Нелинейный регрессионно-тензорный анализ оптимальной установки электромагнитного источника излучения при несанкционированном сканировании его электромагнитного поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.65

В. А. Козырев, А. Е. Куменко, А. Г. Рудых, В. А. Русанов

НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННО-ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИСТОЧНИКА ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ НЕСАНКЦИОНИРОВАННОМ СКАНИРОВАНИИ ЕГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Предложена процедура оптимизации линейно-угловых координат электромагнитного источника излучения с позиции минимальной наблюдаемости интенсивности его электромагнитного поля в заданных точках трехмерного континуума (точках зондирования). Основа решения — представление ковариантными тензорами фиксированной валентности дистанционной интенсивности излучения в зависимости от пространственно-угловой ориентации его источника.

Ключевые слова: нелинейная регрессия, ковариантный тензор конечной валентности, задача квадратичной оптимизации.

Введение. Регрессионный анализ первоначально приобрел значительный теоретико-прикладной интерес в задачах определения оптимальных параметров линейных стационарных статических систем типа „вход—выход"; в большинстве случаев исследователи ограничивались применением этого анализа к конечномерным системам (см., например, [1, 2]). При этом задача регрессии формулировалась в терминах вычисления оптимальной (как правило, квадратичной) оценки этих параметров по методу наименьших квадратов с последующим применением [3] алгоритма построения соответствующей псевдообратной матрицы.

Способ представления регрессионного анализа в настоящей работе отличается от традиционного, поскольку авторы стремились выявить геометрическую, качественную сторону нелинейного регрессионного моделирования и его приложений. В соответствии с этим ниже приведен (в отличие от работы [2]) ряд понятий, которым ранее не уделялось должного внимания; поэтому пришлось представлять их достаточно подробно в рамках стандартных элементов тензорной алгебры [4] и функционального анализа [5]. Прикладной задачей в настоящей работе является определение (вычисление) линейно-угловых координат электромагнитного источника излучения (ЭИИ) в целях его минимальной „взвешенно-осредненной электромагнитной наблюдаемости" в некоторых фиксированных точках возможной пеленгации сигнала ЭИИ. Такая постановка вопроса позволяет решать физическую задачу электронной защиты ПЭВМ от внешнего несанкционированного сканирования его побочных электромагнитных излучений и наводок (при этом в техническом плане проще всего решается задача перехвата информации, отображаемой на экране дисплея [1]).

Постановка задачи. Пусть Я — поле вещественных чисел, Я" — "-мерное векторное пространство над Я с евклидовой нормой ||-||Я", со1(у1,.,уп)еЯ" — вектор-столбец с элементами у1,.,упеЯ, Мп,т(Я) — пространство всех (пхт)-матриц с элементами из Я и фробениусовой матричной нормой =(2й/)1/2, ^=[4,]. Через Ттк обозначим пространство всех ковариант-ных тензоров к-й валентности (вещественных полилинейных форм/ к,т: Ят 'х...хЯт^Я) с тензорной нормой ||/к,т\\Т =02г...7)1/2, где — коэффициенты (координаты [4, с. 96]) тензора /к'т, значения которых заданы относительно стандартного базиса в Ят.

Пусть ше Ят — некоторый фиксированный вектор линейно-угловых координат ЭИИ. Выделим к рассмотрению класс многомерных нелинейных систем „вход—выход" [6], описываемых векторно-тензорным уравнением регрессии вида

(1)

w(ш+v)=C+Av+COl(2J=2.,kfjm(v,.,v),.,2J=2.,kfnJ'm(v,.,v))+г(ш,v), w(ш+v)еRn, vеRm, сеКп, АеМ„т(Я), /еТ«/, вектор-функция в(ш, V): Ят^Яп класса ||в(ш,У)||/=о((У12+.. .+УИУ2), У=ео1(У1,_,Ут).

Пусть {¿¿}1<г<п^/ — совокупность точек возможного несанкционированного зондирования электромагнитного сигнала ЭИИ, vеRm — вектор пространственно-угловой ориентации ЭИИ1 (с началом в ш), w(ш+v) — вектор выходных сигналов ЭИИ (интенсивность электромагнитного поля ЭИИ в точках ¿¿, 1</<п).

Задача

1. Для заданного аргумента шеК вектор-функции w(•): (интенсивность ЭИИ в точках ¿¿, 1 <г<п), — открытая окрестность точки ш и фиксированного индекса к определить аналитические условия, при которых w(•) удовлетворяет системе (1) с некоторыми значениями с, А, Лт, 1</<п, 1</<к.

2. Построить векторно-матрично-тензорные апостериорные оценки для с, А, Лт, 1</<п, 1</<к из решения двукритериальной задачи параметрической оптимизации (параметрическая идентификация нелинейной регрессионной модели (1)):

( q ( ( к

ш1п 2 П/)- с - АП /)- со1 2 т (/)

/=1 V V V г2

Л

.П/)},..£Лт ((/),

.1=2

У( /),

2

Л

Кп )

И2

Ш1П

1С11 Кп +1А11

2

У +

п к ..

2211 Л

1=1 /=2

Л/2

(2)

Здесь W(l)еRn, У(/)еКт, 1</<^ — векторы экспериментальных данных (w(^) — „реакция" на „вариацию" У(1) относительно координат вектора ш еКт), q — число экспериментов (ограничений на величину q не накладываем; см. примечание 1);

3. Для заданного вектора ш еК определить линейно-угловые координаты ЭИИ V* еКт, обеспечивающие из решения задачи нелинейной „^-оптимизации" минимальную взвешенно-осредненную интенсивность сигнала ЭИИ в точках Ь, 1<1<п:

ш1п{У(у): уеКт}, (3)

п

у(у):=2(ш + 1=1

где координаты вектора col(w1(ш+v),.,wn(ш+v))=w(ш+v)еRn имеют аналитическое представление согласно идентифицированной в силу п. 2 задачи, г — весовые коэффициенты, отражающие „приоритет" точек зондирования ¿¿, 1<1<п.

Векторная регрессия с переменными в тензорных классах Тт , Кратко исследуем некоторые аналитические свойства нелинейных векторных регрессий многих переменных, которые „внешне" похожи на поведение голоморфных функций (см. задачу). В связи с этим изложение будет основываться на понятии сильной производной (производной Фреше) [5, с. 481], что ставит задачу определения остальных аналитических понятий, и в частности дифференциалов высших порядков, через конструкции сильных производных. Известно [5, с. 491], что данные производные по существу можно (и удобно) трактовать как некоторые математические конструкции со специальной геометрической полилинейной структурой.

1 Случай vе VcRm, где V — ограниченная невыпуклая область, может составить предмет отдельной задачи.

О п р е д е л е н и е 1 [5, с. 480]. Пусть О — открытая область в Ят, w — отображение множества О в Я" и ш — некоторая точка из О. Если существует такая матрица АеМ",т(Я), что имеет место соотношение

Нш

^0

У)-ш)-Ау\Я" ^ЯП

1м1я"

= 0, (4)

то данная матрица А называется производной Фреше от функции w в точке ш.

З а м е ч а н и е 1. Нетрудно установить, что производная Фреше определяется матрицей частных производных дwi/дvj (1</<п, 1</<т) в точке ш (матрица Якоби); отметим, однако, что факт существования в точке ш частных производных функций w1, w2, ..., W" (здесь w=co1(w1,.,W")) не обеспечивает еще наличия производной Фреше, как показывает следующий достаточно простой пример:

2 2 2

П р и м е р 1. Пусть "=1, т=2, w(v1,v2)=v1v2/(v1 +v2 ) и w(0,0)=0, ш=(0,0). Ясно, что дw(0,0)/дv1=дw(0,0)/дv2=0. Поэтому, если бы соответствующая производная Фреше существовала, то, очевидно, это дало бы ее нулевой оператор и, следовательно, из соотношения (4) вытекает следующее положение:

Нш

г^0

^2 \\ с Я ( 2 + 2 )1/2 , 1---1е Я, ( + v2) =1

=0.

между тем в действительности этот предел равен бесконечности, если только v1^0 и v2^0.

Производную Фреше от w в точке ш будем обозначать через w(ш)(1). При этом если производная w(ш)(1) существует для каждой точки шеО и если кроме того

ш^w(ш)(1)

есть непрерывное отображение из области О в Мп т(Я), то отображение w называется непрерывно дифференцируемым в О. В силу отмеченного имеет смысл говорить о производной для отображения w(-1"): О^М",т(К) в точке шеО, которую, если она существует (при очевидном изоморфизме пространств Мп,т(Я) и Я"хт), называют второй производной отображения w и обозначают w(ш)(2).

Если вторая производная существует в каждой точке множества О, то тем самым математически корректно определен оператор w(-2), производная которого называется третьей производной отображения w. Производная w(ш)(k) порядка к в точке ш есть, по определению, производная оператора w(-k-1): О^Я"х(к-1)т, при этом можно каждой производной w(ш)(k) естественным образом поставить в соответствие элемент пространства к-линейных (при к=2 билинейных) отображений из Ятх...хЯт в Я" [5, с. 488]. В такой постановке дифференциал к-го

порядка допускает более удобную (и наглядную) интерпретацию в конструкциях ковариант-

7> к т.

У т в е р ж д е н и е 1. Пусть О — открытая область в Ят, w — отображение множества О в Я" и ш — некоторая точка из О. Если существует производная w(ш)(k) порядка к, то дифференциал к-го прядка в точке шеЯт имеет аналитическое представление (при vеЯm) вида

w(ш)(k)(v,...,v) =со1^1к>,.. . ./"к>,.. .V)),

где /ктеТтк, 1=1,...,п.

Установим важное аналитическое свойство, которым должна обладать вектор-функция w, с целью прояснения: когда отображение w удовлетворяет (при некоторых разумных дополнительных предположениях о нем) понятию нелинейной тензорной регрессии класса (1).

У т в е р ж д е н и е 2. Пусть О — открытая область в w — отображение множества О в К и ш — некоторая точка из О. Если существует производная w(ш)(k), которая суть равномерно непрерывная функция от ш в О, то векторное отображение w: О^-К удовлетворяет системе (1) с некоторыми тензорами Л{'т, 1<1<п, 1</<к, вектором c=w(ш) и (пхт)-матрицей A=w(ш)(1).

Утверждение 2 формулирует некоторый качественный факт для существования нелинейной регрессии класса (1), если не накладывать чрезмерно слабых требований (по образцу приведенных в примере 1) на конструкцию вектора-функции w.

Параметрическая идентификация билинейно-тензорной структуры нелинейной векторной регрессии. Начнем с уточнения конструкции уравнения (1); это уточнение имеет довольно специальный (частный) характер, но его использование позволяет не привлекать сложных вычислительных алгоритмов в оценке оптимального вектора координат установки ЭИИ.

Рассмотрим случай к=2. В такой постановке уравнение (1) примет вид

Т Т

w(ш+v)=c+Av+co1(vTB1v,.. .yBnv)+s(ш,v), (5)

где ВгеМт,т(К), /=1,.,п, Т — операция транспонирования, при этом считаем, что каждая В, — суть верхняя треугольная матрица [7, с. 38]; в силу утверждения 2 полагаем, что c=w(ш), A=w(ш)(1).

Параметрическую идентификацию в многокритериальной векторно-матрично-тензорной постановке (2) для многосвязной стационарной статической нелинейной модели типа „черный ящик" [6] в классе регрессий (5) свяжем с понятием нормального псевдорешения (канонического решения по методу наименьших квадратов) для конечномерной системы линейных алгебраических уравнений.

О п р е д е л е н и е 2 [7, с. 501]. Нормальным псевдорешением системы линейных алгебраических уравнений вида

Бх=й, ПМ^р(Я), йеК

называется вектор хеКр, имеющий наименьшую евклидову норму ||х||Кр среди всех векторов, приносящих минимум величине нормы ЦПх-йЦК1.

Далее, обозначим через Eq единичную (qхq)-матрицу и пусть БеМяр(К). Через обозначим обобщенную обратную (псевдообратную) матрицу Мура—Пенроуза [7, с. 500] для матрицы Б. Известно, что асимптотическая конструкция псевдообратной матрицы имеет следующий аналитический вид:

Б+=11ш{БТ(ББТ+тЕ^-1: т^0}.

Условимся, что везде далее знак „+" означает операцию псевдообращения соответствующей матрицы.

Л е м м а [7, с. 501]. Вектор х=Б й — суть нормальное псевдорешение линейной системы: Бх=й, ВеМ^р(Я), йеК4.

Для взаимоувязывания параметров системы (5) и данных генеральной выборки обозначим через й(/)еК1+т(т3)/2 вектор, имеющий (с учетом верхней треугольной структуры матриц В,, /=1,...,п) следующее координатное представление:

й(/) =Со1(1, Vl(/), ..., Vm(/), Vl(/)Vl(/), ..., Vr{l)Vs{I), ..., Vm(/)Vm(/))еR1+m(m+3)/2, (6)

1<т<8<т, со^ц/), ..., Vm(l)) =^1)еКт, 1</^.

Назовем U =[%), ..., W(q)] eMq;1+m(m+3y2(R) полной матрицей экспериментальных данных входных воздействий2, p;:=col(w;(1), ..., w;(q))eRq — полным вектором экспериментальных данных для выходного сигнала w7 (i=1,...,n). Далее, стремясь к линейно-параметрическому описанию коэффициентов нелинейной модели „вход—выход" для выходного ЭИИ-сигнала wi выпишем (согласно системе (5)) линейно-квадратичную форму правой части уравнения его регрессии

С+ ^ aijvj+ ^ bigf^ i=1,.,n. (7)

1< j<m 1<g< p<m

Теперь введем в рассмотрение (1+т(т+3)/2)-вектор zi параметров модели ЭИИ

ai 1, aim, bi Ц.,...., bigp, ...., bimm

для модели регрессии (7). Ясно, что в силу уравнений (7) любой фиксированный набор из n таких векторов полностью определяет (задает) аналитическое представление модели относительно некоторой системы „вход—выход" типа (5):

Zi =со1(сг, alh аш, bnh bgp, bimm)eR1+m(m+3)/2,

1<g<p<m.

У т в е р ж д е н и е 3. Параметрическая идентификация (2) в терминах регрессионной модели (5) имеет алгебраическое решение

z/=U% 7=1,...,n. (8)

Здесь U — полная матрица экспериментальных данных входных воздействий (6), рг- — полный вектор экспериментальных данных выходного сигнала w7 (i=1,...,n), индуцированного воздействиями (6).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Система (5) для каждого l-го эксперимента, согласно (6), (7), приобретает компактный вид

Wi([)=U (l)Zi+Si(i), i'=1,...,n.

Таким образом, если переформулировать оптимизационную задачу вида (2) в векторно-матричных терминах z7, Pi, U, то приходим к следующей многокритериальной постановке относительно векторов z7, i=1,...,n:

min||p1 -Uz1\\Rq ,

Ш1П z

1 IR1+m(m+3)/2 ,

m1n||Pi-Uzi\Rq ,

min||zi |R1+m(m+3)/2

min

n n |Rq

Ш1П||2" ||Я1+т(т+3)/2

Очевидно, что в силу леммы данная многокритериальная система имеет единственное нормальное псевдорешение (8) относительно переменных г7, /=1,...,".

С л е д с т в и е 1 [8, с. 263]. Пусть г, =и+Рг- (/=1,...,и). Тогда каждый вектор г параметров регрессионной модели (5) (характеризующей интенсивность ЭИИ), такой, что

*

имеет место , удовлетворяет одному из следующих двух условий:

а) \\вг-иг\Я > НР,-^*!^

2 Здесь „модель входных воздействий" — некоторый набор тестовых координат ЭИИ при его „эталонном" излучении. Точная зависимость модели (1) от координатной ориентации ЭИИ, как правило, неизвестна, и ее желательно представить приближенно в линейной или квадратичной аппроксимации, что выражено моделью (5), при этом аппроксимация (5) более обоснована для небольших отклонений аргумента V относительно координат ш.

или' в противном случае'

б) | | в-их| |Rq = | | в-их!| |Rq и | ¡X| |к1+т(т+3)/2 > | к/ | |к1+т(т+3)/2.

З а м е ч а н и е 2. Качественные оценки следствия 1 в основном зависят от „объема" апостериорной информации (количества экспериментов q), а именно: если q>1+m(m+3)/2, то, как правило, реализуется пункт а, если q<1+m(m+3)/2 — весьма вероятно, что имеет место методологическая позиция б.

Далее приступим к многомерному геометрическому исследованию „минимаксных" свойств решений нелинейной векторной регрессии (5); важной чертой полученных ниже аналитических результатов в решении оптимизационной задачи (3) является их явная алгебраическая зависимость от идентифицированных параметров билинейно-тензорной структуры системы (5).

Ориентация ЭИИ на базе билинейно-тензорной интерполяции его функциональной модели. Параметрическая идентификация функциональной модели ЭИИ класса (5), исследовавшаяся выше, является необходимым требованием при выборе вектора ориентации V. Однако вариантов подобной ориентации, очевидно, много, и необходимо выбрать среди них оптимальный с точки зрения некоторого формального критерия, характеризующего определенное „физико-техническое" качество данной геометрической установки ЭИИ. Рассмотрим критерий оптимальности (3) (с приоритетным выбором коэффициентов г7, 1</<п, согласно, например, [9]) и обсудим для него алгоритмическую технику получения оптимальных координат V*.

У т в е р ж д е н и е 4. Пусть б, =(В7+В7 ) где матрица Вi идентифицирована согласно билинейно-тензорной регрессионной модели (5). Тогда при варьировании координат вектора vеRm показатель интенсивности ЭИИ (в точке Ь) вида

Jl(v) =wг(ш+v), 7=1,...,п

может в силу идентифицированных уравнений (5) иметь внутренний экстремум только в точке vi*еRm:

vl*=-DlrlATel, (9)

где {е1,.,еп} — стандартный базис в Кп.

Т

Если V

V — суть отрицательно определенная квадратичная форма, то функционал качества Ji(v) имеет в точке V,* максимум, если V — положительно определенная квадратичная форма' то Ji(v) претерпевает в V* минимум; в обоих случаях V* — стационарная точка эллиптического типа.

Наконец, если V может принимать как положительные, так и отрицательные

Т

значения (с V

при №0), то экстремум отсутствует, а V,* — точка гиперболического

типа (седловая).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для показателя качества Ji(v) на множестве значений линейно-квадратичной модели (5) необходимое условие локального экстремума определяет следующее условие:

д(еТ Av+2-1 vTDiv) д(е.Т Av+2-1 V Б^)

со1

дУп

= 0е К

в пространстве К [5, с. 500] геометрические координаты (9) для стационарной точки vi* относительно функционала Ji(v), в то время как знак второго дифференциала

й2Jl(v*)= V V д2 Ji(v)/дvgдvp | V* vgVp

/ ; / ; - - 'V /• - • 5- -У • -

1<g<m 1< р<т

в точке размещения ЭИИ с координатами (9) определяет достаточные условия [5, с. 504] экс-

тремума для стационарной точки V*.

З а м е ч а н и е 3. Координаты стационарной точки (9) позволяют ответить на вопрос о значении функционала Ji(v), когда данная точка является точкой относительно минимума или максимума.

С л е д с т в и е 2. Если матрица П, является положительно (отрицательно) определенной, то минимальное (максимальное) значение равно

с1-е?ЛП-1ЛТе1/2,

где с, — ,-я координата вектора с^Я" системы (5).

Каждый функционал Ji(v), ,=1,.,", при соответствующем истолковании может быть обобщен на случай комплексного целевого функционала (3), который рассмотрим ниже. Таким образом, утверждение 4 и формула (9) позволяют за конечную последовательность простых действий вычислять геометрические координаты стационарной точки задачи оптимизации (3); данные координаты V определяют в терминах идентифицированных стационарных коэффициентов системы (5) геометрические параметры режима защиты функционирования ЭИИ.

У т в е р ж д е н и е 5. Пусть Д =(В+ВД ,= 1,...,". Тогда стационарная точка V* &Ят задачи (3) (задача минимизации „взвешенно-осредненной" интенсивности сигнала ЭИИ в комплексе точек зондирования {Ь,}1<,<„) имеет вид

v*=-(rlDl+...+r"D"У1ЛT(rlel+...+r"e"), (10)

при этом достаточным условием, что решение V* обеспечивает качество

ш1и{^): veЯm},

является следующее: стационарная точка V* имеет эллиптический тип, т.е.

ёе! [4-]р>0, р=1,.. ,,т, (11)

где [ёу]р<аМрр(К) — главные подматрицы [7, с. 30] матрицы

п=(пп1+.+г"п"), собственные числа X, матрицы П отвечают неравенствам

^>0, /=1,..„т. (12)

З а м е ч а н и е 4. Если алгебраические условия (11), (12) не выполняются, то критическая точка (10) является либо гиперболической (т.е. седловой), либо параболической, и следовательно, требуется дополнительный геометрический анализ „параметров-координат" ЭИИ (10). Говоря более формально, наличие седловой точки гарантирует замена хотя бы в одном (но не во всех) отношении неравенства „>" из (11), (12) на „<", при этом аналогичная замена „>" на „>", возможно, вызывает структуру параболической точки.

Изложенный подход методологически расширяет [10] стандартную процедуру планирования эксперимента [2]. При этом если расчетные (прогнозируемые) координаты стационарной точки (10) по каким-либо физико-техническим параметрам выходят за область адекватности идентифицированной модели (5), то необходимо провести дополнительный натурный эксперимент, т.е. осуществить замер (с вектором V, максимально близким к точке (10)) координат ЭИИ с внесением полученного результата в расширенную матрицу экспериментальных данных и. После этого необходимо сделать пересчет [3] всех вышеизложенных этапов процесса оптимизации координат ЭИИ. При необходимости подобный эксперимент, параметрическую идентификацию (5) и оптимизацию (3) необходимо повторить.

Заключение. В работе дано точное и удобное определение нелинейной векторной регрессии на языке тензорной алгебры, чтобы нелинейные регрессионные модели были компактны и удобны в обращении. При этом определена процедура построения нелинейной модели, описывающей взвешенно-осредненную интенсивность электромагнитного поля ПЭВМ в точках возможного несанкционированного приема его сигнала; получен алгоритм расчета оптимальных координат установки ПЭВМ.

Изложенные в статье идеи можно развить в нескольких направлениях теоретико-прикладных изысканий по совершенствованию предложенных выше алгоритмов оптимальной пространственно-угловой ориентации ЭИИ, а также расширению рамок адекватности

регрессионных уравнений дистанционной интенсивности ЭИИ за счет дополнительного исследования факторов ее нелинейности:

— на разработку процедуры выбора весовых коэффициентов г7, 1<7<п, критерия (3), обеспечивающих эллиптический характер стационарной точки (10) целевого функционала Г^) исходя из алгебраических условий (11), (12);

— на расширение, согласно утверждению 2, билинейно-тензорной формы уравнений регрессии (5) „тейлоровским разложением" вектора-функции v^w(ш+v) ковариантными тензорами ранга к>2;

— на задачу оптимизации (3) в постановке невыпуклого нелинейного программирования, когда к>2 и ve V^Rm, где V — ограниченная, несвязная, невыпуклая область (возможно, с квазифрактальной границей [11]).

Работа поддержана программой фундаментальных исследований № 15 Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН, грантом Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ Российской Федерации (№ НТТТ-1676.2008.1).

1. Жигунова Я. А., Носков С. И. Определение гармоник информативного сигнала монитора на основе методов регрессионного анализа // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. № 4. С. 89—90.

2. Бернштейн А. В., Кулешов А. П., Бурнаев Е. В. Об одной методологии построения аппроксимаций многомерных зависимостей // Докл. IV Междунар. конф. „Параллельные вычисления и задачи управления" РАС0'2008. Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2008. С. 56—62.

3. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Элементы математического моделирования в программных средах МАТЬАБ и 8С1ЬАБ. СПб: Наука, 2001. 288 с.

4. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1979. 624 с.

5. Колмогоров А. Н.Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

6. МесаровичМ.ТакахараЯ. Общая теория систем: математические основы. М.: Мир, 1978. 312 с.

7. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 656 с.

8. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. 268 с.

9. Макаров И. М.Виноградская Т. М., Рубчинский А. А., Соколов В. Б. Теория выбора и принятия решений. М.: Наука, 1982. 328 с.

10. Патент РФ № 2009612490. Регрессионно-тензорный анализ „РЕТАН" / С. Н. Думнов, Д. Б. Лабаров, В. А. Козырев, А. Е. Куменко, А. Г. Рудых. 19.05.2009 г.

11. Потапов А. А. Фракталы и хаос как основа прорывных технологий в современных радиосистемах // Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Техносфера, 2006. С. 374—457.

Сведения об авторах

Владимир Александрович Козырев — аспирант; Институт динамики систем и теории управления СО РАН,

Иркутск

Антон Евгеньевич Куменко — канд. техн. наук, старший научный сотрудник НПО „ОРИОН", Крас-

список литературы

Алексей Геннадьевич Рудых

Вячеслав Анатольевич Русанов

нознаменск

аспирант; Иркутское высшее военное авиационное инженерное училище

д-р физ.-мат. наук, главный научный сотрудник Института динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск; E-mail: [email protected]

Рекомендована институтом

Поступила в редакцию 29.10.09 г.