Структурно-функціональні схеми дискретного часу частотонезалежних демодуляторів ам- та чм-гармонічних сигналів Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.322 Доц. П.В. Тимощук, д-р техн. наук -

НУ "Львiвська nолiтехнiка"

СТРУКТУРНО-ФУНКЦЮНАЛЬШ СХЕМИ ДИСКРЕТНОГО ЧАСУ ЧАСТОТОНЕЗАЛЕЖНИХ ДЕМОДУЛЯТОР1В АМ- ТА ЧМ-ГАРМОН1ЧНИХ СИГНАЛ1В

Запропоновано структурно-функцiональнi схеми дискретного часу демодулято-piB частотно-модульованих сигналiв. Структурно-функцюнальш схеми демодулято-piB отримують на основi математичних моделей у фоpмi дифеpенцiйних, штеграль-них та вщповщних piзницевих piвнянь i мiстять цифpовi дифеpенцiатоpи, ланки зат-римки, суматори, перемножувач^ подiльники та функцiональнi перетворювачг Структура i параметри демодулятоpiв не залежать вщ амплiтуди вхiдних сигналiв та несно'1 частоти. Запpопонованi демодулятори не потребують фiльтpування вихiдних сигналiв. За наявностi незначних шумiв у вхщних сигналах демодулятори можуть використовуватись без будь-яких додаткових засобiв. Вплив шумiв високого piвня мiнiмiзуeться до прийнятно! величини, якщо вхiднi сигнали перед подачею на демодулятор пропускаються через набip вузькосмугових фшк^в з отриманням на !х ви-ходi майже монохроматичних сигналiв.

Ключов1 слова: стpуктуpно-функцiональна схема дискретного часу, демодулятор частотно-модульованих сигналiв, математична модель, функцюнальний перетво-рювач, вузькосмуговий фiльтp, монохроматичний сигнал.

Assoc. prof. P.V. Tymoshchuk-NU "L'vivs'kaPolitekhnika"

Discrete-time structure-functional schemes of frequency independent demodulators of AM- and FM- harmonic signals

Structure-functional schemes of discrete-time demodulators of frequency modulated signals are proposed. The models are determined in a form of difference equations with given initial conditions. Structure-functional schemes of the demodulators consist of discrete-time differentiators, time delays, summers, multipliers, dividers and functional transformers. The structure and parameters of demodulators are independent of a carrier frequency. The proposed demodulators do not need a filtering of output signals. In the conditions of small level noises in input signals the demodulators can be used without any additional tools. An affect of high level noises is minimized to an acceptable magnitude if input signals before demodulator are passed through a set of narrow band filters with an obtaining on its output almost monochromatic signals.

Keywords: structure-functional scheme of discrete-time, demodulator of frequency modulated signals, mathematical model, functional transformer, narrow band filter, monochromatic signal.

Вступ. Демодулятори частотно-модульованих сигнашв широко вико-ристовуються у р1зномаштних цифрових пристроях для обробки сигнашв. Класичним методом детектування модульованих сигнашв е метод анаштично-го сигналу, який базуеться на використанш спряженого сигналу u(t) вщ реального сигналу u(t) [1]. Аналггичш методи точного демодулювання сигнал1в

u(t) = a(t) cos p(t) = a(t) cos[oot + Ф(()], (1)

де: a(t), p(t) i ra(t) = dp/ dt - часов! залежност амплггуди, фази та частоти, постшно е об'ектом шдвищено! уваги багатьох фах1вщв. Сигнали (1) вико-ристовують тод1, коли a(t) i ra(t) змшюються не надто швидко, тобто для об-межено! смуги частот [2, 3].

Застосовуються також альтернативш методи демодулювання сигналiв виду (1) [1-3]. Кожен з юнуючих MeTOAiB мае свою область застосувань. Зок-рема, метод аналiтичного сигналу, який грунтуеться на перетвореннi Гшьбер-та, дае вищу точнiсть демодуляци для широкосмугових сигналiв, тобто за близьких значень частот несних коливань та повщомлень. Однак вш вщзна-чаеться бiльшою обчислювальною складнiстю, шж альтернативнi методи. Для квазiгармонiчних сигналiв, тобто для вузькосмугових повiдомлень, як застосовуються у бiльшостi сучасних комушкацшних систем, де використо-вуеться модулящя, бiльш точними та ефективними е альтернативш методи.

Нехай вхщт сигнали AM-демодулятора описуються спiввiдношенням:

x(t)=A(t) cosoQ t; A(t)>0; te T, (2)

де A(t) - огинаюча; - частота несного високочастотного коливання. Сигнали (2) призводять до появи на виходi демодулятора вихщних реакцш

y(t)=A(t). (3)

Вважатимемо, що огинаюча A(t) е повiльною функщею часу, тобто за-довольняеться нерiвнiсть Qm/rn0<1, де Qm - найвища частота спектру огина-ючо!. Така умова, зазвичай, виконуеться для бшьшост сигналiв за будь-якого способу модуляци. Тодi можна прийняти, що амплггуда сигналу змiнюеться настiльки повiльно, що у межах одного перюду високочастотного коливання модульоване коливання можна вважати гармошчним [4].

Припустимо, що вихщш сигнали ЧМ-демодулятора описуються так:

x(t)=Acos ¥(t)=Acos[ ( t + S(t)], t e T, (4)

де A - амплггуда несного високочастотного коливання; ¥(t) - фаза. Нехай, зпдно з вимогами до ЧМ-демодулятора, його реакци на вхщш ди (1) (повь домлення на виходi демодулятора) повиннi мати вигляд:

y(t)=d¥(t)ldt = а0+ dS/dt. (5)

Вважатимемо, що ширина спектру повщомлення е малою порiвняно з несною частотою, тобто, як i для демодулятора АМ-сигналiв, виконуеться не-рiвнiсть Qm/rn0<1, де Qm - найвища частота спектру повщомлення. Це дае змо-гу вважати фазу повшьною функцiею часу i прийняти, що миттева частота по-вiдомлення змшюеться настiльки повiльно, що у межах одного перюду високочастотного коливання модульоване коливання можна вважати гармошчним.

Шд час застосування альтернативних методiв демодулювання вузькосмугових сигналiв огинаюча та частота кваз^армошчних коливань однозначно можуть визначатись за допомогою похщних вщ сигналiв u (t), як [5]:

a(() = ^[u(t)] + о-2 [u ()]2 ; (6)

u "(t) + oo2u(t)

(t) = (

1- u(()

{u '(t)}2 + (02 {u(t)}2

(7)

Для отримання залежностей a(() та (t) за допомогою виразiв (6) та (7) необхщно мати значення несно! частоти Ми розглядаемо незалежнi

вiд несно1 частоти сс демодулятори АМ- та ЧМ-гармошчних сигналiв дискретного часу, яю не потребують фiльтрування вихщних сигналiв.

Для незалежного вiд сс визначення параметрiв вузькосмугових сигна-лiв в [1] запропоновано алгоритми демодуляторiв АМ- та ЧМ-сигналiв Tire-ра-Кайзера, зпдно з якими часовi залежност амплiтуди та частоти визнача-ються за формулами:

* ) , (8)

c(t) =

'¥( и ')

1/2

(9)

_¥( и)

де ¥(и) = [и '(012 - 40« "(0, ') = [и "(О]2 -и '(0и'"(/) - так зваш енергетичнi опе-ратори.

Оскшьки аналоговi моделi (8) та (9) будуються на базi похщних за часом вiд вхщних сигналiв демодуляторiв, 1х структурно-функцiональнi схеми реалiзуються на основi диференцiаторiв, як можуть мати низьку точнiсть i стабiльнiсть функцiонування на низьких частотах сигналiв та за наявностi шумiв. Тому для забезпечення точного i стабiльного функцiонування демоду-ляторiв на низьких частотах, а також в умовах шумiв можна отримати мате-матичнi моделi демодуляторiв АМ- та ЧМ-сигналiв на основi iнтегралiв вщ вхiдних сигналiв. Це досягаеться унаслщок замiни у виразах (8) та (9) похщ-них и '(0, и "(0, и '"(0 на штеграли | и()сй,|| и(()^Й 2,|Ц и(()^Й3 вiдповiдно, що приводить до отримання виразiв для часових залежностей амплiтуди та частоти виду:

О(и) [О(и)]

О (и')п1/2

(10)

c(t)

(11)

_0( и)

де енергетичш оператори описуються так:

0(и) = и(г)йь]2 - и(г)Ц и(г)ьй2 (12)

в (и) = [Ц и(г)га2 ]2 - \ и(г)аг [[[[ и(г )га3 ]. (13)

Структурно-функщональш схеми дискретного часу демодуляторiв АМ- та ЧМ-сигналiв.

Шляхом дискретизаци спiввiдношень (8) i (9) можна отримати вщпо-вiднi дискретш моделi демодуляторiв у виглядi:

а(к) = г У(и^1/2, (14)

[ВД]1

С) = , (15)

де: ¥(и) = [Уп{к)]2-и(к)У2и(к), ^(Уи) = [у2и(к)] - Уи(к)У 3и(к), а Уи (к ) = ( и (к +1)-и (к -1))/2, У2и (к )= и (к +1)-2м (к)+ и (к -1), У3х (к ) = = (и (к + 2)-2и (к +1) + 2и (к -1)-и (к - 2))/2 - скшченш рiзницi першого, другого i третього порядку вщповщно, к - номер дискрети [7].

Структурно-функщональну схему демодулятора дискретного часу, сконструйовану за моделлю (14)-(15) на основi ланок затримки Т, цифрових суматорiв, перемножувачiв, подiльникiв та функщональних перетворювачiв, показано на рис. 1, а.

■Злю

и[к+2)

и[к+1)

Уи(к)

а.

V иск)

Щк-1)

<+>— 1

V !и(к)

и (к)

ш

1и{к]

И

Ш

Ц1

и(к)

и

ОД

1

Т(и)

У(7и)

А(к)

1

В

ш(к)

С(!и)

п

О(и)

П(и)

С(1и)

V-

А(к) о(к)

а б

Рис. 1. Структурно-функцюнальна схема дискретного часу демодуляторiв АМ- та ЧМ-гармошчних сигналiв, сконструйована за моделлю:

а - (14)-(15); б - (18), (19)

Унаслщок дискретизацн виразу (12) можна отримати сшввщношення

виду:

0(и) = [/и(к)]2 - и(к) 12и(к):

(16)

де 1и (к +1) = 1и (1) + Х

'=1 2

к и > + " + '); Л, (к +1) = Л, (1) + ]Г/" (') + 1и (' + ');

'=1 2

к = 1,2,..., N -1; /и(1)« 0; /2и(1) « К

— ■

М

<щ

2 2

- + -

(С1-Щ)) + )

кретизацн за часом. Для позначення

Р(и) = [ 12и(к) ]2 - 1и(к) 13и(к).

; Дt - крок дис-

(17)

дискретнi часовi залежностi амплiтуди та частоти визначаються за виразами:

^pf^' (18)

со

Р(и) 0(w)

(19)

де Ih(k +1) = /40 + 73W(1)жо.

i=1 2

Структурно-функцiональну схему демодулятора дискретного часу, сконструйованого за моделлю (18), (19) на основi цифрових iнтеграторiв Ц1, суматорiв, перемножувачiв, подiльникiв та функцiональних перетворювачiв, наведено на рис. 1, б.

3. Результати комп'ютерного моделювання

Дослiдимо вплив на вихщт сигнали АМ-демодуляторiв похибок пара-метрiв 1х моделей. Для цього введемо до моделей (14), (18) похибки виконан-ня операцш перемноження сигналiв, дiлення та добування квадратного коре-ня величиною 1 %. Нехай вхщт сигнали демодулятора визначаються, як x(t)=(1+Mcos Ф t)cosœ01, точнi вихiднi сигнали z(t)=1+Mcos Ф t, де M=1, Ф =1 МГц, со =10 МШ, te [0;2р/ Ф ]. Вихщш сигнали дискретних моделей демодулятора АМ-сигналiв, отриманi для n=100 часових точок, показаш на рис. 2. Зпдно з цим рисунком, вщхилення вихiдних сигналiв АМ-демодулятора вщ точних величин за заданих похибок параметрiв демодуляторiв може досягати 25 %, тобто отримаш схеми АМ-демодуляторiв е чутливими до змiн значень ïx параметрiв. Тому для шдтримання стабiльними вихiдних сигналiв такi демодулятори потребують точних значень параметрiв або ïx стабiлiзацiï.

Рис. 2. Вхiдний та вихiднi сигнали демодуляторiв AM-сигналiв дискретного часу при варiацiях параметрiв моделей (23), (27)

Нехай похибки операцш перемноження сигналiв, дшення та видобу-вання квадратного кореня отриманих моделей цифрового демодулятора ЧМ-сигналiв (15), (19) дорiвнюють 1 %. Приймемо, що вхщт сигнали такого де-

модулятора визначаються з виразу x(t) = A cos[^ot + m sin (Qt)], а T04HÍ вихiднi

сигнали описуються так: y(t) = (ю + mQcosQt)/K, де K = 108, A = 1, m = 7, co0

= 10 MHz, Q = MHz, t e[0;2W Q]. Вихщш сигнали, отримаш на ootobí дис-

кретних моделей демодулятора ЧМ-сигналiв (15), (19) для n = 100 дискретних часових точок, показано на рис. 3, де z - точш вихiднi сигнали демодулятора. Як можна побачити з рис. 3, вщхилення вихщних сигналiв ЧМ-демодулятора вiд точних величин при заданих похибках параметрiв демодуляторiв мо-же перевищувати 20 %, тобто отримаш схеми ЧМ-демодуляторiв е чутливи-ми до змiн величин \х параметрiв. Тому для шдтримання точних значень ви-хiдних сигналiв такi демодулятори потребують точних значень параметрiв

або ïx стабшзаци. 1.0

0.5

>

* о

-0.5

-1.0 л ......

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 x10"' t, с

1.5

> 1.0 0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 x 10 " t, с Рис. 3. ExidHuu та euxidHi сигнали демодуляторiв ЧМ-сигнaлiв дискретного часу

для eapia^iu napaMempie моделей

За наявност у вхщних сигналах незначних шумiв отримаш схеми де-модуляторiв можна використовувати без будь-яких додаткових засобiв. За значного рiвня шумiв 1х вплив мiшмiзуеться до прийнятного рiвня, якщо мо-дульованi сигнали перед подачею на демодулятор пропускаються через набiр вузькосмугових фiльтрiв, на виходi яких формуються майже монохроматичнi сигнали. Оптимальний режим роботи демодулятора досягаеться, коли фшь-три е достатньо вузькосмуговими, внаслщок чого вiдношення сигнал-шум на входi демодулятора е достатньо великим [2, 3].

Висновки. Як можна побачити з отриманих результатiв, задача проекту-вання цифрових демодуляторiв мае бшьше одного розв'язку. Отже, можуть виз-начатись оптимальнi розв'язки, тобто за задано! точности вiдображення вхщ-ви-хщ структура демодуляторiв може вибиратись за певними крш^ями. Зокрема, це може здшснюватись на основi вимог до елементно! бази, можливостi вико-нання демодулятором iнших функцiй, тобто його багатофункцюнальносп та iн.

Лiтература

1. Vakman D. On the analytic signal, the Teager - Kaiser energy algorithm, and other methods for defining amplitude and frequency, IEEE Trans. Signal Processing. - Vol. 44, 1996. -P. 791-797.

I "4

NS.

+ у * z

X"' 1

*•..................

2. Bovik A.C., Maragos P., Quatieri T.F. AM-FM energy detection and separation in noise using multiband energy operators, IEEE Trans. Signal Processing. - Vol. 41, 1993. - P. 3245-3265.

3. Maragos P., Kaiser J.F., Quatieri T.F. On amplitude and frequency demodulation using energy operators, IEEE Trans. Signal Processing. - Vol. 41, 1993. - P. 1532-1550.

4. Гоноровский М.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М. : Сов. радио, 1967. -

328 с.

5. Борисов Ю.П., Цветнов В.В. Математическое моделирование радиотехнических систем и устройств. - М. : Радио и связь, 1985. - 176 с.

6. Тимощук П.В. Синтез алгоритм!в детектора ЧМ-сигнашв // Комп'ютерш системи проектування. Теор!я i практика. - Львiв : Вид-во НУ "Львiвська полггехтка". - 2000. - № 398. - С. 86-89.

7. Тимощук П.В. Макромоделювання детекторiв модульованих сигнашв на основi ме-тодiв анал^ичного сигналу та енергетичних операторiв // Математичш методи та ф!зико-ме-хашчш поля : науковий журнал. - Львiв : Вид-во 1ППМ1М iм. Я.С. Пiдстригача НАН Укра!ни. - 2002. - Т. 45, № 2. - С. 130-134._

УДК [338.2+658.5]:338.43 Доц. З.В. Юринець, канд. екон. наук -

Львiвський НУ M. 1вана Франка

ЕКОНОМ1КО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ У ФОРМУВАНН1 СТРАТЕГИ ДЕРЖАВНО1 П1ДТРИМКИ С1ЛЬСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА В РАМКАХ

сп1впрац1 З1 сот i ее

Ключов1 слова: державна тдтримка, економiко-математичне моделювання, сiльськогосподарське пiдприeмство, стратепя.

Assoc. prof. Z.V. Yurynec - L'viv NU named after Ivan Franko

Economical and mathematical design in forming of state support strategy of agriculture within the framework of collaboration with World Organization of Trade and EU

The problem of a choice of state support strategy of agricultural production is considered. Using economic-mathematical model, it is determined optimum strategy of output by the agricultural enterprises. Calculations for the agricultural enterprises of the Lviv area on an example of different agricultural cultures are carried out. Forecasting crops production for the agricultural enterprises was done by the means of the method exponential of smoothing.

Keywords: state support, economic-mathematical modelling, agricultural enterprises, strategy.

Вступ. Важливим напрямом розвитку економ!ки Укра!ни у перспектив! сп!впрац! 3i св!товими !нтеграц!йними структурами е нагальн!сть виокрем-лення пр!оритетного розвитку аграрно! сфери нашо! держави та становления як одного з основних постачальник!в на св!тов! ринки еколог!чно чисто! про-дукц!!. Беззаперечним е той факт, що для виршення цих масштабних питань необхщш виважеш заходи на створення високопродуктивно!, конкурентно! сфери сшьськогосподарського виробництва, що забезпечить Укра!ш вщпо-в!дне м!сце у св!товому мехашзм! спец!ал!зац!! прац!. Укра!на та !! окрем! ре-г!они мають потенц!йн! конкурентн! переваги, як! варто розвивати. I власне, зг!дно з! стратег!ею вБРР, найб!льш! потенц!йн! конкурентн! переваги у на-ш!й держав!, зокрема зах!дного рег!ону, мае саме аграрний сектор [6].