CC BY
30
УДК 535.32
ОПТИКО-МЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ И ГРАВИТАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ В МОДЕЛИ РАСШИРЕННОГО ПРОСТРАНСТВА
В. А. Андреев, Д. Ю. Ципенюк1
Используя аналогию между оптическими и механическими явлениями, развит новый подход к описанию гравитации. Для этого в расширенном (1 + 4)-мерном пространстве (7(1,4) рассматриваются гравитационные эффекты, такие как вторая космическая скорость, красное смещение, радарное эхо, отклонение света и смещение перигелия Меркурия. Показано, что методы Модели расширенного пространства дают те же самые результаты, что и Общая теория относительности. Обсуждаются различные способы введения показателя преломления, соответствующего гравитационному полю.
Известно, что между механическими и оптическими явлениями существует определенное сходство, которое исторически проявилось в том, что ряд оптических явлений удавалось одинаково хорошо описывать как в рамках волновой, так и в рамках корпускулярной теорий. В частности, движение луча света в неоднородной среде во многом аналогично движению материальной частицы в потенциальном поле [1]. В данной работе мы воспользуемся этой связью для того, чтобы описать гравитационные явления.
В работах [2 - 7] была предложена Модель расширенного пространства (МРП) и построена электродинамика в этом пространстве. МРП является обобщением Специальной теории относительности (СТО) на (1+4)-мерное пространство, обладающее метрикой (Н-----). Мы обозначаем его (2(1,4). Пространство Минковского М(1,3)
Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН.
является его подпространством. Роль пятой координаты в пространстве (2(1,4) играет интервал в пространстве Минковского М( 1,3). Мы будем обозначать ее буквой 5. Другие координатные оси обозначим Т, X, У, Одной из характерных особенностей этой теории является то, что в ней масса покоя частиц - величина переменная, и фотон, попадая в среду с показателем преломления п > 1, приобретает ненулевую массу.
Возможность того, что фотон обладает ненулевой массой, широко обсуждается как теоретиками, так и экспериментаторами. Обзор последних результатов в этой области содержится в работе [8]. Наш подход отличается тем, что в МРП масса частицы не постоянна, а определяется внешними воздействиями на частицу, теми процессами, в которых она участвует.
Согласно идеологии расширенного пространства внешние воздействия на любой объект описываются как изменение показателя преломления п в точке, где находится данный объект. Формально такие процессы в рамках нашей модели описываются поворотами в расширенном пространстве Сг(1,4) [2, 6].
Одним из примеров физического объекта, которому сопоставляется некоторый показатель преломления, является гравитационное поле. Согласно Общей теории относительности (ОТО) свет отклоняется в гравитационном поле. Это отклонение можно интерпретировать как движение светового луча в среде с неоднородным показателем преломления, и тем самым сопоставить гравитационному полю некоторый показатель преломления.
В данной работе мы рассмотрим известные гравитационные эффекты, используемые для обоснования ОТО, и покажем, что все их можно описать и в рамках МРП. Отметим также, что в настоящее время попытки по-новому осмыслить гравитационные эффекты предпринимаются и другими авторами [9 - 13].
Формализм МРП. В расширенном пространстве (7(1,4) каждой частице сопоставляется 5-вектор
Параметр п связывает скорость света в пустоте с со скоростью света в среде V — с/п. С его помощью можно параметризовать пятую координату в пространстве 4). При
Р = (—,Рх1Ру,Рг,™>с). с
Для свободных частиц он является изотропным [14],
(1)
-С/ = с рх с ру -Г с р2 ТП с .
(2)
этом пустому пространству Минковского М(1,3) соответствует п = 1. В нем свет движется со скоростью с. Попадание света в среду en / 1 интерпретируется как выход фотона из пространства Минковского и переход его в другое подпространство пространства G{ 1,4). Такой переход можно описать с помощью поворотов в пространстве (?(1,4). Все типы таких поворотов изучены в работах [2, 6]. В пустом пространстве в неподвижной системе отсчета имеется два принципиально различных объекта, с нулевой и ненулевой массами. В пространстве С(1,4) им соответствуют 5-векторы
Нш Ь,ш ^
, о
; (тс, 0,0,0, тс) . (3)
/
При гиперболических поворотах на угол в в плоскости (ТЭ) фотонный вектор (с нулевой массой) преобразуется следующим образом [2, 6]:
(Кш %Ш п \ / Ни> , Л п л Кш . , Л Нш л л Ни /-Т--Л
—,—,0,0,0 -* —совЬ0,—,0,0, — зтЬв = —п,—,0,0,— у/п2 - 1 . с с ) \ с с с ) \ с с с )
(4)
В результате такого преобразования возникает частица с массой
т = — этЬ9 = —у/п2 — 1. (5)
с2 с2
При этих же поворотах массивный вектор преобразуется следующим образом
( тс , 0,0,0 , тс) ->• ( тсев , 0,0,0 , тсев ) , ев± = n±Vn2- 1. (6) При таком повороте массивная частица меняет свою массу
т
те9 , 0 < в < ос (7)
и энергию, но сохраняет импульс.
При повороте на угол гр в плоскости (ХБ) фотонный вектор преобразуется по закону
(Кш Кш „ „ \ (huj Кий , Л „ . Л fhu> hu Л Л ku> г-1-
—,—,0,0,0 -> —, —cos^,0,0, —smV = —,0,0,—^п2-1 .
с с ) \ с с с ) \ с СП СП )
(8)
При этом фотон приобретает массу
huj Пи
т = —smrp = — (9)
с2 с2п
и скорость
с
v = ccosxp — —. (10)
п
Вектор массивной частицы преобразуется по закону
{ ТПС 7ПС\
(тс,0,0,0,тс) —> (тс, —тсsin0,0,mecos= (rnc,--\Jn2 — 1,0,0,-). (11)
\ п п /
Энергия частицы при таком преобразовании сохраняется, но меняется ее масса
m
m —> m eos tp = — (12)
n
и импульс
0 —> —me sin ф =---\/и2 — 1 . (13)
тс п
Важным свойством преобразований (4),(8) является то, что масса фотона, которую они порождают, может иметь как положительный, так и отрицательный знак. Это еле дует непосредственно из свойств симметрии пространства (7(1,4). Что касается частиц, которые изначально имели положительную массу, то после преобразований (6), (11) их масса останется положительной.
Показатель преломления гравитационного поля. Изучим теперь вопрос о показате ле преломления гравитационного поля. Пусть имеется точечная масса, гравитационное поле которой описывается решением Шварцшильда. Мы предполагаем, что гравитацл онный радиус гд мал и будем рассматривать все эффекты на расстояниях г > гд.
Показатель преломления п(г) можно получить из формулы интервала в слабом гравитационном поле [14]
¿в2 = (с2 + 2<^)<Й2 - ¿г2, (14)
где <р - потенциал гравитационного поля.
Полагая ¿г = усИ, ¿я2 = 0 и (¿>(г) = — получим скорость фотона в гравитационном поле
Другой подход к определению показателя преломления развивался в работах [15, 16]. Эта же формула была получена Коллинзом другим способом [17]. Он рассматривает частицу массы то, находящуюся бесконечно далеко от точечного источника гравитационного поля массы М. Такая частица обладает энергией Е0 = т0с2. При перемещении на расстояние г от источника поля, ее энергия возрастает до величины Е = т0с2 + (7т0М)/г. Это изменение энергии можно интерпретировать как изменение массы покоя в гравитационном поле
т = т о
Воспользовавшись законом сохранения импульса ту = т0У0: получаем закон изменения скорости в гравитационном поле
Полагая, что этот закон распространяется и на фотоны, получаем формулу для изме нения скорости фотона в гравитационном поле
Формулы (15), (18) можно интерпретировать как попадание фотона в среду с показателем преломления
п(г) = 1 + ^- (19)
7 М гс
В том случае, когда скорость частицы V сравнима со скоростью света с, в формуле (16) следует учесть релятивистскую поправку к массе покоя т и записать ее в виде
т-"*(1+£ + !г)- (20)
Соотвествующий показатель преломления будет иметь вид
= 1 + ^ + (21)
7 М 1 V2 Те? +
Рг)плитп1п1п'чг1ь.1р кйЛшьI я МРТТ Раггл/гптптлил пгттпттг.члга (Ьпг»лля пиш \ТРП пач-
- Г------------------ " У'^ --------- - —'---- 1-----"т "Г--------— 7 Г —
личные гравитационные эффекты.
1) Вторая космическая скорость. Вторая космическая скорость г>2 - это та скорость, которую надо сообщить телу, находящемуся на поверхности Земли, чтобы оно смогло
удалиться от нее на бесконечно большое расстояние. Пусть М - масса Земли, т - масса тела, находящегося на его поверхности, а Я - радиус этой поверхности. Выражение для второй космической скорости имеет вид [18]
= = ^ (22)
Получим теперь формулу (22) методами МРП.
Рассмотрим покоящуюся массивную частицу, удаленную на бесконечно большое расстояние от Земли. В рамках нашей модели такая частица описывается изотропным 5-вектором энергии-импульса-массы (3). Пространственному движению в поле тяжести вдоль оси X можно сопоставить перемещение в расширенном пространстве С?( 1,4) в плоскости ХБ из точки с показателем преломления п = 1 в точку с показателем преломления п(г). Такое движение описывается поворотом (11).
Здесь угол поворота ф выражается через показатель преломления п. При этом покоящаяся массивная частица приобретает скорость
у/п2-1
V = с-.
п
Предполагая, что показатель преломления п близок к единице, т.е. что
1 > е = 1Ц-, (23)
ТС2-
получаем, что
V йз сл/2е. (24)
В случае, когда г = Я - радиусу Земли, формула (24) совпадает с формулой (27) и дает вторую космическую скорость V = г^.
2) Красное смещение. Под гравитационным красным смещением понимают изменение частоты фотона при изменении величины гравитационного поля, в котором он находится. В частности, при уменьшении напряженности поля частота фотона также уменьшается, то есть он краснеет [14]. В ОТО формула, задающая изменение частоты света, имеет вид [14]
Ш = (25) у/доо \ ГС2 )
1 п /г>пп I _ НиМср 10, лии^ с.
Здесь ш0 - частота фотона, измеренная в мировом времени, она остается постоянной при распространении луча света. А ш - частота того же самого фотона, измеренная в собственном времени, она различна в различных точках пространства. Если фотон был испущен массивной звездой, то вблизи звезды при малых г частота фотона больше, чем вдали от нее при больших г. На бесконечности, в области плоского пространства, там, где уже отсутствует гравитационное поле, мировое время совпадает с собственным и ш0 есть наблюдаемая частота фотона.
Рассмотрим теперь ту же самую задачу с точки зрения МРП.
Красное смещение - это изменение энергии фотона при изменении свойств окружающей среды, а, именно, при изменении напряженности гравитационного поля. В рамках нашей модели фотону, находящемуся в пустом пространстве, сопоставляется изотропный 5-вектор (3). Процесс его перемещения в точку с показателем преломления п, при котором происходит изменение его частоты, а значит и энергии, описывается поворотом в (71 ¿^-плоскости. При этих поворотах фотонный вектор преобразуется в соответствии с формулой (4). Отсюда видно, что ш0 - частота фотона в пустоте и ш - его частота в поле - связаны соотношением
которая совпадает с формулой (25).
Отметим, что с точки зрения нашей модели формулу (26) следует считать лишь первым приближением к точному результату. Оценим поправку, соответствующую тому, что в этой модели фотон, попадая в область с п > 1, приобретает ненулевую массу. По этой причине часть его энергии может быть связана не с частотой, а с массой. Оценим величину этой энергии для случая, когда измеряется смещение частоты фотона, падающего с высоты Н в однородном гравитационном поле, с ускорением свободного падения д. Именно такая ситуация была реализована в известных экспериментах Паунда и Ребки [19]. Изменение энергии, соответствующее такому сдвигу частоты, равно
Согласно формуле (4), при повороте в плоскости (ТБ) фотон приобретает массу
ш = ш0 соэЬ в = и>оп.
(26)
Подставляя (19) в (26), получаем формулу
(27)
(28)
т = ~\/п2 - 1. (29)
с2
Разница потенциальных энергий в точке испускания и точке поглощения фотона, отли чающихся высотой Н, равна
8Е = тдН = ^^ дНу/п2 - 1. (30)
Вблизи поверхности Земли показатель преломления гравитационного поля задается формулой (19). Принимая во внимание неравенство (23), получим оценку
27 М [Пш\ Г2дВ. (Пи
™ - ^VтЬ - [¿)яНг # й ЫдН[2ь•10 »• (31)
Мы видим, что поправка к эффекту, связанная с появлением у фотона ненулевой массы, вблизи поверхности Земли составляет всего Ю-5 от величины самого эффекта.
3) Запаздывание радарного эха. Явление запаздывания радарного эха состоит в том, что время распространения светового сигнала до некоторого объекта и обратно различно в зависимости от того, распространяется этот сигнал в пустоте, или же в гравитационном поле. Такая задержка измерялась в экспериментах по локации Меркурия и Венеры [20], и было обнаружено удовлетворительное согласие с предсказаниями ОТО. Эти эксперименты также анализировались в [21]. Покажем, что аналитическое выражение для величины запаздывания радарного эха в МРП совпадает с тем, которое получается в ОТО. Это сразу слецует из того, что при вычислении времени задержки фотона ^ используется только его скорость и(^) [15, 16]. Будем условно считать, что объектом локации является Солнце. В этом случае мы имеем
Д*
ИИИ^Н/ЗД .«?
Здесь - радиус Солнца, а ге — расстояние от Земли до Солнца. Но V = Подставляя V в (32), получаем
Д< = (33)
гРс2 Яя 1
Формула (33) совпадает с выражением, полученным в работах [16, 21].
4) Отклонение света. Рассмотрим теперь эффект отклонения света в гравитационном поле. В общей теории относительности величину угла отклонения ф луча света
от прямолинейной траектории при его движении вблизи массивного тела определяют, решая уравнение эйконала, определяющего траекторию этого луча в цетрально-
симметричном гравитационном поле [14]. При этом получается ответ
* =• (34)
Здесь М - масса тела, a R - расстояние, на котором луч проходит от центра поля. В рамках МРП этот эффект обусловлен двумя разными процессами. Рассмотрим два луча: один проходит точно через край Солнца, а другой - на расстоянии h от него. Предполагается, что h <С Rs < т = yjx2 + i?2. При прохождении этими лучами линейного отрезка длиной dx разность оптических путей составит
8х = dxn(r) — dxn(r + h cos </?) = (35)
, / r„\ , ( r„ \ r„h cos</> ,
= dx ( 1 + ) - dx l-f—-^-- » 3 , , У dx.
V 2 rj \ 2(r + h cos ip) J 2 r2
Здесь rg - гравитационный радиус Солнца.
Такой разности оптических путей соответствует угол отклонения волнового фронта
8х rg cos <р rgR„ rgRsdx
SV*T = "V"dx = = 2(x2 + Щ)3*2 (36)
Интегрируя это выражение по х от — оо до +оо, получим угол отклонения
/dx т 7М
_ 2(х2 + Д2)з/2 = t = (37)
Выражение (37) дает половину угла (34). Оно получено в приближении геометрической оптики, без учета того, что согласно МРП в гравитационном поле фотон должен приобрести массу.
Оценим теперь вторую половину эффекта, обусловленную тем, что фотон в гравитационном поле приобретает ненулевую массу. В данном случае величина этой массы
fvt7TT£»H Л^ЛЧТППОТТ <Э£» ТТГЧЛ/'ГГГк ГУ> - _ ---... ...................• - - V/Vy li^WUiV/ I I V J . X UiV/VylVIV/ 1 I
Ш/ в гравитационном поле, создаваемом массой М, предполагая, что частица движется к этому центру с прицельным расстоянием И. Пусть ее движение в плоскости {ХУ) описывается обычным уравнением Ньютона
(Ру Мт] у
тГ& = -1—г- (38)
Здесь г2 = х2 + у2-
Масса фотона т} предполагается постоянной, по этой причине ее можно исключить из уравнения (38). Мы предполагаем, что движение фотона происходит, в основном, вдоль оси X, а переменная у меняется мало, оставаясь близкой к значению прицельного параметра Я. Мы также считаем, что скорость фотона все время остается постоянной и равной скорости света в пустоте с. Поэтому, используя соотношения
у и Я, х = с*, (39)
уравнение (38) можно преобразовать к виду
(Ру _ 7МД в,X2 г3
После однократного интегрирования получаем
(40)
dy 7 М
<1х с2Я у/х2 + у2 С помощью этого уравнения можно вычислить угол отклонения
(41)
В случае, когда прицельный параметр Я равен радиусу Солнца Я,, угол 0 совпадает с углом у? из формулы (37).
В МРП эти два эффекта суммируются и дают общий угол отклонения
« + * - («) Мы видим, что результат (43) совпадает с формулой (34).
5) Смещение перигелия Меркурия. Смещение перигелия Меркурия возникает из-за того, что за счет искривления пространства закон притяжения Ньютона деформируется. Траектория частицы становится незамкнутой, и при каждом повороте её перигелий смещается на некоторый угол. Его величина определяется законом взаимодействия. В случае потенциала Шварцшильда сила взаимодействия масс имеет вид [22]
F(r) =--. (44)
r2J\ — rg/r — V2 ¡С2
Здесь гд - гравитационный радиус массы М, а V - скорость движения частицы с массой т по орбите. Скорость движения Меркурия по орбите вокруг Солнца равна примерно 48 км/сек, что дает величину релятивистской поправки и2/с2 « 5 х Ю-8 Гравитационная поправка имеет величину гд/г и 5 х Ю-8 и сравнима с релятивистской. Можно считать, что в формуле (44) масса частицы т зависит от расстояния и скорости. Но поскольку обе эти поправки малы, общее преобразование массы т можно записать в виде
Л 7 М lv2\ - - + (45)
Расчет с использованием силы (44) и с учетом приближения (45) дает величину смещения перигелия Меркурия, близкую к наблюдаемой.
Рассмотрим теперь эту задачу в рамках МРП. Мы имеем частицу с ненулевой массой, находящуюся в гравитационном поле. Поскольку релятивистской поправкой в данном случае пренебречь нельзя, будем использовать показатель преломления (21). В данном случае попадание частицы из области с показателем преломления п = 1 в область с показателем преломления п' происходит за счет изменения величины силы, действующей на частицу, т.е. за счет изменения её энергии. Поэтому следует использовать поворот (ТЭ) в пространстве С?(1,4). При таком повороте массивный вектор преобра зуется в соответствии с (6), и массивная частица меняет свою массу по закону
т —> те9 , 0 < 9 < оо . (46)
При таком преобразовании из частиц с массой т могут возникнуть частицы с массами
т+ = тев+ = т(п + л/п2 — 1), т_ = те9" = т(п — л/п2 — 1). (47)
Мы предполагаем, что в макроскопическом массивном теле имеется равное число частиц, преобразующихся по законам (47), и будем использовать усреднённый закон преобразования
/ 7М 1и2\ т - тп'2 = + ^ + (48)
Мы видим, что формула (48) совпадает с формулой (45).
Заключение. Мы показали, что предсказания ОТО можно получить в рамках МРП, основываясь на аналогии между оптическими и механическими явлениями. На самом
деле полученные результаты являются лишь первым приближением в оценке величины гравитационных эффектов. Их можно уточнить, учитывая физические процессы, кото рые происходят в расширенном пространстве. Так например, при расчете величины отклонения света не учитывался тот факт, что фотон в гравитационном поле приобретает массу, и на него еще дополнительно действует сила притяжения. Однако, по всей видимости, величина этих дополнительных эффектов невелика. Это показывает пример вычисления соответствующей поправки (31) к изменению частоты фотона.
ЛИТЕРАТУРА
Сивухин Д. В. Общий курс физики. Оптика, М., Наука, 1985. Ципенюк Д. Ю., Андреев В. А. Препринт ИОФАН N 5, М., 1999. Ципенюк Д. Ю., Андреев В. А. Препринт ИОФАН N 9, М., 1999. Ципенюк Д. Ю., Андреев В. А. Препринт ИОФАН N 2, М., 2000. Ципенюк Д. Ю., Андреев В. А. Препринт ИОФАН N 1, М., 2001. Ципенюк Д. Ю., Андреев В. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 6, 23 (2000); arXiv:gr-qc/0106093, (2001).
Ципенюк Д. Ю., Андреев В. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N б, 3 (2002); arXiv:physics/0302006, (2003). Р и в л и н JI. А. Квантовая электроника, 33, 777 (2003).
Б а р ы ш е в Ю. В., Губанов А. Г., Райков А. А. Гравитация, 2, 72 (1996).
Окороков В. В. Препринт ИТЭФ, 27-98, 6 (1998). Стрельцов В. Н. Сообщения ОИЯИ, Р2-99-133, 3 (1999). Beshtoev Kh. М. Defect Mass in Gravitational Field and Red Shift of Atoms and Nuclear Spectra, arXiv:quant-ph/0004074 vl, (2000).
Dubrovskiy V. A. Measurements of the Gravity Wawes Velocity, arXiv.astro-ph/0106350, (2001).
Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теория поля, М., Наука, 1967. Окунь Л. Б., Селиванов К. Г., Телегди В. Л. УФН, 169, 1141 (1999).
Окунь Л. Б. УФН, 170, 1366 (2000); arXiv:hep-ph/0010120 v2, (2000). Collins R. L. Gravity slows the speed of light, APS eprint server, (8/9/97).
[18] Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков, М., Наука, 1970.
[19] Pound R. V., Rebka G. A. Phys. Rev. Lett., 4, 337 (I960).
[20] Shapiro I. I. Phys. Rev. Lett., 13, 789 (1964).
[21] Вейнберг С. Гравитация и космология, М., Мир, 1975.
[22] М е л л е р К. Теория относительности, М., Атомиздат, 1975.
Поступила в редакцию 29 июня 2004 г.
