CC BY
120
УДК 371.016:51
Л.В. Селькина
Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, г. Пермь
СТРУКТУРА ОПЕРАЦИОННОЙ СФЕРЫ СУБЪЕКТА УЧЕБНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
L.V. Selkina
Perm State Humanitarian Pedagogical University, Perm
STRUCTURE OF OPERATIONAL SPHERE OF OPERATIONAL MATHEMATICAL ACTIVITY SUBJECT
В статье рассмотрен методико-математический аспект теории учебной деятельности: раскрыта сущность понятия «субъект учебной математической деятельности», структура содержательной, операционной и мотивационной сфер учебной математической деятельности, определена сущность и процедура формирования комплекса интеллектуальных, эмоциональных и волевых качеств личности, благоприятствующих осуществлению учебной деятельности математического характера, выделены группы общих умений, которые могут быть экспериментально проверены и количественно оценены уже на начальной ступени обучения математике.
Ключевые слова: учебная деятельность, субъект учебной деятельности, субъектность, учебная математическая деятельность, содержательная, мотивационная и операционная сферы учебной деятельности, умение учиться.
The article is about methodical and mathematical aspects of educational activity theory: the essence of the concept «subject of educational mathematical activity» and the structure of operational and motivational spheres of educational mathematical activity are revealed, the essence and procedure of forming intellectual, emotional and volitional system of personality characteristics are defined, which are favourable for accomplishing educational mathematical activity, the groups of common skills are defined, which can be experimentally verified and quantitatively assessed at the first stage of mathematics education.
Keywords: educational activity, subject of educational activity, educational mathematical activity, operational and motivational spheres of educational activity, ability to study.
Современная образовательная парадигма рассматривает учение как специальную сферу социальной жизни, создающую условия для развития
© Селькина Л.В., 2013
индивида, в процессе освоения ценностей культуры. В определении целей и задач образования приоритетна ориентация на формирование личности, готовой к действию, владеющей знаниями и умеющей применять их на практике. Психология и педагогика исходят из того, что личность формируется и развивается в деятельности, в том числе и учебной, поскольку в процессе ее реализации повышается уровень знаний, умений и навыков, происходят существенные изменения в интеллектуальной, эмоциональной, волевой и нравственной сферах личности. За последние десятилетия по данной проблеме проведено значительное количество исследований, благодаря чему, несмотря на отсутствие однозначного понимания сущности учебной деятельности в педагогике и психологии, определены структурные компоненты учебной деятельности, источники возникновения и основные условия ее становления и развития. Общепризнанным является положение о роли деятельности в умственном развитии человека. Все исследователи выделяют три составляющие учебной деятельности: содержательную, мотивационную и операционную (процессуальную). Ученые подчеркивают взаимосвязь этих сторон, показывая, что эффективность обучения во многом обусловлена целенаправленным формированием знаний, способов действий по их усвоению и положительных мотивов учения. Структурные компоненты учебной деятельности - цель, мотив, содержание, учебные действия, результат -должны приобрести глубоко личностный смысл, стать актуальными и значимыми для каждого.
Установлено, что учебная деятельность обладает большими возможностями для воспитания качеств личности, характеризующих носителя деятельности - субъекта. Эти возможности имеются в содержании образования, способах обучения, в отношениях между участниками учебного процесса. Приоритет в постановке проблемы субъектности учебной деятельности принадлежит Д.Б. Эльконину. В данном контексте под субъектностью понимается способность самостоятельно строить и преобразовывать собственную жизнедеятельность, которая позволяет человеку самоопределяться в жизни, включаться в деятельность и общение с другими людьми. С этой точки зрения умение учиться предполагает наличие у обучаемых:
- базовых учебных умений (наблюдательность, внимание, память, коммуникабельность, рациональное чтение и др.);
- фундамента учебной деятельности (общеобразовательные знания);
- действенных мотивов, побуждающих к образованию;
- развитых навыков самостоятельного овладения знаниями и умениями (структурирование, моделирование, прогнозирование, рефлексия);
- сформированных операций умственных действий (анализ, сравнение, абстрагирование и т.п.);
- организационных умений (выбор источников познания, форм обучения; планирование, саморегуляция деятельности, самоконтроль, самооценка).
Качества, присущие субъекту учебной деятельности, наиболее успешно формируются и развиваются при следующих основных условиях:
- четко определенных целях учебной деятельности;
- понимании правил и последовательности выполнения действий, направленных на достижение цели деятельности;
- ясном представлении техники выполнения действий и их конечного результата;
- постоянном самоконтроле действий путем сличения их результатов со сложившимся в представлении или зрительно воспринимаемым образом;
- правильной самооценке успехов в достижении конкретной цели учебной деятельности.
К факторам формирования определяющих становление субъекта учебной деятельности общих учебных умений и личностных свойств можно отнести содержание изучаемых знаний и соответствующие ему способы их усвоения (проблемное изложение материала, обилие вопросов на занятии, выполнение самостоятельных, в том числе и творческих, работ и др.). Большое значение также имеет создание у обучаемых положительного отношения в ходе усвоения учебного материала.
Методический аспект теории учебной деятельности имеет свою специфику, обусловленную особенностями конкретного учебного предмета. В связи с этим актуализируется ряд частных вопросов, связанных с определением сущности и процедурой формирования комплекса интеллектуальных, эмоциональных и волевых качеств личности, благоприятствующих осуществлению учебной деятельности математического характера (понимая последнюю как разновидность учебной деятельности, реализуемой на математическом материале, с определенной системой действий, логических приемов и познавательных умений).
Уточним основные понятия, определенные ранее, с учетом специфики математики как учебного предмета, в целях получения концепции обучения определенного рода мыслительной, познавательной деятельности, именуемой рядом ученых (Р. Атахановым, В.Г. Дорофеевым, Ю.М. Колягиным,
В.А. Крутецким, А.А. Столяром и др.) математической. Имеются также труды педагогов-математиков, в которых выражается скептическое отношение к правомерности использования термина «математическая деятельность» применительно к школьному обучению. В распространенном положении, которого придерживается критикующая сторона, содержится мысль о том, что традиционно под математической понимают творческую научную деятельность ученого-математика, которая, по их мнению, не имеет ничего общего с деятельностью ученика. Так, Н.В. Метельский в качестве доказательства приводит следующий аргумент. В «Педагогической энциклопедии», дающей представление о применении термина «деятельность» в педагогических науках, «говорится о таких видах деятельности у детей, как игра, учение, а потом и труд, но ничего не сказано о научной или математической деятельности школьников» [6, с. 141]. Автор убежден, в этой деятельности математическим
является лишь содержание учебного материала, а сама деятельность носит общенаучный характер.
К подобному выводу приходит и Л.М. Фридман, призывая специалистов, занимающихся вопросами школьной математики, к использованию активных методов обучения, замечая, однако, что «эту активность вряд ли можно назвать математической деятельностью, ибо она все же принципиально отличается от деятельности ученого-математика. Деятельность ученика в процессе обучения математике - это учебная деятельность, составной частью которой является познавательная деятельность. С помощью этой деятельности ученик познает и овладевает некоторыми специфическими особенностями математической деятельности. Поэтому следует говорить об учебной деятельности в процессе обучения математике, а не о математической деятельности в этом процессе»
[9, с. 26].
Кроме названных встречаются и другие термины данного синонимичного ряда, такие как учебная математическая деятельность, учебная математическая деятельность творческого характера, математическая деятельность школьника, учебная деятельность математического характера, полноценная математическая деятельность, учебная деятельность математического содержания, оптимальная математическая активность.
Противоположных взглядов придерживается известный исследователь математических способностей В.А. Крутецкий. По его мнению, следует различать разные уровни математической деятельности - творческую и учебную. Результатом первой является объективно новое и значимое для человечества математическое знание. Продукт второй составляют усвоенные предусмотренные программой школьного курса математики знания и способы деятельности. В.А. Крутецкому кажется, что различие между двумя уровнями не носит абсолютного характера, ибо если речь идет о самостоятельном творческом овладении математикой в условиях школьного обучения, с самостоятельной постановкой несложных проблем и нахождения путей и методов их решения, изобретением доказательств теорем и оригинальных способов решения нестандартных задач, выводом формул, поэтому все это, по мнению автора, несомненно, проявление математического творчества, поскольку при осуществлении такой деятельности имеет место сильная мотивация и устойчивость, ее продукт обладает, пускай субъективной, новизной и ценностью. Перечисленное позволяет видеть в организованной таким образом учебной математической деятельности предпосылки развития подлинно математической деятельности, выражающиеся в умении ориентироваться в математическом материале и творить в нем.
Изучение учебной математической деятельности следует начинать с определения. Попытки такого рода делались неоднократно, но установившегося, удовлетворяющего всех определения не имеется до сих пор. Попытаемся разобраться, существует ли собственно учебная математическая деятельность как специфическое образование, отличное от общей категории учебной деятельности, или это лишь ее качественная специализация.
Одно из самых значительных исследований по проблеме принадлежит А.А. Столяру. Он дает широкое определение математической деятельности, характеризуя последнюю и как мыслительную деятельность, включающую в себя набор общих логических и модифицированных с учетом специфики математики приемов мышления [7, с. 9], и как специфичную для математики познавательную деятельность (специфика выражается в содержании знаний и способах их приобретения) [7, с. 51].
Сущность учебной математической деятельности Ю.М. Колягин определяет через процесс, направленный на приобретение системы математических фактов и идей, овладение специальными умениями и навыками, развитие математического мышления [3, с. 33]. Рассматривая общие и наиболее важные аспекты использования задач в обучении математике, он пишет: «Решение задач является важнейшим видом
деятельности, называемой математической». Подобная трактовка данного понятия предлагается и Р. Атахановым. В его монографии содержится положение о том, что математическая деятельность есть целостный акт мыслительной деятельности в процессе решения задач: «Математическая деятельность имеет своим началом некоторую предметно-содержательную реальность, подлежащую мысленному изменению и преобразованию, а продуктом является новое математическое знание или решение математических задач» [1, с. 15].
Некоторые ученые под термином «учебная математическая деятельность» подразумевают индивидуальную деятельность человека, основывающуюся на приобретении конкретных математических знаний для познания и осознания ими окружающего мира средствами математики.
Имеет место взгляд на учебную математическую деятельность как на деятельность, происходящую на основе проб и ошибок, отбора удачных действий и постепенного выпадения неудачных. На существование подобной точки зрения обращал внимание В.А. Крутецкий [4, с. 312].
Единого толкования указанного понятия не выработано, поскольку термин применим к явлениям разного рода: математическую деятельность соотносят с развитием математического мышления, с обучением мыслительным и познавательным действиям, с процессом решения задач, с эвристической, творческой деятельностью. Поэтому можно утверждать, что термин этот служит рабочим инструментом, поясняющим некоторое многофакторное явление и, следовательно, должен быть определен всякий раз в соответствии с целями конкретного исследования.
Будем считать математической деятельностью школьника разновидность учебной деятельности, создающую новую систему действий, ориентированную на общеинтеллектуальное развитие учащихся, воспитание логических приемов и познавательных умений, качеств мышления и личности посредством организации мыслительной деятельности на математическом материале.
Описывая операционную сферу учебной математической деятельности, основное внимание следует уделить структуре учебных умений, специфичных деятельности данного рода.
Группы обозначенных умений перечислены в статье И.Ф. Тесленко [8], посвященной обоснованию универсальности математических умений.
1. Ведущим и весьма сложным, по мнению автора, является умение решать задачи. Оно означает умение:
- распознавать и соотносить элементы задачи с искомыми;
- устанавливать полноту (достаточность, недостаточность, избыточность) данных задачи, зависимость и непротиворечивость условия задачи;
- представлять элементы задачи в новых отношениях;
- выявлять структуру задачи;
- для неалгоритмических задач использовать схемы, таблицы, символы, чертежи, графы, пространственное расположение в качестве вспомогательных моделей;
- расчленять данную задачу на подзадачи;
- рассуждать над решением задачи, используя приемы: предположение, опровержение, здравый смысл;
- мобилизовать память для актуализации имеющихся и необходимых для решения задачи знаний;
- переводить данную ситуацию на язык математических отношений и зависимостей и, наоборот, переводить символическое или графическое толкование задачи на язык обычного текста;
- давать оценку результатам решения задачи;
- выделять из решения задачи субъективно полезные знания.
2. Вторым обобщенным умением, формирующимся у учеников при выполнении учебной математической деятельности, по мысли автора, является интеллектуальное умение осуществлять мыслительные операции анализа, синтеза и на их основе - операции сравнения, обобщения, сопоставления, абстрагирования и конкретизации.
3. Умение логически обосновывать свои утверждения и выводы и выражать их на символическом языке:
- описывать существенные признаки и определять понятия;
- видеть изученное понятие в связи с другими понятиями;
- интерпретировать и переформулировать данную математическую модель (например, числовую - графически);
индуктивно строить предположения, высказывать догадки; устанавливать истинность или ложность высказываний и др.
Помимо перечисленных, И.Ф. Тесленко упоминает еще умение пользоваться символическим языком математики; умение осуществлять связь математических знаний между собой и со знаниями других учебных предметов;
умение рациональной организации учебного труда; а также умение создавать визуальные образы и пользоваться ими [8, с. 5-17].
А.И. Маркушевич [5] указал на следующий ряд умений, необходимых для становления учебной математической деятельности:
- умение вычленять сущность вопроса, отвлекаясь от несущественных деталей;
- строить такую схему явления, в которой сохранено только то, что нужно для математической трактовки вопроса, а именно: отношение порядка, принадлежности, количества и меры, пространственного расположения, что предполагает упрощение первоначальной постановки вопроса при помощи надлежащей рабочей гипотезы;
- выводить логические следствия из данных предпосылок;
- аннулировать данный вопрос, вычленяя из него частные случаи, различать, когда они исчерпывают все возможности и когда являются только примерами и всех возможных случаев не охватывают;
- применять выводы, полученные из теоретических рассуждений, к конкретным вопросам и сопоставлять результаты с тем, что мы «предвычисляли» или теоретически предполагали;
- оценивать влияние изменяющихся условий на надежность результата;
- обобщать полученные выводы и ставить новые вопросы в обобщенном виде.
Ю.М. Колягин выделяет общие и специальные умения по овладению эффективными приемами учебной деятельности.
К числу общих относятся умения:
- использовать методы научного познания как методы изучения (наблюдение, сравнение, опыт, анализ и синтез, обобщение, абстрагирование и конкретизацию);
- проводить умозаключения индуктивного и дедуктивного характера, правильно пользоваться аналогией и интуицией;
- правильно ставить мысленный и практический эксперимент, высказывать гипотезы и проверять их;
- осуществлять простейшее моделирование учебных ситуаций и использовать имеющиеся (или сконструированные) модели для изучения свойств объектов (построение и использование графиков, диаграмм, рисунков, схем);
- выделять существенное;
- классифицировать изучаемые объекты;
- систематизировать имеющиеся знания, устанавливать причинноследственные и структурные связи между ними;
- осуществлять выбор средств и методов для достижения поставленной цели, учитывая конкретные условия;
- оценивать практическую значимость изучаемого материала;
проявлять логическую грамотность и качества, присущие научному стилю мышления.
К специальным могут быть отнесены следующие умения:
- «математизировать» простейшие ситуации жизненного характера;
- усматривать математические закономерности в окружающем мире;
- предсказывать (предполагать) с достаточной степенью правдоподобия существование того или иного математического факта, свойства или отношения;
- дедуктивно доказывать или опровергать то или иное математическое положение;
- планировать поиск решения задачи, исключать из ее условия ненужные данные, дополнять недостающие;
отбирать методы, свойства и операции, необходимые для ее решения; осуществлять проверку правильности решения;
формулировать определения математических понятий, соотносить то или иное понятие с данным определением, распознавать его среди других понятий;
- правильно проводить вычисления с привлечением простейших вычислительных средств;
- создавать (на основе теоретических знаний) удобную вычислительную ситуацию;
- осуществлять проверку и прикидку правильности результата вычислений;
- проводить исследования в простейших учебных ситуациях;
- пользоваться математической символикой при записи математических положений и решении задач, читать и понимать предложения, записанные символически [3, с. 141-142].
На основании вышеизложенного выделим группы общих умений по решению математических задач, которые подлежат экспериментальной проверке и количественной оценке уже у учащихся начальных классов.
1. Умения, связанные с пониманием и анализом условия задачи (проверять принадлежность упражнения к группе задач на основе теоретических знаний о последних; «математизировать» жизненные явления, описанные в задаче; выявлять отношения, в которых находятся компоненты задачи и соотносить данные элементы с искомыми; устанавливать полноту (достаточность, недостаточность, избыточность) и непротиворечивость данных задачи; расчленять задачу на подзадачи; переформулировать условие задачи; составлять различные виды краткой записи условия).
2. Умения, связанные с составлением плана решения (использовать схемы, таблицы, символы, чертежи, графы и т.п. в качестве вспомогательных моделей; переводить заданную ситуацию на язык математических отношений и зависимостей и, наоборот, символическое или графическое толкование задачи -
на язык обыкновенного текста; проверять соответствие плана решения условию задачи; фиксировать план решения задачи).
3. Умения, связанные с реализацией плана решения (выбирать соответствующие содержанию задачи математические операции и правильно их выполнять; видеть вариативность решения задачи на основе знания условий, при которых это возможно; решать задачу разными способами; оформлять решение в различных формах и записывать ответ; исследовать частные и особые случаи решения задачи).
4. Умения, связанные с контролем (опережающий контроль: прикидка, проверка реальности условия; текущий контроль: сопоставление условия и намеченного плана решения в процессе его реализации; итоговый контроль: выполнение проверки решения разными способами; оценивание результатов решения с точки зрения правильности, рациональности, красоты, значимости).
Очевидно, что для осуществления учебной математической деятельности необходимо обладание перечисленными умениями в данной предметной области. Вместе с тем отмечены и другие благоприятствующие факторы. Основное содержание положений о субъекте учебной деятельности, высказанных педагогами-математиками, выражается в утверждении того, что предпосылками для его развития является формирование комплекса интеллектуальных качеств личности. Однако замечено, что не менее важную роль могут сыграть факторы эмоциональной и характерологической подгрупп.
Уточним сказанное: к интеллектуальным компонентам учебно-
математических способностей относят абстрагирование и схематизацию (А.И. Маркушевич), оперирование абстракциями, схемами, символами,
«искусство последовательного, правильно расчлененного логического рассуждения» (А.Н. Колмогоров), математическое обобщение и генерализированное восприятие ситуации, гибкость мышления, точность словесного выражения математической мысли, стремление к ясности, простоте, экономичности и рациональности решений, математическая память
(В.А. Крутецкий), хорошее пространственное воображение и умение использовать наглядное изображение абстрактных зависимостей (А.Н. Колмогоров) и др.
Группу эмоциональных факторов, обозначенных Н.В. Метельским, составляют: удивление и любознательность, стимулирующие приобретение знаний, поиск и использование различных путей для разрешения
разнообразных вопросов и задач; чувство нового, порождающие стремление продолжать деятельность, готовность решать новые, более сложные проблемы; возникающее в процессе учебы чувство уверенности в своих силах и познавательных возможностях; чувство сомнения, побуждающее к всесторонней проверке добытых фактов и высказанных суждений, приучающее к самоконтролю. Математическая деятельность невозможна без умения и готовности к преодолению трудностей, без целеустремленности и настойчивости, высокой трудоспособности и малой утомляемости, без чувства красоты и гармонии [6, с. 51].
Вслед за Н.В. Метельским, Л.М. Фридманом было установлено, что для осуществления учебной математической деятельности необходимо обладать следующими качествами мышления и качествами личности:
- уметь видеть объекты во всем многообразии их свойств и отношений; уметь сравнивать эти объекты, находить черты сходства и различия; уметь действовать в уме, наблюдать, обобщать;
- представлять мысленно объекты и видеть в уме все их особенности и изменения при тех или иных преобразованиях;
- обладать волей, вниманием, хорошей памятью, сообразительностью [9, с. 78].
Некоторые авторы (В.А. Крутецкий, Н.В. Метельский, Л.М. Фридман, Ю.М. Колягин) к перечисленным аспектам добавляют еще обладание математической интуицией, считая последнюю особой формой мышления, «для которой характерна свернутость рассуждения, мгновенное осознание результата, догадка, “озарение”».
В ряде работ, освещающих вопросы математического образования, выражается мысль о том, что к особенностям лиц, владеющих математической деятельностью, они относят умение правильно логически мыслить, подразумевая под этим четкость, расчлененность суждений, умение выводить логические следствия, их аргументировать [1, с. 18].
С.И. Шварцбурд полагает, что для успешного овладения математической деятельностью необходимы следующие способности, умения и навыки:
- умение отличать существенное от несущественного, абстрактно мыслить;
- умение переходить от конкретной ситуации к математической формулировке вопроса, к схеме, сжато характеризующей существо дела;
- навыки дедуктивного мышления; умение анализировать, разбирать частные случаи, критиковать; развитое пространственное воображение и математическая речь [10].
Согласно позиции В.А. Крутецкого, успешность осуществления математической деятельности является производной определенного сочетания качеств:
- активного положительного отношения к математике, интереса к ней, склонность заниматься ею, переходящими на высоком уровне развития в увлеченность;
- ряда характерологических черт, прежде всего трудолюбия, организованности, самостоятельности, целеустремленности, настойчивости;
- устойчивых интеллектуальных чувств - чувства удовлетворения от напряженной умственной работы, радость творчества, открытия;
- наличия во время осуществления деятельности благоприятных для ее выполнения психических состояний, таких как заинтересованность, сосредоточенность, хорошее «психическое» самочувствие;
- определенных индивидуально-психологических особенностей в сенсорной и умственной сферах, отвечающих требованиям данной деятельности.
Этот синтез свойств В.А. Крутецкий называет «пригодностью, или готовностью к математической деятельности» [4, с. 90].
Обобщая, отметим: быть субъектом математической учебной
деятельности - значит обладать комплексом необходимых свойств личности, в интеллектуальной (знания, умения), эмоциональной (отношение к деятельности) и волевой (характерологические черты) сферах.
Одним из средств формирования обозначенных операционных, информационных и личностных факторов реализации учебной деятельности математического характера может служить изменение предметного содержания. Само по себе содержание математического образования может в разной степени отражаться на развитии обучаемого, его базовой характеристике - субъектности.
Поскольку любая деятельность, в том числе и учебная, может быть описана как система процессов решения задач, то от конкретной иерархии задач, используемых в каждый момент обучения, в определяющей степени зависит эффективность достижения целей образования и развития обучаемых. Предлагаемые традиционными учебными пособиями по математике задачи, как правило, направлены на формирование у субъекта определенных навыков действий по заданному алгоритму-образцу.
Нами теоретически обосновано и экспериментально доказано, что введение нестандартных математических задач в содержание обучения предмету значительно расширяет арсенал учебных умений. Особенно подвержены влиянию умения, связанные с пониманием и анализом условия задачи (умение видеть в задаче главное и второстепенное, отбирать полезную информацию, переформулировать и наглядно интерпретировать условие задачи); умение видеть вариативность способов решения задачи и практически осуществлять его запись в удобной форме; умения осуществлять проверку, исследовать уже готовое решение, обнаруживать в предложенной задаче серию новых возможных задач и многое другое. Кроме этого, формируются специфические и значимые для осуществления учебной математической деятельности качества характера (любознательность, самостоятельность, активность, инициативность, уверенность в своих силах и знаниях); а также происходит развитие психических свойств личности, проявляющихся в способности сравнивать, сопоставлять, выявлять причинно-следственные связи, строить обобщения, открывать закономерности, рационализировать приемы действий.
Процесс обучения решению нестандартных математических задач представляет собой богатую педагогическую среду, способную активно воздействовать на личность каждого субъекта учения. Замечено, что нестандартные задачи вносят эмоциональный момент в умственную работу, позволяют рассматривать ситуацию решения задачи как проблемную, тем
самым способствуя развитию внутренней мотивации, активизирующей психические процессы, за счет чего качественнее и быстрее формируются значимые для осуществления учебной деятельности мыслительные операции, логические приемы и познавательные умения. Таким образом, опыт общения субъектов с задачами названной категории содействует возникновению интереса к изучению математики и усвоению общих учебных умений, обеспечивая становление и развитие структурных компонентов (мотивационной и операционной сфер) учебной деятельности.
Список литературы
1. Атаханов Р. Математическое мышление и методики определения уровня его развития / под науч. ред. В.В. Давыдова. - Рига, 2000.
2. Дорофеев Г.В., Муравин Г.К., Петерсон Л.Г. Математика для всех // Школа 2000. - М.: Баласс, 1998.
3. Колягин Ю.М. Методика преподавания математики в средней школе.
- М.: Просвещение, 1977.
4. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. - М.: Просвещение, 1968.
5. Маркушевич А.И. Об очередных задачах преподавания математики в школе // Математика в школе. - 1962. - № 9.
6. Метельский Н.В. Психолого-педагогические основы дидактики математики. - Минск: Вышейшая школа, 1977.
7. Столяр А.А. Педагогика математики. - 3-е изд., перераб. и доп. -Минск: Вышэйшая школа, 1986. - 414 с.
8. Тесленко И.Ф. Математические умения социально универсальны // Роль и место задач в обучении математике. - М., 1979. - Вып. 6.
9. Фридман Л.М. Учитесь учиться математике. - М.: Просвещение, 1985.
10. Шварцбурд С.И. О развитии интересов, склонностей и способностей учащихся к математике // Математика в школе. - 1964. - № 6.
