CC BY
32
11. Педагогика и психология высшей школы. Ростов н/Д., 1998. С. 99-278.
12. Самостоятельная работа студентов в условиях многоуровневого педагогического образования / сост.Ф.К. Савина. Волгоград, 1993.
13. Сатыбалдинова, К. Учитель и преподаватель (Восток и Запад: традиции и современность) / К. Сатыбалдинова // Alma Mater. 2000. № 1.
14. Стефанова, H.JI. Магистратура: слово и дело/ H.JI. Стефанова, H.JL Шубина. СПб., 2002.
15. Dickinson, D. Positive trends in learning: meeting the needs of a rapidly changing world [Electronic resource] / D. Dickinson; пер. A.M. Корбута. Режим доступа: www.charko.narod.ru.
Ю.Б. МЕЛЬНИКОВ, Н.В. ТКАЛ ЕН КО (Екатеринбург)
СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ КАК МЕХАНИЗМ ЗАМЕНЫ ЭКСТЕНСИВНОГО СПОСОБА ФОРМИРОВАНИЯ УМЕНИЯ РЕШАТЬ УРАВНЕНИЯ ИНТЕНСИВНЫМ С ПОМОЩЬЮ ИНФОРМАЦИОННО-ОБУЧАЮЩЕЙ СРЕДЫ
Предлагается стратегия решения уравнений, рассматриваемая как механизм формирования и реализации тана. Ориентация на стратегии позволяет перейти от экстенсивного способа обучения решению уравнений (наращивание числа известных обучаемому типов уравнений и способов их решения) к интенсивному.
В обучении решению уравнений упор делается обычно на формирование алгоритмов действий. Команды алгоритма представлены однозначно понимаемым предписанием. Обучение конкретным алгоритмам решения оправдано, прежде всего, для простейших уравнений, где существует непосредственная формула для вычисления корней или стандартный алгоритм их нахождения. Такой подход эффективен в плане затрат времени и сил на формирование навыка, однако по мере усложнения задачи, в частности уравнений, его эффективность падает. Попытки создания алгоритмов приводят к выделению большого
числа типов уравнений, различных их классификаций и способов (алгоритмов) решения. Усвоение метода решения заключается в усвоении, запоминании и отработке соответствующих предписаний, описывающих процедуры работы над левой и правой частями уравнения. Таким образом, при традиционном подходе к обучению решению уравнений для учащегося постоянно увеличивается список типов уравнений и способов решения, которые он должен знать. В итоге происходит перегрузка памяти учащихся несущественной информацией, зачастую носящей сугубо технический, узкоспециализированный характер. При таком подходе формирование умения решать уравнения носит ярко выраженный экстенсивный характер.
Экстенсивность в данном случае состоит в том, что развитие умения решать уравнения превращается в механическое наращивание системы знаний и умений обучаемого все большим количеством типов уравнений и способов их решения.
Нам представляется, что переход от экстенсивного к интенсивному способу формирования умения решать уравнения следует искать в ином подходе к планам решения уравнения. Во-первых, обычно планы состоят из предписаний процедур работы над левой и правой частями уравнения. Предполагается, что применение процедур определяется соответствующими правилами, которые подлежат заучиванию. Другой подход, называемый функциональным, отличается от процедурного тем, что преобразования левых и правых частей равенства рассматриваются не как процедуры, а как результат применения некоторой функции к левой и правой частям уравнения. Например, переход от уравнения 2х-1=5 к уравнению 2х=6 рассматривается как результат применения функции p(t)=t+l к левой и правой частям исходного уравнения, т.е. как переход к уравнению р(2х—1 )=р(5). Учащиеся, ориентированные на применение процедурного подхода, затрудняются с решением уравнения Для
учащихся, владеющих функциональным подходом, естественным является переход: вычисление синуса от левой и правой части. Имеем arcsin 2х = 3 arcsin х => sin (arcsin 2х) =
© Мельников Ю.Б., Ткаленко Н.В., 2008
зт(3 агсзт х) <=> 2х = х(з -4х2)» <
л: = 0; л: = 1/2; х = -1/2.
Переход от уравнения /. = N к уравнению вт/, = втЛ не является эквивалентным преобразованием, поэтому потребуется отбор корней. Процесс решения определяется свойствами функции, с помощью которой преобразуются обе части уравнения. В частности, изучение свойств функций перестает быть самоцелью и становится средством деятельности.
Во-вторых, трактовка плана решения задачи как системы команд, предписаний приводит либо к чрезмерному усложнению алгоритма, либо к наращиванию числа частных алгоритмов решения и типов уравнений. Выход видится в пересмотре самого понятия план решения.
Выделим два крайних типа планов деятельности. В плане первого типа, называемом планом-предписанием, основные пункты воспринимаются исполнителем как конкретные предписания, команды алгоритма. В планах второго типа, называемых планом-целью, основные пункты плана исполнитель понимает лишь как указание цели деятельности в рамках выполнения этого пункта, без конкретных однозначных указаний на способ достижения этой цели. Реализация плана-цели требует высокой квалификации исполнителя, умения планировать деятельность, контролировать ее результаты, корректировать способ действий. Но, во-первых, построение плана-цели обычно оказывается более простым, чем создание плана-предписания; во-вторых, план-цель часто оказывается более компактным и универсальным. Более того, создание плана-пред-писания обычно проходит в две стадии. На первом этапе строится план-цель. По мере выбора и уточнения способа достижения цели для каждого пункта плана план-цель преобразуется в план-предпи-сание. Введение понятий «план-цель» и «план-предписание» позволяет организовать обучение решению уравнений как обучение поиску решения, основанному на составлении плана-цели и его реализации, сопровождающейся преобразованием плана-цели в план-предписание. Такой подход к обучению решению уравнений мы называем интенсивным подходом. Интенсив-
ность состоит в том, что совершенствование умения решать уравнения происходит за счет улучшения управления поиском, а не за счет наращивания числа известных типов уравнений с соответствующими способами решения. Получающийся план решения может быть для учащегося субъективно новым.
Одним из средств построения плана-цели является система соответствующих стратегий. Под стратегией мы будем понимать систему из 5 компонентов [1: 99 -100]: 1) система целей; 2) система отношений на множестве целей; 3) системы стандартных планов, алгоритмов и др.; 4) система доступных интеллектуальных и материальных ресурсов; 5) механизм качественного и количественного оценивания. Стратегия обеспечивает построение плана-цели (на этапе поиска решения) и его преобразование в план-предписание (на этапе оформления решения).
Опишем компоненты стратегии поиска решения уравнения.
Совокупность целей составляют основная и частные цели. Основная цель: сведение к уравнениям вида а(ср(х)) = С , где а - одна из основных элементарных функций: степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая. Частными целями являются: 1) приведение уравнения к виду /(x)g(x) = 0 ; 2) преобразование уравнения к виду /(х) = С , где С есть экстремальное значение функции Г. Удобными для запоминания являются образные формулировки этих частных целей: «произведение равно 0» и «значение достигается в прыжке». Кроме этих целей имеется большое число целей, являющихся пунктами планов, применяемых для решения отдельных типов уравнений. Например, пункт плана может быть представлен целью «сделать одинаковыми основания логарифмов».
Система приоритетов определяется уровнем развития учащегося, умением прогнозировать результаты цепочки преобразований.
Систему планов составляют следующие планы-предписания и планы-цели: 1) проанализировать исходное выражение, построить его смысловую знаково-символическую модель; 2) если уравнение имеет вид а(ср(х)) = С, свести его к виду <р(х) = £> с
помощью стандартных процедур для решения уравнения a(t) = C; 3) свернуть уравнение (например, с помощью замены или введения дополнительных переменных), чтобы получить выражение известного вида; 4) применить функциональный подход к решению уравнения; 5) свести уравнение к виду а(ср(х)) = С с помощью замены переменной или введения дополнительных переменных; 6) определить тип уравнения (тригонометрическое, логарифмическое и др.) и применить планы решения, типичные для данного типа уравнений. Например, для тригонометрического уравнения один из планов может быть представлен в виде следующих целей: а) свести уравнение к уравнению от функций от одного и того же аргумента (например, sinx); б) преобразовать в произведение или к функциям от других аргументов с помощью формул (сумма синусов, формула понижения степени, произведение синусов); в) получить уравнение, однородное по sin или cos от одинаковых аргументов. В систему разработки планов входят прогноз результатов преобразований, комбинирование, развертывание планов и др.
Система ресурсов включает в себя:
1) формулы тождественных преобразований;
2) формулы для решения простейших уравнений; 3) умение анализировать выражение; 4) знание свойств функций (формулы для преобразования суммы в произведение, произведения в сумму, формулы для логарифма и др.); 5) знание методов решения: а) замена переменной, б) применение к равенствам и уравнениям как равносильных преобразований, так и преобразований-следствий, разбиение на случаи;
в) введение дополнительной переменной;
г) смена ролей переменных и неизвестных;
д) представление элементов в различных формах; е) переход к другим моделям (например, графическим); ж) метод подбора (с контролем полноты списка корней).
В систему контроля входят механизмы: а) контроля равносильности преобразований; б) контроля с помощью ОДЗ; в) контроля с помощью подстановки корней в уравнение.
Организация деятельности по усвоению понятия уравнения и его решения посредством стратегического подхода имеет следующие особенности: 1) стратегический подход является ключевым в методике
формирования умения решать уравнения. Его общность, применимость к подавляющему большинству уравнений, рассматриваемых в учебном процессе, позволяет осуществлять формирование умения решать уравнения через формирование умения пользоваться данной стратегией, обогащать стратегии сравнительно небольшим числом новых стандартных планов, новых ресурсов (формул, приемов); 2) формирование умения использовать стратегический подход необходимо опирается на обширный спектр типов упражнений, который позволяет отработать и систематизировать все компоненты данной стратегии. Стратегический подход расширяет возможности применения информационно обучающей среды. В качестве тестового задания, ориентированного на формирование системы целей, многостороннего, системного подхода к изучению объекта, приведем следующий пример.
Пример 1. Дано равенство х2-1=0. Установите соответствие между заданиями, относящимися к этому равенству, и областями деятельности (соответствие может быть неоднозначным):
а) Решить уравнение 1) Техника вычислений
б) Выписать левую и правую части равенства
в) Построить график функции, определенной выражением из правой части равенства 2) Перевод информации на другой математический язык
г) Определить, каким шрифтом набрана формула
д) Найти число символов в этой формуле 3) Издательское дело
Возможность применения информационно обучающей среды для формирования стратегического мышления проиллюстрируем кратким описанием сценария решения следующего примера.
Пример 2. Решить уравнение 9 sinx = sin9x.
Решение. На первом этапе обучаемому предлагается выбор из трех возможных целей деятельности: 1) преобразования к виду «значение элементарной функции от некоторого выражения равно конкретному числу»; 2) преобразование к виду «произведение равно 0»; 3) сведение к виду f(x)=C, где С - экстремальное значение функции f («значение достигается в прыжке»). При выборе первого варианта ответа отмечается, что преобразовать уравнение к
требуемому виду представляется затруднительным. При попытке выбрать третий вариант отмечается, что нулевое значение функции не является
экстремальным. Следовательно, надо попытаться представить выражение L(x) в виде произведения. На этапе обучения формированию плана-цели можно остановиться на полученном результате, отложив окончательное решение примера (быть может, на несколько уроков).
С целью выделения общего множителя (для представления в виде «произведение равно 0») можно применить, например, следующие преобразования: 8 sin х = = sin 9х - sin х <=> 8sin х = 2cos5x sin 4x <=> <=> sin x(cos 5xcos 2xcos x - l)= 0.
Этот пример интересен сочетанием последовательной реализации двух планов: «произведение равно 0» и «значение, достигаемое в прыжке». А именно обращение второго множителя в ноль означает, что все множители: cos5x, cos2x и cosx принимают экстремальные значения, т.е. 1 или (-1).
Создание системы упражнений, направленных на формирование умений составлять систему планов-целей, стратегии решения уравнения, обогащения данной стратегии, представляет определенные трудности. Блок обучения и контроля не может представлять лишь совокупность текстов информационного характера и заданий, оформленных в одну из тестовых форм. При создании системы обучения и контроля на базе информационно обучающей среды следует учитывать ее функцию управления деятельностью учащегося в соответствии с выбираемыми им сценарием и планом.
Формирование у обучаемых данной стратегии решения уравнений по сравнению с экстенсивным подходом к обучению решению уравнений (состоящим в основном в увеличении типов уравнений и конкретных алгоритмов решения) имеет следующие преимущества. Во-первых, формирование стратегии основано на самостоятельном построении обучаемым плана деятельности. Это способствует развитию творческих элементов в его деятельности, самостоятельности. Во-вторых, одним из этапов решения уравнений с помощью рассмотренной стратегии является преобразование пла-
на-цели в план-предписание, осуществляемое в процессе выполнения плана-цели. Самостоятельная реализация плана способствует накоплению и осознанию опыта, осуществлению контроля над ходом выполнения плана. Иногда выполнение конкретного плана решения приводит к непреодолимым трудностям, что побуждает к построению нового плана деятельности [2]. Это способствует развитию инициативности, самостоятельности, ответственности. В-третьих, применение стратегического подхода снижает непомерную нагрузку на память учащихся, переносит основные усилия с накопления и систематизации информации на ее обработку, исследовательскую и проектную (конструкторскую) деятельность. В-четвертых, осознанное использование стратегии позволяет в перспективе ставить вопрос об обучении самостоятельному формированию стратегии деятельности. В этом случае планирование деятельности осуществляется на более высоком уровне с точки зрения абстрагирования и других мыслительных операций. В-пятых, ориентация на планы-цели приводит к изменению отношения к ошибкам обучаемых - от однозначно негативного к взвешенному, разумному, поскольку при создании и выполнении плана-цели ошибка является имманентной особенностью деятельности. Поэтому при работе с ошибками акцент переносится на их поиск, исправление и даже использование приема «преднамеренной ошибки». Таким образом, обучение решению уравнений с помощью стратегического подхода способствует формированию рефлексивного подхода к деятельности.
Литература
1. Мельников, Ю.Б. Математическое моделирование: структура, алгебра моделей, обучение построению математических моделей: монография /Ю.Б. Мельников. Екатеринбург: Урал, изд-во, 2004. 384 с.
2. Мельников, Ю.Б. Доказательство теорем. Задачи, требующие составления системы уравнений и неравенств. Функции и графики. Задачи с параметрами: учеб. пособие по курсу «Математика» / Ю.Б. Мельников. 4-е изд., испр. и доп. Екатеринбург: ООО «Издательство УМЦ-УПИ», 2005. 252 с.
