Структурно-инвариантная модель энергетических объединений на базе уравнений генераторов в фазных осях Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Заключение. Для решения задач управления хаосом в работе предложен метод, основанный на введении обратной связи по состоянию и изменении энтропии замкнутой системы. Изменение энтропии осуществляется за счёт введения вектора коэффициентов обратной связи, который находится по методике синтеза модального регулятора. Желаемые собственные числа Якобиана замкнутой системы связаны с собственными числами Якобиана исходной системы коэффициентом пропорциональности. Работоспособность метода проверена на нелинейной хаотической системе - системе Чуа.

Список литературы

1. Андриевский Б.Р. Управление хаосом: методы и приложения. I. Методы / Б.Р. Андриевский, А. Л. Фрадков // Автоматика и телемеханика. — 2003. — № 5. — С. 3-45.

2. Козлов В.Н. Теория автоматического управления: учеб. пособие по курсовому проектированию / В.Н. Козлов, В.Е. Куприянов, В.Н. Шашихин — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. — 127 с.

3. Шашихин В.Н. Хаос и нелинейная динамика. Регулярная и хаотическая динамика: учеб. пособие / В.Н. Шашихин — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. — 211 с.

4. Chua L.O. Bifurcation Analysis of Chua's Circuit / L.O. Chua, L.T. Huynh // [1992] Proceedings of the 35th Midwest Symposium on Circuits and Systems. 1992. pp. 746—751.

5. Ott E. Controlling chaos / E. Ott, C. Grebogi, G. Yorke // Phys. Rev. Lett. 1990. V.64. (11) 1196—1199.

6. Yamapi R. Harmonic oscillations, stability and chaos control in a non-linear electromechanical system / R. Yamapi, J.B. Chabi Orou // Journal of Sound and Vibration. 2003. 259(5). pp. 1253—1264.

УДК 533

Ефремов Артем Александрович,

канд. физ.-мат. наук, доцент, Козлов Владимир Николаевич, д-р тех. наук, профессор

СТРУКТУРНО-ИНВАРИАНТНАЯ МОДЕЛЬ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ОБЪЕДИНЕНИЙ НА БАЗЕ УРАВНЕНИЙ ГЕНЕРАТОРОВ

В ФАЗНЫХ ОСЯХ

Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский

политехнический университет Петра Великого,

1 2 v1945kozlov@yandex.ru, eartm@mail.ru

Аннотация. На базе дифференциальных уравнений электромагнитных процессов синхронного генератора в фазных осях выводиться модифицированная структурно-инвариантная модель электроэнергетических объединений.

Ключевые слова: синхронный генератор, структурно-инвариантная модель, уравнения в фазных осях, электромагнитные процессы, анализ динамики.

Artem A. Efremov1, PhD, Associate Professor Vladimir N. Kozlov,

Doctor of Technchnic Sciences, Professor

STRUCTURAL-INVARIANT MODEL OF POWER ASSOCIATIONS ON THE BASIS OF THE GENERATOR EQUATIONS

IN PHASE AXES

Russia, St. Petersburg, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University,

1 2

eartm@mail.ru, v1945kozlov@yandex.ru

Abstract. On the basis of the differential equations of electromagnetic processes of a synchronous generator in phase axes, a modified structurally invariant model of electrical power associations is derived.

Keywords: synchronous generator, structurally invariant model, electromagnetic processes, equations in phase axes

Введение. В работах [1-3] рассматривается методика синтеза структурно-инвариантных уравнений совместной динамики электромеханических (ЭМХ-процессов) и электромагнитных (ЭМГ-процессов) процессов синхронных генераторов на базе уравнений Парка-Горева. В данной работе синтезированы структурно-инвариантные дифференциальные операторы в качестве модели электроэнергетических объединений для анализа совместной динамики на базе уравнений синхронного генератора в фазных осях.

1. Исходные уравнения. Уравнения Парка-Горева исследованы во многих работах. В отличие от работ [2, 3] в качестве исходных уравнений дифференциальных уравнений электромагнитных процессов синхронного генератора выбраны уравнения в фазных осях [4-6]. Эти уравнения определяют ЭМГ-процессы в статорных обмотках

Usa =¥а + Ra ■ Ia, Usb = yf + Rb - Ib, Usc = yf + Rc -Ic, (1)

и обмотках ротора (обмотка возбуждения и две демпферные обмотки)

uf =yf + lfrf, 0 = V'd + 1вгв, 0 = ¥q+ Iq^q , (2)

где Usa, Usb, Usc, - напряжения фаз сети; Ia, Ib, Ic, - токи в обмотках ста-

тора и уа,уь,ус - потокосцепления обмоток статора; Яа, ЯЬ, Яс, -активные сопротивления обмоток статора, и/ - в обмотке возбуждения;

- ток в обмотке возбуждения; - потокосцепление и ^ -сопротивление в обмотки возбуждения; 1и, 1д - токи, индуцированные в демпферных обмотках; УО, у - потокосцепления и ЯО, ЯЦ - сопротивления в демпферных обмотках продольного и поперечного успокоительных контуров.

В общем виде связи между потокосцеплениями и токами синхронного генератора описываются матрицей индуктивностей [5, 6]:

Уа Г Ь аа ЬаЬ Ь ас Ьа/ ЬаО Ьй 1 й ГI а

УЬ ЬЬа ЬЬЬ ЬЬс ЬЬ/ ЬЬО ЬЬЦ 1Ь

Ус Ь са ЬсЬ Ь сс Ьг с/ ЬоО Ьй сй X I с

У/ Ь/а ЬЬ Ь// Ь/О 0

Уо ЬОа ЬОЬ ЬВс ЬО/ ЬОО 0 ¡О

Уй _ _ ЬЙа ЬЙЬ 0 0 Ьйй _ 1й

(3)

которой соответствует следующая система линейных уравнений

У = Ь I + Ь Л, + Ь I + ЬЛГ + ^^ + ;

та аа а аЬ Ь са с ¡а / Оа О Ца й

Уь = ЬЬа1а + АЛ + ЬсЬ1с + V/ + ЬОЬ1 О + ^й ; Ус Ьса1 а + ЬсЬ1 Ь + Ьсс1 с + Ь/с1/ + ЬОс1

У/ = Ь/а1 а + Ь/Ь1Ь + Ьс/1с + Ь//1 / + ЬО/1 О ; УО = ЬОа1а + ЬОЬ1Ь + ЬсО1 с + Ь/О1 / + ЬОО1 О ;

Уй = Ьйа1а + ЬйЬ1Ь + Ьсй1с + ЬйЦ1 Ц •

(4)

В уравнениях (3) - (4) параметры Ь]к (Ь]к = Ьц) определяют собственные индуктивности при у = к и взаимные индуктивности при у Ф к.

2. Преобразования уравнений. Подставляя значения потокосцеп-лений из (4) в уравнения (1) и (2), можно получить для координат «напряжения - токи» систему дифференциальных уравнений синхронного генератора

и = ь г + ьх+ь г+ьа1/+ь» I»+ьп гп+я ■ I,

¡а аа а аЪ Ъ са с /а / Оа О Ца п а а'

и ы = ЬьХ + Ььь1ь + ЬХ + /1/ + ЬоьГо + Ьць1ц + Яь ■ 1Ъ,

и« = ЬХ + ьх + Ьсс1С + ьх + ьх» + ь0Х0 + яс • 1с,

и/ = ь/а1 а + ь/Ъ1Ъ + ьс/1с + ь/1 / + ь»/1О + Я/1 /'

0 = ьОа1а + ьОЬ1'ъ + ьсО1с + ь/О1'/ + ьии1и + ,

о = ьпг + ьпъгъ + ьпX + ьпХп + яп1п.

Ца а ПЪ Ъ с, с ПП П П П

Дифференциальные уравнения типа (5) для г-го синхронного генератора имеют матричную форму:

Ь1 ' + К!.. = и ...

(6)

Векторы и матрицы системы (6) определяются совокупностью следующих равенств: i г = (гаг., гъг, гсг.,/, », гпг) - вектор производных токов синхронного генератора в фазных координатах; = (а, Ы, , / , », п) - вектор токов синхронного генератора в фазных

координатах; иг =(иаг., иы, исг., и.,0,0) - вектор напряжений синхронного генератора; и., Ьг. - матрицы числовых параметров синхронного генератора

ь =

ьаа аа ьаЪ ьас ас ьа/ ьаО ьп 1 Г я а 0 0 0 0 0

ьЪа ьЪЪ ьЪс ьЪ/ ьъо ьъп 0 Яъ 0 0 0 0

ьса са ьсЪ ьсс сс ьс/ с/ ь» ьп сп , к; = 0 0 я с 0 0 0

ь/а ь/Ъ ь/с ь// ь/о 0 ' г 0 0 0 я/ 0 0

ьОа ьоъ ьВс ьо/ ьоо 0 0 0 0 0 я» 0

ьпа ьпЪ ьпс 0 0 ьпп _ 0 0 0 0 0 яп

С учетом значений индуктивности из [5, 6] матрицу функциональных параметров Ь можно представить в блочном виде

ь =

Ь2г

ьзг ь4г

(7)

Блочные подматрицы в матрице (7) определяются равенствами

К =

' Ь + Ьт08 2в -М , -Ьт08 2(в + ж/6) -М „ -Ьт08 2(в + 5ж/6)"

-М , - Ьт08 2(6 +ж/6) Ь + Ьт08 2(в- 2ж/3) -М , - Ьт08 2(в-ж/2) -М, - Ьт08 2(6 + 5ж/6) -М , - Ьт08 2(в-ж/2) ^ + Ьт08 2(6 + 2ж/3)

ь

2 г

М/ 08 в

ми 08 в

М^ив

М/ 08(в-2ж/3) Мо 08(в-2ж/3) ма,и(в-2ж/3) М/ 08(в + 2ж/3) Мо 08(в + 2ж/3) Ме,и(в + 2ж/3)

ь

3г

М/ 08в М/ 08(в- 2ж/3) М/ 08(в + 2ж/3)" Мо 08 в Мо 08 (в-2ж/3) Мо 08 (в + 2ж/3) Ме,и (в- 2ж/ 3) Ме,и (в+ 2ж/ 3)

М^ив

Ь

4 г

М Ь

0

'о 0

0 0 Ь

Можно отметить, что матрица (7) является суммой числовой и функциональной матриц так, что Ц — Ьс{ + Ьв, где

Ь

Ь, -М, - М, 0 0

-М, Ь, - М, 0 0

-М, -М, Ь 0 0

0 0 0 Ь/ Мк

0 0 0 Мк Ьо

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 Ь

Ь

вг

Ьв1 Ьв2 Ьв3 Ьв4

Ьв1 -

ь

' Ьт 08 2в - Ьт 08 2 (в + ж/ 6) -Ьт 08 2 (в + 5ж/ 6)'

- Ьт 08 2 (в + ж 6) Ьт 08 2 (в- 2ж/ 3) -Ьт 08 2 (в-ж/ 2)

- Ьт 08 2 (в + 5ж/ 6) - Ьт 08 2 (в-ж 2) Ьт 08 2 (в+ 2ж/ 3)

в2

М/ 08 в

Мо 08 в

М^ив

Мг 08(в- 2ж/3) Мо 08(в- 2ж/3) Ме,и(в- 2ж/3) М/ 08 (в + 2ж/3) Мо 08 (в + 2ж/3) Ме,и(в + 2ж/3)

М/ 08 в М/ 08 (в- 2ж/ 3) М/ 08(в + 2ж/3)" "0 0 0"

Ьв3 - Мо 08 в Мо 08(в- 2ж/ 3) Мо 08 (в+ 2ж/ 3) , Ьв4 - 0 0 0

М^ив МйБП (в- 2ж/ 3) Мат (в + 2ж/ 3) 0 0 0

В силу (6) обобщенные дифференциальные уравнения в форме Коши для

ЭМГ-процессов 1-го синхронного генератора примут вид

i; = -(ьсг. + ьа )-1 ^ + (ьсг. + ьа )-1 и, (8)

3. Структурно инвариантные уравнения совместной динамики

ЭМХ и ЭМГ - процессов. Структурно инвариантная модель электроэнергетических объединений, учитывающая ЭМГ-процессы, формируется по методике [1-3] заменой скалярных параметров на матричные параметры. В результате можно получить дифференциальные операторы

1'эмг =-ь-1М + ь-1и, (9)

i;" " r; 0nxn 0nxn 0nxn 0nxn 0nxn ; " u;

ib 0nxn r; 0nxn 0nxn 0nxn 0nxn Ib ub

iC if = -l-1 0nxn 0nxn 0nxn 0nxn rc 0nxn 0nxn rf 0nxn 0nxn 0nxn 0nxn c If + l-1 uc uf

i; 0nxn 0nxn 0nxn 0nxn r; 0nxn i; 0

iq 0nxn 0nxn 0nxn 0nxn 0nxn rq _ _IQ _ _ 0

(10)

где обобщенные векторы координат состояний ЭМГ-уравнений для синхронных генераторов определяются равенствами

T T T

Ia = (1 a1' ^al,'",1 an ) ' Ib = (^bl'^Ы,'",1bn ) ' Ic = (1 cV ^cl,'",1 cn ) '

If = (1 f 2'''''!fn ) , = (1D1,ID2'''''1 Dn ) , IQ = (IQ2'''''1Qn ) ,

u =(UaVUa2,'.',Uan)T, ub =(Ubl,Ub2,..,Ubn)T,

uc =(UclUc2,...Ucn)T, uf =(Uf 1,Uf2"'"UJn)T'

а функциональные матрицы относительно частот и параметрические матричные параметры введены равенствами

Ra = dia§ ( Rai ^ Rb = dia§ ( Rbi ^ R c = dia§ ( Rci ^

Rf = drng (Rfl )n=1, RD = drng (RDi )n=1, RQ = drng (RQi .

Объединяя структурно-инвариантные уравнения ЭМГ-процессов

(10) и структурно-инвариантные уравнения ЭМХ-процессов, по методике, предложенной в работах [1, 2], можно сформулировать структурно-инвариантные блочные дифференциальные операторы для описания совместной динамики ЭМХ и ЭМГ- процессов энергообъединений. Тогда полученные дифференциальные операторы примут вид

x'

" а! а2" x + "в! "

[ аз а4 _ в2 _

и,

(11)

где векторы и матричные операторы определяются равенствами

X = [I, I, ^ ^ ^ ^ Ф ^ Р ^,

А

Ь

-1

«а 0пХп 0пХп 0пХп °ихи °ихи

°ихи «ь 0пХп 0пХп °ихи °ихи

°ихи 0пХп «с 0пХп °ихи °ихи

°ихи 0пХп 0пХп °ихи °ихи

°ихи 0пХп 0пХп 0пХп °ихи

°ихи 0пХп 0пХп 0пХп °ихи

А4 =

0ихи е ЕПХП 0пхп 0ПХП

-Та Яр -тт а у т а 0ихи

0ПХП тп к а -т Тп к

0ПХП 0пхп 0ПХП -Тс

Блочные матрицы а2 и а3 определяют связь между ЭМХ и ЭМГ - процессами в энергетических системах.

Заключение. Структурно-инвариантные дифференциальные операторы являются основными моделями для решения комплекса задач анализа и синтеза систем управления перетоками активной мощности в крупных энергообъединениях с учетом воздействия систем регулирования напряжения. При этом имеется возможность квазианалитического исследования хаотической динамики на основе спектрального метода для функциональных матриц [7 - 10], который позволяет исследовать «спектрально-фазовую динамику на основе выделенных блочных матриц» или непосредственно спектр матриц Якоби, предложенный чл.-корр. РАН Г.А. Леоновым.

Список литературы

1. Козлов В.Н. Управление частотой и перетоками активной мощности электроэнергетических объединений с учетом энергетической безопасности // Известия РАН. «Энергетика», № 3, 2012.

2. Козлов В.Н, Г.А. Рябов, А.А. Ефремов, И.У. Тросько. Структурно-инвариантные уравнения энергообъединений для синтеза систем ограничения перетоков и регулирования напряжений. Сборник научных трудов XIX Международной научно-практической конференции, СПб.: Политехн. ун-т, 2015.

3. Ефремов А.А. Модифицированная структурно-инвариантная модель электроэнергетических объединений. Сборник научных трудов XXI Международной научно-практической конференции, СПб.: Политехн. ун-т, 2017.

4. Горев А.А. Переходные процессы синхронной машины. Автор: Александр Александрович Горев. Л. - М.: Госэнергоиздат, 1950.

5. Андерсон П., Фуад А. Управление энергосистемами и устойчивость: М. -Энергия, 1980.

6. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. М.: - Высш. шк., 1985.

7. Козлов В. Н. Негладкие системы, операторы оптимизации и устойчивость энергообъединений. Изд-во Политехн. ун-та. 2012. 177 с.

8. Козлов В.Н., Тросько И.У. Регулярная и хаотическая динамика крупных энергообъединений. Изв. РАН- серия «Энергетика». 2016 г., № 1. С. 1-6.

9. Козлов В.Н, А.А. Ефремов, И.У. Тросько. Спектральный метод аналитза хаои-ческих режимов динамических систем. Труды ХХ11 Международной научно-практической конференции «Системный анализ в проектировании и управлении». СПб.: 2018.

10. Козлов В.Н. Проекционный метод синтеза оптимальных ограниченных управлений динамических систем. Межвузовская издательская ассоциация. СПб.: 2018.140 с.

УДК 681.5

Саитова Гузель Асхатовна1,

доцент, канд. техн. наук, доцент, Елизарова Анастасия Валерьевна , инженер каф. АСУ

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ С ЗАПЗАДЫВАНИЕМ

Россия, Уфа, Уфимский государственный авиационный технический университет,

1 saitova@bk.ru elizarovaanastasia@gmail.com

Аннотация. Задача управления объектами с запаздыванием довольно непростая. Наличие задержки в контуре управления приводит к возрастанию фазового сдвига, что способна спровоцировать неустойчивость системы. В работе предлагается исследование нелинейной многосвязной системы автоматического управления