Задачи корневого анализа и синтеза систем автоматического управления Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.5

ЗАДАЧИ КОРНЕВОГО АНАЛИЗА И СИНТЕЗА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

С.В. Ефимов, С.В. Замятин, С.А. Гайворонский

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Исследуется проблема получения прямых показателей качества системы на основе ее корневых оценок Рассматривается критерий s-доминирования составляющих переходной функции системы автоматического управления. Приводятся примеры, иллюстрирующие необходимость рассмотрения расположения всех нулей и полюсов системы для точной оценки её динамических свойств.

Ключевые слова:

Система автоматического управления, перерегулирование, время регулирования, нули и полюса системы, доминирование, корневой подход.

Key words:

Automatic control system, overshoot, settling time, zeros and poles of system, dominance, root approach.

Существует несколько основных подходов к анализу и синтезу систем автоматического управления [1-3]. Все они имеют свои достоинства и недостатки. Однако следует выделить подход, основанный на исследовании расположения нулей и полюсов системы. Преимуществом данного подхода является возможность оценки динамических свойств системы на этапе ее синтеза. Наряду с его преимуществами он имеет серьезный недостаток: проблема заключается в том, что он не позволяет получить точную информацию о прямых показателях качества систем на основе их косвенных показателей.

Существуют соотношения, предложенные в работе [4], позволяющие получать приближенные прямые показатели качества на основе корневых оценок:

ст = ^1ва-100%, (1)

t

Re(si)

(2)

Согласно формулам (1) и (2) прямые показатели качества будут определять корень 51, ближайший к мнимой оси, и комплексный корень с наибольшим значением tgа, где а - угол между вещественной осью и лучом, проведенным от начала координат к полюсу. Однако если система содержит нули, то при применении формул (1), (2) погрешность значительно увеличивается.

Для пояснения данного замечания рассмотрим передаточную функцию (ПФ).

Ж (5 ) =

1,27-106 s +1,88-107

s4 + 45s + 6,32-104 s2 + 2,19-106 s +1,88-10'

(3)

ПФ (3) имеет один нуль Ж1=-14,8 и три полюса ^=-20, 52=-15, ^=-5+250/.

Согласно [4] доминирующими являются полюса ^=-5+250/ Тогда на основании формул (1) и (2) можно найти перерегулирование и время регулирования

ст=е 250 -100% = 98,02%,

tp = — = 0,6 с. р 5

На рис. 1 представлен график переходной характеристики для ПФ (3) и влияние каждого из полюсов системы на результирующий график переходной характеристики.

Рис. 1. Графики составляющих переходной характеристики: составляющая от 1) полюса 2) полюса Sl; 3) полюсов s3|4; 4) №(0); 5) результирующий график переходного процесса системы (3)

Из представленных на рис. 1 графиков следует, что доминирующим полюсом является ^=-20, перерегулирование - 1,73 %, а время регулирования - 0,18 с.

Таким образом, выбор доминирующих полюсов s}4 системы на начальном этапе анализа сделан не верно, что привело к ошибочным оценкам прямых показателей качества.

Очевидно, что для более точного определения значений показателей необходимо решать задачу определения доминирующих полюсов системы. Для этого можно производить оценку влияния всех составляющих переходной характеристики на ее показатели качества. Переходную функцию всей системы можно представить в виде:

5

n П1 s| n П (S - N)

h(t) = 1 +1 Aies‘‘ = 1 + -m----------I~~--------e f. (4)

k= П| Nt= s* П (Sk - s)

i=1 i=1

1Фк

Составляющая Aпереходной функции в формуле (4), называется е-доминирующей составляющей на интервале времени tj<t<t2, если выполняет-

ся неравенство

I AkeV

к=1, к Ф1

Ue‘

< е [5].

я,

Хф1

(si-si)t

12Щ'

V и I

(SV-Sf )t

<е,

I

|Ая| e( Sx-sm )t

21 Am

К I JSv-S .m ) t

I lAj e

<е,

(5)

(6)

Влияние нулей системы на качество переходного процесса

Рассмотрим ПФ

„г, ^ 2,201952 +1,76155 +1,145

Ж (5) =----------------------------

53 + 0,9 52 + 2,49 5 +1,145 1,145

s3 + 0,9 • s2 + 2,49 • s +1,145

(7)

(8)

В работе [5] получены достаточные условия е-доминирования составляющей переходной функции:

где ^ - действительные полюсы; $у^1=8уу+1+а)у+/ -комплексно-сопряженные полюсы; А - амплитуда составляющей переходной функции, время принимает значения из интервала /1</</2.

Выполнение условий (5) или (6) для претендующей на е-доминирование составляющей переходной функции является критерием точности существующих оценок показателей качества процесса регулирования, найденных на основании расположения полюсов и нулей передаточной функции.

При выполнении условия (5), время затухания апериодической составляющей до заданного зна-

. 1п(| д.| / л)

чения Л составляет г- =—^--------.

Ы

При выполнении условия (6), время убывания амплитуды колебательной составляющей до задан-

Л г 1п(2| Ат\ / Л)

ного значения Л составляет гт =------:—:---.

\8т\

С учетом формул (4)-(6), значения е для полюсов ПФ (3) составили: для —е=0,87, для

—е=22,15, для ^34—е=1,66. Согласно [5], при е>1 составляющая не может считаться доминирующей на заданном интервале времени. Таким образом, согласно значениям е установлено, что ^=-20 -доминирующий полюс.

Влияние полюса 52=—15 на результирующий график переходного процесса системы с ПФ (3) оказалось незначительным, так как полюс скомпенсирован близко расположенным нулем, что показывает необходимость также учитывать и расположение нулей ПФ.

Системы с ПФ (7) и (8) имеют одинаковые полюса 5и=-0,2±1,5/, ^3=-0,5, однако система с ПФ (7) имеет нули Жи=-0,4±0,6/, а система с ПФ (8) нулей не имеет. На основании выражений (1) и (2) для них определено перерегулирование о=е-0'2/1'5.100 %=87,52 % и время регулирования ?р=3/0,2= 15 с. Наличие нулей в этом случае не учитывается.

Однако для системы с передаточной функцией (7) реальное перерегулирование составило о=58,6 %, а время регулирования /р=16 с. В свою очередь для ПФ (8) - о=5,09 %, /р=9,69 с.

Очевидно, что для получения более точных показателей качества, необходимо учитывать все полюсы и нули системы.

Существует формула определения выброса колебательной системы [4]:

ю

(п + 1% -!Фj)

(9)

где sl=8l+юj - доминирующий полюс, рк - угол, образованный доминирующим полюсом и другим полюсом, Ф/ - угол, образованный доминирующим полюсом и нулем,

ю

= #

’ Ю1 , А1 =

G (st)

tm =•

ю

п -

S1H,(s1)

n m

In-!Ф

W (s) =

G (s) H (s)!

По значению выброса £ можно найти перерегулирование системы:

а =-

АуС1

•100%,

(10)

где Ауст - установившееся значение.

Согласно формулам (9) и (10) перерегулирование для системы с передаточной функцией (7) составило 58 %, а для системы с ПФ (8) - 4 %. Полученные значения наиболее приближены к реальным значениям показателей качества для данных ПФ.

Проблемы корневого синтеза

Рассмотрим систему автоматического управления со структурой, представленной на рис. 2.

3

X

£, Регулятор Объект

* управления

Рис. 2. Структура системы автоматического управления

Идеальный ПИД-регулятор описывается передаточной функцией

Ж I \ 1 Г1 , ки , к ^ кп(кд5 + 5 + ки)

Жр (л) = кп I 1 + — + кд5 I =------------------=

= кп кд(5 ~ ^1)(5 ~ М2 ) = ^ (5 - ^)( 5 - N2)

где кП, кИ, кД - коэффициенты пропорциональности, интегрирования и дифференциирования.

Регулятор имеет два нуля и полюс, располагающийся в начале координат корневой плоскости. Расположение нулей регулятора N и N определяет траекторию движения полюсов замкнутой системы, а коэффициент К - расположение полюсов замкнутой системы на этой траектории (рис. 3). При изменении К от 0 до +да полюса замкнутой системы двигаются от полюсов разомкнутой системы к ее нулям.

обеспечивают данное расположение полюсов. В таком случае могут быть не обеспечены требуемые показатели качества, не смотря на то, что полюса замкнутой системы располагаются в желаемых областях, либо произойдет компенсация доминирующих полюсов нулями.

Рассмотрим объект управления с передаточной функцией

4(5 + 5)

Ж (5) =

5 + 25 + 26

(11)

Замкнутая система (без регулятора) имеет передаточную функцию

ч 45 + 20 Ж (5) = —----------.

5 + 65 + 46

Перерегулирование данной системы составляет о=50,39 %, а время регулирования ?р= 1,02 с.

Для повышения качества управления объектом используется ПИД-регулятор (рис. 2). Для его настройки необходимо сформировать требования к системе, которые должен обеспечивать регулятор. Пусть в качестве требований к системе выступают показатели качества: время регулирования - 2,5 с и перерегулирование - 5 %.

На рис. 4 представлена корневая плоскость, на которой показано размещение полюсов замкнутой 5;, я2, 53 и разомкнутой я/, 52', 53'систем, нулей регулятора N и объекта И3.

1т

Рис. 3. Различные корневые годографы системы

Задача синтеза регулятора заключается в получении его настроек, обеспечивающих требуемые показатели качества замкнутой системы за счет расположения нулей регулятора и полюсов замкнутой системы на корневой плоскости. При использовании корневых методов синтеза, как правило, осуществляется работа с характеристическим полиномом системы, и результатом является желаемое расположение полюсов замкнутой системы. При этом не учитывают нули регулятора, которые

", п— я. 10

8

У,) / 6

4

7У3 5з V 2

‘о 1 2 3 4

5’2) Ч

-ж )

и— 52

Яе

Рис. 4. Размещение нулей и полюсов системы

Нули и полюсы системы (рис. 4) обеспечивают перерегулирование 5 % и время регулирования 2,22 с. Вариантов настроек регулятора, обеспечивающих требуемые показатели качества, достаточно много, но необходимо учитывать расположение как полюсов, так и нулей системы.

Взаимовлияние полюсов и нулей системы

Очевидно, что для уменьшения перерегулирования замкнутой системы ее полюсы необходимо разместить ближе к действительной оси. Однако при этом нули системы будут расположены еще ближе к мнимой оси, чем ее полюсы (рис. 5). Это не желательно, так как такая система будет обладать выраженными дифференцирующими свойствами.

А1т

10

8

/ t5'i b

", 4

N Н° у t 3

> V 1 2 3 4

С n2

N ts\

Рис. 5. Расположение нулей и полюсов системы с дифференцирующими свойствами

Второй недостаток - близкое расположение доминирующих полюсов и нулей регулятора, за счет чего возможна компенсация одних другими. В таком случае заданные полюса не будут являться доминирующими.

Также компенсация доминирующих полюсов нулями возможна при попытке отодвинуть оставшиеся полюса как можно левее от доминирующих. При этом увеличивается коэффициент передачи разомкнутой системы, а значит, полюса замкнутой системы приближаются к её нулям.

Перерегулирование

Перерегулирование системы определяется не только расположением доминирующих полюсов, но и оставшимися полюсами и нулями системы. При изменении значений и коэффициента передачи можно добиться требуемого перерегулирования системы. На рис. 6 представлены различные варианты расположения полюсов и нулей системы, обеспечивающие перерегулирование 5 %.

В первом случае Жи=-1±7/, К=20,8, во втором - Ж12=-1+10/, К= 10,52, в третьем -Ж1д=-4+8/, К=44,6.

Все три представленных варианта настроек регулятора обеспечивают перерегулирование 5 %. Однако в первом варианте расстояние между нулями регулятора и полюсами замкнутой системы меньше, чем в двух других предложенных вариантах, соответственно, вероятна компенсация полюсов нулями. Наибольшим запасом устойчивости, а значит, и быстродействием обладает система, показанная на рис. 6, в.

Время регулирования

Оценка времени регулирования осуществляется по расстоянию между мнимой осью и ближайшим к ней полюсом. Однако такая оценка также является приближенной.

j ^ Im ^ Im j t Im

10 Re \ 10 Re ", 10

s 8 J 8 8

s\3 6 6 У.) 6

4 4 4

2 N3 2 ^3 2

0 1 * ' ■ 1 " ' -

S'*) s s’2J

N?< J )

J

Re

-►

Рис. 6. Варианты расположения нулей и полюсов системы, обеспечивающих <г=5 %

С

JV,

Aim

Re

-►

Рис. 7. Варианты расположения нулей и полюсов системы, обеспечивающих ¡=1 с

Рассмотрим пример. Пусть ПФ объекта имеет

вид

W (s) =

40(s + 5)

sJ + 10s2 + 42 s + 208

3 + ln2 A

tP _----------1

P Re(s1)

для колебательной системы и

(12)

_ 3 + lnA1 Re(s1)

(13)

Используя ПИД-регулятор, необходимо обеспечить время регулирования системы 1 с. Структура системы представлена на рис. 2.

На рис. 7 представлены два варианта настроек ПИД-регулятора, обеспечивающих время регулирования 1 с.

В первом случае значения нулей регулятора и коэффициента передачи разомкнутой системы составляют Ж12=-6,5±2/, К=4,92, во втором -Ж1,2=-10±6/, К=31,8. Из расположения полюсов замкнутой системы следует, что формула (2) не дает точной оценки времени регулирования ни в первом, ни во втором случае.

Для повышения точности оценки времени регулирования при анализе и синтезе систем автоматического управления в работе [5] предлагается использовать выражение

для апериодической системы.

В состав формул (12) и (13) входит амплитуда от доминирующего полюса, либо от пары комплексно-сопряженных полюсов. В свою очередь при расчете значения А1 учитываются значения и нулей и полюсов замкнутой системы, что и позволяет получить значение времени регулирования, наиболее приближенное к реальному.

Выводы

1. Исследована проблема получения прямых показателей качества на основе расположения нулей и полюсов системы.

2. Показана необходимость определения доминирующих полюсов системы на основании критерия е-доминирования составляющих её переходной функции.

3. Совмещение критерия е-доминирования с выражениями для определения показателей качества, перерегулирования и времени регулирования, учет расположения нулей и полюсов передаточной функции системы позволил получить точные показатели качества на основе корневых оценок.

t

р

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1996. - 992 с.

2. Kostov K., Karlova V., Todorov A. Robust root locus application in design and analysis of typical industrial control system model // Cy-benetics and information technologies. - 2008. - V. 8. - № 1. -P. 25-33.

3. Гудвин Г.К., Гребе С.Ф., Сальгадо М.Э. Проектирование систем управления. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004. -911 с.

4. Удерман Э.Г Метод корневого годографа в теории автоматических систем. - М.: Наука, 1972. - 448 с.

5. Критерии е-доминирования составляющих переходных функций линейных систем автоматического управления / Филиппов Д.Н.; Гос. комитет СССР по народному образованию, Моск. авиац. ин-т. - М., 1989. - 7 с. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 22.05.1989, № 4524.

Поступила 31.03.2010 г.