере определяются инерционными, жес-ткостными и диссипативными характеристиками, в связи с чем большую роль играют экспериментальные методы исследований динамических свойств УЭККК. При этом в сочетании с теоретическими подходами [2, 3] экспериментальные методы [4-10] позволяют обоснованно выбрать «оптимальную структуру» математической модели УЭККК, определить ее текущие динамические характеристики с использованием (в контексте адаптивного управления) в контуре стабилизации [11]; на языке [8] теории дифференциальной реализации «оптимальная структура» означает минимальный динамический порядок системы -минимальная размерность пространства состояний. В данной работе идентификация минимального порядка системы не использует (в отличие от алгоритма из [8]) индекс функциональных струй, что позволяет при апостериорном моделировании избежать дифференцирование сигналов датчиков.

Распространенный способ дискретизации УЭККК, состоит в представлении перемещений

Русанов Вячеслав Анатольевич, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник. E-mail: v.rusanov@mail.ru

Данеев Алексей Васильевич, доктор технических наук, профессор. E-mail: daneev@mail.ru

Куменко Антон Евгеньевич, кандидат технических наук, доцент.

упругих элементов системы в виде рядов по некоторой полной системе пространственных функций (по собственным функциям эллиптического оператора системы [5]), умноженных на обобщенные координаты, при этом в указанных рядах, как правило, оставляют небольшое число первых членов. Этот метод обычно называют «методом нормальных форм колебаний» (менее часто - «методом усечения числа гармоник»); примером использования такого подхода при исследовании спектральных характеристик «усеченной УЭККК» служит теорема 9 [5]. Один из недостатков метода нормальных форм колебаний состоит в том, что усечение указанных выше рядов вносит элемент неопределенности, поскольку затруднительно заранее определить число форм колебаний, необходимое для того, чтобы этот метод дал удовлетворительные результат. В свою очередь, отмеченное положение делает актуальным экспериментальное подтверждение/опровержение «рекомендаций» числа форм усечения, что осуществляет предлагаемое ниже программно-математическое обеспечение для решения задачи апостериорного моделирования уравнений УЭККК.

Численная процедура структурной идентификации (определение числа главных тонов стоячих волн) и алгоритм параметрической идентификации лагранжевой структуры реализованы [12] в программном комплексе МОДФОКБ (моделирование форм колебаний балки) автоматизации процесса построения апостериорных дифференциальных моделей, позволяя существенно расширить возможности в области имитационного моделирования при проектировании измерительной аппаратуры. Включение в данный комплекс процедуры вычисления числа основных волн-гармоник и алгоритма параметрической идентификации предоставляет возможность построения более точных моделей, по которым на базе экспериментальных данных можно строить

и анализировать (частотно-временной анализ) лагранжевую структуру в апостериорном моделировании уравнений динамики многокомпонентных стержневых систем [7] с учетом выбора оптимального числа датчиков съемки первичной информации (пьезоакселерометры) и различной (допустимой) геометрии их размещения. При этом в условиях относительных равновесий спутника на базе МОДФОКБ, как интерактивного программно-математического комплекса численного моделирования осцилляторов форм-колебаний и проектирования измерительной аппаратуры в динамике напряженно- деформированного УЭККК позволяет исследовать следующие задачи:

- имитационное моделирование динамики поперечных колебаний УЭККК в виде суммы стоячих волн по методу усечения числа гармоник (Модули-1-2);

- частотно-временной анализ поперечных колебаний УЭККК (Модуль-3);

- структурно-параметрическая идентификация уравнений поперечных колебаний УЭККК в условиях ограниченного числа измерительных датчиков (Модуль-4).

2. МОДУЛЬНАЯ СТРУКТУРА МОДФОКБ

Программно-алгоритмическая среда МОД-ФОКБ выполнена по модульному типу с использованием среды MATLAB («Control System Toolbox») и обеспечивает решение следующих задач имитационного моделирования процессов структурно-параметрической идентификации УЭККК:

Модуль-1: формирование «банка» стоячих волн-гармоник, описывающих демпфированные поперечные колебания гибкой штанги с защепленным концом.

Функциональные характеристики k-ой стоячей поперечной волны ук: T = [0, г]- интервал

моделирования; l - длина штанги; Ск - собственная частота k-ой формы колебаний; (к - сдвиг фазы k-го обертона, 0 < (к < я; Ук - коэффициент масштабирования амплитуды k-ой волны; Ък - коэффициент затухания k-ой гармоники (на этапе имитационного моделирования все характеристики задаются пользователем).

В Модуле-1 формирование собственных форм-колебаний wk стоячей волны демпфированного поперечного колебания штанги можно проводить по усмотрению пользователя либо в виде сплайн-аппроксимации числовых массивов, задающих данные формы посредством моделирования балки Тимошенко, либо (см. ниже замечание 1 к моделированию балки Эйлера-Бернул-ли) в аналитическом виде

х ^ wk (х) = vk (cos(0,5krá 1 х)-1),

vk e R, х e[0, l].

В такой постановке k-ая стоячая волна yk поперечного колебания имеет вид

(х, tYk (х, t) = Wk (х)exp(- bkt)х

х sin (coky + ^), (х, t )e[0, l ]х T,

(k=l - основной тон, k Ф 1 - обертон) с моделью датчика, измеряющего в аксиальной точке х0 e (0, l] текущую амплитуду «прогиба» волны yk:

t ^ Vk (0, t) = vk (cos(0,5krá-1 х0) - l)x x exp(- V )sin(^kt+vk \ Vke R, t e T.

В Модуле-l функционально предусмотрено:

1) имитационное моделирование демпфированного колебания изолированной (отдельной) k-ой поперечной стоячей волны (х, t) Vk (х, t) штанги;

2) сплайн-интерполяция вдоль линии профиля штанги собственной формы х ^ wk (х) для k-ой гармоники осуществляться с шагом Дх = 0,02 k-1l;

3) на временном интервале T анимация динамического процесса колебания каждой k-ой стоячей волны проходит с шагом Дх = 0,01k -1T сек.

Графическая часть Модуля-l позволяет:

1) строить на отрезке [0, l ] форму распределенной амплитуды х ^ wk (х) (осуществляется

методом кубической сплайновой аппроксимации);

2) строить анимированный на временном интервале T динамический процесс колебаний

(х, t Yk (х, t) k-ой стоячей волны в профиле штанги;

3) строить анимированный на T сигнал t ^ Y к (х0, t) и его производной

t ^ dYk (х0, t)/dt = -bkYk (х0, t) +

+ 4wk (х0 Уbkt cos(cokt+Фк)

в аксиальной точке х0 e (0, l].

З а м е ч а н и е 1. В Модуле-1 представление собственных форм Wk можно назвать упрощенной моделью балки Эйлера-Бернулли, поскольку задача моделирования балки Тимошенко [6] приводит к дифференциальному уравнению

d4wk (х)/ 0х4 - Á2kwk (х) = 0

с частным решением (для защепленной балки Эйлера-Бернулли) вида:

х ^ Wk (х) = Vk (cos(^-5х)- ch(AYх)), хe [0,l], k = 1,2,...

Модуль-2: моделирование на базе принципа суперпозиции динамики кортежа поперечных форм-колебаний напряженно-деформированной штанги со свободным торцом; сборка функционального пакета из N различных волн-гармоник. В Модуле-2 функционально предусмотрено:

1) задав целое N проводить фиксацию

{..., ...}Ы различных ^-номеров волн- гармоник ук из Модуля-1 для сборки функционального пакета ;

2) для каждой гармоники из выбранного пакета определять и обозначать графически серии точек для узлов {..., ...}_узлы и пучностей

{..., ...}

_пучности '

3) задавать число p измерительных датчиков для точечной съемки информации об амплитуде моделируемого колебательного движения штанги;

4) выбирать на штанге точки с координатами {*!,...,хр }с (0,/], 0 < X, < /, г = 1,...,р

расположения датчиков, измеряющих текущий «суммарный прогиб» демпфированных волн-гармоник функционального пакета

( {...., _пучности ).

Аналитическая модель функционального пакета N-усеченного ряда числа гармоник свободных колебаний гибкой штанги в Модуле-2 имеет вид

М = 21=,,...^(х,г) (х,г)Е С0,1]хТ

при этом модель измерений датчиков

(X, г)

г = 1,...,р представлена как

г ^ 4 (х1,г) = =,... Ы у* (х1,г), г Е Т;

I ^ 4 (хр, г) = 2к=1,...,^ у* (хр , г} г Е Т.

Графическая часть Модуля-2 позволяет:

1) строить анимированное на интервале T

колебание штанги (х,г)ц (х,г), представленное функциональным пакетом ^усеченного ряда числа гармоник;

2) строить анимированную на интервале T

функцию г I 4 (хг, г), хг Е (0,/] показаний ¿-го (¿=1,...,р) датчика и сигнала его производной

г I (х,, г)/Ж;

3) строить анимированную на Т свертку

г

1 (2,=1 л,4(х,, г))+

+

2,

=1 ... (х,г)/Ж, д,^,Е Я;

от сигналов датчиков поперечных перемещений и их скоростей.

Модуль-3: диагностирование частот поперечных деформаций штанги посредством апостериорной оценки спектральной плотности мощности сигналов датчиков величины её прогиба; преобразование Фурье для автокорреляционных функций

г 1 С,(г) := 14(х, , ')4(х, . = р.

В Модуле-3 функционально предусмотрено:

1) проводить спектральный анализ преобразований Фурье автокорреляционных функ-

цийг I С(), г = 1,...,Р методами Томсона,

Уэлча и периодограммы с помощью МАТЬАВ-операторов ртШ, р'№е1сЬ, periodogram;

2) выделять для сигналов

г I 4(х,г), х{ Е (0,/], г = 1,...,р частоты их максимальной спектральной плотности с целью: оценки числа N активированных в штанге форм-колебаний, оценки значений собственных частот СОк деформаций штанги, оценки коэффициента Vк масштабирования амплитуды &-ой стоячей волны.

Графическая часть Модуля-3 позволяет:

1) выполнить МАТЬАВ-процедурами ртШ, р'№е1сЬ, periodogram оценку спектральной плотности ^ (с)2 = jС(T)e_ мощности сигналов г I 4 (х,.,г), I = 1,...,р, строя их графики в логарифмической шкале (ремарка: данная операция эффективна при больших частотах С0к , либо на малых частотах СОк при невысоком ( ^ 0) коэффициенте затухания Ък );

2) делать оценку частот сигнальных функций (возбуждающий сигнал) для алгоритма параметрической идентификации, реализованного в Модуле-4.

З а м е ч а н и е 2. В идеале комплекс должен быть оснащен инструментом, который автоматически решает задачу 2), пока пользователь на эмпирической базе, полученной из рт1т, р'№е1сЬ, periodogram, должен сам заниматься данной оценкой.

Модуль-4: структурно-параметрическая идентификация уравнений поперечных колебаний гибкой штанги с жестко закрепленным концом; дифференциальная реализация [5] (см. также [13]) вектор-функции сигналов датчиков

г 14 (х,, г), г = 1,..., р.

В Модуле-4 функционально предусмотрено:

1) определение количества всех активированных в Модуле-2 осцилляторов волн-гармоник

х=х

пакета (х, t)l Еы (х, t) на основе выбора числа и геометрии размещения датчиков измере-ний11 ЕN(х,.,t), i = 1,...,p (см. ниже утверждение (*));

2) построение матрицы А дифференциальной модели (l), описывающей динамику системы - «свободные колебания (х, t)l Еы (х, t) « + » сигналы измерительных датчиков 1l Еы (х,., t), i = 1,...,N » (модель строится

на базе вычисления числа N - активированных волн-гармоник и решения задачи параметрической идентификации в постановке (3) посредством алгоритма (4); см. детали в следующем разделе):

dK/dt = Ах((), t e T, х(()e R2N, (1) х(( ):= col (х1 ((),..., хк ы (()),

х1 (t )= Еы (х1, t ), хk (() = d£N (х1, t)/dt,

и пусть заданы функции г1,..., гк € Ь2(Т,Я). Тогда [14, с. 212] определитель Г(,..., гк) матрицы вида

2Х) ь ■■■( ^ 2 2) ь ...(2к)ь .

Х 2 N-1 (( ) £N (xN , t ), Х2N (t )= d£N (xN ' t)/dt

с привлечением алгоритма в построении линейной однородной системы дифференциальной реализации апостериорных данных (показания N датчиков):

t ^ ((x,, t),d%N (x,, t)/dt), i = 1,...,N;

3) обработка спектра оператора системы (1) на базе MATLAB-операторов: esort (сортировка комплексных собственных значений системы), damp (вычисление собственных частот и коэффициентов демпфирования для полюсов системы), pzmap (расположение полюсов и нулей);

4) приведение (оператор canon) матрицы A к канонической форме Фробениуса с вычислением

матрицы C наблюдающего устройства y(t) = Cx(().

З а м е ч а н и е 3. Алгоритмическое решение задачи 1 достигается на основе решения двух задач: определения числа N (см. замечание 4), и выбора мест установки измерительных датчиков

t ^ £n(x,, t), i = 1,...,N; что формализует утверждение (*).

Наделим функциональное пространство L2 (T,R) структурой гильбертова пространства со скалярным произведением

ср,фе L(T,R).

_(2к, 21> ^ -(2к,2 2) ь...(2к, 2к)ь._ образует определитель Грама для z1,...,zk. Если какой-либо главный минор в Г(г1,..., гк) равен

нулю, то Г(г1,..., 1к) = 0; это используется в Мо-дуле-4 при анализе линейной зависимости функций из Ь2 (Т, Я), что составляет алгоритм вычисления числа N волн- гармоник (через функцию Delta[/]; см. ниже) согласно следующего предложения:

Утверждение (*). Для пакета волн-гармоник

(х, г) Е,ы (х, г) в (0,1] существует набор точек {х1,..., хр }с (0,1], что для датчиков г ^ Е,ы (х.., г), г € Т, I = 1,..., N выполняется Г(4 (х1 ,-),..., ^ (XN ," ),(х/)/&,...

...,й^ (XN ,•)/&) 0,

при этом для любой точки г € (0,1] и датчика г ^ ^ (г, г), г € Т имеет место

Г(4 (х1 ,"),.", 4N (XN ," ), (х,0/ йг,...

..., (XN,•)/ йг,4 (*,-)) = 0,

В данных условиях пакет волн ^ имеет дифференциальную реализацию (1).

З а м е ч а н и е 4. Из утверждения следует, что для определения динамического порядка дифференциальной системы (1) достаточно расширять 0=1,2,...) определители Грама, отвечающие системам функций (4 (х ,•), (х ,•)/йг= 1,...,/'}

до тех пор, пока эти определители отличны от нуля, при этом (в предположении

г( Ы ,...,&х ,•), (х,-)/йг,...&4 х ,•)/(,•))» 0)

порядок последнего будет равен искомому порядку системы (1); т.е. первому числу_/, при котором будет

Оек^] := Г4 ( ,•),... 4 (х/+1 (х1 ,•)) (х/'+1 ,•,)/ хг(4^(х1 4(,),(х,•)¿г,...й4((&У »0;

геометрический смысл значений Delta\j] см. в [14, с. 215].

3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИИ УЭККК

В Модуле-4 задача идентификации модели динамики УЭККК решается в форме уравнений Лагранжа второго рода

Md z (()/dt2 + Dz(t)/dt + Sz(t),

z = col(,..., zN), (2)

где M, D, S - матрицы коэффициентов инерции, демпфирования и жесткости; модификация алгоритма (2.2) [8] позволяет расширить (2) до модели с управлением.

В рамках метода усечения (замечание 4) числа стоячих волн-гармоник, описывающих демпфированные колебания штанги-балки с защепленным концом, в Модуле-4 проводится дифференциальная аппроксимация [15, с. 392] «модифицированного» (умножение наМ1) уравнения (2), описывающего колебательные отклонения штанги от её постоянного деформированного состояния. В условиях апостериорного моделирования уравнения (2) задача идентификации матриц M -1D,M-1S строится (на базе измерений собственного движения век-

(

тора col

\

i ((),..., zn (í)

на временном интерва-

ле T) из решения следующей задачи (см. (8.70) [15, с. 393]) параметрической оптимизации:

min

in|

d2 z()/dr2 + M ADdz(r)/dr+M-1Sz(

dt, (3)

X

|&>(т)[у(т)] dt

(4)

md (t) := co1

d2 zi(()/dt2,..., d2 zn (()/dt2

e R'

(() := col

dzi (()/dt,..., d zn (()/dt, zi (t),..., zn (()

e R2

где [М _1 П, М ] - блочная N X 2N-матрица, [•]* - операция транспонирования.

З а м е ч а н и е 5. Формула (4) позволяет по апостериорным данным измерений датчиков С(-),с(-) восстановить NX^матрицы

М _П, М . В качестве датчиков можно (как в [9]) использовать пьезоакселерометры АС 56511 массой 0,001 кг с рабочим диапазоном 1-3000 Гц и диапазоном измеряемых ускорений 0,1-100 g.

Согласно (4) уравнения Лагранжа (2) трансформируются к виду Коши с вектором состояний

с(()е Я2Ы и 2NX2^матрицей идентифициро-

ванной системы

m -1 S-----M

0,

где Ц-Ц - евклидова норма в как отмечено в [15, с. 392] данная постановка - прямое обобщение корреляционных методов, поэтому более помехо-защищена в отличие от схемы параметрической идентификации, предложенной в [13,16].

Процедура решения (8.71) [15] задачи (3) укладывается в алгоритмическую схему вычисления матриц М _П, М , выраженную блочно-матричным соотношением:

М 1П, М 1 £ ]= ('ОГй'х

' N ^Ы

где 0 и ^ - соответственно нулевая и единичная N X ^матрицы.

Ниже для предложенных алгоритмов приведен результат тестовой проверки моделирования пакета стоячих волн при исходных данных: Т=10 сек, /=10 м, N = 4. Движение

V

г I (х,,г):= г,(г), г = 1,...,4 в точках х., ¿=1,...,4 («эталонная» модель) и ее «несогласование» г I Аг,(г), г = 1,...,4 с динамикой

г I г,((), г = 1,...,4 идентифицированной

модели (2)-(3) представлены на рис. 1, 2 (кривые ¿=1,...,4 соответствуют номерам датчиков), идентифицированные матрицы М _1 П, М _1£ уравнения (2) в силу (4) имели оценку:

- 0,2843- • • 0,8147- • • -0,7495- • • 0,2909

- 0,4651 • • 1,2049^ • • -1,0873^ • • 0,4219

- 0,6417-• 1,604& • • -1,4720^ • • 0,5840 0,8676 • • 2,1738-• -2,0620^ • • 0,8264

M 1D =

M -1S =

0,7732^ • • -0,5128^ • • -0,0141 • • -0,0206

0,3620----0,2880^ • • Ю,4371----0,3314

1,3801----3,3561 •••3,5122----1,3574

3,1416----8,5981—8,0190^ • • -2,6727

Численный эксперимент подтвердил (рис. 1, 2) теоретический результат утверждения (*) и алгоритма (3)-(4) в структурно-параметрической

-1D

2

-1

Рис. 1. ^(0, г2(0, 23(0, 24(0 - показания датчиков «эталонной» модели, z1(t), z2(t), z3(t), z4(t) - показания датчиков идентифицированной модели;

i - графики совпадают, т.к. |Дг; (г)| <8.10-5, г=1,...,4 (ось абсцисс - время [сек])

г

Рис. 2. А z1(t):=z1(t)-z1(t)<8.10-5, А z2(t):=z2(t)-z 2(0<2.10-; А zз(t):=zз(t)-z з(t)<2.10-5, А z(ty.=i(t)^z 4(t)<4.10-5

(ось абсцисс - время [сек])

идентификации многомерных систем, описываемых векторно-матричным дифференциальным уравнением (2), на основе интегральной обработки измерений пьезоакселерометров.

Изложенная выше методология структурно-параметрической идентификации позволяет (при соответствующей модификации алгоритма (4)) охватить апостериорное моделирование ква-

зилинейных систем (в том числе пространственного вращательного движения с демпфированием, описываемого уравнениями Эйлера; см. модель (1.1), алгоритм (2.2) и пример 1 из [8]), а также проводить текущую (временную) идентификацию [17-20] параметров закрепления распределенной механической системы.

Работа выполнена при частичном финансировании Гранта Президента Российской Федерации

для государственной поддержки ведущих научных школ (НШ-5007.2014.09).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Русанов В.А., Данеев Р.А. Об адаптивной настройке параметров источника электромагнитного излучения на геостационарной орбите // Управляющие системы и машины. 2014. № 6. С. 12-17.

2. Ермилов А.С., Ермилова Т.В. Математическая модель углового движения больших космических конструкций с гироскопическим приводом для активной компенсации упругих колебаний // Докл. РАН. 2011. Т. 436. № 6. C. 743-746.

3. Rusanov V.A., Antonova L.V., Daneev A.V. Inverse Problem of Nonlinear Systems Analysis: A Behavioral Approach // Advances in Differential Equations and Control Processes. 2012. Vol. 10. No. 2. P. 69-88.

4. Зимин В.Н., Колосков И.М., Мешковский В.Е. Динамические испытания раскрывающейся зеркальной космической антенны // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2000. № 10. С. 120-124.

5. Данеев А.В., Русанов В.А., Русанов М.В. От реализации Калмана-Месаровича к линейной модели нормально-гиперболического типа // Кибернетика и системный анализ. 2005. № 6. C. 137-157.

6. АхтямовА.М., Урманчеев С.Ф. Определение параметров твердого тела, прикрепленного к одному из концов балки, по собственным частотам колебаний // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. Т. XI. № 4. С. 19-24.

7. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Идентификация параметров многокомпонентных стержневых систем // Доп. НАН Украши. 2008. № 1. С. 35-42.

8. Русанов В.А., Шарпинский Д.Ю. К теории структурной идентификации нелинейных многомерных систем // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74. Вып. 1. С. 119-132.

9. Зимин В.Н. Экспериментальное определение динамических характеристик крупногабаритных трансформируемых космических конструкций // Вестник МГТУ. Сер. "Машиностроение" 2011. № 1. С. 47-56.

10. Алешин А.К. Метод определения массы и координат центра масс тела в заданной плоскости // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2011. № 2. С. 9-14.

11. Ермилов А.С., Ермилова Т.В. Синтез алгоритма активной компенсации упругих колебаний с нестационарными параметрами деформируемых космических аппаратов // Автоматика и телемеханика. 2012. № 4. C. 66-82.

12. Козырев В.А., Антонова Л.В., Носков С.И., Русанов В.А., Шарпинский Д.Ю. Моделирование динамики форм колебаний балки "МОДФОКБ" // Свидетельство Федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам о государственной регистрации программы для ЭВМ, № 2012615101; опубл. 20.09.2012. Бюл. № 3(80). С. 482.

13. Дмитриев А.В., Дружинин Э.И. Идентификация динамических характеристик непрерывных линейных моделей в условиях полной параметрической неопределенности // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1999. № 3. С. 44-52.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.

15. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975. 687 с.

16. Данеев А.В., Козырев В.А., Куменко А.Е, Русанов В.А. О структурно-параметрической идентификации стационарных многомерных систем // Известия Самарского научного центра РАН. 2009. Т. 11. № 3. С. !22-130.

17. Akhtyamov A.M., Mouftakhov A.V. Identification of boundary conditions using natural frequencies / / Inverse problems in Science and Engineering. 2004. Vol. 12. No. 4. P. 393-408.

18. Ахтямов А.М., Урманчеев С.Ф. Корректность по Тихонову задачи идентификации закреплений механических систем // Сибирский журнал индустриальной математики. 2012. Т. XV. № 4. С. 24-37.

19. Сомов Е.И., Бутырин С.А. Полетная идентификация и силовая гироскопическая стабилизация слабо демпфированной конструкции крупногабаритного спутника // Проблемы управления. 2013. № 2. С. 51-57.

20. Rusanov V.A., LakeevA.V, Linke Yu.E., Voronov V.A. On realization of dynamic systems: Assessment of fiducial accuracy in the process of adjustment of the realization matrix // Far East Journal of Dynamical Systems. 2014. Vol. 25. No. 1, pp. 23-35.

STRUCTURAL-PARAMETRIC IDENTIFICATION OF EQUATIONS OF DIFFEREN-TIAL DYNAMICS OF THE ELASTIC ELEMENT OF THE SATELLITE-GYROSTAT

© 2014 V.A. Rusanov1, A.V. Daneev1, A.E. Kumenko2

1 Institute of System Dynamics and Control Theory SO RAN, Irkutsk 2 Irkutsk State University of Railway Transport

A direct algorithm of structural-parametric identification of differential model of damped oscilla-tion of elastic element of the satellite-gyrostat in the form of Lagrange equations of type II was sug-gested. An appropriate mathematical software was developed within its frameworks an example of a posteriori modeling of transverse vibrations of split rod-beams was led.

Key words: simulation, structural-parametric identification, elastic element of the satellite-gyrostat

Vyacheslav Rusanov, Doctor of Physics and Mathematics, Senior Research Fellow. E-mail: v.rusanov@mail.ru Aleksei Daneev, Doctor of Technics, Professor. E-mail: daneev@mail.ru

Anton Kumenko, Candidate of Technics, Associate Professor.