CC BY
24
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 10. 2010. Вып. 2
ИНФОРМАТИКА
УДК 621.311.001.57-50:519.7 И. А. Бырков
ПАКЕТ ПРОГРАММ SELEN ДЛЯ АВТОМАТИЗАЦИИ СОЗДАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В СОСТАВЕ ТРЕНАЖЕРОВ
1. Введение. Подготовка персонала для управления сложными технологическими объектами, такими как атомные энергетические установки (АЭУ), имеет важное значение для повышения надежности и безопасности их эксплуатации. Правильная и своевременная последовательность действий персонала в критические моменты, например при возникновении аварий, безусловно, необходима для минимизации возможных негативных последствий, сохранения управляемости и работоспособности объекта. В практике обучения оперативного персонала широко применяются тренажеры, в том числе полномасштабные, позволяющие сформировать и закрепить необходимые навыки управления. Важными составляющими электронных тренажеров являются математические модели объекта, способные функционировать в режиме реального времени. Рассчитываемые переменные математических моделей определяют состояние систем объекта. Обучаемый персонал может оказывать влияние на это состояние путем воздействия на предусмотренные в составе пультов управления или их анимированных изображений, как и на реальном объекте, управляющие органы: тумблеры, кнопки, ключи, рукоятки. Реакция модели определяется по показаниям приборов, цифровых табло и других органов визуализации в составе тренажера. При этом количество переменных в моделях, используемых в полномасштабных тренажерах (ПМТ), оценивается тысячами, а в некоторых случаях и десятками тысяч. Для разработки, отладки и сопровождения таких сложных моделей требуются средства автоматизации.
Для автоматизации процесса формирования математических моделей, описывающих АЭУ, их интеграции в единый расчетный комплекс в Научно-исследовательском технологическом институте (НИТИ) им. А. П. Александрова создана и развивается ТЕхнология Разработки Моделей И Тренажеров — ТЕРМИТ. К важным системам в составе АЭУ относится электроэнергетическая система (ЭЭС), моделирующаяся в ТЕРМИТе с помощью пакета программ SELEN. Математическая модель ЭЭС в пакете SELEN имеет следующие составляющие: модели электрических машин (и нагрузок)
Бырков Игорь Александрович — ведущий инженер отдела динамики и прикладной математики ФГУП НИТИ им. А. П. Александрова. Количество опубликованных работ: 5, по теме статьи имеет 1 публикацию и является разработчиком пакета программ SELEN. Научные направления: математическое моделирование электроэнергетических систем, сетевое моделирование. E-mail: byrkov@niti.ru.
© И. А. Бырков, 2010
и модель электрической сети. В работе приведены системы дифференциальных и алгебраических уравнений, применяемые в пакете SELEN, для описания трехфазных электрических машин и нагрузок, сетевые уравнения, а также численные схемы решения этих уравнений и принципы структурного анализа синтезируемой модели.
2. Моделирование электрических машин и нагрузок в пакете SELEN.
2.1. Модель синхронной машины. В пакете SELEN используются преобразованные уравнения Горева-Парка, записанные в осях ! и д, жестко связанных с ротором идеализированной синхронной машины [1]. При этом система дифференциальных уравнений мгновенных значений переменных в относительных единицах имеет вид [2]
рфа = пва + фч(1 - в) - твіа, р'фч = пщ - фа(1 - в) - г8ід, рфо = п8о - т8іо,
Рфі = (1/Ті)(пі - іі), (1)
рфтй = ( 1/Trd)ird,
рфгд = ( 1 /Tтq)iтq,
рв = (1/^)(ідфd - idфq + т), рі = 1 - в,
где р = !/(ш3Л) - символ дифференцирования по синхронному времени, - угловая скорость вращения синхронной оси; фd, фд - потокосцепления с обмоткой якоря от продольного и поперечного полей реакции якоря в момент совпадения магнитной оси фазной обмотки с осями ! и д; фо - нулевая составляющая потокосцепления обмоток якоря; фі, фт^, фтд - потокосцепления контура возбуждения, продольного и поперечного демпферных контуров соответственно; і^, ід - продольный и поперечный токи якоря; іо - ток нулевой составляющей тока якоря; іі, іт^, ітд - токи контура возбуждения, продольного и поперечного демпферных контуров соответственно; пsd, п8д - продольная и поперечная составляющие напряжениий сети; пяо - нулевая составляющая напряжения сети; т8 - активное сопротивление фазы статора; Ті - постоянная синхронного времени цепи возбуждения при разомкнутой цепи статора; Тт^, Ттд - постоянные синхронного времени продольного и поперечного демпферных контуров; TJ - инерционная постоянная агрегата (в синхронных секундах); т - механический момент; в - скольжение ротора машины; 7 - угол поворота ротора синхронной машины. Нижние индексы соответствуют рассматриваемым осям, контурам или нулевой составляющей.
Приведем систему из уравнений потокосцеплений, выраженных через токи и записанных в относительных единицах [2]:
фd — xd ^ + іі + iтd, фд = Хд ід + ІTq,
фо = Хоіо, (2)
фІ = xіdid + іі + xітdiтd, фтq = xтddid + Хт^і іі + iтd, фтq = xтqqiq + iтq,
в которой ха,хч - индуктивные сопротивления синхронной машины по продольной и поперечной осям; хо - индуктивное сопротивление нулевой составляющей; xfd -индуктивное сопротивление обмотки возбуждения; xfrd^xrdd^xrdf ,хгчч - индуктивные сопротивления взаимоиндукции успокоительных контуров и обмотки возбуждения.
Корректный выбор индуктивных сопротивлений, задаваемый средствами графического редактора пакета SELEN, гарантирует невырожденность матрицы системы (2). Выраженные через потокосцепления токи подставляются в систему (1). В результате получается замкнутая система нелинейных дифференциальных уравнений
= Usd + Фд (1 - в) - (Т5/3,еЛ1)[(1 - XfrdXrdf Ф + (х^ - 1)Ф f + (xfrd - 1)Фrd],
рфд = и5д - фd(1 - в) - (т5/3,еЛ2)(фд - Фгд),
рфо = и8о - Тдфо/хо,
pфf = (1/Tf )uf - (1/det1)[(xfrdXrdd - Xfd)фd + х - Xrdd)Фf + (xfd - XdXfrd)Фrd], (3)
рфт^ \1 / (Trddet1)\[(xrdd х fdxrdf )фd + (xd xrdf xrdd)ф f + (х fd xd')фr ^,
pфrд = [1 / (Trдdet2)\(xrдд фд хд фrд),
рв = (1/Т])(фd/det2)(фд - фд - (Фд/detl)[(1 - XfrdXrdf ф +
+ (х^ - 1)фf + (xfrd - 1)фы\ + т,
Р1 =1 - в,
здесь det1 xd xfd х ГМ + xfdxrdf + хfrdxrdd xdxfrdxrdf, det2 хд xrдд•
Система (3) описывает наиболее общий вид модели трехфазной идеализированной син-
хронной машины в относительных единицах и используется в расчетах с помощью пакета SELEN. В случае заземленной нейтрали в системе (3) будет отсутствовать третье уравнение. При отсутствии какого-либо из демпферных контуров в ней исключаются переменные, уравнения и параметры, соответствующие этим контурам. Скольжение может рассчитываться вне пакета SELEN. В таком случае из системы (3) исключается предпоследнее уравнение, а величина в будет постоянной на текущем шаге расчета.
2.2. Модель асинхронной машины. Уравнения асинхронной машины, используемые в пакете SELEN, записаны в осях d,q и жестко связаны с ее ротором. В относительных единицах система дифференциальных уравнений мгновенных значений переменных асинхронной машины имеет вид [2]
pфd = Usd + Фд (1 - вг) - Г51^,
рфд = ищ - фd(1 - в г) - Г51д,
рфо = и до - ГдЪо,
рфы = (1/Тг)(и^ - ird) + Фrq(в - вг), (4)
рФгq = (1/Тг)(^д - %гд) - фы(в - вг),
рФго = (1/Тг)(иго ir0),
рд = (1/Т] )(фд - фdІд - т),
р1 =1 - в,
где фd, фд, фо, Фы, Фгд, г^, гд, го, гы, ггд, Uдd, идд, идо, гд,Т], т,в,ч - переменные, подобные одноименным переменным синхронной машины; гго - ток нулевой составляющей тока ротора; иТ^, игд - продольная и поперечная составляющие напряжения ротора; иго - нулевая составляющая напряжения ротора; Тг - постоянная синхронного времени ротора; вг - скольжение ротора синхронной машины, связанной с асинхронной машиной с помощью электрической сети. Нижний индекс г0 соответствует нулевой составляющей ротора.
Уравнения потокосцеплений, выраженных через токи и записанных в относительных единицах, образуют систему [2]
фd — xid + iтd, фq = xгq + iтq,
фо = Х0І0, (5)
фтd = Хт id + iтd, фтq = Хт iq + iтq, фто — xт0 іто-
В этой системе x и xт - индуктивное сопротивление соответственно статора и ротора асинхронной машины, xо и xTо - индуктивное сопротивление нулевой составляющей статора и ротора. Учитывая, что в пакете SELEN контролируется невырожденность матрицы системы (5), токи могут быть выражены через потокосцепления. После подстановки из соотношений (5) значений токов в систему (4) получится замкнутая система нелинейных дифференциальных уравнений
pфd = п^ + фq (1 - вг) +rs(фтd - Фd)/(Х - Хт), рфд = пщ - фd(1 - в і) +rs(фтq - фq )/(Х - Хт),
рфо = Що - Г ефо/хо,
рфт^ = (1/Tт)[птd + (Хт фd - Хфтц)/(х - Хт )] + фтq(в - вг), (6)
рфт^ = (1/%)[птq + (Хтфq - хфт^)/(х - Хт )] - фтd(в - вг),
рфто = (1/П )(пто - фто/Хто),
ре = (1/^ )[(фdфтq - Фq фтіі) / (х - Хт ) - т],
р7 = 1 - в.
Наличие заземленных нейтралей в статоре или роторе, отсутствие демпферных контуров в роторе приводят к исключению соответствующих уравнений, переменных и параметров из системы (6).
2.3. Модели статических нагрузок и фидеров. В относительных единицах система уравнений, описывающих модели статических нагрузок и фидеров, в пакете SELEN имеет вид [2]
pid = (1/x1)щd - (r/x1)id +(1 - вгУ^,
piq = (1/xЛ)пеq - (г/хі )Іq - (1 - вг)Іd, (7)
ріо = (1/хо)що - (г/хо)іо,
где id,iq,iо,пеd,пеq,пео,вг подобны одноименным переменным, определенным ранее; хі - индуктивное сопротивление нагрузки или фидера; хо - индуктивное сопротивление нулевой составляющей; г - активное сопротивление фазы. Наличие заземленной нейтрали исключает последнее уравнение из системы (7).
3. Моделирование сети в пакете SELEN.
3.1. Закон Ома для ветви сети. Предположим, что все узлы сети, имеющие степень, большую единицы, и инцидентные им ветви пронумерованы. Пусть число пронумерованных узлов равно п, а ветвей - т. Пометим переменные сети, определенные в узлах с номерами і, к, верхними символами [?’], [к], а переменные ветви, ограниченной этими узлами, - символом [і, к]. Будем считать, что в момент времени Ь функция перепада напряжений, определенная на ветви [і, к] и равная разности функций напряжений в узлах [і] и [к], включает резистивную, индуктивную и емкостную составляющие. Закон Ома для этой ветви выражается следующими уравнениями:
АиА = я[^’к]іА’к] + ьМ’к] иА’к]/а + м [і’к\л1В’к]/а + л^/а) + (1/с&к])} іА,к] !т,
о
АиВ = КС’к]і1І’к]+ЬС’к]И[В’к]/!і + (8)
+ М(!І[С’к]/!і + !І[І’к]/!і) + (1/СС’кї) І І[І’к]!т,
о
г
Аи1еСск] = Кимфц + Ь!І[С'к]/!і + МС’к^(!І[А,к]/!і + <ІІ[С'к]/Л) + (1/СС’к^) /І[£к!т
С
о
где Аи'еСА\в еС = еВ ес - иА еВ ес - перепад фазных узловых напряжений сети;
І А В с - фазные токи на ветви; КС - активное сопротивление фазы; С[С’к - емкость фазы; Ь- индуктивность фазы; М[С,к - взаимная индуктивность между фазами.
Для осуществления перехода от фазных координат А, В, С к координатам !, д необходимо умножить систему (8) слева на матрицу линейного преобразования Горева-Парка
€08(7) €08(7 - 2п/3) соэ(7 + 2п/3)
-8Іп(7) -8Іп(7 - 2п/3) -8Іп(7 + 2п/3)
1/2 1/2 1/2
В результате умножения получим систему
АиСЩ = КСМІ[Ік] + Ь[І'к]ЗІ[С'к]/Л - Ь[І’к]І\І’к]3Пі/Л +
+ (1/С[С’к]) ї І[С'к]€08(віт) +1^ ,к]8Іп(віт)]!т,
о
Аи%к] = К ^к]1[1'к] +Llj’k]dIlдj’k]/dt+Llj’k]Ildj’k] dъ/dt + (9)
+ (1/СН’к]) /4^€08№т) - 1^'к]8т(егт)^т,
о
Аи^к] = К+ ^’к]dIl0j’k]/dt + (1/СУ^) /Il0j’k]dт, до о о о о о
в которой 6гт = ^г-^т■ Поделив уравнения (9) на базисное напряжение, равное амплитуде номинального фазного напряжения, их можно записать в относительных единицах:
Ап1С’к] = г[Ск]С + х['к]рС - х['к]і1С’к](1 - вг) +
+ У[С,к І і[а'к]со8(вгт) +ііі’к]8Іп(вгт)]!т,
о
АпСк = С С + хС’к]рі[С’к] + хС'к] $к](1 - вг) + (10)
+ У[С’к] І і[дк]С08(вгт) - і^’к]8Іп(вгт )]!т,
о
Іг
Аи^о^ = г^,кЧ д’к + хд’к рг д’к + уЬМ ^ г \о’к^т. до о о о о о
Для удобства дальнейшего изложения запишем систему (10) в матричном виде
Аи^ = гяк]1[-ьк] + В(х[3’к\ х( ’к\ х1о,к])р1^^’к] + (11)
+ х1,к ](1 - вг )Б(Л, 0)1 ^ + у 'я ’к ] / Б(А(1Т, 1)1^Ст, 1о
где Ди.’к] = (Ап\ Ап^’^к\ Ап^0к])*, і[.’к] = (і^,к], ід ,к], і0,к])* - вектора (* - операция транспонирования); D (...) - блочно-диагональные матрицы третьего порядка; Л, Аг,т - матрицы второго порядка.
Из уравнения (11) выразим производную токов по времени
(й^/гИ = Б(1/х['к], 1/х['к], 1/х0'к]){Ди.’к] - [г[ь’к]Е + (12)
+ х\>’к](1 - вг)Б(Л, 0)].] - у[ь’к] / Б(Аг,т, 1).^т}.
о
Дискретизуем последнее уравнение с шагом дискретизации, равным Н. Приняв во внимание, что Б(Ам , 1) = Е, заменим интеграл правой части уравнения (12) формулой трапеции
і г—1 г
/Б(Аіт, 1).^т = / Б(А4,т, 1)'^’кит + / Б(Аг,т, 1).^т «
о о г—1
« М(г-1) + (к/2)1Б(А^, 1)№(і)+Б(Аг,г—1,1).к](г-1)] = (13)
= Ш(і - 1) + (Н/2).(г) + Б(Аг,г—і, 1).к](г - 1)],
г—1
где Ш;(г - 1) = / Б(Аг,т, 1)№кит. Переменные правой части (12) рассмотрим в мо-
о
мент времени і, производную заменим разностным выражением, а интеграл - формулой (13). В результате получим
і.к](г) = і.к](г - 1) + НиаБ(1/х1’к\ 1/х1’к\ 1/х0’к]){Ди.’к](г) - [гЬ’к]Е + х1’к]х х(1 - вг)Б(л, 0)]і.к](г) - уЬкм(г - 1) - (Ну[Ьк/2)[і.к](г) + Б(Аг г—1, і)і.к](г - 1)]}.
’ . . (14)
В выражении (14) перенесем в левую часть слагаемые, содержащие і[.’к](г):
М.](г) = .](г-1)+Нш3Б(1/х1,к], 1/х1,к], 1/х0,к]){Ди.’к](г) - (15)
- у[ьк рп^г - 1) + (Н/2)Б(Агг—1, 1).к](г - 1)]},
здесь Ы = E +Нш, [(1 - вг)Б(Л, 0) + (г[ьк + Ну[ь^/2)Б(1/х\>’к], 1/х\>’к], 1/х0’к]).
Утверждение 1. Если переменные Н, ш8, г, у, Х('кк, х1 ,к\ х0,к являются положительными числами, матрица Ы будет не особой.
Доказательство. Матрица Ы представляет собой сумму трех матриц: Е, Ниа(г[Ь’к] + Ну[Ь’к^/2)Б(1/х[1 ’к\ 1/х1 ’к\ 1/х0’к]) и Ни3(1 - вг)Б(Л, 0). Первые две, очевидно, диагональные с положительными элементами на диагоналях, последняя может быть либо нулевой (при ві = 1), либо блочно-диагональной (если ві = 1). Во втором случае нижний блок нулевой, а верхний (в силу того, что ненулевыми элементами матрицы J являются ±1 на побочной диагонали) содержит нули на главной диагонали и числа противоположных знаков - на побочной. Таким образом, Ы есть блочно-диагональная матрица третьего порядка с положительными элементами на главной диагонали и числами разных знаков или нулями на побочной диагонали блока второго порядка. Очевидно, определитель такой матрицы отличен от нуля и, следовательно, Ы - не особая.
Из утверждения 1 следует, что в формуле (15) переменную і[.’к](г) можно выразить явным образом:
|[.ък](£) = м (г ) +Ни, Б(1/х1,к \ 1/х^,к \ 1/х0,к ])[Дид’к](г) — (16)
- у[/,к]м(г — 1) — (Ну[/,к]/2)Б(ЛМ-1,1)№(г — 1)]}.
Правая часть (16) является линейной функцией Ди!^’к](г)
1[^,к](г) = w[j’k]Дu^j’k](г )+ъ[^’к](г—1), (17)
где w[j’k] = Ни,М-1Б(1/х/,к\ 1/х/,к\ 1/х0,к]); Ъ^к](г — 1) = М"1^’^) + Ни,у[/к^х
х :Б(1/х/,к\ 1/х//,к\ 1/4/,к])[М(г — 1) + (Н/2)Б(А^-1, 1)i[j,k](t — 1)]}.
Утверждение 2. В случае выполнения условий из утверждения 1 матрица W[j’k] будет не особой, а при постоянстве элементов матрицы М - постоянной.
Доказательство. Утверждение следует из формулы представления матрицы W[j’k]: W[j’k] = Ни,М-1Б(1/х/,к\ 1/х1,к\ 1/х0/,к]), так как каждый из элементов произведения не равен нулю и в случае постоянства элементов матрицы М постоянен.
Обозначим через ^ Ди8, Ъ вектор-столбцы, сформированные из векторов ^,к], Диз’к], Ъ^,к], расположенных в порядке следования номеров ветвей в сети. Через W обозначим блочно-диагональную матрицу, блоками которой являются матрицы W[j’k], расставленные в порядке следования номеров ветвей в сети. Тогда формула (17) примет простой и наглядный вид
) = wДus (г )+ъ(г — 1). (18)
Формула (18) применяется для расчета токов и напряжений на ветвях в пакете SELEN.
3.2. Сетевые уравнения. Рассмотрим связную компоненту электрической сети. Предположим, что в этой компоненте имеется V синхронных и асинхронных машин, статических нагрузок, идентифицируемых номерами Х1,..., . В структурном графе
сети 8, условно изображенном на рис. 1, имеющимся элементам отвечают висячие узлы.
z/
Zv-ІЇ
Si
(і
S
Рис. 1. Структурный граф компоненты сети
Представим матрицу инциденций структурного графа сети, из которой удалены строки, соответствующие вершинам
(A, Ac).
(19)
В (19) столбцы подматрицы Ac отвечают v - l висячим ветвям структурного графа, на которых определены независимые источники тока. Будем считать, что все токи на ветвях рассматриваются в координатах одной из синхронных машин и приведены к относительному виду. Тогда закон Кирхгофа для токов можно выразить, согласно [3], системой уравнений
Aid — Acicd,
Aiq = -Acicq, (20)
где іа, ія, іо - векторы, компонентами которых являются токи ветвей струтурного графа сети с координатами <1, д, 0 соответственно. Номера компонент совпадают с номерами соответствующих ветвей. Подобным образом сформируем векторы іса, іся, ісо. Закон Кирхгофа для напряжений выражается системой уравнений
А*и8а = Ди8а,
А*изч = Ди8Ч, (21)
А*и8о = Ди8о.
Компонентами векторов и^^о, Ди^^о являются узловые напряжения и перепады напряжений на ветвях струтурного графа сети с координатами 1, д, 0. Введем в рассмотрение векторы I = (і£, * іо)*, Іс = (і*а, і^, ісо)*, и« = «а, и*ч, и*о)*, Ди8 = (Ди*а, Ди*ч, Ди*о)*. Несложно установить взаимосвязь между І, Іс, Й8, Диз и і, іс, и8, Ди8:
І = Е...зті,
Іс = Е...3тіс, (22)
и8 = Е...зпи8,
Ди8 = Е...3тДи8.
В (22) Е...зт = Еі’4’...’3т—2’2’5’...’3т—і’...’3т, Е...3п = Еі^...^—2’2’5’...’3п—і,...’3п. Нижние индексы у подматриц матриц Е означают номера рассматриваемых строк.
Обозначим через Ао трехслойную матрицу, у которой верхний, средний и нижний слои (подматрицы) представляют собой матрицы
(А, 0, 0); (0, А, 0); (0, 0, А). (23)
В (23) 0 - нулевые подматрицы соответствующих размеров. Аналогичным образом сформируем матрицу Аос. Тогда закон (20) можно выразить следующим уравнением:
АоІ = - АосІс. (24)
Закон (21) представим в виде уравнения
Аои = Ди8,
которое можно записать
Ди8 = Е—/3тАоЕ...3пи8, (25)
где Е—.3т = Еі,т+і’2т+і’2’т+2’2т+2’...’3т. Подставляя (18) в (24) и перенося выражение с Ь(г - 1) в правую часть, получим
Ао Е...3т^^Д иэ ( г ) = - АосЕ...3тіс (г )-АоЕ...3тЬ(г - 1). (26)
Заменяя в (26) Ди8(г) произведением из (25) и выражая и8(г), в итоге будем иметь
Утверждение 3. Если W является постоянной матрицей, то коэффициенты правых частей в уравнении (27) будут меняться только в случае изменения структуры сети.
Доказательство. Матрицы Е...зт постоянны. В случае постоянства матрицы W, очевидно, произведение E...зmW(E...зm)-1 будет также постоянной матрицей. Матрица Ао составлена из подматриц матрицы инциденций графа сети, которая может меняться только в случае изменения структуры сети.
Таким образом, в формуле (27) напряжения в невисячих узлах сети выражены в символьном виде через токи висячих ветвей, равные по модулю соответствующим токам электрических машин и статических нагрузок.
4. Формирование единой модели электроэнергетической системы. Последовательность расчета ЭЭС можно описать с помощью следующего алгоритма:
1. Из образованного в выражении (27) множества узловых напряжений сети выбирается подмножество, определенное в узлах смежных с висячими узлами.
2. Выраженные в символьном виде напряжения подставляются в соответствующие уравнения из систем (3), (6), (7) вместо и8а, и8Ч, и8о, тем самым создается единая модель ЭЭС.
3. После решения сформированной системы дифференциальных уравнений рассчитываются токи для синхронных, асинхронных машин, статических нагрузок и найденные значения подставляются в формулу (27).
4. С помощью полученных значений узловых напряжений и формул (12)—(19) определяются токи и напряжения для всех внутренних ветвей сети на шаге расчета.
Общий порядок построенной системы равняется сумме порядков подсистем имеющихся синхронных и асинхронных машин, нагрузок. В пакете SELEN токи в выражениях (27) для подсистем берутся с предыдущего шага. Это позволяет решать каждую систему по отдельности, не объединяя их в общую систему, что существенно ускоряет время счета. В том случае, когда можно пренебречь индуктивными и емкостными составляющими ветвей сети, а также сопротивлениями внутренних ветвей, структурный граф сети приобретает наиболее простой вид. Как видно из рис. 2, каждая его компонента становится звездой. Используя закон Кирхгофа для токов, ток на одной из ветвей, например первой, можно выразить через токи остальных ветвей:
здесь (Е...3п) 1 = Еі,п+і’2п+і’2’п+2’2п+2’...’3п.
(28)
Рис. 2. Компонента структурного графа сети при упрощенном расчете
Из закона Ома следует, что (28) эквивалентна системе
Для определенности будем считать, что ветви сориентированы к центру звезды и значение узлового напряжения в центре равно нулю. Тогда (29) можно переписать следующим образом:
В (30) а1 = — 1, если в узле г1 расположен источник тока, и а1 = 1 - в противном случае. Подобные системы получатся для напряжений в других узлах сети.
Помимо упрощения структуры сети для ускорения расчетов в пакете SELEN используются методы эквивалентирования [2], позволяющие объединять идентичные источники или потребители между собой в один обобщенный источник или потребитель. С помощью этого приема достигается минимизация числа рассчитываемых электрических машин и нагрузок.
5. Численная схема. Представим системы дифференциальных уравнений (3), (6), (7) в обобщенном матричном виде
Уравнения (31) содержат малые коэффициенты при производных, что является причиной возникновения пограничного слоя в пространстве интегральных кривых [4] и усложняет процесс нахождения численного решения (31). Как известно [4, 5], хорошие результаты для решения подобных систем дают неявные численные методы. В пакете SELEN система (31) заменяется разностной схемой неявного метода Эйлера
в которой ки8 - шаг дифференцирования по синхронному времени.
Учитывая [2], что для электрических сетей переменного тока с частотой 50 Гц ки8 « 314, для обеспечения сходимости метода Эйлера в нестационарном случае выбирается шаг Н = 0(10-3). Для отыскания уп в (32) можно использовать интерполяционную формулу метода Ньютона [5]
где Еу(у£) - якобиан функции f (у) в точке у^. Уравнение (33) эквивалентно выражению
Поиск у^+1 в (34) равносилен решению системы линейных алгебраических уравнений
здесь Р = Еу(у^) - [1/(кш3)]Е. В случае неубывания погрешности в формуле (35)
а1 г 1(г1 + ... + ^
(30)
РУ = %).
(31)
Уп - Уп-і - (^ )і(уп) = 0,
(32)
Ук+і = Ук + {Гу(уп) - [1/^*)]Е}-1{[1/(НШЯ)](ук - Уп-і) - f(ук)}. (34)
руіп+і = рУк + [1/(ь^*)](уп - Уп-і) - і(ук^
(35)
в пакете SELEN осуществляют дробление шага и возврат к началу итераций. Это обеспечивает сходимость алгоритма.
При относительно небольших значениях элементов матрицы Еу (у£) и шага Нш3 матрица системы (35) имеет диагональное преобладание, что, как показано в [6], существенно облегчает поиск решения. В зависимости от типа модели матрица Р будет иметь различные порядок и структуру. Малый порядок решаемых систем и эффективность современной вычислительной техники позволяют рассчитывать математическую модель ЭЭС со скоростью, гарантированно опережающей реальное время.
6. Пакет программ SELEN. Данный пакет предназначен для моделирования переходных процессов и установившихся режимов в электрических сетях переменного и постоянного тока с произвольной конфигурацией оборудования. Помимо автономной работы предусмотрено совместное использование пакета SELEN с другими имеющимися в составе ТЕРМИТа программными средствами, такими как пакет для расчета теплогидравлических сетей в однофазном несжимаемом приближении, пакет для расчета двухфазных потоков, пакет для моделирования систем управления.
Рис. 3. Видеокадр редактора набора схем ЭЭС
Для удобства формирования модели ЭЭС с помощью пакета SELEN в ТЕРМИТе используется специальный редактор электрических схем (рис. 3). Базу функциональных элементов редактора составляют модели источников, потребителей, соединительных
линий и распределительных щитов, выключателей, входящие в состав произвольной ЭЭС. В редакторе этим моделям соответствуют специальные графические изображения - пиктограммы, размещаемые на видеокадре. В процессе формирования схемы редактор позволяет ввести параметры элементов, при необходимости - начальные значения. После того, как моделируемая ЭЭС воспроизведена в графическом виде в редакторе, можно произвести обработку набранных схем, в ходе которой выполняются автоматическая проверка схемы на противоречивость и формирование математической модели в соответствии с описанным в п. 4 алгоритмом. Синтезированная модель может быть запущена на выполнение. В процессе моделирования у разработчика имеется возможность контролировать рассчитываемые переменные; менять состояние модели, например путем перемены состояния выключателей или изменения параметров у элементов; инициировать подключение моделей аварий; запоминать текущее состояние модели (т. е. проводить так называемое фотографирование). Контроль можно осуществлять как непосредственным наблюдением за числовыми значениями переменных, так за графиками их изменения (рис. 4). Функционирование модели возможно проводить как в непрерывном процессе расчета, так и в пошаговом режиме.
Рис. 4. Видеокадр работы модели ЭЭС в интерактивном режиме
В настоящий момент в пакете SELEN моделируется более 20 элементов ЭЭС, таких как электрические линии и шины, внешние источники сетей переменного тока частот 50 и 400 Гц, внешний источник сети постоянного тока, турбогенератор, дизель-генератор, генератор постоянного тока, обратимый преобразователь, высокочастотный
преобразователь из сети 50 Гц в сеть 400 Гц, агрегаты-преобразователи переменного тока из 50 Гц в 400 Гц и постоянного тока в переменный ток 400 Гц, аккумуляторная батарея, выпрямитель, инвертор, одно- и двухскоростной асинхронные двигатели, двигатель постоянного тока, двух- и трехобмоточные трансформаторы, статическая нагрузка, ручной и автоматический выключатели, запорное устройство. В данной статье рассматриваются элементы, относящиеся к трехфазной сети 50 Гц.
Каждый моделируемый элемент сопровождается исчерпывающим набором целочисленных признаков состояний, команд управления и сигналов, признаков аварий, переменных состояния и параметров, которые необходимы для его функционирования. Например, у турбогенератора имеются следующие целочисленные признаки: состояние турбины, состояние генератора, признак параллельной работы. Команды управления: на пуск турбины, на пуск генератора, на установку регулирующего режима генератора, на установку регулирующего режима турбины, на установку совместного с другими тренажерами режима. Сигналы от кнопок увеличения или уменьшения частоты. Признаки аварий: неисправность в системе возбуждения; короткое замыкание на шинах синхронной машины; неисправность в системе регулирования турбины, приводящая к ее разгону. Переменные состояния определяются текущими значениями тока возбуждения, тока статора, напряжения возбуждения, напряжения статора, частоты, активной и реактивной мощности, электрического момента. Параметры: ток обмотки возбуждения на холостом ходу, номинальный ток, максимальное напряжение возбуждения, номинальное напряжение, номинальная частота, номинальная мощность, синхронное индуктивное сопротивление обмотки статора (ИСОС) по продольной оси, синхронное ИСОС по поперечной оси, переходное ИСОС по продольной оси, переходное ИСОС по поперечной оси, сверхпереходное ИСОС по продольной оси, сверхпереход-ное ИСОС по поперечной оси, индуктивное сопротивление рассеяния обмотки статора, обороты турбины, постоянная времени обмотки возбуждения при разомкнутой обмотке статора, постоянная времени агрегата, механические потери, заданная уставка напряжения генератора, коэффициент мощности, коэффициент усиления по каналу регулирования момента, синхронная угловая скорость вращения, минимальное напряжение возбуждения, активное сопротивление обмотки статора, постоянная времени обмотки возбуждения периодической составляющей сверхпереходного тока при одно-, двух-и трехфазном коротком замыкании, постоянная времени канала регулирования момента, коэффициент усиления в канале регулирования напряжения, напряжение обмотки возбуждения на холостом ходу, постоянная времени регулятора системы возбуждения.
В процессе обработки в ТЕРМИТе генерируются файл исходных данных для пакета SELEN, содержащий сведения о структуре электрической сети, параметрах элементов, начальных состояниях и данных, а также диагностический файл с выявленными замечаниями и ошибками. Результатом обработки является исполняемый код функционального программного обеспечения, реализующего модель ЭЭС.
7. Использование пакета SELEN при создании тренажеров ЭЭС. Пакет SELEN применяется с 2002 г. при разработке моделей ЭЭС в составе судовых и стендовых энергетических установок различного назначения. В 2005-2006 гг. в ходе глубокой модернизации был фактически заново создан ПМТ пароэнергетической установки атомного ледокола «Россия» для тренажерного центра атомного флота.
Существенную часть ПМТ составил тренажер ЭЭС ледокола (рис. 5). Построение для него математической модели осуществлено с помощью пакета SELEN. В расширенном понимании ЭЭС ледокола представляет собой единый комплекс источников электроэнергии, распределительных устройств с сетями, а также
электропотребителей, обслуживающих паропроизводящие установки (ППУ), паротурбинные установки (ПТУ) и вспомогательные турбогенераторы (ВТГ). В состав тренажера ЭЭС вошли модели двух независимых электростанций (носовой и кормовой), имеющих свои главные распределительные щиты (ГРЩ1 и ГРЩ2).
Рис. 5. Вид пультов управления ЭЭС
В качестве источников электроэнергии для электростанций моделируются пять ВТГ и резервный дизель-генератор (РДГ). В соответствии со схемой генерирования электроэнергии разработаны также модели двух аварийных дизель-генераторов (АДГ), подключаемых с помощью автоматических выключателей к генераторным секциям щита АДГ. Для имитации электроснабжения потребителей в условиях стоянки ледокола в базе при неработающей ядерной ППУ созданы модели систем питания от береговой сети через два щита питания с берега (ЩПБ1 и ЩПБ2), соединенных между собой постоянной перемычкой. Распределение электроэнергии ЭЭС в тренажере воспроизводится с использованием моделей ГРЩ, аварийного распределительного щита, щита котельных отделений, вторичных распределительных щитов, переключающих устройств, преобразователей, трансформаторов. Схема распределения электроэнергии в модели была условно разделена на: сеть 380 В 50 Гц питания механизмов машинно-котельного отделения; сеть 380 В 50 Гц питания механизмов ППУ и автоматики; сеть 220 В 400 Гц питания механизмов ППУ, автоматики, контроля и систем
радиационной безопасности, сеть 380 В 50 Гц питания потребителей собственных нужд главной энергетической установки (ГЭУ); сеть 380 В 50 Гц питания вентиляции; сеть питания потребителей радиосвязи, радиолокации и штурманских приборов; сеть 220 В 50 Гц питания освещения, приборов связи, сигнализации, камбуза, бытовых механизмов; сеть внутрисудовой громкоговорящей связи и телефонии. Была реализована возможность подключения более 70 учитываемых в моделе потребителей.
Модель ЭЭС ледокола дополнена также моделью системы Двина, с помощью которой управляют электростанциями и автоматами потребителей, а также контролируют параметры работ систем электроснабжения. Система реализовала следующие функции: синхронизацию, автоматическую для ВТГ или РДГ с ГРЩ, полуавтоматическую (с ручной подгонкой частоты) шин ГРЩ, самих ГРЩ между собой и с береговой сетью, дистанционную (ручную) любых источников и ГРЩ, запуск резерва, автоматическую разгрузку ГРЩ при перегрузке генераторов по току и по сигналу аварийной защиты (АЗ) двух ППУ, дистанционное управление автоматами ГРЩ, серводвигателями регуляторов ВТГ и РДГ, возбуждением ВТГ и РДГ, автоматический и дистанционный контроль сопротивления изоляции, дистанционный пуск РДГ и АДГ, дистанционную остановку РДГ, автоматическое отключение автоматов питания с берега при обрыве одной из фаз береговой сети, аварийно-предупредительную сигнализацию, дистанционный контроль параметров ЭЭС по измерительным приборам и с помощью системы Полюс-С.
В тренажере смоделированы следующие режимы нормальной эксплуатации: выполнение функциональных проверок в соответствии с пультовыми инструкциями и инструкциями по эксплуатации оборудования, систем управления и контроля в части операций, выполняемых с пультов ЦПУ и отражаемых на них; набор схемы и контроль электрообеспечения при раздельной работе любого ВТГ и РДГ на шины собственного ГРЩ; набор схемы и контроль электрообеспечения при раздельной работе любого ВТГ и РДГ через перемычку на другой ГРЩ; набор схемы подключения для параллельной работы любого ГРЩ с береговым источником на время перевода нагрузки; набор схемы подключения для параллельной работы РДГ с любым ВТГ и ГРЩ на время перевода нагрузки; набор схемы подключения для параллельной работы трех ВТГ на любом ГРЩ на время перевода нагрузки; набор схемы электрообеспечения при раздельной работе АДГ на ЩАГ; контроль блокировки ряда автоматов, не позволяющей одновременного их включения; контроль автоматической синхронизации любого ВТГ и РДГ; полуавтоматическая синхронизация секции ГРЩ и обоих ГРЩ между собой и с берегом; дистанционная (ручная) точная синхронизация любых ВТГ и РДГ с шинами ГРЩ или обоих ГРЩ между собой и с берегом; контроль прохождения сигнала на запуск АДГ и РДГ при провале частоты до 90% в течение 1 с с одновременным отключением автоматов генераторов; контроль прохождения сигнала на запуск АДГ и РДГ при исчезновении напряжения на ГРЩ; контроль прохождения сигнала на запуск АДГ и РДГ при уменьшении напряжения до 85% в течение 5 с; контроль прохождения сигнала на запуск АДГ и РДГ при срабатывании АЗ реакторов; контроль автоматического подключения запустившегося РДГ к обесточенным шинам ГРЩ2; контроль автоматической разгрузки ВТГ и РДГ при перегрузках по активному току (уставки 110 и 130%) при срабатывании АЗ на реакторах; дистанционное распределение нагрузки источников; дистанционное управление возбуждением источников; дистанционное управление фидерными автоматами; контроль сопротивления изоляции. Были смоделированы более 50 стандартных и нестандартных неисправностей, работа систем контроля, управления и сигнализации. Таким образом, описанная технология автоматизации
моделирования позволяет реализовывать в полном объеме - как по масштабу, так и по функциональным возможностям - модели сложных ЭЭС.
Общее число логических сигналов, относящихся к тренажеру ЭЭС, превысило 3000, аналоговых - 1500. Непрерывная устойчивая работа тренажера исчислялась многими часами (до 7 ч) в режиме ежедневной односменной эксплуатации в период обучения персонала. При этом ни разу не зафиксировано отставание от реального времени, режим которого контролируется специальным системным программным обеспечением.
8. Заключение. Разработан и программно реализован алгоритм расчета математической модели ЭЭС. Многолетний практический опыт применения рассмотренных математических моделей электрических машин и нагрузок, а также уравнений сети трехфазного переменного тока подтверждает эффективность их использования в качестве базовых для автоматизированного синтеза моделей сложных ЭЭС с помощью пакета программ SELEN.
Литература
1. Копылов И. П. Математическое моделирование электрических машин. М.: Высшая школа, 2001. 327 с.
2. Веретенников Л. П. Исследование процессов в судовых электроэнергетических системах. Теория и методы. Л.: Судостроение, 1975. 376 с.
3. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы / пер. с англ. М. В. Горбатовой и др.; под ред. В. А. Горбатова. М.: Мир, 1984. 455 с.
4. Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979. 208 с.
5. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.
6. Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений / пер. с англ. В. В. Воеводина, В. Н. Фаддеевой. М.: Наука, 1970. 564 с.
Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко.
Статья принята к печати 24 декабря 2009 г.
