CC BY
93
Во втором случае (без задания доминирующих полюсов) получено: х=-2,39, у=8,205, кР=0,066, и следовательно, кП=0,3155, kИ=4,82, кД=0,066.
На рис. 6 представлены графики переходных процессов замкнутых САР с синтезированными параметрами ПИД-регулятора двумя способами: первый - с заданием доминирующих полюсов 5и=-1+6/, второй - без их задания.
Проверка результатов синтеза путем построения переходного процесса показала, что в первом случае перерегулирование составило о=10,1 %, а время регулирования ^=1,23 с. Во втором получено о=10,2%, а /р=1,72 с. Абсолютная погрешность для заданного перерегулирования в первом случае составила 0,1 %, а для времени регулирования 0,77 с. Во втором случае - 0,2 % и 0,28 с.
Выводы
1. Получена аналитическая зависимость постоянного множителя передаточной функции ПИД-регулятора от расположения его нулей на корневой плоскости. Исследована проблема получения прямых показателей качества.
2. Определены соотношения, связывающие прямые показатели качества, перерегулирование и время регулирования, с доминирующими полюсами и нулями ПИД-регулятора.
3. Предложена методика синтеза параметров ПИД-регулятора на основании расположения как полюсов системы, так и ее нулей.
Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.
ГК 14.740.11.0542.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Киселев О.Н., Поляк Б.Т. Синтез регуляторов низкого порядка по критерию И и по критерию максимальной робастности // Автоматика и телемеханика. - 1999. - № 3. - С. 119-130.
2. Штейнберг Ш.Е., Серёжин Л.П., Залуцкий И.Е., Варламов И.Г. Проблемы создания и эксплуатации эффективных систем регулирования // Промышленные АСУ и контроллеры. - 2004. - № 7. - С. 1-7.
3. Удерман Э.Г Метод корневого годографа в теории автоматических систем. - М.: Наука, 1972. - 448 с.
4. Ефимов С.В., Гайворонский С.А., Замятин С.В., Суходо-ев М.С. Определение желаемой области расположения доминирующих полюсов замкнутой системы с учетом её нулей // Известия Томского политехнического университета. - 2008. -Т. 312. - №5. - С. 57-61.
5. Ефимов С.В., Гайворонский С.А., Замятин С.В. Задачи корневого анализа и синтеза и синтеза систем автоматического управления // Известия Томского политехнического университета. - 2010. - Т. 316. - № 5. - С. 16-20.
Поступила 16.09.2010 г.
УДК 681.5
СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
С.В. Ефимов, С.В. Замятин, С.А. Гайворонский
Томский политехнический университет E-mail: efimov@tpu.ru
Рассмотрены классические методы идентификации, исследованы ихдостоинства и недостатки. Получены соотношения, связывающие прямые показатели качества переходной характеристики идентифицируемого объекта с расположением его нулей и полюсов. На основе этих соотношений разработана методика идентификации линейного динамического объекта. Приводится числовой пример.
Ключевые слова:
Идентификация, переходная характеристика, перерегулирование, время регулирования, нули и полюса системы, корневой подход.
Key words:
Identification, transfer characteristic, overshoot, settling time, zeros and poles of system, root approach.
Анализ классических методов идентификации
В зависимости от принятого критерия классификации методы идентификации объектов автоматизации выделяются в отдельные группы -по объему исходной информации, по виду эксперимента, по типу исследуемого объекта, по исследуемому математическому аппарату и др.
Наиболее распространенными и часто встречающимися методами идентификации являются частотный и с помощью переходной функции [1].
Частотный метод идентификации, как правило, применяется в лабораторных условиях. Он подразумевает возможность искусственного воздействия на объект управления синусоидальным сигналом
различной частоты. Предполагается, что структура объекта известна, необходимо определить ее параметры, Ьш,Ьш-1,..Ьъап,ап-1,..а():
+... +1
W(s) -
b , s
m-1
(1)
На основе (1) получим комплексную амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) как сумму вещественной частотной характеристики (ВЧХ) и мнимой частотной характеристики (МЧХ):
Ьт (JVT + bm-i( jCOf-1 + ... +1
an (j®Y + an-1(щТ 1 + ... + a0
- р(щ) + jQ(®). (2)
Для получения экспериментальных значений ВЧХ Р(/щ) и МЧХ б(/щ) воздействуют на объект управления синусоидальным сигналом с частотой щ. Приравнивая теоретические ВЧХ и МЧХ (2) экспериментальным, получают пару уравнений:
Рхеор(Щ) = Рэкс(Щ1);
QTeop (Щ1 ) = Q3KC(^1).
Однако в (1), а, соответственно, и в (2) содержится m+n неизвестных параметров, поэтому для определения всех параметров передаточной функции (ПФ) системы необходимо провести к/2 экспериментов, где k=m+n+1; m, n - порядок числителя и знаменателя соответственно. Таким образом, решив систему из к уравнений, определяют все параметры ПФ.
Наряду с частотным методом широко распространен метод идентификации по переходной характеристике. На объект управления воздействуют единичным ступенчатым воздействием и получают реакцию объекта: переходную характеристику в виде непрерывной кривой или массива значений с определенным шагом дискретизации. Аппроксимируя переходную функцию аналитическим выражением и дифференцируя это выражение, можно получить импульсную переходную характеристику.
В инженерной практике распространение получили графоаналитические методы, позволяющие для заданной структуры объекта управления рассчитать ее параметры.
В зависимости от вида кривой переходной характеристики делают дополнительные построения для аппроксимации и применяют приближенные инженерные формулы для расчета. Так для идентификации объекта управления, описываемого дифференциальным уравнением Т(й/<И)у()+у(?)=кх (¿), необходимо определить параметры к, Т. Рассмотрим рис. 1, иллюстрирующий способы определения параметров системы.
Так как переходная характеристика - это реакция объекта управления на ступенчатое воздействие, то коэффициент передачи объекта к=Ауст/х, где АуСт - установившееся значение; х - ступенчатое воздействие на объект.
Рис. 1. Переходная характеристика объекта первого порядка
Постоянная времени Т может быть определена двумя способами. При определении Т первым способом строится касательная к кривой переходной характеристики в точке =0, из точки пересечения касательной и прямой А=А^Т проводится перпендикуляр к оси времени. При использовании второго способа считается, что Т соответствует времени
Рис 2. Переходные характеристики: объекта с запаздыванием (слева); колебательного объекта (справа)
достижения кривой переходной характеристики 63% от значения А^, рис. 1.
Аналогично идентифицируются системы с запаздыванием и колебательные системы, рис. 2.
Рассмотренные методы идентификации имеют свои достоинства и недостатки. Частотный метод хорош для идентификации объектов не высокого порядка, в противном случае это ведет к большому числу экспериментов, что не всегда допустимо в силу специфики объекта управления. Метод дает достаточно точные результаты в том случае, когда структура объекта идентификации априорно известна, но при этом требуется большое количество экспериментов и расчетов для идентификации.
В свою очередь, метод идентификации по переходной характеристике менее точно идентифицирует объекты в силу применения аппроксимации и приближенных инженерных формул. Основной недостаток этого метода заключается в том, что он не предусматривает наличия нулей в идентифицируемом объекте, т. е. ПФ такого объекта должна
быть вида w(з) =------кв—--------. Этот метод до-
аз + а -1^" +...+а статочно прост в расчетах, и его рекомендуется применять для систем не выше второго порядка.
Известно, что переходная характеристика к({) системы на единичное ступенчатое воздействие описывается формулой Хевисайда:
в(0) ^ в(з,)
Ш) = ——+> --------, (3)
^ Н (0) {=1 з,Н \зк)
где О (з), Н (з) - числитель и знаменатель объекта идентификации, ,% - к-й полюс объекта.
Однако (3) можно представить в другом виде:
) =
в(0)
Но(0)
П1
(4)
П|Ч| к=1 з, П & -з)
]=1 / =1,/ Фк
где зк и N - полюсы и нули объекта.
Зависимость (4) связывает расположение нулей и полюсов объекта с кривой переходной характеристики к({).
Таким образом, представляет интерес решение задачи размещения нулей и полюсов, соответствующих заданной кривой переходной характеристики к({).
Постановка задачи
Пусть на вход объекта управления подано единичное ступенчатое воздействие X. На выходе получена реакция объекта на это воздействие, рис. 3.
Необходимо идентифицировать кривую переходной характеристики по предполагаемому расположению нулей и полюсов системы на корневой плоскости.
Решение задачи идентификации
Известно, что на динамику системы оказывают влияние как все полюсы, так и нули системы [2].
Однако степень влияния того или иного полюса или нуля различна. От расположения всех нулей и полюсов системы относительно друг друга зависит и вид переходного процесса: монотонный, апериодический, колебательный.
Рис. 3. Реакция идентифицируемого объекта на единичное ступенчатое воздействие
Первым шагом идентификации является выбор структуры идентифицируемого объекта. Проектировщику необходимо задать количество полюсов и нулей. Порядок объекта можно задавать итеративным способом, усложняя ее до тех пор, пока не будет получен удовлетворительный результат. Учитывая вид кривой переходной характеристики, можно сократить объем расчетов. К примеру, у объекта с кривой переходной характеристики, рис. 3, в силу колебательного процесса имеется как минимум два комплексно-сопряженных полюса, поэтому можно исключить варианты с одним и двумя действительными полюсами, т. к. тогда будет наблюдаться монотонный переходный процесс. Далее, если полученные результаты идентификации с заданной структурой оказываются не удовлетворительными, то порядок объекта повышается, добавляются еще полюсы и/или нули.
Для заданного объекта составляется характеристический полином:
Н (з, з1, з2...з„) =(з - з1)( з - з 2)...( з - з„), (5)
где ^ - оператор Лапласа; з - полюсы объекта. Нули образуют полином О (з^кз-Щ^-Щ...^-^, где к - постоянный множитель ПФ; N - заданные нули.
Те полюсы полинома (5), которые оказывают определяющее воздействие на результирующую кривую переходного процесса, называются доминирующими. О выборе и определении доминирующих полюсов изложено в [2].
Пусть для кривой переходной характеристики, рис. 3, доминирующими полюсами являются Зц=£[+ю/. Тогда (5) примет вид:
Н зз...з„ ) =
=(з - (^ + Ю./Жз- (^1 -Ю^'))(з-зз)...(з- з,Л (6)
Далее по кривой переходной характеристики определяются основные прямые показатели каче-
ства: перерегулирование апх; время регулирования ¡рпх; время нарастания ¡нш.
Для перерегулирования справедлива зависимость:
(7)
X,,,
где выброс 4=Хшах- Хуст; Хуст - установившееся значение; Хлк - максимальное.
В свою очередь, для колебательной системы выброс ^ определяется согласно [3] выражением:
—
G (s)
— 11+&* -Тф
8 —
+¿3
(8)
где W(з) =-; з12=51+ю/ - доминирующие по-
H (з) ’
люсы; (рк и Ф,е[-я:;я:] - углы, образованные доминирующим полюсом з1, другим полюсом или соответственно нулем системы и положительным направлением оси абсцисс корневой плоскости;
—
G(si)
siH' (si)
Bk =
G( Sk)
SkH' (sk)
1
’ tm = — U+ТД
—i V 3 1
Подставив выражение (8) в (7), получим:
f n л
- + !% -
2 A1 —— —
exp
8
—
-ТФ;
+ Т B>
3
k
X,,
(9)
х arccos -
21 (si, sk )l (sk ,Im sk) Подставив (10) и (11) в (9) получим:
(11)
s3...sn, Ny.. Nm, k) =anx. (12)
Зависимость (12) связывает перерегулирование o'“, вычисленное по кривой переходной характеристики, с заданными проектировщиком полюсами sbs2...sn, нулями NbN2...Nm и постоянным множителем к ПФ идентифицируемого объекта.
Формула Хевисайда, представленная в виде (4), позволяет установить текущее значение выходного сигнала в определенный момент времени по значениям нулей и полюсов объекта идентификации.
Обозначим время достижения максимума Xmax переменной tm"x. Перерегулирование вычисляется по точке 2 (рис. 3) кривой переходной характеристики, на которой выходной сигнал достигает значения Xmax, тогда с учетом (4) получим:
h(CA,®„ S3...S„, N,...Nm, k) = X шах. (13)
С другой стороны, эта точка кривой переходной характеристики является точкой экстремума, поэтому
dh(CA,®P S3...Sn, N1... Nm, k)
dt
= 0.
(14)
Аналогично с (13) в момент времени ¡рпх формула Хевисайда примет вид
Ъ(1^,81,ю1,зэ...з„,к) = Хуст ±0,05Хуст. (15)
Для момента времени /=/нпх:
А(СА,®„ з3...зп, N1... Ит, к) = ХуСт. (16)
В свою очередь, очевидно, что для постоянного множителя ПФ идентифицируемого объекта справедливо:
Xусг =
k П N
(82 + —2)П
j=i
(17)
Согласно теореме косинусов, угол образованный доминирующим полюсом Sj= ö+rnj корневой плоскости, одним из нулей Nj и положительным направлением оси абсцисс определяется по формуле [4]:
Фj = sign(öj - Re(Nj)) х
l2 (s, Nj) +12 (Nj, Im Nj) -12 (sp Im Nj)
х arccos-------- -------- ------ -------------—, (10)
2l(sp Nj )l(Nj, Im Nj)
где l - это расстояние между точками на корневой плоскости. Например, l(a,b) - расстояние от точки а до точки b.
Аналогично для угла, образованного точкой s^ö+rnj, одним из не доминирующих полюсов системы sk и положительным направлением оси абсцисс корневой плоскости:
= sign(<5i - Re(sk))х
12(si> sk) +12 (А,Im sk) -12(si,Im sk)
Для идентифицируемого объекта могут быть заданы дополнительные уравнения, определяющие вид заданных нулей или полюсов (вещественные или комплексно-сопряженные). Допустим, проектировщик задает пару комплексно-сопряженных нулей, тогда
[Re Nk = Re Nk+i>
lIm Nk =- Im Nk+i>
(18)
а для действительного нуля или полюса справедливо
[1ш И] = 0,
[1т з/ = °. (19)
Согласно (4), при достижении выходным сигналом идентифицируемого объекта значений X в моменты времени ¡1 (например, точка 3 на рис. 3) имеет место зависимость
И(ь Д,®1, з3...зп, Щ...Ит) = X/. (20)
Рассмотрим на рис. 3 точку перегиба 4 кривой переходной характеристики. Известно, что вторая производная функции в точке перегиба кривой равна нулю, поэтому, если предположить, что в точке 4 ¡=ппх, то получим
3
i=i
а =
d2 h(t?,Sl,a>l, ^...S^ Ni-Nm ) dt2
= 0.
(21)
Объединим равенства (12)-(21) в систему уравнений:
f(5l,®l, Ni... Nm, k) =o“,
h^,^, s3...sn , N1... Nm , k) = Xmax,
s3...sn , N1...Nm , k)
dt
= 0,
h(t“A,ffli, S3...SB, N1... Nm, k) = XyCT + 0,05 Xyci,
h(t^,5l,ml, s3...sn, N1... Nm, k) = XyCT,
X =
уст
k П Ni
7=1
Re Nk = Re Nk 1ш Nk =- 1ш Nk+р Im N7 = 0,
Im Si = 0,
h(ti ,51,®1, S3 ...Sn , N1...) = Xi , d 2h(tГ,51,®1, S3...S„, N1... Nm )
(22)
dt2
= 0.
Система уравнений (22) связывает заданные проектировщиком нули, полюсы и постоянный множитель ПФ идентифицируемого объекта с прямыми показателями качества: перерегулированием, временем нарастания, временем регулирования, а также со значениями Х^х и Х^, определенными по кривой переходной характеристики, полученной при подаче на вход объекта сигнала ступенчатой формы.
Решение (22) позволяет определить нули полюсы з1д=51±ю1/, з3...зй и постоянный множитель ПФ объекта к относительно определенных прямых показателей качества по кривой переходной характеристики.
В силу сложности и нелинейности системы (22) решение производится численными способами.
Уравнения (18) и(19) системы (22) позволяют найти ее решения с заданным видом нулей и полюсов, что сократит объем расчетов.
В свою очередь, зависимости (20) и (21) не являются основными и добавляются в систему (22) проектировщиком при желании повысить точность идентификации при заданном порядке объекта. Количество заданных зависимостей вида (20) и (21) определяет проектировщик.
Оценка точности проведенной идентификации
Очень важно после проведения идентификации оценить погрешность полученных результатов. Повычисленным полюсам 3^5+ю/, з3...зй ину-лям N строится график переходной характеристики. Для оценки точности предлагается дискретизировать заданную и полученную по корням пе-
100 %.
реходные характеристики с интервалом времени №. Обозначим значения заданной переходной характеристики в моменты времени через Н™(1), а вычисленной - кщ($. Затем на каждом шаге вычисляется погрешность. За критерий оценки может быть принята абсолютная или относительная погрешность, среднеквадратичная ошибка и др.
Примем за критерий оценивания проведенной идентификации относительную погрешность. Тогда
= \tTjt,) - НРХ^. )|
/ ЛРХ(^)
В свою очередь, результаты проведенной идентификации считаются удовлетворительными, если выполняется условие
шах(5) < 5^
где тах (5) - максимальная относительная погрешность в момент времени ¡, 5ЭД - заданная относительная погрешность идентификации.
Пример
Пусть задана кривая переходной характеристики идентифицируемого объекта, рис. 4. Необходимо получить его ПФ.
10 12 14 16 18 20
Рис. 4. Кривая переходной характеристики идентифицируемого объекта
10 12 14 16 18
Рис. 5. Результаты идентификации: 1) заданная; 2) объекта вто-рого порядка; 3) объекта пятого порядка характеристики
=1
Вид переходного процесса колебательный, поэтому изначально была задана структура объекта
W(з) =--------------к--------------. Для заданной
^ (з - (51 Ю))(з - (51 -ю] *
структуры объекта была получена система уравнений (22), в состав которой вошли зависимости, связывающие перерегулирование, время нарастания и регулирования с заданными полюсами и постоянной к, производная в точке максимума и уравнения, задающие вид полюсов. Идентификация с такой структурой не дала удовлетворительных результатов, рис. 5, поэтому порядок объекта повышался. Удовлетворительные результаты были получены при ПФ объекта пятого порядка с нулями N^=-9,412+0,944/, N3=-9,81, полюсами з12=—0,281+2,414/, з3,4=—2,167+0,337/, з5=-17,194,
и постоянным множителем к=3,34. Максимальная относительная погрешность составила 4,88 %.
Выводы
1. Проведен анализ классических методов идентификации: частотного и с помощью переходной функции.
2. Получены соотношения, связывающие показатели качества переходного процесса с значениями нулей, полюсов и постоянного множителя передаточной функции идентифицируемого объекта.
3. Предложена методика идентификации объектов на основе характеристик переходного процесса.
Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. ГК 16.740.11.0268.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Коновалов В.И. Идентификация и диагностика систем. -Томск: Изд-во ТПУ, 2010. - 156 с.
2. Ефимов С.В., Гайворонский С.А., Замятин С.В. Задачи корневого анализа и синтеза и синтеза систем автоматического управления // Известия Томского политехнического университета. - 2010. - Т. 316. - № 5. - С. 16-20.
3. Удерман Э.Г Метод корневого годографа в теории автоматических систем. - М.: Наука, 1972. - 448 с.
4. Ефимов С.В., Гайворонский С.А., Замятин С.В., Суходо-ев М.С. Определение желаемой области расположения доминирующих полюсов замкнутой системы с учетом её нулей // Известия Томского политехнического университета. - 2008. -Т. 312. - № 5. - С. 57-61.
Поступила 04.10.2010 г.
УДК 004.021:658.58
ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ И РЕМОНТ ПО СОСТОЯНИЮ ОБОРУДОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КАРТ ШУХАРТА
Е.И. Громаков, Т.В. Александрова, А.В. Рудаченко, А.М. Малышенко
Томский политехнический университет E-mail: gromakov@tpu.ru
Показана возможность использования методологии статистического управления процессами для выявления деградации состояния технологического оборудования на ранней стадии развития аварийной ситуации. Предложено использовать карты Шухар-та для контроля его состояния. Сделан вывод, что с их помощью можно отслеживать динамику состояния технологического оборудования как роторного (с вращающимися силовыми блоками), так и нероторного типов в реальном масштабе времени.
Ключевые слова:
Техническое обслуживание и ремонт, процесс статистического контроля, контрольная карта.
Key words:
Maintenance works and repair, statistical process control, control charts.
Введение
При эксплуатации технологического оборудования различают три основные стратегии управления его технического обслуживания и ремонта (ТОиР):
• техническое обслуживание по событию (ТОС);
• планово-предупредительный ремонт (ППР);
• обслуживание по фактическому состоянию (ОФС).
Каждая из перечисленных стратегий имеют свои достоинства и недостатки.
Существует устойчивое стремление предприятий объединять достоинства всех основных стратегий технического обслуживания и ремонта путем использования совмещенного технического обслуживания (СТО-подхода), направленного как на снижение общего объема технического обслуживания, так и на максимизацию срока службы оборудования.
