CC BY
18
Думнов С.Н., Куменко А.Е., Рудых А.Г., Русанов В .А. УДК 519.25, 519.65
РЕГРЕССИОННО-ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА1
Введение. В истории математического моделирования значительный теоретико-прикладной интерес регрессионный анализ первоначально приобрел в задачах определения оптимальных параметров линейных стационарных статических систем «вход-выход»; в большинстве случаев исследователи ограничивались применением данного анализа к конечномерным системам (см., например, [1,2]). При этом по существу задача регрессии формулировалась в терминах вычисления оптимальной (как правило, квадратичной) оценки этих параметров по методу наименьших квадратов с последующим применением [2, с. 60] алгоритма построения регрессии сводилась к численному построению соответствующей псевдообратной матрицы [3].
Анализ означенных выше тенденций в данной работе отличается от традиционного изложе-ния1, поскольку авторы стремились выявить геометрическую, качественную сторону регрессионного моделирования и его приложений.
В соответствии с этим ниже нет ни одной сколько-нибудь сложной формулы, зато появляется (в отличие от [1,2]) целый ряд фундаментальных понятий, которые ранее были в тени; поэтому пришлось излагать их достаточно подробно, не предполагая по их поводу каких-либо предварительных знаний, выходящих за рамки стандартных элементов тензорной алгебры [4], функционального [5] и системного [6] анализа. Прикладной стороной по использованию нелинейной векторной регрессии в данной работе выступает задача аналитического решения линейно-квадратичной оптимизации, как способа поиска оптимальных характеристик сложного многофакторного физико-
1 Работа поддержана грант-контрактами: Российский фонд фундаментальных исследований (проект № 09-0100274), Программа фундаментальных исследований № 22 Президиума РАН (№ 2.5), Грант Президента Российской Федерации по государственной поддержке ведущих научных школ Российской Федерации (№ НШ-1676.2008.1).
технического процесса (ФТП) в условиях ограничительных объемов потребных вычислений на современных ПЭВМ; против этого трудно возразить, поскольку, очевидно, это утверждение основываются, как на опыте численных, так и на бесспорных теоретических соображениях.
1. Постановка задачи. Пусть Я - поле вещественных чисел, Я" - "-мерное векторное пространство над Я с евклидовой нормой |НЯ", со1(уь...,у")Я" - вектор-столбец с элементами УЬ...,У"Я и пусть Мпт(Я) - пространство всех пхт-матриц с элементами из Я и фробениусовой матричной нормой 11В11р:=(£$^)112, В=[ёу]. Далее, через Ттк обозначим пространство всех ковариант-ных тензоров к-ой валентности (вещественных полилинейных форм Укт: Ят х... хЯт^Я) с тензорной нормой ||/к т||Т:=(£г-.../)112, где - координаты [4, с. 96] тензора/кт, значения которых заданы относительно стандартного алгебраического базиса в линейном пространстве Ят.
Пусть &Ят - некоторый «опорный режим» исследуемого ФТП. Выделим к рассмотрению класс многомерных нелинейных систем «вход-выход», описываемых векторным уравнением регрессии следующего вида2
w(ю+v)=c+Av+ +С01(£,=2,... ,к/1 т(У,.--,У),.--, ,..,£,=2,../' >,...,(1) w(<в+v)(Я", vëim, с<=Я", АМпт(Я),/>'теТт, вектор-функция в(ю,-): Ят^ Я" класса ||е(ю^)||Я"= =о(^12+.. ^т2)к/2), где V=С0l(Vl,.,Vm).
П о с т а н о в к а задачи: а) для заданного (опорного) значения &Ят аргумента вектор-функции ФТП w(•): О^Я", где О - открытая область пространства Ят и фиксированного индекса к определить аналитические условия, при которых отображение w(•) удовлетворяет многомерной сис-
2 Формально: регрессия w на v в классе ковариантных тензоров до к-ой валентности с поправочным членом (остатком) е(ю^), ||ъ(<<,v)||R"=о((v12+.+v„2)k/2).
теме нелинейных уравнений (1) с некоторыми с, А, 1<1<п, 1</<к; б) построить векторно-матрично-тензорные апостериорные оценки для с, А, /¡'т, 1</<п, 1</<к из решения двухкритериальной задачи параметрической оптимизации (идентификация нелинейной регрессионной модели ФТП):
тт(Б=1„. „дО! ^т-с-Ауда-
-С01(1,/=2,...,к/1'т(У(1),...,У(1)),..., Ш1п(||с||йп2+|[А||^2+
А VГ2;
(2)
/1,т\\ 112
/ !!Т ) ;
W(i)ëin, У(1)ё1т, 1</<д - векторы экспериментальных данных - «реакция» на «вариацию»3 относительно режима аКт), д - общее число экспериментов, ограничений на величину д не накладываем (см. замечание 2);
в) для в(ю,у)^0 и заданного вектора аКт определить вектор «входных» переменных у*еЯт, обеспечивающий из решения «у-оптимизации» взвешенно-осредненную оценку «качественных характеристик ФТП» вида:
ш1п{^(у): уеКт}, (3)
где г - заданные весовые коэффициенты взвешен-но-осредненной оценки ФТП, а переменные вектор-функции w(а+•) имеют представления
со1^(а+у), .,Wn(ю+v))= =w(а+v)Rn
согласно пункта б), т.е. в силу идентифицированной модели (1).
2. Существование векторной регрессии с переменными в тензорных классах Т^, ]<к. В
настоящем разделе кратко исследуем некоторые аналитические свойства нелинейных векторных регрессий многих переменных, которые «внешне» похожи на поведение голоморфных функций (задача а) из п. 1). В связи с этим изложение будет в основном основываться на понятии сильной производной (производной Фреше) [5, с. 481]. По-
Значения факторов во множестве фактической выборки из д экспериментов имеют представление в произвольном масштабе. Это приводит к тому, что параметры с максимальной амплитудой могут становиться доминирующими. Поэтому необходимо предварительное масштабирование исходных данных; такое масштабирование может оказаться более эффективным средством получения оптимальной аппроксимации исследуемого процесса ФТП в терминах модели (1), чем попытки использования различных модельных структур и стратегий оптимизации.
следнее ставит задачу определения остальных аналитических понятий, и в частности дифференциалов высших порядков, через конструкции сильных производных; известно [5, с. 491], что данные производные по существу можно (и удобно) трактовать как некоторые математические конструкции со специальной геометрической полилинейной структурой.
О п р е д е л е н и е 1 [5, с. 480]4. Пусть О -открытая область в К", w - отображение множества О в К и а - некоторая точка из О. Если существует такая матрица АеМп,т(К), что имеет место
Нт{^(ш+у)^(ш)-Ау||яп1|У||ят: у^0еКт}=0, (4)
то данная матрица А называется сильной производной Фреше от функции w(•) в точке а
З а м е ч а н и е 1. Не трудно топологически установить: аналитическая конструкция производной Фреше определяется обычной матрицей частных производных дwi1дvj, 1</<п, 1</<т в точке а (матрица Якоби); отметим, однако, факт существования в а частных производных функций wьw2,...,wn ^=со1^ь..^п)) не обеспечивает еще наличие производной Фреше, как показывает следующий достаточно простой пример:
П р и м е р 1.5 Пусть п=1, т=2, w(vьv2)= =У1У2Ау!2+у22)2 и w(0,0)=0, а=(0,0). Ясно, что дw(0,0)1дvl=дw(0,0)1дv2=0. Поэтому, если бы соответствующая производная Фреше существовала, то это дало бы ее нулевой оператор и значит соотношение (4) дало бы следующий факт
Пш^^ь^УИ: Г^0еК}=0, между тем в действительности данный предел равен да, если только у1Ф0 и у2Ф0.
Производную Фреше от w в точке а будем обозначать через w(а)(1). При этом, если производная w(a)(1) существует для каждой точки аеО
и если кроме того а^w(а)(1) есть непрерывное отображение из области О в Мпт(К), то отображение w называется непрерывно дифференцируемым в О. В силу отмеченного имеет смысл говорить о производной для отображения w(1): О^Мпт(К) в точке аеО, которую, если она существует (при
4 Единственность производной Фреше (в случае ее существования) тривиальна.
5 Данный пример показывает: факт наличия частных производных в некоторой точке функции w не гарантирует даже существование в этой точке ее производной Гато [5, с. 482]; см. также пример [5, с. 484].
очевидном изоморфизме пространств Мпт(Я) и Я"хт), называют второй производной отображения w и обозначают w(ю)(2). Если вторая производная существует в каждой точке множества О, то тем самым корректно определен оператор w(2), производная которого называется третьей производной отображения w, и вообще производная w(ю)(k) порядка к в точке ю есть по определению производная оператора w(k"1): О^Я"х(к_1)т, при этом можно каждой производной w(ю)(k) естественным образом поставить в соответствие элемент пространства к-линейных (при к=2 билинейных) отображений из Ятх...хЯт в Я" [5, с. 488]. В такой постановке дифференциал к-го порядка допускает более удобную (и наглядную) интерпретацию в конструкциях ковариантных тензоров из Ттк.
У т в е р ж д е н и е 1. Пусть О - открытая область в Ят, w - отображение множества О в Я" и ю - некоторая точка из О. Если существует сильная производная w(ю)(k) порядка к, то сильный дифференциал к-го прядка ё ^ для w в точке юеЯт при приращении vеЯm имеет аналитическое представление вида
где /к'теТтк, 1<7<".
Доказательство не приводим в силу его прозрачности (см. п. 9 [5, с. 491]).
В следующем утверждении установим аналитическое свойство, которым должна обладать вектор-функция w, с целью прояснения вопроса: когда отображение w удовлетворяет, по крайней мере, при некоторых разумных предположениях о нем, одному из тех специальных конкретных закономерностей, от которых произошло понятие векторно-тензорной регрессии (1), как естественного продукта от непрерывного процесса консолидации, абстрагирования и обобщения6.
Путь, по которому эволюционировала теория регрессионных моделей, во многом характерен для общей теории систем (системы в парадигме «черного ящика» [6, с. 21]). Сначала замечаются сходства некоторых ситуаций, аналогии и повторения в рассуждениях, затем предпринимаются попытки выделить понятия, при условии, что данный анализ достаточно глубок, есть надежда найти теорию, которая охватывает многие примеры, и достойна самостоятельного изучения; именно на этом пути после длительного экспериментирования была получена методология планирования эксперимента в построении оптимальных характеристик когнитивного процесса [1].
У т в е р ж д е н и е 2. Пусть О - открытая область в Ят, w - отображение множества О в Я" и ю - некоторая точка из О. Если существует производная w(ю)(k), которая суть равномерно непрерывная функция от ю в О, то векторное отображение w: О^Я" удовлетворяет системе уравнений (1) с некоторыми тензорами /7'т, 1<7<", 1</<к, вектором с=^ю) и (нхт)-матрицей A=w(ю)(1).
Доказательство - прямая компиляция утверждения 1 и теоремы 2 [5, с. 491]; утверждение 2 по существу формулирует некоторый качественный факт для существования регрессии класса (1), если не накладывать чрезмерно жестких требований (типа приведенных в примере 1) на конструкцию вектор-функции w.
3. Идентификация тензоров регрессии. Начнем с важного уточнения конструкции уравнения (1); хотя это уточнение имеет довольно специальный (частный) характер его использование в потенциале позволяет не привлекать сложных вычислительных алгоритмов определения оптимального вектора параметров функционального поведения исследуемого ФТП.
Рассмотрим случай к=2. В такой постановке уравнение (1) примет вид:
w(ю+v)=c+Av+ +со1^тБ^,... УБ^)+г(ю^), (5)
где Б7Мтт(Я), 7=1,...," при этом считаем, что каждая Б7 - суть верхняя треугольная матрица [7, с. 38]; в силу утверждения 2 полагаем, что
c=w(ю), A=w(ю)(1).
Параметрическую идентификацию в вектор-но-матрично-тензорной двухкритериальной постановке (2) для многосвязной стационарной статической нелинейной модели типа «черный ящик» в классе нелинейных регрессий (5), свяжем с понятием нормального псевдорешения (канонического решения по методу наименьших квадратов) для конечномерной системы линейных алгебраических уравнений.
О п р е д е л е н и е 2 [7, с. 501]. Нормальным псевдорешением системы уравнений
Бх=ё, БМ^(Я), с1еЯ\ называется вектор хе Яр, имеющий наименьшую евклидову норму ||х||Яр среди всех векторов, приносящих минимум величине нормы ЦБх-ёЦЯ1.
Далее, обозначим через Ед - единичную дхд-матрицу и пусть Бе еМдр(Я). Как обычно, через обозначим обобщенную обратную (псевдообратную) матрицу Мура-Пенроуза [7, с. 500] для
матрицы В; асимптотическая конструкция любой псевдообратной матрицы имеет аналитический вид (см. также его модификацию [2]):
в+=11Ш{вт(ввт+х£9)"1: еД}; здесь символ «т» - операция транспонирования. Везде далее знак «+» означает операцию псевдообращения соответствующей матрицы.
Л е м м а 1 [8, с. 35]. х=В+ё - нормальное псевдорешение системы:
Вх=й, ВеЫЧр(К), йеК4. Для взаимноувязывания параметров системы (5) и данных генеральной выборки обозначим через й(Г)е д1+т(т+3)/2 вектор, имеющий с учетом верхней треугольной структуры матриц В7, 7=1, .. ,,п координаты
йт:=со1(1, Ущ, ут(}), Vl(г)Vl(^),
У</)У</), ..., Ут(0Ут(0)еД1+т(т+3)/2, (6)
1<г<5<т, СО1(ук0, ..., Ут(1)):=У(1)еЯт, 1</<д. Назовем следующую матрицу
^: = [й(1> й(д)]ТеМд,1+т(т+3)/2(Д)
полной матрицей экспериментальных данных
„7
входных воздействий , соответственно вектор
Р7-:=со1(^7(1), ..., W7(g))еRq
полным вектором экспериментальных данных для выходного сигнала w7 (7=1,.,п). Далее, стремясь к линейно-параметрическому описанию коэффициентов нелинейной модели «вход-выход» для выходного ФТП-сигнала w7 выпишем (согласно системы уравнений (5)) линейно-квадратичную форму правой части уравнения его регрессии
1 <]<та7]У]+^1 <g<p<mЬ7gpУgУp. (7)
(7=1,...,п)
Теперь введем в рассмотрение (1+т(т+)/2)-вектор 27 параметров модели ФТП
с„ ап,
Ь711,..., Ь7gp, Ь 7}
для общей модели линейно-квадратичной регрессии (7). Ясно, что в силу (7) любой фиксированный набор из п таких векторов полностью определяет (задает) аналитическое представление данной нелинейной модели относительно некоторой системы «вход-выход» типа (5):
Точная зависимость модели (1) от параметров ФТП, как правило, неизвестна и ее желательно представить приближенно линейной или квадратичной аппроксимацией, что выражает модель (5), при этом аппроксимация (5) более обоснована для небольших отклонений аргумента у относительно опорного режима ю.
Z7:=COl(C7, a7l, a7m, Ь711,
Ь Ь )еД1+т(т+3)/2 1^<р<т.
У т в е р ж д е н и е 3. Параметрическая идентификация (2) в терминах регрессионной модели (5) имеет алгебраическое решение
2*=^% 7=1,.,п; (8)
здесь и - полная матрица экспериментальных данных входных воздействий (6), р7 - полный вектор экспериментальных данных выходных переменных w7 (7=1,...,п), индуцированных воздействиями (6).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Система (5) для каждого /-того эксперимента согласно соотношений (6), (7) приобретает компактный вид
w 7(/)=йТ(/)27+87(/), 7=1,.,п.
Таким образом, если математически переформулировать (очевидным образом) оптимизационную задачу (2) в векторно-матричных терминах 27, р7, и, то приходим к следующей многокритериальной постановке относительно векторов 27, 7=1,., п:
Гтт \ Р1-и^1 \ \Rq,
\
1тт 1+т(т+3)/2
Гтт \P7-UZ,-! \Rq,
\
1тт 1+т(т+3)/2 \27 \ \Д ,
Гтт \Р„-иг„\\Rq,
\
1тт 1+т(т+3)/2 \2п \ Ы
Очевидно, что в силу леммы 1 данная многокритериальная система оптимизации имеет единственное нормальное псевдорешение (8) относительно переменных 27, 7=1,.,п.
С л е д с т в и е 1 [9, с. 263]. Пусть
2;=Ц+Рг (7=1,... ,72), тогда любой вектор ZеRl+m(•m+Y))2 параметров регрессионной модели (5), описывающей поведение ФТП, и такой, что имеет место 2Ф27, удовлетворяет одному из следующих двух «оценочных» условий:
а) Ш-ЩД > \\P7-Uz7V,
или, в противном случае:
б) =^-и^,
и ц 1+т(т+3)/2 ^ ц *ц 1+т(т+3)/2
№ > \\27 \\д .
а
З а м е ч а н и е 2. Оценки а), б) следствия 1 зависят от «объема» апостериорной информации (количества экспериментов q), а именно, если д>1+т(т+3)/2, то, как правило, реализуется пункт а), если q<1+m(m+3)/2 - весьма вероятно, что имеет место позиция б).
В следующем разделе приступим к многомерному геометрическому исследованию «минимаксных» свойств аналитических решений нелинейной векторной регрессии (5); важной чертой полученных ниже аналитических результатов в решении оптимизационной задачи (3) является их явная алгебраическая зависимость от идентифицированных параметров многомерной нелинейной системы (5).
4. Оптимизация ФТП на базе тензорной интерполяции регрессионной модели. Параметрическая идентификация билинейно-тензорной модели класса (5), исследовавшаяся в предыдущем разделе, является необходимым требованием в выборе оптимального «управления» V. Однако вариантов подобного управления очевидно много и поэтому необходимо выбрать среди них тот, который оптимален с точки зрения некоторого формального критерия, характеризующего некоторое «физико-техническое качество» данного управления. В этом разделе рассмотрим критерий оптимальности (3) (с приоритетным выбором коэффициентов г7, 1<7<« согласно, например, [10]) и обсудим для него «алгоритмическую технику» получения оптимального управления V*.
У т в е р ж д е н и е 4. Пусть
Д:=(Д+ДТ),
где матрица Б7 идентифицирована согласно тензорной регрессии (5). Тогда при варьировании координат вектора veRm показатель функционального качества ФТП вида
/^У^^), (7=1,...,«) может, в силу идентифицированных уравнений (5), иметь внутренний экстремум только в точке vг*eRm:
vi*=-D?ATe,
(9)
{еь...,е«} - стандартный базис в Rn.
Если vTD V - отрицательно определенная квадратичная форма, то /(V) имеет в точке vi* максимум, если v ÍD iv - положительно определенная квадратичная форма, то /(V) претерпевает в Vi* минимум; в обоих случаях vi* - стационарная точка эллиптического типа.
Наконец, если vIDiv может принимать как положительные, так и отрицательные значения
(с vIDiVФ0 при vФ0), то экстремум отсутствует, а Vi* - точка гиперболического типа (седловая точка).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для показателя качества /-(V) на множестве значений линейно-квадратичной модели (5) необходимое условие локального экстремума определяет условие
001(^^+2^^)/^,..., Э(eгтAv+2■1vTDгv)/Эvn)=0eRn, определяет [5, с. 500] в Rm геометрические координаты (9) для стационарной точки V;* относительно функционала /(V), в то время как знакоопределенность второго дифференциала
С1 2/^*)=
V* У^-р
доставляет в точке входных переменных ФТП с параметрами (9) достаточные условия [5, с. 504] экстремума для стационарной точки V, *.
З а м е ч а н и е 3. Координаты стационарной точки (9) позволяют ответить на вопрос о значении функционала /-(V) когда данная точка является точкой относительно минимума или относительно максимума.
С л е д с т в и е 2. Если Di положительно определенная матрица (отрицательно определенная), то тт /■(V*) (соответственно тах /(V*))
с-е^М^Д, где с7 - 7-ая координата вектора сeRn системы уравнений (5).
Каждый функционал /(V), 7=1, ..., п при соответствующем истолковании может быть обобщен на случай целевого функционала (3), который рассмотрим ниже. Таким образом, утверждение 4 и формула (9) позволяют за конечную последовательность действий вычислять геометрические координаты стационарной точки задачи оптимизации (3); данные координаты V определяют в терминах идентифицированных коэффициентов системы (5) технологические параметры режима функционирования ФТП:
У т в е р ж д е н и е 5. Пусть
Di:=(Бi+Б1T), 7=1, ..., п.
Тогда стационарная точка V* &т задачи оптимизации (3) (для минимизации «взвешенно-осредненной» оценки качества ФТП) имеет вид
v*=-(r1D1+...+r«D«)-1ЛTx
х(г1е1+...+г«е«), (10)
при этом достаточным условием, что V* обеспечивает качество
шт{Ду): yеRm} является требование: стационарная точка у* имеет эллиптический тип
[«Ур>0, р=1,...,т, (11)
где [ё7]]РеМР:Р(К) - главные подматрицы [7, с. 30] матрицы
В:=(г1В1+...+г„В„), или, что эквивалентно условию: собственные числа Х7 матрицы В отвечают неравенствам
Яг>0, 7=1,.,т. (12)
З а м е ч а н и е 4. Если условия (11), (12) не выполняются, то критическая точка (10) является либо гиперболической (седловой), либо параболической точкой и, следовательно, требуется дополнительный геометрический анализ «параметров-координат» ФТП (10); говоря более формально наличие седловой точки гарантирует смена хотя бы в одном (но не во всех) отношении неравенства «>» из (11), (12) на «<», при этом аналогичная смена «>» на «>», возможно вызывает структуру параболической точки.
Изложенный выше простой тензорный подход моделирования методологически расширяет уже ставшей стандартной процедуру8 оптимального планирования эксперимента [1]. При этом, если расчетные (прогнозируемые) координаты стационарной точки (10) по каким-либо физико-техническим параметрам выходят за исследуемую область адекватности идентифицированной модели (5), то необходимо провести дополнительный натурный эксперимент, т.е. осуществить замер ФТП (с вектором у, максимально близким к точке (10)) параметров ФТП с внесением полученного результата в расширенную матрицу экспериментальных данных и. После чего необходимо сделать пересчет [3] всех вышеизложенных этапов процесса оптимизации технологических параметров (координат) ФТП; при необходимости подобный эксперимент, параметрическую идентификацию (5) и оптимизацию (3) необходимо повторить.
Заключение. Основной задачей работы являлось дать точное и удобное определение нели-
нейной векторной регрессии на языке ковариант-ной тензорной алгебры, то есть дать такой математический язык, на котором можно было бы перевести регрессионные математические утверждения, записи на котором были бы компактны и максимально удобны в обращении. При этом проведено построение стационарной нелинейной математической модели типа «вход-выход» для процесса конструктивного определения геометрических координат оптимального ФТП в распределенной среде индуцированных им технологических параметров и используемой для расчета эффективного режима функционирования ФТП. Предложенная выше билинейно-тензорная модель регрессии использует идентифицированные на базе экспериментальных данных квадратичные стационарные многомерные уравнения, что позволяет и эффективно описать функционирование моделируемого ФТП в широком диапазоне вариаций его варьируемых технологических параметров.
Изложенные идеи можно развить в нескольких направлениях теоретико-прикладных изысканий по совершенствованию предложенных алгоритмов расчета оптимальной [11-13] технологии построения ФТП, а также расширению рамок адекватности тензорных регрессионных уравнений функционирования ФТП за счет дополнительного исследования нелинейной структуры идентифицируемой модели :
- на разработку формальной аналитической процедуры выбора весовых коэффициентов г7, 1<7<п оптимизационного критерия (3), обеспечивающего качество ФТП, исходя из алгебраических условий (11), (12), обеспечивающих эллиптический характер стационарной точки (10) целевого функционала F(y);
- на алгебраическое расширение рассмотренной линейно-квадратичной формы уравнений нелинейной векторной регрессии (5) «тейлоровским разложением» согласно конструкции утверждения 2 для вектор-функции w более высокого порядка разложения;
- на методы нечеткого регрессионного анализа [14];
8 Эта процедура (по существу научный метод) описывается следующим образом: а) наблюдай происходящее и на основе этих наблюдений разработай математическую модель, которая в потенциале может дать истинное представление о исследуемой физической действительности, б) проверь модель дальнейшими наблюдениями и опытами, проследив, сбываются ли предсказания о исследуемом процессе, основанные на модели, если нет, - вернись к пункту а).
9 При таком методологическом подходе очень полезен качественный системный анализ, позволяющий вскрывать глубинные методологические корни недостатков в формализации используемой апостериорной математической модели и выявлять неадекватность патентованных и широко рекламируемых программных средств
[3].
- на статистическое описание и стохастиче- 8. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Ган-
скую оптимизацию технологических параметров
исследуемого ФТП [15,16].
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Адлер, Ю. П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий / Адлер Ю. П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В. - М. : Наука, 1976. - 255 с.
2. Бернштейн, А. В. Об одной методологии построения аппроксимаций многомерных зависимостей / Бернштейн А. В., Кулешов А. П., Бурнаев Е. В. // Параллельные вычисления и задачи управления. РАС0'2008 : пленар. и избран. докл. IV междунар. конф. / Ин-т пробл. упр. им. В. А. Трапезникова РАН. - М., 2008. -С. 56-62.
3. Андриевский, Б. Р. Элементы математического моделирования в программных средах МАТЬАБ и 8С1ЬАБ / Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. - СПб. : Наука, 2001. - 288 с.
4. ван дер Варден Б.Л. Алгебра. - М.: Наука, 1979. - 624 с.
5. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / Колмогоров А. Н., Фомин С. В. - М. : Наука, 1976. - 544 с.
6. Месарович, М. Общая теория систем: математические основы / Месарович М., Такахара Я. - М. : Мир, 1978. - 312 с.
7. Хорн, Р. Матричный анализ / Хорн Р., Джонсон Ч. - М. : Мир, 1989. - 656 с._
тмахер. - М. : Наука, 1988. - 552 с.
9. Ланкастер, П. Теория матриц / П. Ланкастер. -М. : Наука, 1982. - 268 с.
10. Теория выбора и принятия решений / Макаров И. М. [и др.]. - М. : Наука, 1982. - 328 с.
11. Rosenberg, A. E. On the scientific method and the foundation of system identification / Rosenberg A. E., Shen D. W. C. // Modelling, Identification and Robust Control / Byrnes C. I., Lindquist A. -North Holland, Amsterdam, 1986. - P. 563-580.
13. Ljung, L. Theory and Practice of Recursive Identification / Ljung L., Soderstrom T. - Cambridge ; Massachusetts : MIT Press, 1983. - 128 p.
13. Ljung, L. A non-probabilistic framework for signal spectra / L. Ljung // Proc. 24th Conf. Decis. Control, Ft Lauderdale, Florida, December, 1985. - Florida, 1985. - P. 1056-1060.
14. Домрачеев, В. Г. О построении регрессионной модели при нечетких исходных данных / Домрачеев В. Г., Полещук О. М. // Автоматика и телемеханика. - 2003. - № 11. - С. 74-83.
15. Rissanne, J. Stochastic complexity and statistical inference : Unpublished manuscript, I.B.M. Research K54/282 / Rissanne, J. - California : San Jose, 1985.
16. Чадеев, В. М. Цифровая идентификация нелинейных динамических систем / В. М. Чадеев // Автоматика и телемеханика. - 2004. - № 12. -С. 85-93.
Бурлакова Л. А.
УДК 512.643.8: 531.36
D - УСТОЙЧИВЫЕ МАТРИЦЫ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
Введение. Понятие Б-устойчивости матриц появилось достаточно давно впервые в работах по математической экономике [1], в дальнейшем нашло применение в математических методах экологии [2]. Матрица А называется Б - устойчивой, если она в произведении с любой положительной матрицей D = diag(й1;...,dn) имеет собственные значения только с отрицательными вещественными частями. Задача сводится к проверке положительности действительного полинома от « переменных всюду в положительном ортанте. Для матриц « х« общего вида известны лишь некото-
рые необходимые и некоторые достаточные условия ([3], [4], [5] и др.). В общем случае определение Б-устойчивости затруднительно проверить за конечное число шагов (по определению работы [6] - конструктивно) с помощью алгоритмов исключения переменных из полиномиальных задач, так как трудоемкость алгоритмов исключения переменных в полиномиальных задачах оптимизации не позволяет применить их к достаточно сложным полиномам с большим числом и высокими степенями переменных [7]. Поэтому важна задача построения аналитических проверяемых условий в
