CC BY
101
щих и недоминирующих полюсов замкнутой системы. В основу алгоритма положен метод построения границ D-разбиения с учетом ограничений на расположение доминирующих полюсов системы в заданных точках комплексной плоскости.
Достоинством метода является возможность организации диалоговых процедур проектирова-
ния дискретных систем автоматического управления. Этапы построения подмножеств в плоскости параметров регулятора и последующая их оптимизация могут быть реализованы в системе программирования MathCAD, имеющей в своем составе средства решения систем линейных алгебраических уравнений и процедур оптимизации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ackermann J., Kaesbauer D. Stable polyhedra in parameter space // Automatica. - 2003. - V. 39. - № 5. - P. 937-943.
2. Tan N., Atherton D.P. Design of stabilizing PI and PID controllers // International Journal of Systems Science. - 2006. - V. 37. - № 8.
- P. 543-554.
3. Keel L.H., Rego J.I., Bhattacharyya S.P. A new approach to digital PID controller design // IEEE Trans. on Automatic Control. -2003. - V. 48. - № 4. - P. 687-692.
4. Kiani F., Bozorg M. Design of digital PID controllers using the parameter space approach // International Journal of Control. - 2006.
- V. 79. - № 6. - P. 624-629.
5. Xu H., Datta A., Bhattacharyya S.P. Computation of all stabilizing PID gains for digital control systems // IEEE Trans. on Automatic Control. - 2001. - V. 46. - № 4. - P. 647-652.
6. Николаев Ю.П. Построение и стратификация областей устойчивости линейных динамических систем с ПИД-регуляторами // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 7. - С. 180-190.
7. Mitra S., Keel L.H., Bhattacharyya S.P. Data based design of digital PID controller // Proc. of the 2007 American Control Conf., July 11-13, 2007. - N.Y., USA, 2007. - P. 226-230.
8. Вадутов О.С., Гайворонский С.А. Решение задачи размещения полюсов системы методом D-разбиения // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2004. - № 5. - С. 24-28.
9. Вадутов О.С. Синтез регуляторов пониженного порядка по заданному расположению полюсов замкнутой системы // Известия Томского политехнического университета. - 2007. -Т. 311. - № 7. - С. 14-19.
10. Барковский В.В., Захаров В.Н., Шаталов А.С. Методы синтеза систем управления. - М.: Машиностроение, 1981. - 277 с.
11. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления: Пер. с англ. - М.: Машиностроение, 1986. - 448 с.
12. Земсков А.В. Оптимизация переходной функции дискретной системы по прямым показателям качества огибающей // Известия вузов. Приборостроение. - 2000. - Т. 43. - № 3. - С. 16-21.
13. Солдатов В.В., Жиров М.В., Шаховской А.В. Многопараметрические цифровые регуляторы и методы их настройки // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. -2002. - № 6. - С. 19-24.
14. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. - М.: Наука, 1986. - 328 с.
Поступила 12.05.2008 г.
Ключевые слова:
Дискретные системы, ПИД-регулятор, назначение полюсов, Б-разбиение.
УДК 681.511.4
АДАПТИВНОЕ ДВУХКАНАЛЬНОЕ КОРРЕКТИРУЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО ДЛЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
М.В. Скороспешкин
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Предложено адаптивное псевдолинейное двухканальное корректирующее устройство динамических свойств систем автоматического регулирования. Проведено исследование свойств систем автоматического регулирования с адаптивным псевдолиней-ным двухканальным корректирующим устройством. Показана эффективность предложенного корректора в системах автоматического регулирования с нестационарными параметрами.
Одной из разновидностей адаптивных систем регулирования являются системы со стабилизацией частотных характеристик. Наиболее простой в реализации является система автоматического регулирования со стабилизацией значений амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) на определенных частотах.
При создании таких систем возникают две проблемы, одна из которых связана с трудностью измерения фазы, особенно в присутствии помех, а вто-
рая с тем, что изменение параметров линейных управляющих устройств, приводит к одновременному изменению как АЧХ, так и фазочастотной характеристики (ФЧХ). Поэтому обеспечить в линейных системах одновременно требуемые значения данных характеристик не представляется возможным.
Самым распространенным методом целенаправленного изменения частотных характеристик регулирующего устройства является метод на основе из-
менения параметров пропорционально-интегральнодифференциальных регуляторов (ПИД-регуляторов).
Эти подходы описаны, например, в [1, 2], однако их реализация связана либо с идентификацией, либо с использованием специальных методов, основанных на вычислениях по кривой переходного процесса. Оба подхода требуют значительного времени на подстройку.
Менее распространенным, но эффективным является метод на основе применения в системах автоматического регулирования (САР) специальных адаптивных корректирующих устройств, которые определенным образом меняя свои параметры, корректируют динамические свойства САР, тем самым, компенсируя нестационарность объекта управления.
В настоящей работе приводятся результаты исследования свойств САР с ПИД-регулятором и последовательным адаптивным псевдолинейным двухканальным корректирующим устройством динамических характеристик. Способ адаптации характеризуется тем, что в процессе работы системы регулирования параметры регулятора не меняются и соответствуют настройке, предшествующей запуску системы. В процессе работы системы регулирования, в зависимости от изменения параметров объекта управления, меняется коэффициент передачи корректора или создаваемый им фазовый сдвиг. Эти изменения происходят только в тех случаях, когда качество регулирования САР становится неудовлетворительным вследствие изменения свойств объекта управления или из-за воздействия на объект управления возмущений. Это позволяет обеспечить устойчивость системы и повысить качество переходных процессов.
Выбор псевдолинейного двухканального корректирующего устройства для реализации адаптивной системы объясняется следующим. Корректоры, используемые для изменения динамических свойств САР, можно разделить на линейные, нелинейные и псевдолинейные [3-5]. Основным недостатком линейных корректоров является то, что изменение его параметров влияет как на АЧХ, так и на ФЧХ. В этом случае, добиваясь необходимой фазовой частотной характеристики, можно получить АЧХ, возрастающую в области средних и высоких частот, что приводит к уменьшению запаса устойчивости САР. И наоборот, имея необходимую АЧХ, можно получить ФЧХ разомкнутой системы, принимающую отрицательное значение, близкое к -п рад, что также существенно снижает запас устойчивости.
Как показали исследования [6], процедура адаптации линейных корректоров даже при использовании современного математического аппарата, например нечеткой логики, возможна лишь при ограниченных по диапазону и характеру изменениях параметров объекта управления. Применение нелинейных корректоров связано с проблемой учета зависимости частотных характеристик от амплитуды гармонических колебаний входного сигнала.
Применение адаптивного псевдолинейного корректора динамических характеристик позволяет получать требуемые амплитудные и фазовые частотные характеристики. Обычно эти устройства имеют два канала, амплитудный и фазовый, настраиваемые независимо друг от друга [5]. При этом частотные характеристики псевдолинейных корректирующих устройств не зависят от амплитуды гармонических колебаний входного сигнала [7].
Проведенные исследования показали, что псев-долинейные корректоры являются наиболее эффективными для реализации адаптивных систем. Их применение позволяет обеспечить требуемое качество систем автоматического регулирования в широком диапазоне изменения параметров объекта управления и характера возмущающих воздействий. Псевдолинейное корректирующее устройство можно рассматривать как дополнительное средство, участвующее в формировании управляющего воздействия и повышающее качество управления.
Структура псевдолинейного двухканального корректора, предлагаемого в настоящей работе, изображена на рис. 1. Данный корректор включается последовательно с регулятором.
Рис. 1. Структурная схема псевдолинейного двухканального корректора
На рисунке использованы следующие обозначения: E и E1 - входной и выходной сигналы корректора; Wa(s) - передаточная функция амплитудного канала корректора; W$(s) - передаточная функция фазового канала корректора; sign - блок определения знака.
Как видно из рис. 1, корректирующее устройство состоит из двух каналов: амплитудного (верхнего) и фазового (нижнего). Амплитудный канал содержит апериодическое звено и звено выделения модуля.
Передаточная функция амплитудного канала определяется по формуле:
к
W (5) =-------,
а Ts +1
где K - статический коэффициент передачи апериодического звена амплитудного канала корректора; T - постоянная времени; s - символ дифференцирования.
Апериодическое звено работает как низкочастотный фильтр, не пропуская высокочастотные помехи.
Фазовый канал содержит интегро-дифферен-цирующее звено с передаточной функцией:
W, (s) = ^±1,
ф TYs +1
где Ti и T2 - постоянные времени звена.
Адаптация корректирующего устройства осуществляется путем изменения статического коэффициента передачи K апериодического звена амплитудного канала корректора и изменением постоянных времени T и T2.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) корректора, полученная в результате гармонической линеаризации, имеет вид:
W (ja) = a + jb,
где a и b - коэффициенты гармонической линеаризации, определяемые по формулам:
(п — 2 -а- 2 ■в) ■ cos в +
a =—, ■ + sine + cosa- sin(a+e) +
+ sin a ■ cos(a +в)
(—п + 2 ■ а + 2 -в) ■ sin в +
b = —, ■ + cos в + sin в ■ sin 2a —
—cosв■cos 2a
К
ГдД + a2 ■ T2 ■у2
:^¡1 + a2 ■ T2 ■у2
где у= T/ T2; а - угловая частота гармонических колебаний; в - фазовое запаздывание, вносимое апериодическим звеном амплитудного канала корректора: в=-агС^аТ; а-фазовое опережение, вносимое интегро-дифференцирующим звеном фазового канала корректора, определяемое как:
Т-а-(1 -и)
а = arctg
1 2 '7"'2 * 1 +а ■ 1 ■и
где и=Тг/Тх.
Изменением параметра настройки амплитудного канала корректора K в пределах от 1,70 до 0,15, при фиксированном значении T=1,0 с, можно задать на частоте а=0,4 рад/с требуемое значение АЧХ в пределах от 0 до -21 дБ соответственно, а изменением параметра настройки Т2 фазового канала корректора в пределах от 1,2 до 100 с, при фиксированном значении 71=0,1 с, можно задать требуемое значение фазового сдвига, вносимого корректирующим устройством, от 0 до 83° соответственно.
На рис. 2 приведена структурная схема САР с адаптивным псевдолинейным двухканальным корректирующим устройством.
На рис. 2 использованы обозначения: G - задающее воздействие системы регулирования; и - управляющее воздействие; У - выход объекта регулирования; Жоу(д), №^(5), ^щку(я) - передаточные функции объекта регулирования, регулятора и псевдолиней-ного двухканального корректирующего устройства; Ф - полосовой фильтр; БНПДКУ - блок настройки псевдолинейного двухканального корректирующего устройства; БОЧХ - блок определения частотных характеристик; Азта - поисковый сигнал.
Рис. 2. Структурная схема САР с адаптивным псевдолиней-ным двухканальным корректирующим устройством
В качестве полосового фильтра взят фильтр Чебышева второго порядка. Данный фильтр настроен на пропускание поискового сигнала частотой ®0=0,4 рад/с.
Принцип работы адаптивной системы заключается в следующем: в процессе работы системы с течением времени происходит изменение параметров объекта управления. Другими словами, происходит изменение коэффициента передачи и фазового сдвига объекта управления. Адаптивное псевдолинейное двухканальное корректирующее устройство в процессе работы определяет изменение коэффициента передачи и фазового сдвига объекта управления на определенной частоте (частоте поискового сигнала) относительно эталонного коэффициента передачи и фазового сдвига; вносит в систему фазовый сдвиг и меняет коэффициент передачи таким образом, чтобы компенсировать изменение параметров объекта управления.
Особенностью данной адаптивной системы является то, что значение фазового сдвига разомкнутой системы определяется по значению амплитуд разомкнутой и замкнутой систем после подачи в систему синусоидального поискового сигнала.
Определение фазового сдвига разомкнутой системы осуществляется по формуле:
сов ф„ (а0) =
A (a)—Аз H)—A2 (a) ■ а2р (a) 2 ■ AW ■ A H) :
(*)
где Ap(o0), Аз(ю0) - коэффициенты передачи по амплитуде разомкнутой и замкнутой систем.
Формула (*) получена на основе связи между АЧХ замкнутой и разомкнутой систем, определяемой по формуле:
/фрО)
I W I / ■ Л1 н ■
/•■РзО) = |>(
|W3( j ■®)| ■j
|Wp( j ■a)! ■
1 + |Wp( j h)| ■
j-<Pp(a)
где |Щ/ а)|, | №( а)| - АЧХ замкнутой и разомкнутой систем, <рз(а), (рр(а) - ФЧХ замкнутой и разомкнутой систем.
После запуска системы в работу и удовлетворительном качестве работы происходит подача в систему первого поискового сигнала, затем на осно-
вании значения амплитуды А поискового сигнала и амплитуд ошибки и регулируемой величины в блоке БОЧХ осуществляется определение эталонных значений АЧХ разомкнутой и замкнутой систем на частоте ю0, а также происходит определение эталонного значения по формуле (*). После подачи в систему второго и последующих поисковых сигналов в блоке БОЧХ осуществляется определение отклонения значений АЧХ разомкнутой и замкнутой систем на частоте а>0 от эталонных значений. После этого в блоке БНПДКУ происходит определение коэффициента К настройки амплитудного канала корректора и постоянной времени Т2 фазового канала корректора, обеспечивающих стабилизацию частотных характеристик.
Так как системы автоматического регулирования обычно строятся на базе микропроцессорных контроллеров, то процедуру определения коэффициента К и постоянной времени Т2 удобно выполнить на основе применения кусочно-линейных функции АЧХ и ФЧХ корректора.
Базовые точки кусочно-линейных функций для ФЧХ и АЧХ на частоте о0=0,4 рад/с, используемой для исследования САР, приведены соответственно в табл. 1 и 2.
Таблица 1. Базовые точки ФЧХ, Т=0,1
Т 1,2 1,5 2 2,5 3 3,5 4 5 7 10 20 40 50 100
Я>к, ° 0 5 12,5 19 25 30 35 41,5 51 60 72 78 80 83
Таблица 2. Базовые точки АЧХ, Т=1,0
К 1,7 1,5 1,3 1,1 1 0,8 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,15
Ш 0 -1 -2,2 -3,7 -4,5 -6,5 -9 -10 -12,5 -15 -18 -21
Механизм подстройки коэффициентов К и Т2 состоит в том, что после определения величины изменения фазового сдвига и коэффициента передачи объекта управления определяется требуемое значение фазового сдвига и коэффициента передачи корректора, обеспечивающих неизменными частотные характеристики системы. Для ФЧХ эти значения определяются как сумма текущего значения и величины изменения, а для АЧХ - из условия постоянства произведения коэффициентов передачи объекта управления и корректора. Затем по кусочно-линейным функциям определяются требуемые значения К и Т2.
Исследование свойств системы с адаптивным псевдолинейным двухканальным корректором проводилось в программном пакете МЛТЬАВ 6.5. На рис. 3 представлена модель системы регулирования с адаптивным псевдолинейным двухканальным корректирующим устройством, выполненная в МЛТЬАВ. Изменение коэффициентов передачи и постоянных времени передаточных функций амплитудного и фазового каналов корректора производилось с помощью аппарата ^-функций в блоке настройки корректора. В ^-функциях реализованы табл. 1 и 2.
Моделирование систем автоматического регулирования проводилось для объектов первого, второго и третьего порядка. На рис. 4 представлены кривые переходных процессов в системах регулирования только с ПИД-регулятором (кривая 2) и регулятором, дополненным последовательно включенным в цепь регулирования адаптивным псевдолинейным двухканальным корректирующим устройством (кривая 1). Эти кривые наглядно иллюстрируют способность адаптации системы ре-
Рис. 3. Модель системы регулирования с адаптивным псевдолинейным двухканальным корректирующим устройством
гулирования к изменению параметров объекта регулирования.
Объект управления моделировался звеном второго порядка с передаточной функцией вида:
К
= 2 2 °—,
+ То2 s +1
где К0 - статический коэффициент передачи объекта управления, То1 и То2 - постоянные времени объекта управления.
Изначально была произведена настройка ПИД-регуляторов обеих систем по методу Циглера-Ни-кольса для объекта с Ко=1,0 То1=2,828 с, То2=7,000 с, таким образом, что переходный процесс при ступенчатом воздействии на объект является апериодическим. Настройки ПИД-регуляторов: Кп=0,998; Ки=0,1742; Кд=0,1000.
Так же изначально была произведена настройка корректора: К=1,7; Т= 1,0; Т1=0,1; Т2= 1,200. При таких настройках корректор вносит минимальный фазовый сдвиг и минимальное ослабление АЧХ.
После запуска систем в работу и окончания переходных процессов, в момент времени ^ в обе системы поступает импульсная помеха (кривая 3) и, как видно из графиков, отрабатывается без колебаний. В момент времени /2, после подачи в систему поискового сигнала, в САР с адаптивным корректором происходит определение эталонных значений К и Т2 корректора. В момент времени ¡3 происходит изменение постоянной времени То1 объекта
управления со значения 2,828 с, до значения 6,324 с, при этом Ко не меняется.
При таких параметрах объекта управления и изначальных настройках ПИД-регулятора переходный процесс на ступенчатое воздействие становится колебательным, что видно из графиков при поступлении второй импульсной помехи в момент времени /4. Далее в момент времени /5, после подачи в систему с корректором очередного поискового сигнала, происходит подстройка значения Т2 адаптивного корректора со значения 1,20 до 8,24 с.
При очередном поступлении в обе системы импульсной помехи в момент времени /6 в САР с адаптивным корректором характер реакции системы на импульсную помеху имеет существенно лучшее качество, чем реакция системы без корректора, что видно из рис. 4.
Вид кривой 1 в момент времени 4 говорит о том, что качество САР с корректором значительно лучше, чем без корректора (кривая 2), при изменившихся параметрах объекта управления и произошедшей подстройке к ним корректора. Качество работы системы с корректором остается удовлетворительным при изменении постоянной времени объекта до значения То1=13,0 с, в то время, как при То1=8,4 с система без корректора уже становится неустойчивой.
Таким образом, применение предлагаемого корректирующего устройства позволяет реализовать систему регулирования объектами с нестацио-
25
20
15
10
О
25
20
15
1— 1 _ 1 Г" 1
I Л А
' |Г “У /\Л^— ] ,/ V
1 1
1 1 1 1 1 л
1 1 ! 1 ¡1 Г)
1 / И А -
'1 1 —
1
1 1 У | I 1 и
1 1 1 г- т 1 1 —
1 1 ,1 /3
1 1 1
■ '1 1 1 _|
О I! 1г 400
Рис. 4. Кривые переходных процессов
600 1 800 I 1000 1 1200
3 14 5
1400 I 1600 1;с
6
нарными параметрами, изменяющимися в процессе работы в широком диапазоне. Данное корректирующее устройство можно добавлять в состав уже действующих на производстве систем регулирова-
ния, реализованных на базе микропроцессорных контроллеров, без дополнительных затрат на аппаратную часть и тем самым повысить качество регулирования.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Солдатов В.В., Ухаров П.Е. Адаптивная настройка систем управления с ПИД-регуляторами в условиях информационной неопределенности // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2004. - № 8. - С. 16-20.
2. Штейнберг Ш.Е., Залуцкий И.Е., Сережин Л.П., Варламов И.Г. Настройка и адаптация автоматических регуляторов. Инструментальный комплект программ // Промышленные АСУ и контроллеры. - 2003. - № 10. - С. 43-47.
3 Хлыпало Е.И. Расчет и проектирование нелинейных корректирующих устройств в автоматических системах. - Л.: Энерго-издат, 1982. - 272 с.
4. Зельченко В.Я., Шаров С.Н. Нелинейная коррекция автоматических систем. - Л.: Судостроение, 1981. - 167 с.
5. Методы автоматизированного проектирования нелинейных систем / Под ред. Ю.И. Топчеева. - М.: Машиностроение, 1993. - 576 с.
6. Скороспешкин М.В. Адаптивный линейный нечеткий корректор динамических свойств систем автоматического регулирования // Современные техника и технологии: Труды XII Междунар. научно-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. - 27-31 марта 2006 г - Томск: Изд-во ТПУ, 2006. - Т. 2. - С. 162-165.
7. Скороспешкин М.В. Адаптивные псевдолинейные корректоры динамических характеристик систем автоматического регулирования // Известия Томского политехнического университета. - 2006. - Т. 309. - № 7. - С. 172-176.
Поступила 17.04.2008 г.
Ключевые слова:
Адаптивное псевдолинейное двухканальное корректирующее устройство, система автоматического регулирования, нестационарный объект управления.
УДК 681.5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЖЕЛАЕМОЙ ОБЛАСТИ РАСПОЛОЖЕНИЯ ДОМИНИРУЮЩИХ ПОЛЮСОВ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ ЕЁ НУЛЕЙ
С.В. Ефимов, С.В. Замятин, М.С. Суходоев, С.А. Гайворонский
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Проведен анализ влияния расположения нулей и полюсов замкнутой системы автоматического управления на качество её переходных процессов. Показана возможность обеспечения в системах автоматического управления заданных прямых показателей качества при условии учёта нулей передаточной функции замкнутой системы. Разработана методика нахождения границы области расположения доминирующих полюсов системы с заданными показателями качества. Рассмотрен числовой пример.
Введение
Основными методами анализа систем автоматического управления являются алгебраический, частотный и корневой методы [1]. Хотя более широкое распространение получили два первых метода, корневой метод не менее эффективен. Он позволяет достаточно просто получать те же сведения, что и частотный метод, а также данные для непосредственного вычисления переходной и импульсной характеристик системы, что необходимо для её анализа и синтеза не только в частотной, но и во временной области.
Однако при оценке показателей качества систем автоматического управления по их характеристическим полиномам корневой метод, как правило, не учитывает влияние нулей передаточной функции замкнутой системы, что приводит к значительным ошибкам при нахождении прямых показателей качества. Наиболее остро данная проблема возникает при оценке перерегулирования си-
стемы на основании расположения ее полюсов на комплексной плоскости.
Постановка задачи
Рассмотрим замкнутую систему автоматического управления с передаточной функцией W(s)=A(s)/B(s), где А(л) и В(д) - полиномы по степеням 5.
Известно, что динамические свойства системы определяются ее двумя-тремя доминирующими полюсами, так как влияние остальных полюсов оказывается незначительным, либо из-за их удаленности от мнимой оси и доминирующих полюсов, либо благодаря наличию нуля (нулей), расположенного поблизости.
Поэтому ставится задача: найти прямые показатели качества системы на основании расположения доминирующих полюсов и нулей ее передаточной функции. При этом представляет практический интерес определение областей расположения доминирующих полюсов системы на комплексной плоскости, соответствующих желаемым показателям качества.
