Стратегии оперативного синтеза оптимальных по качеству химико-технологических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66-5

В.Ф. Беккер

Березниковский филиал Пермского государственного технического университета

СТРАТЕГИИ ОПЕРАТИВНОГО СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ ПО КАЧЕСТВУ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Рассмотрена методология управления средствами химикотехнологического производства при высоких темпах изменения окружающей среды. В этом случае необходима оперативная трансформация производства, ориентированная на качественные оценки - стратегии синтезируемых химико-технологических систем.

Мировой опыт [1] показывает, что в рыночных условиях успеха достигают те предприятия, которые балансируют в первую очередь производственные, а уже затем также коммерческие и финансовые цели. К управлению средствами производства предъявляются, в первую очередь, требования оперативности перестройки аппаратурнотехнологической схемы химико-технологического производства, которая заключается в определении состава комплекса однотипного оборудования (например, насосов, компрессоров, теплообменников, реакторов) с учетом резервирования по заданному критерию качества его работы [2]. Специфика химических производств (а также других производств с непрерывной технологией, необходимостью ремонта оборудования и т. д.) не позволяет применить для ее решения стандартные методы теории надежности [3, 4]. Существенным препятствием на пути их использования является, в частности, вид критериев оптимизации, которые, как правило, не учитывают такие существенные составляющие, как потери от простоя оборудования, затраты на ремонт и др.

Следовательно, при оценке качества оперативно разворачиваемой технологической схемы следует в основном ориентироваться на затраты, необходимые для трансформации производства. Важно научиться оценивать эти затраты в процессе выполнения проекта, а не после его завершения, когда изменения уже невозможны или связаны со значи-

тельными расходами ресурсов. Основным акцентом данной работы является такая стратегия проектирования, которая подтверждает целесообразность каждого шага в ходе выполнения проекта.

Решая задачу оперативного проектирования применительно к химико-технологическому процессу, выходят на синтез оптимальных аппаратурно-технологических схем, включающий в себя определение оптимальной структуры и параметров функциональных объектов. Особенностью технологических схем химико-технологических систем (ХТС) и других производств непрерывного типа является наличие топологической структуры, которая обусловлена материальными и энергетическими потоками между различными элементами схемы. В дальнейшем ограничимся рассмотрением именно таких схем.

При определении оптимальной технологической схемы выделяют две задачи, которые решаются последовательно [2]:

1) выбор топологической структуры схемы;

2) выбор оптимальных элементов схемы при фиксированной структуре.

Первая задача часто творческая, так как в основу схемы положен принципиально новый технологический процесс, могут быть использованы результаты физических экспериментов, последние изобретения и т. п. Возможность эффективного решения второй задачи зависит от топологии схемы и структуры функционала.

Для того чтобы выйти на общую постановку и найти решение общей задачи, рассмотрим достаточно универсальную математическую модель задачи синтеза ХТС.

При построении математической модели синтез ХТС представим как разновидность задачи конструирования сложных агрегатов (в дальнейшем будем называть ее задачей конструирования). Введем необходимые определения. Пусть задано семейство ¥ = {¥а}аеА множеств ¥а .

Каждому индексу а е А поставлена в соответствие пара множеств (Ха , Уа ), где Ха - множество входов; Уа - множество выходов, и пара натуральных чисел (ка, 1а), где ка - размерность входа; 1а - размерность выхода. Каждое подмножество ¥а состоит из однозначных отображений вида / (Х^ —— ^ ), которые называются фрагментами.

Здесь через М4 обозначена 4-я декартова степень множества М. Если / е ¥а , то индекс а называется типом фрагмента /. Каждому фраг-

менту / сопоставим его «стоимость» - вещественное число С/, определив тем самым функционал С на и / .

аеА

Рассмотрим конечный ориентированный граф О = (I, Г), где I = {1, 2, ..., п). Пусть задана функция ф на I, ставящая в соответствие каждой вершине , е I некоторый фрагмент ф: I — и /а . Пара (G, ф)

аеА

называется агрегатом Я, если выполняются следующие условия:

Г1 (1) = Г(п) = 0 ;

ф( І )е ¥а^|ГТ1| = ка , |Г,| = 1а , (V/ е I) ;

] еГ/ , ф( I )е ¥а , ф( 7 )е ¥р^ Уа^ Хр , (Vi, 7 е I) .

Семейство ¥ называется набором средств конструирования, а граф О - функциональной схемой агрегата Я. Стоимость агрегата Я определяется выражением

с (Я)=£(О,ф). (1)

Распространенным частным случаем функционала С служит сепарабельный функционал

С (Я) = ес, (/), (2)

где ® - некоторый бинарный закон композиции.

Применительно к задачам синтеза ХТС фрагменты называют аппаратами, информационные схемы (графы агрегатов) - технологическими схемами, а агрегаты являются самими химико-технологическими системами (ХТС).

Стоимости С (Я) и С/ выражают обычно приведенные затраты. Агрегат функционирует следующим образом. Пусть ф(1) = / е ¥ , и задан вход х е X . На первом такте фрагмент / пре-

I ( ) к

образует вход х в выход у1 уг е 7^ , ( у е{у | ^, у7 е Уа^ ). На втором

такте элементы у. служат входами для фрагментов, отвечающих вершинам из Г(1). Последние располагаются в порядке возрастания. На

первую из них в качестве входа поступает ух, на вторую - у2 и т.д. За-

тем аналогичным образом вступают в работу фрагменты из ¥2(1). Работа агрегата продолжается до тех пор, пока не появится элемент у на вы-

ходе фрагмента ф( n) = fn е Fó . Таким образом, агрегат R осуществляет некоторое однозначное отображение

Фr : X* ^ Y¿ • (3)

Пусть задано отображение (вообще говоря, многозначное) Ф : X ^ Y . Будем говорить, что агрегат R реализует отображение Ф, если X с X*, Y с Yó и Ф R (х) с Ф (х), Vx е X .

Задача конструирования при фиксированной топологии состоит в построении по заданному набору средств F агрегата R, реализующего заданное отображение Ф и имеющего минимальную стоимость C (R).

Средства конструирования - гомогенные, если |А| = 1 (все фрагменты имеют одинаковый тип). Агрегаты, построенные из гомогенных средств, являются гомогенными. При (А) > 1 средства конструирования

и соответственно агрегаты - гетерогенными.

Агрегат R называется линейным, если его граф G представляет собой цепь:

Г(i) = {i +1} i < n, Г(n) = 0 .

Рассмотрим процедуру синтеза ХТС по заданной информационной схеме. Пусть i-й вершине соответствует фрагмент типа а = i. Агрегат R реализует отображение X ^ Y как суперпозицию

X ^ Xi ——X2 ——... ——^Xn —— Yn = Y при f е F . (4) Будем считать, что F - конечные множества и |f| = , а также

f n ^

на I U Xi U Y задан некий функционал q - функционал качества. Тре-

V i=i )

буется построить агрегат R минимальной стоимости C (R), реализующий отображение

Y (Ф( х М={ yy е Y ’ q(y^ q(х)+qo },

где q0 - заданное число, т.е. улучшающее качество входа на q0. Предполагается, что C (R) - сепарабельный функционал.

Поставленная задача синтеза линейного агрегата решена методом динамического программирования [2]. Сопоставим каждому фрагменту

f его качество Q(f )= inf {q[F(x)]-q(x)} .

xeXi

Ф o: X

Пусть d > 0. Обозначим через Ci (d) минимальную стоимость увеличения качества на d фрагментами из F:

C (d)= min Cf, i = l, 2, n.

f eF, T (f )>d f

Так как F - конечные множества, то функция Ct (d) является кусочно-постоянной и принимает не более чем различных значений.

Обозначим через Ci (d), 1 < i < n минимальную стоимость увеличения качества на d при сквозном отображении Xt ^ Y в уравнении

(4). Совершенно очевидно, что если C1 (d) = Cn (d), то

а" (d)= min{Cj (do) + Cn_j (d- do)}, j = 1,2,..., n-1. (5)

В соответствии соотношения (5) функции CJ (d), j = 1,2,..., n

m

также кусочно-постоянные и принимают не более чем ^ mt различ-

i=n-j+1

ных значений. Процедура решения состоит в последовательном вычислении функций CJ (d) с помощью соотношений (5) с запоминанием

для каждого j значения d0 и фрагмента из Fn-j=1, на которых достигался

минимум. Положив d = q0 в Cn (d) и двигаясь в обратном направлении

j = n, n -1,..., 2, 1, получаем последовательность фрагментов f. e Fj

(j = 1,2,..., n), отвечающую линейному агрегату R с минимальной

стоимостью C (R).

Приведенная процедура может быть конкретизирована для расчета технологических схем химических производств.

Аналогично метод динамического программирования может быть применен, когда граф G задан без контуров. При решении задачи конструирования в более сложных случаях следует различать два варианта:

1) множество допустимых значений f для каждой вершины i не зависит от выбора фрагментов в остальных вершинах;

2) для некоторой вершины это множество значений зависит от выбора остальных фрагментов.

В первом варианте допустимы любые наборы фрагментов из декартова произведения ^ F(p(i). Во втором, более сложном, имеются не-

ieI

допустимые наборы фрагментов. Второй случай можно свести к первому применением метода штрафных функций, что позволяет исключить недопустимые наборы как невыгодные при оптимизации функционала (1). Отметим, что введение штрафных функций ухудшает структуру функционала и, в частности, может превратить сепарабельный функционал (2) в несепарабельный. Задача, в которой допустимы любые наборы и функционал сепарабельный, распадается на ряд задач минимизации с одной переменной, каждая из которых решается перебором за линейное число операций.

Рассмотрим решение задачи конструирования по заданной топологии в виде сети, представленной на рисунке. Для решения применим алгоритм Эдмондса-Карпа - это вариант алгоритма Форда-Фолкерсона

[5], при котором на каждом шаге выбирают кратчайший дополняющий путь в остаточной сети (полагая, что каждое ребро имеет единичную длину). Кратчайший путь находится поиском в ширину.

1. Обнуляем все потоки. Остаточная сеть изначально совпадает с исходной сетью.

2. В остаточной сети находим кратчайший путь из источника в сток. Если такого пути нет, останавливаемся.

3. Пускаем через найденный путь (он называется увеличивающим путем или увеличивающей цепью) максимально возможный поток:

3.1. На найденном пути в остаточной сети ищем ребро с минимальной пропускной способностью cmin.

3.2. Для каждого ребра на найденном пути увеличиваем поток на величину cmin, а в противоположном ему - уменьшаем на величину

с .

min

3.3. Модифицируем остаточную сеть. Для всех ребер на найденном пути, а также для противоположных им ребер, вычисляем новую пропускную способность. Если она стала ненулевой, добавляем ребро к остаточной сети, а если обнулилась, стираем его.

4. Возвращаемся на шаг 2.

Итак, задана сеть с истоком в вершине A и стоком в вершине G. На рисунке парой f/c на ребре обозначен поток по этому ребру и его пропускная способность.

Рис. Топология рассчитываемой сети

Опишем поиск в ширину на первом шаге (см. рисунок).

1. Очередь состоит из единственной вершины А. Посещена вершина А. Предков нет.

2. Очередь состоит (от начала к концу) из вершин В и Б. Посещены вершины А, В, Б. Вершины В, Б имеют предка А.

3. Очередь состоит из вершин Б и С. Посещены А, В, С, Б. Вершины В, Б имеют предка А, вершина С - предка В.

4. Очередь состоит из вершин С, Е, Г. Посещены А, В, С, Б, Е, Г. Вершины В, Б имеют предка А, вершина С - предка В, вершины Е, Г -предка Б.

5. Вершина С удаляется из очереди: ребра из нее ведут только в уже посещенные вершины.

6. Обнаруживается ребро (Е, О) и цикл останавливается. В очереди вершины (Г, О). Посещены все вершины. Вершины В, Б имеют предка А, вершина С - предка В, вершины Е, Г - предка Б, вершина О -предка Е.

7. Идем по предкам: О^Е^Б^А. Возвращаем пройденный путь в обратном порядке: А^Б^Е^О.

Заметим, что в очередь последовательно добавляли вершины, достижимые из А ровно за 1 шаг, ровно за 2 шага, ровно за 3 шага. Кроме того, предком каждой вершины является вершина, достижимая из А ровно на 1 шаг быстрее.

Более широкий класс задач конструирования при фиксированной топологии (в том числе задач второго типа) можно решить методом ветвей и границ [5]. Для его применения следует определить некоторую перестановку п на множестве I, определяющую порядок выбора фрагментов. Если граф О не содержит контуров, то в качестве п можно выбрать любой порядок, согласованный с графом О, т. е. такой, при кото-

ром п(г)<п(у), если вершина г в О предшествует у. Если граф О

с контурами, его обычно можно заменить графом О*, в котором исключены дуги, соответствующие рециклам технологической схемы.

При реализации метода ветвей и границ ветвление на очередном уровне г определяется выбором фрагмента в вершине п( г). Оценка множества вариантов при ветвлении производится путем вычисления минимально возможного значения функционала С (Я) при условии,

что фрагменты п(1), п(2),..., п(г) фиксированы. Наиболее точно такие оценки можно получить тогда, когда допустимы все наборы фрагментов для вершин п( г +1), п(г + 2),..., п( п) и/или когда функционал сепарабелен. При использовании в виде отдельного модуля метода ветвей и границ в конкретных задачах конструирования необходим дополнительный модуль, вычисляющий нижнюю оценку множества вариантов ветвления для конкретной ХТС.

Эффективность применения метода ветвей и границ зависит от того, насколько содержательны нижние оценки для множеств вариантов ветвления. Если специфика задачи не позволяет получить достаточно удовлетворительные оценки, решение задачи может потребовать большого объема вычислений или даже свестись к полному перебору допустимых вариантов. Тогда решать задачу нужно методами локальной оптимизации, с использованием, например, покоординатной групповой релаксации. Эффективность его зависит от выбора начального приближения, которое может задаваться в диалоговом режиме либо строиться вероятностным методом.

Рассмотрим теперь задачу конструирования для случая, когда оптимизируемым параметром является также граф О. Решение ее в общем случае довольно сложно. Об этом свидетельствует такой факт, что к ней, согласно теории Карпа [5], в частности, могут быть сведены следующие модельные задачи:

1) построение оптимального алгоритма Маркова, реализующего заданное отображение множеств слов над конечными алфавитами (фрагментами являются подстановки Маркова, а функционал С определяет длину алгоритма или время его работы);

2) построение оптимальной рекурсивной функции (фрагментами служат рекурсивные функции);

3) построение минимальной дизъюнктивной нормальной формы;

4) синтез граф-схем алгоритмов выбора решений и др.

Для большей части перечисленных задач не существует эффективных методов решения ввиду их высокой алгоритмической сложности. Поэтому задачи конструирования необходимо применительно к оперативному синтезу ХТС с нефиксированной топологией решать в интерактивном режиме при активном участии проектировщика. Кроме того, выход на интерактивный режим необходим в тех случаях, когда выбор технологической схемы связан с решением творческих задач, семантикой соответствующей отрасли производства, а также с отсутствием необходимой для расчета ХТС информации.

Список литературы

1. Беккер В.Ф. Управление технологическими процессами как подсистема управления качеством продукции // Проблемы теории и практики управления. - 2010. - № 10. - С. 78-84.

2. Дворецкий С.И., Кормильцин Г.С., Королькова Е.М. Основы проектирования химических производств. - Тамбов: Изд-во ТГТУ, -1999. - 183 с.

3. Кирин Ю.П., Беккер В.Ф., Затонский А.В. Совместное проектирование технологии и системы управления вакуумной сепарацией губчатого титана. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, - 2008. -124 с.

4. Затонский А.В., Кирин Ю.П., Беккер В.Ф. Позиционное управление в сложных системах. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. - 150 с.

5. Алгоритмы: построение и анализ / Томас Х. Кормен [и др.]. -М.: Вильямс, 2006. - 1296 с.

Получено 6.12.2010