Структура расширенного пространства Текст научной статьи по специальности «Физика»

СТРУКТУРА РАСШИРЕННОГО ПРОСТРАНСТВА

Д.Ю. Ципенюк (tsip@kapella.gpi.ru), В.А. Андреев Институт Общей физики РАН

Расширенное пространство 1.1 Введение

Мы рассматриваем обобщение специальной теории относительности Эйнштейна (СТО) на 5-мерное пространство, а точнее говоря на (1+4)-мерное пространство (Т, X, £),

обладающее метрикой (+----). Физическим основанием для такого обобщения служит тот

факт, что в СТО массы частиц являются скалярами и не меняются при их упругих взаимодействиях. Однако хорошо известно, что фотон можно считать безмассовой частицей и описывать плоской волной только в бесконечном пустом пространстве [1,2]. Если же фотон попадает в среду или оказывается в ограниченном пространстве, например в резонаторе или волноводе, то он приобретает ненулевую массу [3,4].

В данной работе мы всюду, специально этого не оговаривая, будем понимать под массой частицы т ее массу покоя, которая является лоренцевским скаляром. Никаких других масс у нас появляться не будет. Здесь мы следуем рекомендациям обзора [5].

Аналогичным образом можно рассмотреть процесс изменения массы и у других частиц, например, электронов, предполагая, что она зависит от внешних условий и воздействий.

Таким образом, представляется естественным расширить пространство параметров, характеризующих частицу, с учетом того, что при взаимодействии ее масса может меняться.

Приведем простую аналогию. Свободная частица движется по прямой, поэтому, чтобы описать ее поведение, можно ограничиться (1+1)-мерным пространством, образованным временем I и направлением ее движения х, поскольку остальные координаты у и г остаются постоянными. Если же частица начинает взаимодействовать с другими объектами, так что может уйти с прямой и начать двигаться еще и в плоскости (YZ), то такого пространства уже недостаточно и его приходится расширять до (1+3)-мерного [6].

Точно также и в нашем случае, пока масса частицы не меняется, можно ограничиться пространством Минковского M(1,3), но если она начинает меняться, пространство M(1,3) приходится расширять.

В физике неоднократно предпринимались попытки ввести дополнительные измерения, помимо уже известных четырех. В их основе лежали две основные идеи. Во-первых, с их помощью старались свести механические задачи к оптическим, а во-вторых, пытались построить, по аналогии с гравитацией, чисто геометрическую формулировку других взаимодействий, прежде всего, электромагнитного. Некоторые работы, относящиеся к начальному периоду развития таких идей, содержатся в юбилейном Эйнштейновском сборнике [7], монография [8] посвящена систематическому изучению одного из направлений-5-оптики, монография [9] содержит обзор более поздних исследований. Предлагаемый нами подход существенно отличается от всех перечисленных выше моделей, хотя, несомненно, идейно с ними перекликается.

1.2. Структура пространства

Каждой частице, обладающей массой m, в пространстве Минковского соответствует свой гиперболоид, в предельном случае вырождающийся в конус.

Все точки, лежащие на гиперболоиде, обладают одинаковым интервалом —расстоянием до начала координат

^2 = (сГ)2 - х2 - у2 - г2. (1.1)

Поскольку изменению массы частицы соответствует ее переход с одного гиперболоида на другой, т.е. изменение соответствующего интервала, нам представляется естественным выбрать в качестве дополнительной пятой координаты сам интервал s. Таким образом, мы будем работать в пространстве с

координатами ( ) и метрикой (+----). Рассматриваемые объекты находятся в нем на

конусе

(сГ)2 - х2 - у2 - г2 - ^2 = 0. (1.2)

Мы будем обозначать его в(1,4) или G(T, X, £) .

Обычные (1+3)-мерные конуса и гиперболоиды возникают как сечения поверхности (1.2) в пространстве G(T, X, £) гиперплоскостями ^ = 50.

В пространстве G(T, X, £) можно построить обычным образом объекты, имеющие различную тензорную природу и преобраз!ующиеся соответствующим образом !при линейных преобразованиях пространства G(T, X, £) [10]. Векторы впространстве G(T, X, £) в каждой системе координат задаются набором 5-и чисел

а = (а0, а1, а2, а3, а4) = (~, а4) = (а0, а, а4). (13)

Здесь

а — обозначение 5-вектора в расширенном пространстве G(T, X, £), ~ — обозначение 4-вектора в пространстве Минковского M(1,3), а —бозначение 3-вектора в Евклидовом пространстве E(3). В пространстве Минковского M(1,3) каждой частице сопоставляется 4-вектор энергии-импульса [1]

~ Е

Р = (—, Рх , Ру , Рг ). (14)

с

В расширенном пространстве G(T, X, £) мы достраиваем его до 5-вектора

Е

Р = (—, Р,, Ру, Рг, тс). (15)

с

Для свободных частиц компоненты вектора (1.5) удовлетворяют уравнению Е2 = с2 Р2 + с2 Р2 + с2 Рг2 + т2 с 4. (1.5А)

Это известное соотношение релятивистской механики, связывающее энергию,импульс и массу частицы. Его геометрический смысл состоит в том, что вектор (1.5) изотропный, т.е.

его длина в пространстве G(T, X,£) равна нулю. Однако, в отличие от обычной релятивистской механики, теперь мы считаем, что масса частицы т также является переменной величиной, она может меняться произвольным образом при движении частицы по конусам (1.2), (1.5А). Это следует понимать таким образом, что масса частицы меняется,

когда она попадает в область пространства, обладающую ненулевой плотностью вещества. Поскольку в таких областях происходит замедление света, мы будем характеризовать их величиной п - оптической плотностью. Параметр п связывает скорость света в пустоте с со скоростью света в среде у: уп = с.

Набор величин (1.5) образует 5-импульс, его компоненты сохраняются, если пространство G(T, X, £) инвариантно по соответствующему направлению. В частности, его пятая компонента р4, имеющая смысл массы, не меняется, если частица движется так, что все время находится в областях постоянной плотностью вещества или плотностью энергии. Эту плотность внешнего вещества (энергии) можно интерпретировать, как компоненту внешней силы, действующей на частицу.

1.3. Вектора свободных частиц

Мы будем рассмотривать вектора 5-импульсов свободных частиц в пространстве G(T, X, £) и изучать их преобразования при поворотах в этом пространстве. При этом следует учитывать, что в обычной релятивистской

механике и теории поля масса частицы считается неизменной и для частиц с нулевой и ненулевой массами покоя используются разные способы о!писания. Массивные частицы характеризуются своей массой т и скоростью У.

Частицы с нулевой массой (фотоны) характеризуются частотой ю и длиной волны X. Эти ю и X связаны с энергией Е и импульсом р следующим образом

2пЙ

Е=Йю , р=-П (1.6)

X

Массивной частице сопоставляется 4-вектор энергии-импульса р

т- ! 2

~ Е тс ту ,,2 У п ~

с ДД-Р2 лД^ с2

Частице с нулевой массой сопоставляется 4-вектор энергии-импульса ~р

,Е !Ч Лю 2пЙ !Ч Лю "ю^ п2 у

2

р = (-р) = (—,^П) = (—,—П), в2 =— (1.8)

с с X с с

с

Здесь П- единичный вектор, задающий направленое, по которому распространяется фотон.

В рамках нашего подхода не существует разницы между массивными и безмассовыми частицами, поэтому следует установить связь между двумя указанными способами описания. Это можно осуществить, используюя соотношения (1.6) и гипотезу де Бройля, согласно которой данные соотношения справедливы и для массивных частиц [10]. Теперь, подставляя (1.6) в (1.5 а), получим связь между массой т, частотой ю и длиной волны X.

ю2

2пс

т

Л2 2 4

^ (1.9)

/

Сравнивая формулы (1.6) и (1.7), получим выражение для ю и длиной волны X через массу т

тс „ 2п"

о =—. ,

"V1 -в2 ™

Л = —д/!7? (110)

Отсюда видно, что при V ^ 0, X ^ ю, но ю ^ 0 Ф 0 , здесь о0 определяет энергию покоящейся частицы.

Достроим теперь 4-вектора (1.7), (1.8) до 5-векторов. Мы считаем, что покоящейся частице массы т сопоставляется 5-вектор

р = (тс,0, тс). (1.11)

Частицу, движущуюся со скоростью V , можно получить, переходя в движущуюся систему координат. Тогда вектор (1 . 11 ) принимает вид

_ тс mV Л ( Л

р =( ^==,тс). (1.12)

Аналогично, 4-вектор (1.8) обобщается до 5-вектора

_ "о 2п"^

Р = (—(1.13) с Л

При переходе в движущуюся систему координат вектор (1.13) не меняет своего вида, меняется только значение частоты ю.

' о

ю ^ о) =^=. (1.14)

а/Й2

Таким образом, в пустом пространстве в неподвижной системе отсчета имеется два принципиально ра!зличных объекта, с нулевой и ненулевой массами,

которым в пространстве G(T, X, £) соответствуют 5-вектора

(—,—,0). (1.15)

сс

(тс,0, тс). (1.16)

Для простоты мы записали вектора (1.15), (1.16) в (1,1,1)-мерном пространстве. Вектор (1.15) описывает фотон с нулевой массой, с энергией Ью и движущийся со скоростью с. Вектор (1.16) описывает неподвижную частицу с массой т. Фотон обладает импульсом р= Ью/с, у массивной частицы импульс равен нулю. В 5-мерном пространстве оба эти вектора изотропны, тогда как в пространстве Минковского изотропен только вектор (1.15). Длина вектора (х0,х1 ,х2,х3,х4) вычисляется по формуле

1 2 = 2 - 2 - 2 - 2 - 2

1 = Х0 Х1 Х2 Х3 Х4

Если ограничиться преобразованиями Лоренца, то в пространстве Минковского невозможно

перевести изотропный вектор в неизотропный и обратно, т.е. в рамках СТО фотон не может

приобрести массу, а массивная частица не может стать фотоном. Это можно сделать только с

помощью нелинейных конформных преобразований. В пространстве G(T, X, £) фотон и

массивную частицу можно связать друг с другом простым поворотом.

1.4. Преобразования

Рассмотрим подробно преобразования в пространстве G(T, X, S) .

Все они сводятся либо к гиперболическим поворотам

x '= x + Ct tan¡Ü = xcosh ф + ctsinh ф. (117)

д/1 - tanh2 ф

, ct + xtanh ф , . ,

ct = . = ct cosh ф + x sinh ф.

д/1 - tanh2 ф

либо к обычным вращениям в плоскости

x' = xcos у + ysin у. (1.18)

y' = -x sin y + ycos

Имеется три типа таких преобразований.

1) Гиперболические повороты (1.17) в плоскости (T,X).

Это обычные лоренцевские повороты, соответствующие переходу в движущуюся систему отсчета. Скорость системы отсчета v и угол поворота ф связаны друг с другом соотношениями

tanh ф = ß =v, е2ф = —. (1.19)

c c - v

Величина ф является аддитивным параметром, характеризующим поворот в плоскости (T,X). Если сначала выполнить поворот на угол ф1, а затем на угол ф2, то в результате получится поворот на угол ф; +ф2, т.е. в отличие от скоростей, углы поворота просто складываются. Для угла ф имеем выражение

е ф=+ —. (1.20)

V с - V

В формуле (1.20) перед квадратным корнем следует выбрать знак "+", поскольку ф -вещественный параметр. Выбор знака "-" соответствует замене

ф ^ ф + т, что приводит к появлению отрицательных энергий и мнимых импульсов. Мы пока не будем обсуждать смысл подопобных величин.

С точки зрения расширенного пространства G(T, X, £) это соответствует произвольным движениям в пространстве-времени Минковского М(1,3) с постоянной оптической плотностью п. При таких поворотах вектора частиц (1.15), (1.16) преобразуются следующим образом

."ю "ю ,hw> "ю' . » /1

(—,—,0) ^ (-,-,0), где u = иеф, -(1.21)

c c c c

~ mc mctanh ф . . . ,

(mc, 0,mc) ^ ( . , , =±=, mc) = mc(cosh ф,slnh ф,1) (1.22)

yjl - tanh2 ф д/1 - tanh2 ф

Поскольку в формуле (1.20) оставлен знак "+", преобразованная частота ю' = юеф в формуле (1.21) всегда остается положительной.

При таком преобразовании безмассовая частица (фотон) меняет свою энергию и импульс, но не приобретает ненулевой массы. У массивной частицы не меняется масса, которая у нее имелась первоначально. Энергия и импульс у частиц обоих типов меняются, но 5-вектора у них остаются изотропными.

С точки зрения наблюдателя, связанного с неподвижной системой отсчета, преобразование (1.21) можно интерпретировать как результат воздействия наобъекты (1.15), (1.16) некоторой силы, которая меняет их энергии и мпульсы.

Преобразования (1.17) сохраняют величину интервала s, и длину векторов в пространстве Минковского M(1,3) и соответствуют области расширенного пространства G(1,3,const). В этом пространстве они переводят в себя (1+3)-мерные конусы и гиперболоиды, причем действуют на них транзитивно, т.е. с их помощью любую точку, лежащую на конусе или гиперболоиде, можно перевести в любую другую точку, лежащую на той же поверхности. Но перейти с одной такой поверхности на другую с помощью преобразований (1.17) невозможно [11].

2) Рассмотрим теперь повороты в плоскости (TS). Это тоже гиперболическое преобразование, имеющее вид (1.17). Их физический смысл состоит в том, что пространственных движений мы не совершаем, все время находимся в одной и той же точке, но оптическая плотность в этой точке с

течением времени меняется. Таким образом, в данном случае преобразование (1.17) означает переход к другому моменту времени и другой оптической плотности. Все движения происходят по 2-мерным конусам и гиперболоидам и имеют транзитивный характер. Поскольку пространственных движений не совершается, импульсы частиц должны сохраняться.

При преобразованиях (1.17) фотонный вектор (1.15) преобразуется следующим образом

,"ю "ю _ , "ю "ю "юtanh 0 . ."ю , _ "ю "ю . , _ч „„ч (—, — ,0) ^ (—, =, —,—, =) = (—cosh0,—, — sinh 0) (1.23)

c c cV1 - tanh2 0 c cV1 - tanh2 0 c c c

В результате такого преобразования возникает частица с массой

"ю tanh 0 "ю . , Л ,,

m =--= sinh 0 (1.24)

cW 1 - tanh2 0 c

Преобразование (1.23) параметризуется аддитивным параметром 0 - углом поворота. Этот угол мы отсчитываем от светового конуса в сторону кположительному направлению оси времени Т. При таких поворотах в верхней

полуплоскости (1> 0) угол 0 меняется от 0 до ю. В соответствии с формулой (1.24) в этом случае у фотонов появляется только положительная масса. Этот результат представляется совершенно естественным, поскольку свободный фотонный вектор (1.15) существует лишь в пустом пространстве с оптической плотностью п=1. Поворот (1.23) увеличивает оптическую плотность пространства и превращает фотон в частицу ненулевой положительной массой.

Можно вычислить и скорость такой частицы. Для этого следует воспользоваться формулой v=cp/E. Она дает

v = cV 1 - tanh2 0 = —-— cosh 0

(1.25)

Легко проверить, что, несмотря на то, что и масса и скорость частицы меняются, ее импульс остается постоянным. Это сразу следует из релятивистского

выражения для импульса частицы массы т, движущейся со скоростью V, и формул (1.24), (125).

™ (1.26)

2c

V1 - 7

С помощью формулы (1.25) можно установить связь между углом поворота 0 и величиной оптической плотности n.

n = cosh 0, e 0= n ±Vn2 -1 (127)

В формуле (1.27) следует оставить оба знака перед квадратным корнем, поскольку в обоих случаях правая часть больше нуля и имеет физический смысл. В этих обозначениях повернутый вектор (1.23) приобретает вид

("ШП,"ш йш^Щ). (1.28)

c c c

В формуле (1.28) мы оставляем перед квадратным корнем только знак "+", поскольку выше мы уже установили, что при вращениях в полуплоскости (К0), однако, мы сейчас не будем вникать в их физический смысл.

Массивный вектор (1 . 1 6) преобразуется следующим образом

(тс,0, тс) ^ (тсее ,0, тсее). (1.29)

При таком повороте массивная частица меняет свою массу

т ^ тее, - ~ < е < то (130)

и энергию, но сохраняет импульс.

Тот факт, что в формуле (1.27) оба знака имеют непосредственный физический смысл, означает, что при таком преобразовании из одной частицы с массой т возникают две частицы с разными массами

т ^ т + = тее+, (1.31)

т ^ т-= тее-. (1.32)

Таким образом, при поворотах в плоскости (ТБ) массы частиц, обладащих массами покоя, могут изменяться по двум разным законам (1.31) и (1.32). При больших п они имеют следующий характер поведения

ее+ = п + >/п2 -1 ^ 2п ——, при п ^ (134)

2п

ее- = п-л/п2 -1 ^ —, при п ^ то, (135)

2п

Характерно, что фотоны имеют только одну массовую ветвь (1.24). 3) Третий тип поворота, это поворот в плоскости (ХБ).

На самом деле пространство (X) 3-мерно с координатами (x,y,z), но мы выделим в нем одно направление (x) и будем рассматривать вращение в 2-мерном пространстве с координатами (x,s). Все остальные преобразования типа 3) можно получить, комбинируя такие вращения с обычными 3-мерными пространственными поворотами.

Формулы (1.18) задают обычный евклидов поворот. Он соответствует переходу из пространства с одной оптической плотностью в пространство с другой оптической плотностью. При этом никаких временных процессов не происходит, все рассматривается в один и тот же момент времени t.

При этом никаких временных процессов не происходит, все рассматривается в один и тот же момент времени t. Поэтому энергия частиц сохраняется, а все происходящие с ними процессы сводятся к внутренним перестройкам. Условно это можно понимать так, что частица, попадая в более плотную среду, деформируется упругим образом, а, покидая ее, восстанавливает свои характеристики. При этом не происходит обмена энергией и импульсом между средой и частицей.

При повороте на угол у фотонный вектор (1.15) преобразуется по закону

,"ю "ю _ ,"ю "ю "ю . _

(—,—,0) ^ (—,—cos у,— sin у) . (136)

c c c c c

При этом фотон приобретает массу

"ю

m = -rsiny, (137)

c2

и скорость

v = c cosy, (138)

Используя формулу (1.38), можно связать угол поворота у с величиной оптической плотности n

n =—, (1.39)

cosy

В этих обозначениях преобразованный фотонный вектор (1.36) принимает вид

"ю "ю "ю 2

(—, —,—Vn2 -1) . (1.40)

c cn cn

Вектор (1 . 1 6) массивной частицы преобразуется по закону

(mc,0,mc) ^ (mc,-mcsiny,mccosу) = (mc,-mcVn2 - 1,mc). (141)

nn

Энергия частицы при таком преобразовании сохраняется, но меняется ее масса

m

m ^ mcos у = —, (142)

n

и импульс

0 ^-mcsinу = -—л/n2 -1, (143)

n

Повороты (1.18) можно совершать, вообще говоря, на произвольные углы, однако формулы (1.36), (1.37) показывают, что, поскольку мы не умеем придавать смысл отрицательным массам фотонов, следует ограничиться диапазоном

0 <у<п. (1.44)

Теперь масса фотона всегда положительна, а возможность появления отрицательного знака у его импульса следует понимать как отражение фотона о оптически плотных

областей.

Аналогичным образом интерпретируются и формулы (1.41)-(1.43), описывающие преобразование вектора массивной частицы. Такое преобразование физически соответствует попаданию частицы в область с ненцлевой плотностью вещества, приводящей к появлению оптической плотности п. На частицу начинает

действовать "закон Архимеда" и, в соответствии с формулой (1.42), ее масса уменьшается и может даже стать отрицательной, когда плотность частицы станет

меньше плотности среды. Формула (1.43) показывает, что на такую частицу действует "выталкивающая" сила, сообщая ей импульс, который всегда направлен в сторону, противоположную движению.

Отметим еще раз, что при всех таких преобразованиях изотропные вектора

остаются изотропными и, вообще, длина произвольного вектора из G(T, X, £) не меняется. Если же мы рассмотрим пространство Минковского М(1,3), то в нем преобразования 1), 2), 3) действуют транзитивно и с их помощью можно перевести любую точку в любую. Действительно, преобразования Лоренца 1) действуют транзитивно на конусах и гиперболоидах в М(1,3), оставляя неизменным интервал. В свою очередь, преобразования 2) и 3) меняют интервал и позволяют переходить с одного гиперболоида на другой с совершением - 2), или без совершения внешней работы - 3).

Заключение

Рассмотрено обобщение СТО Эйнштейна на 5-мерное пространство, позволяющее построить 5-мерный вектор $\overline р = (Е/с,рх ру,р2,тс), у которого в качестве пятой координат выбирается масса частицы. Все компоненты 5-мерного вектра связаны известным соотношениемЕ2 = с2р2х + с2р2у + с2р2г + т2с4.В рамках такого подхода не существует

разницы между массивными и безмассовыми частицами, и, в отличие от 4-мерного пространства Минковского, во введенном пространстве 5-векторы становятся изотропными как для массовых, так и для безмассовых частиц.

В результате увеличения размерности пространства появляются, кроме преобразования Лоренца, еще два преобразования пространства (гиперболический и евклидов повороты), которые переводят массовые частицы в безмассовые и наоборот, причем при этих преобразованиях изотропия 5-векторов не теряется.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теория поля, М., "НАУКА", (1967).

[2] Швебер С., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, М., "ИЛ", (1963).

[3] Гинзбург В.Л., Теоретическая физика и астрофизика, М., "НАУКА", (1981).

[4] Ривлин Л.А., УФН, 167, 309 (1997).

[5] Окунь Л.Б, УФН, 158, 511 (1989).

[6] Вигнер Е., Этюды о симметрии, М. "МИР", (1971).

[7] Альберт Эйнштейн и теория гравитации, сборник статей, М. "МИР", (1979).

[8] Румер Ю.Б., Исследования по 5-оптике, М., "ГОСТЕХИЗДАТ", (1956).

[9] Владимиров Ю.С., Размерность физического пространства-времени и объединение взаимодействий, М., "МГУ", (1987).

[10] Бом Д., Квантовая теория, М., "НАУКА",(1965).

[11] Розенфельд Б. А., Многомерные пространства, М., "НАУКА", (1966).

[12] Рашевский П.К., Риманова геометрия и тензорный анализ, М., "НАУКА", (1967).