CC BY
13
,ч x(B)(/)- xf)(i)
Sxj(t)= J -loo,
(B)
(t)
r(B)
где х\ ' - результаты расчета 7-го режимного параметра по исходной (базовой) схеме; х^Е^ - результаты расчета 7-го режимного параметра по эквивалентной схеме.
Изменение параметров х. во времени вызывалось вариацией тяговых нагрузок, создаваемых поездами, перемещающимися по участку моделируемой ЖДМ. Кроме того, на 20-й минуте вводилось существенное возмущение со стороны СВЭ в виде отключения источника G2. В целях оценки эффективности предлагаемой методики дополнительно выполнены расчеты режимов с использованием инженерной эквивалентной модели, основанной на использовании реактансов, определяемых мощностями короткого замыкания на шинах высокого напряжения опорных подстанций [2].
На основе результатов моделирования можно сделать следующие выводы.
1. Если режим СВЭ не претерпевает существенных изменений, обе методики построения эквивалентной модели СВЭ дают приемлемую для практических целей точность расчета режимов СТЭ. Максимальное значение погрешностей не превышает 2 %.
2. При возникновении возмущения со стороны внешней сети погрешность, получаемая на основе онлайн-модели, увеличивается до 2,5 %,
а погрешность инженерном методики возрастает до недопустимой величины, превышающей 18 %.
Заключение
1. Предложена методика построения модели системы внешнего электроснабжения железной дороги переменного тока, основанная на использовании информации, получаемой от устройств векторных измерений режимных параметров PMU WAMS.
2. Особенность методики состоит в ее адаптивности к резким режимным изменениям, происходящим во внешней сети. Так, например, при отключении мощной электростанции в питающей ЭЭС погрешность расчета режима СТЭ по эквивалентной модели составляет 2,5 %, что вполне приемлемо при решении задач управления режимами СТЭ.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Закарюкин В. П., Крюков А. В. Сложнонесим-метричные режимы электрических систем. Иркутск : Изд-во Иркут. ун-та, 2005. 273 с.
2. Крюков А. В., Вторушин Д. П. Структурно-параметрический синтез моделей электрических сетей, питающих тяговые подстанции // Транспортная инфраструктура Сибирского региона : тр. науч.-практ. конф. Т. 2. Иркутск : ИрГУПС, 2012. С. 81-87.
3. Дорофеев В. В., Макаров А. А. Активно-адаптивная сеть - новое качество ЕЭС России // Энергоэксперт. 2009. № 4. С. 29-34.
4. Мокеев А. В. Разработка и внедрение систем сбора телемеханической информации // Электрические станции. 2007. № 6. С. 60-61.
УДК 519.65
Данеев Роман Алексеевич,
аспирант, Иркутский государственный университет путей сообщения,
тел. 89246010219, e-mail: [email protected]
РЕГРЕССИОННО-ТЕНЗОРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЗАЩИТЫ ПЭВМ
R.A. Daneev
REGRESSION-TENSOR MODELING OF ELECTROMAGNETIC
PC PROTECTION
Аннотация. Построен робастно-адаптивный алгоритм оптимизации позиционных координат ПЭВМ в задаче обеспечения минимальной наблюдаемости интенсивности ее электромагнитного поля в заданных точках возможного несанкционированного сканирования излучения ПЭВМ. Аналитическая основа решения - регрессионное представление ковариантными тензора-
ми валентности, равной 3, интенсивности пеленгации электромагнитного поля ПЭВМ в зависимости от варьирования установочных координат вектора ее пространственно-угловой ориентации.
Ключевые слова: нелинейный регрессионно-тензорный анализ, робастно-адаптивный алгоритм, защита ПЭВМ.
ш
Abstract. There has been constructed the robust-adaptive algorithm of the optimization of computer positional coordinates in the problem of support of minimum observability of its electromagnetic field intensity in the given points of emitter locator (unapproved scanning of a computer radiation). The basis of decision is the regression representation by 3-valence covariant tensors of the distant intensities of a computer electromagnetic field depending on a variation of a vector coordinates of its space-angular orientation.
Keywords: non-linear regression-tensor analysis, robust-adaptive algorithm, computer protection.
Введение
Как только физическая, химическая, техническая или экономическая проблема сведена к математическому моделированию, можно считать, что ее полное решение по существу близко к завершению. При этом для того чтобы полностью использовать мощные вычислительные возможности, которыми располагают современные цифровые комплексы, необходимо проделать большой предварительный анализ постановок задач моделирования, а также аналитических методов, которые имеет смысл применять.
В данном контексте та часть общей теории многомерного регрессионного анализа (МРА), которую можно назвать «линейной», практически завершена - все основные проблемы решены, если учесть симплекс-метод для отыскания оптимального решения основной задачи линейного программирования, и можно лишь ожидать относительно второстепенных улучшений. Нелинейная тензорная теория МРА с первых шагов [1] отказывается от каких-либо ограничений на ранг используемых ковариантных тензоров и концентрирует внимание на существенно «нелинейных» свойствах регрессии и тех пределах, в которых эти свойства сохраняются.
Прикладной стороной в использовании нелинейной векторной регрессии в данной главе выступает задача определения координат электромагнитного источника излучения (ЭИИ) в целях его минимальной «взвешенно-осредненной» электромагнитной наблюдаемости в некоторых фиксированных точках возможной пеленгации сигнала ЭИИ. Данная постановка, в частности, отвечает физической задаче электронной защиты ПЭВМ от внешнего несанкционированного сканирования ее побочных электромагнитных излучений + наводок [2] (технически это проще всего решается, ввиду отсутствия условий криптографирования сигнала
монитора, как задача «перехвата» информации, отображаемой на экран дисплея ПЭВМ [3]).
1. Постановка задачи оптимального размещения ЭИИ
Пусть Я - поле вещественных чисел, Яп - п-мерное векторное пространство над Я с евклидовой нормой ||-||Я", со1(уь...,уп)еЯп - вектор-столбец с элементами уь...,упеЯ и Мп,т(Я) - пространство всех пхт-матриц с элементами из Я. Далее, через Ттк обозначим пространство всех ковариантных тензоров к-й валентности (вещественных полилинейных форм fk■m: Ят1х...хЯтк^Я) с тензорной нормой || fk'm||Т:=(Х4../)1/2, Ь.] - коэффициенты (координаты [4, с. 61]) тензора^т, значения которых заданы (вычисляются) относительно стандартного ортонормированного базиса в евклидовом пространстве Ят.
Пусть {^!}1<г<п - некоторый комплекс точек возможного несанкционированного зондирования электромагнитного сигнала ЭИИ, уеЯт - вектор пространственно-угловой ориентации ЭИИ с фиксированным началом в точке юеЯт, w(ю + V) -вектор выходных сигналов ЭИИ - интенсивность электромагнитного поля ЭИИ в точках 1 < i < п. В данной постановке выделим к рассмотрению многомерную стационарную нелинейную функциональную систему типа «вход-выход», задающую интенсивность сигнала ЭИИ в точках пеленгации , 1 < i < п, описываемую векторно-тензорным уравнением регрессии вида:
Z;=ü,...,f'm(v,...,v)) + 6(<»,v),
(1)
w(<a + v)eЯn, veЯm, f'm^TJ, вектор-функция в(ю,-): Ят^Яп класса ||в(ю^)||яп =о((^2 + ... + Vm2)k/2), v=co1(vь...,vm); 1 < i < п - инварианты, т. е. тензоры нулевой валентности [4, с. 62] (интенсивность поля в 1 < i < п от ЭИИ с «ориентацией» ю еЯт).
Постановка задачи «апостериорно-оптимальной» ориентации ЭИИ:
а) Для заданного аргумента ю еЯт вектор-функции w(•): О.^Яп интенсивности ЭИИ в точках С,г, 1 < i < п, где ОсЯт - открытая окрестность точки ю, и фиксированного индекса к определить аналитические условия, при которых математическая модель ЭИИ удовлетворяет (соответствует) регрессионной системе (1).
б) Построить апостериорные оценки координат у тензоровf т, 1 < i < п, 0 <] < к = 3, из решения двухкритериальной задачи оптимизации «модели ЭИИ» - параметрическая идентификация
иркутским государственный университет путей сообщения
нелинейной многомерной регрессионной системы (1):
Гтт(21=1,...,д(|КтгСо1(2;=о,...,з /{'"^...ущ),...,
Х;=о,..,з /j'm(V(o,...,V(l)))|Rи)2)1/^
'70,
1т1п(2,-=1....."2,-=0.....з||П2)т;
(2)
здесь W(l)eR", УдеЛ™, 1 < I < д - суть векторы экспериментальных данных (мц - «реакция» на «вариацию» У(1) относительно координат вектора шеЛ"), д - число экспериментов; ограничений на величину д не накладываем.
в) Для заданного вектора ше Л" определить для ЭИИ координаты V еЛ", обеспечивающие в решении задачи нелинейной «^-оптимизации» минимальную взвешенно-осредненную интенсивность сигнала ЭИИ в точках 1 < 7 < п, при к = 3: тш№): уеЛ"}, ^):=£=1,...,п т&> (ш + V), (3) где координаты у со1(ж(ш + V), ..., мп(ш + V)) = = м>(ш + v)еRn имеют аналитическое представление согласно идентифицированной в силу (2) модели (1), г7 > 0 - весовые коэффициенты, отражающие «приоритет» между точками зондирования
0, 1 < I < ".
2. Существование векторной регрессии в тензорных классах Т„,] < к
В этом параграфе исследуем общие аналитические свойства нелинейных векторных регрессий многих переменных, которые «внешне» похожи на поведение голоморфных функций; задача а) из § 1. В связи с этим изложение будет основываться на понятии сильной производной - производной Фреше [5, с. 481]. Данная математическая установка ставит постановку задачи определения остальных аналитических понятий, и в частности к-дифференциалов, через конструкции сильных производных; ниже покажем, что данные дифференциалы по существу можно (а главное удобно) трактовать как некоторые формальные математические конструкции со специальной тензорной структурой (т. е. геометрической полилинейной структурой [5, с. 491]).
Определение 1 [5, с. 480]. Пусть О - открытая область в Л", м - отображение множества О в Л" и ш - некоторая точка из О. Если существует такая матрица АеМпм(Л), что имеет место следующий факт
Нт(|Ню + V) - м(ш) - Ау||Л"/||у||Л": ^0еЛ"}=0, (4) то данная матрица А называется производной Фреше от функции м в точке ш.
Производную Фреше от м в точке ш будем обозначать через м(1)(ш). При этом, если производная м(1)(ш) существует для каждой точки шеО
и если, кроме того, есть непрерывное
отображение из области О в Мп>)Я(Л), то м называется непрерывно дифференцируемым в О. В силу отмеченного имеет смысл говорить о производной для отображения м(1): О^МДЛ) в точке ш еО, которую, если она существует (при очевидном изоморфизме пространств МП П1(Л) и Лпх"), называют второй производной отображения м в точке ш и обозначают как м(2)(ш).
Если вторая производная существует в каждой точке множества О, то тем самым математически корректно определен оператор м(2), производная которого называется третьей производной отображения м, и вообще производная м(к)(ш) порядка к в точке ш есть по определению производная оператора м(к-1): О^Лпх(к-1)", при этом можно каждой производной м(к)(ш) естественным образом поставить в соответствие элемент пространства к-линейных (при к = 3 трилинейных; что будет важно в следующем разделе) отображений из Л"х.хЛ" в Лп [5, с. 488]. В такой постановке дифференциал к-го порядка допускает более удобную (и наглядную) интерпретацию в конструкциях
Г. к ".
Утверждение 1. Пусть О - открытая область в Л", м - отображение О в Лп и шеО. Тогда, если существует производная м(к)(ш) порядка к, то сильный дифференциал Фреше к-го прядка ё в точке ш еЛ" при приращении vеRm имеет аналитическое представление следующего полилинейного вида:
ё км=м(к)(ш XV,.. „V) = col(/1km(v,. „V), .../пк>,. „V)).
Следующее утверждение устанавливает важное аналитическое свойство, которым должна обладать вектор-функция м, с целью прояснения: когда отображение м удовлетворяет (конечно, при некоторых разумных дополнительных предположениях о нем) понятию векторно-тензорной регрессии из класса моделей (1).
Утверждение 2. Пусть О - открытая область в Л", м - отображение множества О в Лп и ш - некоторая точка из О. Если существует производная м(к)(ш), которая равномерно непрерывная функция от ш в О, то отображение ж О^Лп удовлетворяет системе (1) с некоторыми тензо-рами/'■", 1 < 7 < п, 0 <] < к.
3. Идентификация модели трилинейной регрессии
Рассмотрим случай к = 3; он даст аналитический подход, доставляющий эстетическое удовольствие в решении поставленных выше задач. В
m
такой постановке система (1) примет векторно-матрично-тензорный вид:
w(o + v) = c + Av + col(vT51v + f3'm(v,...,v),..., vTBnv + f„3'm(v,.,v)) + e(<»,v),
(5)
ceR", AeMnm(R), BieMmm(R), i = 1,...," - верхние треугольные матрицы [6, с. 38], верхний индекс
T
« » здесь и далее означает операцию транспонирования векторов и матриц; в силу утверждения 2 и теоремы 2 [5, с. 491] имеем следующие аналитические представления:
c = colf1am(v, ...,v),.. .f"0'm(v, ...,v)) = w(œ), A = w(1)(ra).
Нет нужды говорить о том, что не могло бы быть никакой общей теории МРА, если бы не существовала некоторая «подходящая» классическая теория с ее запасом «конкретной» информации, формулировкой ряда ключевых понятий и в специальных случаях готовыми «моделями теорем», справедливых в общем случае. В данном контексте параметрическую идентификацию в многокритериальной векторно-тензорной постановке (2) для многосвязной статической нелинейной модели типа «черный ящик» в классе регрессий (5) свяжем с понятием нормального псевдорешения (т. е. канонического решения по методу наименьших квадратов) для конечномерной системы линейных алгебраических уравнений.
Определение 2 [6, с. 501]. Нормальным псевдорешением системы
Dx = d, DeMqpP(R), deRq, называется вектор xeRp, имеющий наименьшую норму ||х||/ среди всех векторов, приносящих минимум для величины нормы ||Dx - d||Rq.
Далее, обозначим через Eq единичную qxq-матрицу и пусть DeMq,p(R). Через D+ обозначим обобщенную обратную (псевдообратную) матрицу Мура - Пенроуза [6, с. 500]; известно, что асимптотическая конструкция псевдообратной матрицы имеет следующий аналитический вид (впрочем, мало пригодный для вычислений):
D+ = lim{DT(DDT + xEq)-1 : т^0};
+
условимся, что далее знак « » означает операцию псевдообращения матрицы.
Лемма 1 [6, с. 501]. Вектор х = D+d - нормальное псевдорешение системы
Dx = d, DeMqpP(R), deRq.
Пусть ^:=1+m(m2+2m+3)/2. Для взаимноувя-зывания параметров (коэффициентов) нелинейной регрессионной системы (5) и данных генеральной выборки обозначим через û(j)eRn вектор, имеющий (с учетом верхней треугольной структуры матриц
(6)
Бг и тензоров/г ,т(у, — ,у), г = 1, — ,п) следующее координатное представление апостериорных данных:
йт:=со1(1, у1(1> — , Ут(^ у1(1)у1(Гь — , Уg(Г)Уh(Г), — ,
Уm(l)Уm(l),
У1(1)У1(1)У1(1> — , vp(l)vr(l)vs(l), — , Уm(l)Уm(l)Уm(l)),
1 < g < h < т, 1 <р < г < 5 < т; со1(У1(1), — , Ут(Г)):=У(Г)^т, 1 < I < д. Назовем С/:=[й(1), — , й(9)]ТеМ9,л^) полной матрицей экспериментальных данных входных воздействий, соответственно, р7:=со1(^7(1), — , wi(q))eR9 - полным вектором экспериментальных данных для выходного сигнала wi (7 = 1,., п). Далее, стремясь к линейно-параметрическому описанию коэффициентов нелинейной модели «вход-выход» для выходного ЭИИ-сигнала wi, выпишем согласно системе (5) координатную форму правой части тензорного уравнения его регрессии
wг(<в + у) = С, + ^1<3<тАг]У] + Tl<g<h<mb,ghУgУh +
(г = 1, п). (7) Теперь введем в рассмотрение ^-вектор параметров регрессии
2г:=со1(сЬ ai1, — , Ят Ьг-11, — , bigh, — , bimm, diШ, — , ^грп, — , dimmm),
1 < g < h < т, 1 <р < г < 5 < т, для модели регрессии (7). Ясно, что в силу уравнения (7) любой фиксированный набор из п таких векторов полностью определяет (задает) аналитическое представление модели относительно некоторой системы «вход-выход» типа (5).
Утверждение 3. Параметрическая идентификация ЭИИ вида (2) в терминах уравнений регрессионной модели (5) имеет алгебраическое решение
2* = i = 1, —, п; (8)
здесь и - полная матрица экспериментальных данных входных воздействий (6), Р,- - полный вектор экспериментальных электромагнитных данных (замеров) выходного сигнала ЭИИ wi (г = 1, — ,п), индуцированного воздействиями (6).
Доказательство. Нелинейная система уравнений (5) для каждого 1-го эксперимента согласно соотношениям (6), (7) приобретает компактный вид W¿(l) = йТ(1)2, + 8,(1), 7 = 1, — , п. Таким образом, если переформулировать (очевидным образом) оптимизационную задачу параметрической идентификации вида (2) в век-торно-матричных терминах 2,-, Р,-, и, то приходим к следующей многокритериальной постановке относительно векторов параметров ЭИИ для регрессионной модели 2,-, 7 = 1, — , п:
Ш1П' в - ^
1К»
Ш1П- 2
1|1 К"
|Ш1П'||Р, - иг |ш1п'|Ьп - и2.
1К»
К»
Ш1П- г,
п\\К
Очевидно, что в силу определения 2 и леммы 1 данная многокритериальная система имеет (в задаче параметрической идентификации системы (5)) единственное нормальное псевдорешение (8) относительно переменных 27, 7 = 1,п.
4. Оптимальное размещение ЭИИ на базе билинейной модели
Начнем с редукции конструкции регрессионной системы (5) при к = 2, приводящей к век-торно-матричному виду
м(ш + V) = с + Av + соЦ^В^,vTBnv); (9) это «грубое уточнение» имеет довольно специальный (частный) характер нелинейной векторной регрессии ЭИИ, но его использование в потенциале позволит привлечь прямые вычислительные алгоритмы в оценке «оптимального» вектора координат установки ЭИИ, что сможет послужить «начальной точкой» в итерационной процедуре построения последовательности улучшения допустимого вектора пространственно-угловой ориентации ЭИИ.
Утверждение 4. Пусть В*:=(В7+В?) е Мт,"(Л), где матрица В7 идентифицирована согласно билинейно-тензорной регрессии (9). Тогда при варьировании координат вектора vеRm показатель интенсивности ЭИИ (в точке С) вида:
^У^м^ш + V), (7 = 1,п) может, в силу идентифицированных уравнений (9) регрессии интенсивности электромагнитного поля ЭИИ, иметь внутренний экстремум только в *
точке V7 :
V* = -Б^веЛ", (10)
где {вь...,вп} - стандартный базис в пространстве «пеленгации» Л .
Если
vтв: V - отрицательно определенная квадратичная форма, то функционал качества имеет в точке V* максимум, если vTB*v - положительно определенная квадратичная форма,
то претерпевает в точке V7 минимум; в обо*
их случаях V7 - стационарная точка эллиптического типа.
Наконец, если vIBi V может принимать как положительные, так и отрицательные значения
(с V В^ Ф 0 при V Ф 0^, то экстремум отсутствует, а V* - точка установки ЭИИ гиперболического типа (седловая точка).
Доказательство. Для показателя качества на множестве значений линейно-квадратичной формы (9) необходимое условие наличия локального экстремума определяет следующие аналитические условия: соКде^ + 2ЛvYB *v)/дv1,...,д(вJAv + тWB■v)/дvn) = = 0еЛп,
определяет [5, с. 500] в пространстве Л" геометрические координаты (10) для стационарной точки V7 относительно вариаций функционала в то время как знакоопределенность второго дифференциала, определяемого выражением
ё 2Jl(v*) = 'Ll<g<mZl<p<mд Ц^)^^ | V* vgvp,
доставляет в точке размещения ЭИИ с пространственными координатами (10) достаточные условия [5, с. 504] экстремума для стационарной точки V7 .
Замечание 3. Координаты стационарной точки (10) позволяют ответить на вопрос о значении функционала Т^), когда данная точка является точкой минимума или относительно максимума (точка установки датчика шума).
Следствие 2. Если матрица В7 является положительно определенной (аналогично, отрицательно определенной), то минимальное (соответственно, максимальное) значение электромагнитной наблюдаемости ЭИИ в С равно
= с- - в1ТАВ;-'АТвД, где с7 - ¡-я координата вектора сеЛп билинейно-тензорной системы (9).
Каждый функционал Т^), 7 = 1,., п, при соответствующем истолковании может быть обобщен на случай комплексного целевого функционала (3), который рассмотрим ниже. Таким образом, утверждение 4 и формула (10) позволяют за конечную последовательность простых действий вычислять координаты стационарной точки задачи оптимизации (3); данные координаты V определяют в терминах идентифицированных стационарных коэффициентов системы (9) геометрические параметры позиционного режима защиты функционирования ЭИИ.
Утверждение 5. Пусть В* : =(В7 + В7Т) е е М^ДЛ), 7 = 1,., п. Тогда стационарная точка v*еRm задачи минимизации (3) интенсивности (9) сигнала ЭИИ в комплексе точек его пеленгации {СЬ<7<п имеет следующий вид:
V* = -(Г1В1* + ...+ ГпВп*)"^Ат(г1в1 + ...+ Гпвп), (11)
при этом достаточным условием, что решение V обеспечивает качество
тш^): vеЛm},
ш
является требование: стационарная точка у имеет эллиптический тип, т. е.
аег [ьу]р>о, р = 1,
т , (12)
где [by]peMp,p(R) - главные подматрицы [6, с. 30] матрицы, определяемой как
Б*:=(г1Б1* +—+ гпБп*)еМтт^), эквивалентно: собственные значения X, матрицы Б отвечают неравенствам
X, > 0, 7 = 1, — , т. (13)
Изложенный подход методологически расширяет [8] стандартную процедуру планирования эксперимента [9, 10]. При этом, если расчетные (прогнозируемые) координаты стационарной точки (11) по каким-либо физико-техническим параметрам выходят за область адекватности идентифицированной модели (9), то необходимо провести дополнительный натурный эксперимент, т. е. осуществить замер с вектором У, максимально близким к точке (11), координат ЭИИ с внесением полученного результата в расширенную матрицу экспериментальных данных и. После чего необходимо сделать пересчет [8] всех вышеизложенных этапов процесса оптимизации координат источника излучения; при необходимости подобный эксперимент, параметрическую идентификацию (9) и оптимизацию (3) необходимо повторить. Другой подход МРА - использование трилинейной формы (5), что составит предмет исследования следующего параграфа.
5. Экстремальные свойства трилинейной формы регрессии ЭИИ
В этом параграфе рассмотрим задачу оптимизации в постановке п. в) § 1 и обсудим для неё алгоритмическую технику построения «оптимального управления» v*eRm. Но прежде рассмотрим данную задачу в варианте оптимизации отдельной переменной (заданной точки пеленгации С,) ЭИИ-вектора w(< + v)eRn. Утверждение 6. Пусть Б-* = (Б, + Б,Т)еМт,т(Е), (7 = 1, — , п), где Бг - матрица идентифицированной трилинейно-тензорной регрессионной системы (5). Тогда при варьировании координат вектора «управляющих воздействий» yeRm показатель функционального качества (интенсивность электромагнитного поля ЭИИ в точке пеленгации С) вида
¿(у) = w¿(<в + у), ¿=1, — , п, может иметь внутренний локальный экстремум (при 8(ю,у) = 0) только в точке у*, удовлетворяющей решению нелинейного (билинейного) уравнения:
у = -Б*'1(ЛТе1 + д/ 3'm(y, — ,y)/дy)eRm, (14)
где {еЬ — ,еп} - стандартный базис в Rn, при этом справедливы положения:
- если
ут(Б* + 2^1 <р<тд/3,т(у, — ,у)^дур | у*)у - отрицательно определенная квадратичная форма, то функционал качества ¿¿(у) имеет в у максимум;
- если
ут(Б* + 2^1 т^1 <р<тд / ъ■m(y,...,y)/дvgдvp | у*)у - положительно определенная квадратичная форма, то функционал качества ¿¿(у) имеет в у минимум;
- если
УТ(Б* + 2^1 т^1 <р<тд / 3,m(y, — ,y)/дVgдVp |у*)у -
квадратичная форма, принимающая как положительные, так и отрицательные значения, то функционал качества ¿¿(у) не имеет в у ни максимума, ни минимума.
Доказательство. Поскольку имеет место положение
¿-(у) = с, + е,ТЛу + утБ,у + / 3,т(у, — ,у), то необходимые условия локального экстремума имеют [6, с. 465] вид:
д(с, + е,тЛу + утБ,у + / 3т(у, — ,у))/ду1 = 0, д(с, + е,тЛу + утБ,у + / ъ,т(у,..„у))/дуп = 0, что эквивалентно системе алгебраических уравнений, представленных, как
е,тЛе1 + е^Б-у + е^у + д/ 3,т(у, — ,у)/5у1 = 0, е,ТЛеп + епТБ,у + ептБ^у + д/ %т(у, — ,у)/5уп = 0, которые (как несложно убедиться) определяют в пространстве К" геометрические координаты (14) для определения стационарной точки функционала ^,(у).
С другой стороны, знакоопределенность второго дифференциала, равного
ё ¿¿(У*) = <g<mZl <р<тд 2Ji(y)/дVgУp | y*УgУp =
= УТ(2_1Б,* + <g<mXl<р<тд/3■m(y,...,y)/дVgдVp |у*)у определяет достаточные аналитические условия [6, с. 466] выполнения локального экстремума в критической точке (14). Доказательство завершено.
Координаты стационарной точки (14) позволяют ответить на вопрос о значении функционала ¿-(у), когда данная точка является точкой относительного минимума (или максимума), что констатирует следующее предложение:
Следствие 3. Если Б* + 2^1 <g<m'Zl<р<тд/ 3,m(y, — ,y)/дVgдVp | У* является отрицательно определенной (аналогично, положительно определенной) матрицей, то максимальное (соответственно, минимальное) значение функционала ¿г равно
¿{У*) = с, + е,ТЛу* + / 3,т(у*, — /), где сг - ¿-я координата вектора ceRn системы (5), у* - решение (14).
иркутский государственный университет путей сообщения
Переходим теперь к исследованию более сложного (задача п. в) § 1) варианта задачи оптимизации характеристик трилинейной формы электромагнитного поля ЭИИ в точках {С7}1 <7<п, который играет фундаментальную роль в более реалистических и одновременно более трудных задачах МРА при расчете оптимальных параметров режима функционирования ЭИИ. Его основой является методологическое положение - каждый функционал 1 < 7 < п, при соответствующем истолковании может быть обобщен на случай целевого функционала (3). Таким образом, утверждение 6 и формула (14) позволяют за конечную последовательность алгоритмических действий найти лишь приближенные координаты стационарной точки задачи оптимизации (3) установки ПЭВМ.
Утверждение 7. Пусть В* = (В7+В7т)е еМщ^Л), 1 < 7 < п, где каждая В7 - матрица регрессионной системы (2.5). Тогда v*еRm - стационарная точка задачи оптимизации (2.3) (задача минимизации «взвешенно-осредненной» оценки поля ЭИИ в точках {С7}1 <7<п) имеет вид решения нелинейного векторного уравнения: V = ф^) := -(гВ * +.+ ГпВп*п)'1 (Атсо1(г1 ,.,Гп) + + г/ 3'm(v,.,v)/av +.+ Тпд/п3'm(v,.,v)/av), (15) при этом достаточным условием, что V обеспечивает для электромагнитного поля ЭИИ в точках пеленгации {С7}1 <7<п качество его интенсивности вида
тш№): vеЛm}, Е^) = Л, является следующее требование: стационарная точка V минимума сигнала ПЭВМ в {С7} 1 <7<п имеет специальный эллиптический тип, равносильный положению
аег [ъч]р > 0, р=1,..., ", (16)
где [Ьу]реМрр(Л), р = 1,., " - главные подматрицы [6, с. 30] матрицы В*:=(г1(В1* + 2Е1 <^<"21 <р<"3 / 3'm(v,...,v)/дvgдvp IV*) +. .+ Гп(Вп*+221 <^<"21 <р<"д2/пЪ'm(v,...,v)/дvgдvp I v*)е
еМтм(Л),
что эквивалентно: характеристические числа Хр матрицы В* отвечают
Хр > 0, р = 1,., ". (17)
Доказательство. Функционал Е^): Л"—Л -дважды непрерывно дифференцируем, поэтому доказательство повторяет вывод утверждения 4; необходимые условия экстремума имеют [5, с. 500] вид системы из п уравнений:
r1д(с1+e1TAv+vTB1v+/1 3'm(v, .. .^/б^... . .+гiд(сi+в1TAv+vTBiv+/i 3,>, .. .^/д^...
. ..+Гnд(с„+вnTAv+vтBnV+/n 3'm(v,.. .^/д^ = 0,
г1д(с1+в1TAv+vTB1v+/1 3'm(v, ...,v))/дvn+...
. .+г7д(с7+в7TAv+vTB7v+/ 3' "(V, .. ..
. ..+Гnд(с„+вnTAv+vтBnV+/n 3'm(v, .. „^/^п = 0,
что эквивалентно системе из п билинейных алгебраических уравнений:
г1(в1TAв1+в1TB1v+в1TB1Tv+д/1 3'm(v,.,v)/дv1)+.
.+Гl(вlTAвl+вlTBlV+вlTBlTv+д/;3'm(v, ...,^/5^)+...
.+Гn(вnTAвl+вlTBnV+вlTBnTv+д/n 3'm(v, .. = 0,
Гl(вlTAвn+вnTBlV+вnTBlTv+д/l 3'm(v,.,v)/дVn)+.
.+Гl(вlTAвn+вnTBlV+вnTBlTV+д/; 3'm(v, .,v)/дVn)+.
.+Гn(вnTAвn+вnTBnV+вnTBnTV+д/n 3'm(v, .,v)/дvn) = 0.
Последнее представление обоснованно приводит к решению (численному) системы нелинейных алгебраических уравнений (15); о тонких деталях этого решения поговорим ниже (утверждение 8). Доказательство завершено.
Для завершения анализа задачи (3) посредством утверждения 2.7, остается исследовать численное решение нелинейного алгебраического уравнения V = ф^). Наиболее аналитически изящный способ связан с применением принципа Кач-чопполи - Банаха [11, с. 605]. С этой целью в решении уравнения (15) воспользуемся алгоритмом приближенного нахождения этого решения по методу «последовательных приближений» [5, с. 76].
Пусть ||-|М - матричная норма в МщДЛ), согласованная [7, с. 181] с ||-||Л", О - замкнутая выпуклая область в Л", и пусть зафиксирован некоторый вектор v0еО. Скажем, что отображение ф(-): О—^О - сжатие в О, если найдется число 0 < а < 1, для которого при всех vеО имеет место Цф^ЦМ < а, где ф®^) - производная Фреше (матрица-якобиан из пространства МЩ"(Е)) функции ф в точке V.
Утверждение 8. Если v^ф(v) - сжатие в
области О, то существует единственный корень (решение) v*еО уравнения V = ф^), причем решение V* можно получить как предел
Нт^: Vi+l = ф^), VoеО, 7 = 0, 1, ...}, при этом скорость сходимости последовательности ^^сО к решению V* в этих условиях сжатия определяет следующее геометрическое неравенство
||/ - Vl||Rm< а>1 - ^7(1 - а), 7 = 0, 1, ... ,
которое задает (при 7=0) в пространстве Л" об*
ласть расположения корня V :
V - Voí||Rm< V - ^7(1 - а).
Доказательство. Используя формулу (9) [5, с. 483] конечных приращений и тот факт, что если отображение имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, причем сильная и слабая производные совпадают, доказательство утверждения 8
ш
сводим к вполне прозрачной модификации теоремы 1 [11, с. 605].
Следствие 4. Число итераций «i» в процессе {v,}, при которых
||v - Vi\\Rm< 5 = const > 0, (18)
возможно (при округлении с «уменьшением до целого») не менее чем
1п(||У1 - Vо||Rm/5(1 - ||ф(1)(У0)||м))Лп(1/||ф(1)(У0)||м), (19) при этом ¿-номер «остановки» последовательности {у,-} по критерию (18) заведомо не больше (при округлении с «увеличением до целого»), чем число:
1п(||У1 - Vо||Rm/5(1 - а))/1п(1/а). (20)
Эвристический характер правила остановки
итерационного процесса {у,-}, когда не знаем ни
*
истинного решения у , ни действительных границ области сжатия О, вынуждает увеличивать «с запасом» точность 5 при выполнении критерия (18).
Ясно, что оценка (19) поддается расчету, поскольку якобиан ф(1)(у0) вычисляется согласно (15), тогда как (20) требует дополнительного определения а.
Геометрическая оценка ||у* - у0 | ||^т < < ||у1 - у0|^/(1 - а) области нахождения решения у позволяет, в варианте уе WcRm, Ж - ограниченная замкнутая область, построить конечное покрытие [12] компакта Ж, на основе которого численно выявить корни уравнения (15) - критические точки функционала в Ж при «ф-сжатии».
Если при фиксированной паре (О,у0) корень уравнения у = ф(у) приводит, в отличие от условия (17), к Хр< 0, р = 1, — , т, то в точке у* (исходя из общей задачи защиты излучения ПЭВМ) можно размещать датчик электромагнитных помех.
Наконец отметим, если означенный выше метод «оператора сжатия» не работает (например, при оценке ||ф(1)(у0)||м >1), то для численного решения функционального уравнения (15) можно использовать метод Ньютона - Канторовича [11, с. 669] в варианте уравнения
Р(у) = 0, Р(у):= у - ф(у).
При этом в качестве начальной точки у0 в итерационной схеме сходимости (теорема 5 [11, с. 677]) может выступать вектор, равный геометрическому положению «квазиоптимальной ориентации ЭИИ»:
У0 = -(гБ1* +—+ гпБп*)"^ЛТсо1(г1, — ,гп), которое в силу уравнения (15) представляет решение задачи оптимального размещения ЭИИ согласно критерию (3), когда в уравнении (1) регрессионное представление задано ковариантными тензорами валентности к = 2.
Заключение
В статье сделана попытка дать точное и удобное определение нелинейной векторной регрессии на языке тензорной алгебры, на котором данные регрессионные модели были бы компактны и удобны в обращении, при этом (попутно) определена «алгоритметическая процедура» построения данной апостериорной модели, описывающей «взвешенно-осредненную» интенсивность электромагнитного поля ЭИИ в точках возможного несанкционированного приема его сигнала (в частности, от информативного сигнала дисплея ПЭВМ). На базе минимизации этой «оценки» получен [16, 17] итерационный алгоритм расчета оптимальных координат установки (пространственной ориентации) ЭИИ из расчета электромагнитной скрытности излучения ЭИИ в заданных точках возможного несанкционированного сканирования его поля (или установки датчиков «помех» при условии, что регрессионная модель (1) описывается тензорами валентности 3).
Изложенные в статье идеи можно развить в нескольких направлениях теоретико-прикладных изысканий МРА по совершенствованию предложенных выше алгоритмов оптимальной пространственно-угловой ориентации ЭИИ, а также расширению рамок адекватности регрессионных уравнений по дистанционной интенсивности ЭИИ за счет исследования факторов их нелинейности:
- на расширение трилинейно-тензорной формы (5) уравнений регрессии на базе утверждения 2 при разложении вектор-функции y^w(ю+y)
ковариантными тензорами /-'т, 1 < 7 < п, 0 < ]< к валентности к > 3;
- на разработку процедуры выбора весовых коэффициентов гг, 1 < 7 < п критерия (3), обеспечивающих эллиптический характер стационарной точки (15) целевого функционала исходя из алгебраических условий (16) или, равносильно (17), задействуя подходы по робастной устойчивости матриц;
- на задачу оптимизации установки ЭИИ в математической постановке (3) нелинейного невыпуклого программирования, когда к > 3 и уе ЖсЛт, где Ж- ограниченная, несвязная, невыпуклая область с «квазифрактальной» границей [13];
- на решение математической задачи по оптимальному выбору мест установки датчиков электромагнитных помех в означенной выше области Ж для «подавления» точек {С,-}1 <г<п возможной «несанкционированной» пеленгации сигнала ЭИИ;
на задачу размещения в заданном регионе станций сотовой связи при их фиксированном количестве;
на регрессионные модели с нестационарными переменными и ограничениями на параметры на основе микропроцессорных контроллеров [14, 15].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бернштейн А. В., Кулешов А. П., Бурнаев Е. В. Об одной методологии построения аппроксимаций многомерных зависимостей // Параллельные вычисления и задачи управления : IV Междунар. конф. РАСО'2008. Москва, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2008. С. 56-62.
2. Козырев В. А., Куменко А. Е., Рудых А. Г., Русанов В. А. Нелинейный регрессионно-тензорный анализ оптимальной установки электромагнитного источника излучения при несанкционированном сканировании его электромагнитного поля // Известия вузов. Сер.: Приборостроение. 2010. Т. 53. № 10. С. 10-17.
3. Жигунова Я.А., Носков С.И. Определение гармоник информативнгоо сигнала монитора на основе методов регрессионного анализа // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2008. - № 4. - С. 89-90.
4. Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. - М.: Наука, 1972. - 352 с.
5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1976. - 544 с.
6. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М. : Мир, 1989. 656 с.
7. Ланкастер П. Теория матриц. М. : Наука, 1982. 268 с.
8. Русанов В. А., Данеев Р. А., Шарпинский Д. Ю. Компьютерное моделирование электромагнит-
ной скрытности ПЭВМ // Известия Самар. науч. центра РАН. 2011. Т. 13. № 4. С. 126-132.
9. Адлер Ю. П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М. : Наука, 1976. 255 с.
10. Ковель А. А., Покидько С. В. Математическое планирование эксперимента при отработке электронных элементов // Изв. вузов. Приборостроение. 2008. Т. 51. № 8. С. 13-17.
11. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М. : Наука, 1977. 742 с.
12. Киселева Е. М., Лозовская Л. И., Тимошенко Е.
B. Решение непрерывных задач оптимального покрытия шарами с использованием теории оптимального разбиения множеств // Кибернетика и системный анализ. 2009. № 3. С. 98-117.
13.Потапов А. А. Фракталы и хаос как основа прорывных технологий в современных радиосистемах // Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах. М. : Техносфера, 2006. С. 374-457.
14. Корхин А. С. Линейная регрессия с нестационарными переменными и ограничениями на параметры // Кибернетика и системный анализ. 2009. № 3. С. 50-64.
15. Олоничев В. В., Староверов Б. А., Смирнов М. А. Дискретные алгоритмы идентификации для систем управления на основе микропроцессорных контроллеров // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2010. № 6.
C. 27-31.
16. Шарпинский Д. Ю., Русанов В. А., Данеев Р. А. Оптимальное размещение источника электромагнитного поля «ОРИЭП» : свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ, № 2010613002 ; опубл. 06.05.2010.
17. Русанов В. А., Данеев Р. А., Шарпинский Д. Ю. Робастно-адаптивная настройка алгоритма электромагнитной защиты ПЭВМ // Приборы и системы. Управление контроль, диагностика. 2013. № 1. С. 18-24.
