Управление хаотической динамикой нелинейных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.311

Будник Светлана Владимировна\

студент, бакалавр. Шашихин Владимир Николаевич ,

профессор, д-р техн. наук, профессор

УПРАВЛЕНИЕ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКОЙ НЕЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМ

Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский

политехнический университет Петра Великого»,

1 2 [email protected], [email protected]

Аннотация. В работе предложен метод управления хаотической динамикой. Метод заключается во введении в нелинейную систему обратной связи по состоянию и изменении энтропии замкнутой системы для достижения желаемого результата -усиления хаоса в системе или перехода от хаотического к регулярному движению. Рассматривается решение с помощью предложенного метода задач стабилизации и усиления хаоса для системы Чуа.

Ключевые слова: управление хаосом, характеристические показатели Ляпунова, энтропия, обратная связь по фазовому вектору.

Svetlana V. Budnik1,

student, bachelor. Vladimir N. Shashikhin2,

Professor, Doctor of Technical Sciences

CONTROL OF CHAOTIC DYNAMICS FOR NONLINEAR SYSTEMS

Russia, Sankt-Petersburg,

Peter the Great Sankt-Petersburg Polytechnic University, 12 [email protected], [email protected]

Abstract. In the paper a method for controlling chaotic dynamics chaos is proposed. The method consists in introducing into the nonlinear system the feedback and change of the entropy of a closed system in order to achieve the desired result - amplification of chaos in a chaotic system or transition from chaotic to regular motion. With the help of the proposed method, chaos control in system of Chua is considered.

Keywords: Chaos control, Lyapunov characteristic parameters, entropy, coordinate feedback.

В настоящее время для управления хаотической динамикой используются методы на основе введения в нелинейную систему обратной связи по фазовому вектору. Метод линеаризации отображения Пуанкаре (метод OGY) [5] позволяет стабилизировать неустойчивые периодиче-

ские решения хаотической системы в окрестности неподвижной точки, соответствующей исходному циклу. Недостатком метода является неустойчивость неподвижной точки отображения Пуанкаре и необходимость точного знания параметров матрицы, соответствующей многообразиям неподвижной точки.

Метод Пирагаса обеспечивает стабилизацию периодической орбиты нелинейной системы путём построения обратной связи по фазовому вектору с запаздывающим аргументом [3]. Метод Пирагаса чувствителен к выбору времени запаздывания в зависимости от периода цикла, который, как правило, неизвестен в хаотических системах, поэтому достичь требуемой сходимости можно в редких случаях.

Также для управления хаотической динамикой используются традиционные подходы и методы автоматического управления [1]. Например, в работе [6] стабилизация хаотической системы осуществляется с помощью обратной связи по отклонению, а для выбора коэффициентов регулятора используется критерий Рауса-Гурвица.

Данная работа посвящена синтезу управления нелинейной системы путем введения обратной связи, которое позволяет решать задачи как усиления хаоса, так и его подавления. В качестве меры хаоса используется энтропия системы.

Постановка задачи. Пусть уравнения состояния автономной нелинейной динамической системы имеют вид:

х = F (х) + Ьи(г), (1)

где г е Я1 - время;

х = х(г) е Яп - вектор координат состояния; и = и (г) е Я1 -управляющее воздействие; F (х) - нелинейная вектор-функция; Ь - матрица (столбец) входных параметров.

Пусть при и (г) = 0 любое решение х(г) системы (1) с начальными условиями из множества О: х(0) = х0 е О является хаотическим.

Рассмотрим задачу стабилизации хаотической системы (1), заключающуюся в подавлении хаотических колебаний путем приведения их к регулярным колебаниям или к стационарной точке с помощью управляющих воздействий и задачу усиления хаоса - увеличении меры хаоса (энтропии системы).

Синтез обратной связи. Методику синтеза регулятора рассмотрим для цепи Чуа [4], модель которой при использовании безразмерных переменных и коэффициентов имеет вид:

х1 сх);

х&1 — а( х2 х1 сх1 — х1 х2 + хз;

х

3

Ьх2.

Здесь параметры модели равны: а = 10; 5 = 16; с = -0,143. Спектр характеристических показателей Ляпунова системы (2) имеет вид

1= 0,3079; 1 =-0,0179; 13 =-2,8897.

и содержит положительный, нулевой и отрицательный характеристические показатели Ляпунова, что свидетельствует о наличии хаоса и, следовательно, аттрактор системы странный.

Энтропия системы связана с характеристическими показателями Ляпунова, при расчёте которых используется матрица Якоби. Предлагается изменить собственные числа матрицы Якоби в одной точке на траектории системы для изменения её энтропии. Причём чтобы не игнорировать собственную динамику системы, желательно выбирать собственные значения матрицы Якоби с минимальной зависимостью от фазовых координат.

Для системы Чуа матрица Якоби имеет вид

] =

-а

(3х12 + с)

1 0

а 0

-1 1

-5 0

(3)

Якобиан (3) при заданных параметрах системы зависит только от фазовой координаты х1 .

Выберем точку х * на траектории неуправляемой системы (2), в которой необходимо изменить собственные числа Якобиана. Для этого

рассмотрим зависимость собственных чисел Якобиана {у^ }П=1 от х1 на траектории системы (2), начинающейся в точке х(0) = [0,46619; 0,066858; -0,46044]г. Графики изменения собственных чисел Якобиана от компоненты х1 представлены на рис. 1 - рис. 3.

гч

С)

се

О 0.5 -0.5 0

§ Ц

Рис. 2. Зависимость действительной и мнимой части V2 от x1

СП >

С)

гк

-2

-2.5

1 -3

-3.5

-4

и 0 5 -0.5 и

х1 х1

Рис. 3. Зависимость действительной и мнимой части Vз от x1

05

Из представленных графиков (см. рис. 1 - рис. 3) видно, что значения собственных чисел Якобиана симметричны относительно точки х1 = 0, и эта точка является точкой локального экстремума функций у{ (х^. В качестве точки х * выбираем точку, в которой х1 = 0. В выбранной точке x * матрица Якоби равна J *, а вектор её собственных значе-

ний равен у:

у* =

2,4283 + 0,0000/ -0,9991 + 2,9024/ -0,9991 - 2,9024/

Изменим исходную систему (2) так, чтобы в точке х * Якобиан 1 * замкнутой системы имел заданные собственные значения:

v * = av *,

где а - коэффициент, близкий к единице.

Якобиан замкнутой системы-выберем в виде

1 * = 1 * +Ък,

где к е - коэффициент обратной связи, который находится по методике синтеза модального регулятора [2].

При управлении первой компонентой фазового вектора система (2) с введённой обратной связью по состоянию принимает вид

Х1 = a(х2 -х1 - сх{) + к1х1 + к2x2 + к3х3;

Х&2 — Xi Х2 + Х3 ;

Х3 = -РХ2-

(4)

Рассмотрим зависимость старшего показателя Ляпунова 1 от а при х1 = 0 (рис. 4).

0.4

Ü.3 0.2

i 0.1

IT'

о -0.1

-0.2

у- 1

i ■ С ГУ;: 0.316

X: 0 93 V: 0.361Э \ 1

\ \

I \

I \

1 X: 1.! 5 Vi-0.06587

"S

■ : : "

Ü.8

0.85

0.9

0.35

1

alfa

1.05

1.1

1.15

1.2

Рис. 4. Зависимость 1 от а

Для системы (4) энтропия равна старшему характеристическому показателю Ляпунова 11, если он положителен. Выберем значение а* в зависимости от цели управления и введём в систему обратную связь по фазовому вектору с коэффициентом к * е Яыз, соответствующим а*. Тогда система (4) примет вид

3

Х1 —a(х2 - х1 - сх{) + к * -х;

Х2 - х^ х2 + хз ;

Х3 = -Рх2-

Задача усиления хаоса в системе (2). Выберем по графику на рис. 4 коэффициент а* = 0,93. Ему соответствует коэффициент обратной связи, рассчитанный по методике синтеза модального регулятора, равный к * = [-0,0300; 0,6475; 0,2498].

Рассмотрим, как изменились спектр характеристических показателей Ляпунова и поведение траекторий системы (2) в фазовом пространстве после введения в неё обратной связи по состоянию. Спектр характеристических показателей Ляпунова замкнутой системы (5) равен

1 = 0,3619; 1 = 0,0017; 13 =-2,5382.

Спектр характеристических показателей Ляпунова исходной системы без регулятора, рассчитанный выше равен

1= 0,3180; А, =-0,0162; 13 =-2,9026.

Старший характеристический показатель Ляпунова увеличился в 1/1 = 1,14 раза. Следовательно, увеличилась энтропия замкнутой системы и её хаотичность.

График проекции траектории исходной системы (2) с начальными условиями х(0) = [0,46619; 0,066858; -0,46044] на фазовую плоскость х1, х2 представлен на рис. 5.

Рис. 5. Проекция траектории исходной системы на фазовую плоскость х1, х2

График проекции траектории замкнутой системы с начальными условиями х(0) = [0,46619; 0,066858; -0,46044] на фазовую плоскость х1, х2 представлен на рис. 6. Форма аттрактора исходной системы (2) после введения обратной связи стала более «запутанной».

-С 1 -0.5 -П.4

Рис. 6. Проекция траектории замкнутой системы на фазовую плоскость х1, х2

Задача стабилизации системы (2). Из графика зависимости 1 от а (см. рис. 4) выберем а* так, чтобы подавить хаос в системе. Для этого подходят все а, в которых 11 < 0. Выберем для стабилизации системы Чуа значение а* = 1,15. Ему соответствуют коэффициент обратной связи

к* = [0.0646 -1.5383 -0.6802]

и спектр отрицательных характеристических показателей Ляпунова

1 =-0,0659; 1 =-0,0656; 13 =-5,8984, что свидетельствует об устойчивости замкнутой нелинейной системы.

График проекции траектории замкнутой системы с начальными

условиями х(0) = [0,46619; 0,066858; - 0,46044] на фазовую плоскость х1, х2 представлен на рис. 7. Из графика видно, что аттрактор системы является регулярным в виде стационарной точки типа фокус.

0.55

Рис. 7. Проекция траектории замкнутой системы на фазовую плоскость Х1, Х2

Заключение. Для решения задач управления хаосом в работе предложен метод, основанный на введении обратной связи по состоянию и изменении энтропии замкнутой системы. Изменение энтропии осуществляется за счёт введения вектора коэффициентов обратной связи, который находится по методике синтеза модального регулятора. Желаемые собственные числа Якобиана замкнутой системы связаны с собственными числами Якобиана исходной системы коэффициентом пропорциональности. Работоспособность метода проверена на нелинейной хаотической системе - системе Чуа.

Список литературы

1. Андриевский Б.Р. Управление хаосом: методы и приложения. I. Методы / Б.Р. Андриевский, А. Л. Фрадков // Автоматика и телемеханика. — 2003. — № 5. — С. 3-45.

2. Козлов В.Н. Теория автоматического управления: учеб. пособие по курсовому проектированию / В.Н. Козлов, В.Е. Куприянов, В.Н. Шашихин — СПб.: Изд-во Политехи. ун-та, 2009. — 127 с.

3. Шашихин В.Н. Хаос и нелинейная динамика. Регулярная и хаотическая динамика: учеб. пособие / В.Н. Шашихин — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. — 211 с.

4. Chua L.O. Bifurcation Analysis of Chua's Circuit / L.O. Chua, L.T. Huynh // [1992] Proceedings of the 35th Midwest Symposium on Circuits and Systems. 1992. pp. 746—751.

5. Ott E. Controlling chaos / E. Ott, C. Grebogi, G. Yorke // Phys. Rev. Lett. 1990. V.64. (11) 1196—1199.

6. Yamapi R. Harmonic oscillations, stability and chaos control in a non-linear electromechanical system / R. Yamapi, J.B. Chabi Orou // Journal of Sound and Vibration. 2003. 259(5). pp. 1253—1264.

УДК 533

Ефремов Артем Александрович,

канд. физ.-мат. наук, доцент, Козлов Владимир Николаевич,

д-р тех. наук, профессор

СТРУКТУРНО-ИНВАРИАНТНАЯ МОДЕЛЬ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ОБЪЕДИНЕНИЙ НА БАЗЕ УРАВНЕНИЙ ГЕНЕРАТОРОВ

В ФАЗНЫХ ОСЯХ

Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский

политехнический университет Петра Великого,

1 2 [email protected], [email protected]

Аннотация. На базе дифференциальных уравнений электромагнитных процессов синхронного генератора в фазных осях выводиться модифицированная структурно-инвариантная модель электроэнергетических объединений.