CC BY
29
УДК 532.525.2: 532.517:532 : 59
К.С. АХВЕРДИЕВ, Е.Е. АЛЕКСАНДРОВА, Е.В. КРУЧИНИНА, М.А. МУКУТАДЗЕ
СТРАТИФИЦИРОВАННОЕ ТЕЧЕНИЕ ДВУХСЛОЙНОЙ СМАЗКИ В ЗАЗОРЕ УПОРНОГО ПОДШИПНИКА,
ОБЛАДАЮЩЕГО ПОВЫШЕННОЙ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТЬЮ
Предложен метод расчета упорного подшипника скольжения с адаптированным профилем опорной поверхности, обеспечивающей повышенную несущую способность подшипника, работающего на стратифицированной двухслойной смазке. Дана оценка влияния вязкостного отношения слоев и параметра, характеризующего границу раздела слоев на основные рабочие характеристики подшипника.
Ключевые слова: стратифицированное течение, двухслойная смазка, упорный подшипник, несущая способность.
Введение. Известно, что с помощью экспериментальных методик получена необходимая информация о межмолекулярном взаимодействии на границе раздела жидкости с твердым телом, в результате которого происходит образование структурированных пристенных слоев жидкости с иными (чем в объеме) свойствами [1-3].
Очевидно, что при наличии в смазочной жидкости подшипника скольжения частиц присадок или продуктов износа и окисления, а также за счет пристенной ориентации ее молекул происходит разделение смазки на слои с различной вязкостью. Известные решения [4,5] задач о стратифицированном течении вязкой несжимаемой жидкости в кольцевом пространстве, а также задач [6,7] о спектре фазовых скоростей внутренних волн в слабостратифицированной двухслойной жидкости и
о внутренних волнах с турбулентной струей в стратифицированной жидкости не отражают специфику стратифицированного течения двухслойной жидкости в зазоре упорного подшипника, обладающего повышенной несущей способностью.
Цель работы - разработать аналитический метод расчета упорного подшипника с адаптированным профилем его опорной поверхности, обеспечивающей повышенную несущую способность подшипника, работающего на стратифицированной двухслойной смазке. Оценить влияние вязкостного отношения слоев и параметра, характеризующего адаптированный профиль опорной поверхности подшипника, а также параметра, характеризующего границу раздела слоев на основные рабочие характеристики подшипника.
Постановка задачи. Рассматривается установившееся стратифицированное течение двухслойной вязкой несжимаемой жидкости в зазоре упорного подшипника скольжения с адаптированным профилем опорной поверхности (рис.1). Предполагается, что ползун неподвижен, а шип движется в сторону сужения зазора с заданной скоростью У.
Рис. 1. Схематическое изображение двухслойной смазки в зазоре упорного подшипника
В декартовой системе координат х'О'у' уравнения адаптированного контура ползуна СП, границы раздела СГ, а также направляющей СН можно записать в виде:
у' = h0 + х'tga - а'это 'х' = h'(х'); у' = ^'(х'); у' = 0. (1)
Здесь а е[0,1], ^ - начальный зазор; tga - угловой коэффициент линейного контура;
а' и о' - соответственно амплитуда и частота контурных возмущений, характеризующих степень отклонения контура ползуна от прямолинейного. Предполагается, что %а и а' одного порядка малости; о = со 'I в дальнейшем определяется из условия максимума несущей способности подшипника; I - длина ползуна.
Точное схематическое изображение контуров Сп и СГ можно привести после определения оптимального значения (по несущей способности) параметра о , характеризующего адаптированный нелинейный контур ползуна.
Основные уравнения и граничные условия. В качестве основных уравнений берется безразмерная система уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости для случая «тонкого слоя» и уравнение неразрывности:
д2и„ dp ди. ди
= —, — + — = 0, (/ = 1,2), (2)
ду dx ду дх
где размерные величины х',у',и',и',р\ в смазочном слое связаны с безразмерными х,у, и,иi,pi соотношениями:
І I 1-і I * I * К , * * /ц,Ы
у = Ь0 у; х = I • х; и, = и и; иг = и гиі; є = —; р, = ргрг; р, = ——. (3)
I Н0
Здесь и,,и' - компоненты вектора скорости; р, - гидродинамическое давление в смазочных слоях; ц , - динамический коэффициент вязкости.
Граничные условия на поверхности ползуна и направляющей записываем в виде:
и 2
и1 10 = 0; и1 = 1; р1(0) = р1(1) = р-^0- = ^; (4)
1 /ц1и
и21 г=«х) = 0; и21 г=Л(х) = 0; р2 (0) = р2 (1) = = Р. (5)
/ц2 и
На границе раздела слоев:
6^1 ц2 ди2
и \ = и \ • -л I = ^ I • ~"Ч = П1__14 • (6)
1 у=ак 2 у=ак ’ 1 у=ак 2 у=ак ’ /«, у=ак ^ у=ак ’ ^ *
I ду ^ ^ ду
и1 , и ч , / ч , • Ща а' п
— = аh (х); h(х) = 1 + пх - п^тюх; п =------; П1 = —; ю = ю I. (7)
и1 ho h0
Граничные условия (5) означают прилипание смазки к поверхности ползуна и направляющей. Условия (6) означают: равенство скоростей, касательных и нормальных напряжений на границе раздела слоев, а также условие существования слоистого течения смазки, т.е. требуется, чтобы скорость точек границы раздела слоев в каждой точке была направлена по касательной к контуру раздела слоев.
Точное автомодельное решение системы уравнений (2), удовлетворяющее граничным условиям (5) и (6) с учетом (7), ищется в виде:
и >=-д^г+и ‘(ху); и = 6г+У‘(ху); ^ = ^®;
дх ду
и , (х, у) = -^ (§)И'(х); V (х, у) = 4 (§); § = Г;
И
dp1 _ С1 с 2 _ dp2 _ С1 с 2 dx И2 Иъ ’ dx И2 Иъ Подставляя (8) в (2) и в граничные условия (5) и (6) с учетом (7), будем иметь:
¥1''= с2; и" = с1; и' + §51 = 0; у2 = с2; и2 = с1; и'2 + §52 = 0 ¥1(0) = 0, и1(0) = 0, и1(0) = 1, ¥2(1) = 0, Ы2(1) = 0,
52(1) = 0, ¥1(а) = ¥2 (а), и1(а) = 52(а), и1(а) = и2(а),
3;(а) = — и2(а), ¥1'(а) = — у£(а), р = р2, (^1 (§) + (и2(§М§ = 0.
—1 —1 —1 0 а
(8)
(9)
(10)
Учитывая, что расслоение смазки на слои происходит вблизи неподвижной твердой поверхности, т.е. при значениях а, близких к единице, условие раздельного течения смазки (и, (а)/51(а) ) = аИ' (0) в принятом нами приближении удовлетворяется. На самом деле из граничного условия
1
, (а) + а52 (а) +152 (§) d§ = 0
следует
52 (а)
й2(а)
+а +
52 (а) а Ма)
Используя теорему о среднем значении, будем иметь
^(а)
«2 (а) ^(а ), V
+ а + ,, , . (1 - а)
52 (а)
^2(а)
=0.
а* є (а,1).
Так как и2(а*) < и2(а), (1 - а) << 1, следовательно, с точностью до членов
^2 (а*)
V и2(а)
(1 - а)
будем иметь:
1
151(§М§ * 0, 152(§М§ * 0.
Решение задачи (9) - (10) находим непосредственным интегрированием. В результате будем иметь:
22
§§
¥1 = с2у + с2§ + ^ и1 = с1у + С6§ + с7;
22
§§
¥2 = С2у + С4§ + С5 , и2 = С1у + С8§ + С9 ;
уЪ у2
Л - сД
1 3 6 2
и1 =-С1 ~Г - С6~Г + с10; и2 = -с1 ~Г - с8~г + с11 ;
32
§- - сД
3 8 2
Р1 = с (х) + С2 Jз (х) + С12; Р2 = сJ2 (х) + С2 (х) + С13;
dx
Л (х)= |
(1 + пх - п1 s1n юх)
к
(11)
0
Для определения постоянных ci(/ = 2,3,...13) и С1, c2, с1, с2 придем к следующей алгебраической системе из 16 уравнений с 16 неизвестными:
с7 =1; сю =0; сз =0; с12 = р; с1з = р;
-с1 3 - С8~^ + с11 = 0; с1 2 + с8 + с9 = 0; с2^ + с4 + с5 = 0
—2_ —1 —2
—2_ —1
с1а + с6 = —-(с1а + с8); с2а + с2 = —-(с2а + с4);
—1 —
2
с—
Jз(1) : —2 —1
2 2 2 2 а а а а
с2 — + с2а + с3 - с2 — - с4а - с5 = 0; с1 — + с6а + с7 - с1 — - с8а - с9 = 0;
а3 а2 а3 а2 1 1
с---------+ с,-----------------------------+ с а - с-с------с а + с — + с — + с = 0.
2
1 6
2
16
2
16
2
Решение системы (12) сводится к решению следующего матричного уравнения
И • х = Ь,
где х = |с1; С4; С5; С8; С9}; Ь ={0;0; - 6а;0; - 2}
(12)
(13)
М =
32(1)
—-(1)
1
ка - а +1 (1 - к)а
—-(1)
2
0
0
2а(к -1) 0
2
0
0
2
-2
0
а2 (к -1)
Решая матричное уравнение (13), получаем
2а(к -1)
6 + 6ка2 - 6а2 А
32(1) —-(1)
(ак - а +1) А
0
2
0 3ка2 - 3а2 + 3 6 - 6а
-2
(3 - 6а2 + 3а4 + 3к2а4 - 6ка4)
с =-
—2—а(-3а2 - 3а + 3а- + 3 + 6ка2 - 3к + 3а-к2 - 3а2к2 - 6ка3 + 3ак ■ —-(1) ^
(ак - а +1) А 3акр - 3а2к2 - 6ка3 + 3ак)
4 - Ра2 - 4а3 + 4ка3 _ -4а3 + 4ка3 - 3ка2 + 3а2 +1
А
А
С2 кс4, С6 кс8
3 , 7,2 4
2
А = -4а +1 + а -6ка + 4ка + ка + 4ка-2ка -4а + 6а
—^ =1 + ~п +—(с°5ю-1); с2 =-с11^1 + +— (с°5ю-1) |;
—3(1) 2 ю V 2 ю
0
0
с1 =
с4 =
с8
с1 = ке1, с2
(14)
Перейдем к определению основных рабочих характеристик подшипника.
Безразмерные расходы Q1 и Q2 двухслойной смазочной жидкости определяются выраже-
ниями:
а
а
Q, = с2---------+ с2-+ с3а; 02 =-1-+ с5 - с6----с4------с5а.
^ 2 6 2 2 3 2 6 2 5 6 6 4 2 5
(15)
С использованием формул (12) и (14) для безразмерного гидродинамического давления р1, безразмерной поддерживающей силы Я.у и безразмерного момента трения йтр, получим выражения:
Р1 =‘
Я
1 2 1 ^ А П1Х,
— ПХ - — Щ +------(С08ЮХ - 1)------(С08Ю - 1)
ю
Я У = —*7 = [ Р1 ( х)аХ = С1 Р*1 0
П п1 П1 sin ю П1 (cos ю -1)
------1---------------------+ "
12 ю
ю
2ю
Йтр1
' *
,(0) + и(0) h( х)
Ъ1{ Х)
dx =
= с
1 - П - —(С08 ю - 1) ю
+ с,
1 - П (С08ю - 1)
2
а
(16)
Прежде чем привести результаты численного анализа, отметим, что предлагаемая модель имеет смысл, если область 0 < § < 1 охвачена вязким течением.
Результаты численного анализа полученных аналитических выражений (16) для основных рабочих характеристик, показывают:
1) такой реально существующий фактор, как сложная двухслойная структура смазочной жидкости, приводит к изучению влияния структурного параметра а и вязкостного отношения к на основные рабочие характеристики подшипника, прежде всего, на поддерживающую силу;
2) как и ожидалось, при а=0, а=1 имеет место единый смазочный слой. В первом случае зазор заполняется более вязкой жидкостью, во втором случае менее вязкой. В первом случае несущая способность значительно выше. Граница раздела, определяемая параметром а, зависит от расхода Q=Ql+Q2 и вязкостного отношения к^гМ;
Рис.2. Зависимость безразмерной несущей способности от конструктивного параметра 77 = 771 и от параметра а, характеризующего адаптированный нелинейный контур опорной поверхности подшипника
1 - к = 1; 2 - к = 1,5; 3 - к = 4
3
2
3) при значении ю«4 несущая способность подшипника при любом значении ае[0,1] практически в два раза выше, чем при а= 0 (рис.2);
4) с увеличением значения вязкостного отношения к несущая способность подшипника резко возрастает при значениях ае [0,95-0,99].
Выводы. Предложено точное автомодельное решение задачи о стратифицированном течении смазки в зазоре радиального подшипника с адаптированным профилем опорной поверхности. Теоретически обоснован профиль, обеспечивающей повышенную несущую способность подшипника.
Библиографический список
1. Дерягин Б.В. К теории граничного трения / Б.В. Дерягин // Развитие теории трения и изнашивания. - М.: Изд. АН СССР, 1957. - С.15-26.
2. Ахматов А.С. Молекулярная физика граничного трения. / А.С. Ахматов. - М.: Физматгиз,
1963.
3. Аэро Э.Л. Микромеханика межконтактных структурированных слоев жидкости / Э.Л.Аэро, Н.М. Бессонов // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. - М.: ВИНИТИ.
- 1989. - №23. - С.116-236.
4. Мирзаджанзаде А.Х. Вопросы гидродинамики вязких и вязкопластичных жидкостей в нефтедобыче. / А.Х. Мирзаджанзаде. - Баку: Азнефтеиздат, 1959.
5. Барыкин Н.П. Математическое моделирование течения многослойных смазочных покрытий в процессах обработки металлов давлением / Н.П. Барыкин, А.К. Галимов // Трение и износ. -1966. - Т.17. - №3. - С.287-291.
6. Макаренко Н.И. О спектре фазовых скоростей внутренних волн в слабостратифициро-ванной двухслойной жидкости. / Н.И. Макаренко, Ж.Л. Мальцева. // Механика жидкости и газа. -2009. - №2. - С.125-145.
7. Дружинин О.А. Изучение внутренних волн турбулентной струей в стратифицированной жидкости / О.А. Дружинин // Механика жидкости и газа. - 2008. - №2. - С.46-59.
Материал поступил в редакцию 10.02.2010
K.S. AKHVERDIEV, E.E. ALEKSANDROVA, E.V. KRUCHININA, M.A. MUKUTADZE
STRATIFICATED FLOW OF TWO-LAYER LUBRICATION IN THE CLEARANCE OF THRUST BEARING WITH THE INCREASED BEARING CAPACITY
A method of calculation of the thrust plain bearing with adapted profile of the bearing capacity, providing the increased bearing capacity of the bearing, working on the stratified two-layer lubrication in the presence of the porous layer on the surface of the guide is suggested.
Key words: stratified current, two-layer lubrication, thrust bearing, bearing ability.
АХВЕРДИЕВ Камил Самедович (1938), заведующий кафедрой «Высшая математика-2» Ростовского государственного университета путей сообщения (РГУПС), доктор технических наук (1984), профессор (1984). Окончил Азербайджанский государственный университет (1962),
Область научных интересов: трение и износ в машинах.
Автор 450 научных статей и 9 монографий.
КРУЧИНИНА Екатерина Владимировна, доцент (1995) кафедры «Высшая математика-1» РГУПС, кандидат технических наук (1995). Окончила Кубанский государственный университет (1976).
Область научных интересов: трение и износ в машинах.
Автор 20 научных статей.
АЛЕКСАНДРОВА Екатерина Евгеньевна, аспирантка кафедры «Высшая математика-2» РГУПС. Окончила РГУПС (2007).
Область научных интересов: трение и износ в машинах.
Автор 6 научных статей.
МУКУТАДЗЕ Мурман Александрович (1963), доцент (2001) кафедры «Высшая математика-2» РГУПС, кандидат технических наук (1995). Окончил РГУПС (1986),
Область научных интересов: трение и износ в машинах.
Автор 41 научной статьи.
vm_2kaf.@rgups.ru
