Стохастическое описание смазки в искусственном и естественном тазобедренном суставе после ушиба Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 531/534: [57+61]

Российский Журнал

www.biomech.ru

СТОХАСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СМАЗКИ В ИСКУССТВЕННОМ И ЕСТЕСТВЕННОМ ТАЗОБЕДРЕННОМ СУСТАВЕ ПОСЛЕ УШИБА

A. Мищак

Base Technique Department, Maritime University of Gdynia, 83, Morska Street, PL 81-225, Gdynia, Poland, email: [email protected]

Кафедра основ техники, Морской университет Гдыня, Польша

Аннотация. После ушиба шероховатые и притертые поверхности искусственного тазобедренного сустава и хрящевые поверхности естественного тазобедренного сустава человека резко изменяют свои смазочные параметры. Стохастические изменения шероховатости поверхностей головки бедра и стохастические изменения нагрузки предполагают случайные изменения высоты щели. Следовательно, распределение давления и нагрузка, а также силы и коэффициенты трения коренным образом изменяют свои значения в течение нескольких микросекунд после травмы. Эти изменения очень трудно измерить, поэтому надлежащие численные исследования в этой области очень важны. Для получения правильных численных результатов следует производить вычисления с использованием стохастического описания вариаций неровностей, встречающихся на поверхностях сустава.

Ключевые слова: искусственный тазобедренный суствав, естественный

тазобедренный сустав, случайные изменения, импульсивная смазка, нагрузка.

1. Введение

Данная статья посвящена численному анализу в области теории смазки поверхностей искусственного и естественного тазобедренного сустава при стохастических, нестационарных и импульсивных условиях. Статьи, приведенные в библиографии, не касаются проблемы смазки поверхностей искусственного тазобедренного сустава после ушиба при случайных условиях [1, 3, 4, 7-11, 19, 20]. Новые значения нагрузки тазобедренного сустава человека, происходящие в течение нескольких секунд после ушиба, очень часто решают вопрос о дальнейшем развитии вызванных этой травмой болезни или повреждения искусственного или естественного сустава. Поэтому для дальнейшей диагностики или терапии необходимо знание параметров смазки на основании случайных условий, например, изменения в течение нескольких микросекунд после травмы. Сосредоточенная сила Р, приложенная к внешней поверхности кости, вызывает ушиб естественного тазобедренного сустава человека. Намного большая сосредоточенная сила Р, приложенная к внешней стороне бедра человека, может повредить головку естественного сустава (см. рис. 1а) или искусственный сустав (см. рис. 1б).

© A. Мищак, 2005

09806267

б

Рис. 1. а) Пренебрежимо малые изменения высоты щели, вызванные силой Р, и большие деформации, вызванные силой 10Р, в естественном тазобедренном суставе человека; б) Искусственный тазобедренный сустав, нагруженный силой Р: 1 - импульс силы, 2 - полный эндопротез тазобедренного сустава, установленный на месте, 3 - тазовый компонент (высокомолекулярный полиэтилен), 4 - бедренный компонент (металл)

а

2. Определяющие уравнения и искажения высоты щели

Течение синовиальной жидкости в щели естественного тазобедренного сустава человека и течение биологической жидкости в щели искусственного сустава описывается уравнениями сохранения импульса и уравнением неразрывности. Эти уравнения вместе с приближением второго порядка общего определяющего соотношения Ривлина и Эриксена можно записать следующим образом:

div S = р—, div v = 0, S = -pI + Ло A1 +a(Aj)2 +PA2, (1)

dt

где S - тензор напряжений, p - давление, I - единичный тензор, A1 и A2 - первые два тензора Ривлина-Эриксена, ^, a, Р - три материальные константы синовиальной жидкости, где ^ обозначает вязкость. Тензоры A1 и A2 даны в виде симметричных матриц, определенных в [12, 17]:

т s \ T т

Ai = L + L , A2 = grad a + (grad a) + 2L L, a = Lv н-, (2)

dt

1 т

где L - тензор градиента вектора скорости смазочной жидкости (в с ), L -транспонированный тензор, v - скорость (в м/с), t - время (в секундах), a - вектор ускорения (в м/с2).

Предполагается, что произведение чисел Деборы и Струхала, т.е. DeStr, и произведение числа Рейнольдса, безразмерного зазора и числа Струхала, т.е. ReyStr,

имеют одинаковый порядок величины. Кроме того, DeStr >> ^а=аш^0, где о -

угловая скорость головки бедра. Мы предполагаем также вращательное движение головки бедра человека с окружной скоростью U = oR , где R - радиус головки бедра, несимметричное и неустановившееся течение синовиальной жидкости в щели,

вязкоупругие и нестационарные свойства синовиальном жидкости, постоянную величину плотности синовиальной жидкости р, характерную величину высоты щели тазобедренного сустава в0 и условие прилипания на поверхностях кости [20-26]. Мы

полагаем, что размерные и безразмерные величины связаны между собой следующими соотношениями:

Г = 8оГ1, 3 = ДЗІ5 і = гт =г0гтІ5 уф = ^ф1!

и Ло Я

уг = иууп, уа = р = РоРі , Ро =

(«о )2

(3)

а число Рейнольдса, модифицированное число Рейнольдса, числа Струхала и Деборы имеют вид:

Ке = 1^, Ке Ж = Р^М, згг = -*-, Ве = 1^, (4)

Л

Ло

о

Ло Я

Бе Біг =

Р

Яе у Біг =

р(«о )2

(5)

Лоіо Лоіо

Для синовиальной жидкости справедливо неравенство о < Р/іо < Ло, и псевдовязкость Р в основном имеет значения от 0.0000001 до 0.001 Па-с2. Безразмерные величины обозначены нижним индексом 1. Пренебрегая выражениями радиального зазора у = во/Я ^Ю" и принимая во внимание вышеупомянутые предположения, получаем систему уравнений в сферических координатах ф, г, 3 [16,17]:

Яе уБіг-

ду

ф1

1 др1 + АГдуй'1 + ПеБіг-д 'Ф1

ді1 бій 31 дф дг1 ^ дг1

д\„

ді1дг1

(6)

о =

дР1 дг1 ,

(7)

Яе у Біг д'31

дР1 +д

ді1 д31 дг11 дг1

ду

31

+ БеБіг д '31

ді1дг1

2

(8)

дуф1 • / о \ д'г1 д

- + бій (31) —— + -

[у31 бІй (31 )] = 0,

(9)

дф дг1 д^

0 <ф< 2л91, 0 <91 < 1, л/8 <31 <л/2, 0 <г1 <еТ1, еТ1 - безразмерная высота щели.

Символы уф1, у Уа1 обозначают соответственно безразмерные компоненты скорости

синовиальной жидкости в окружном, радиальном (по высоте щели) и меридиональном направлениях головки бедра.

импульс в начальный момент времени

вертлужная впадина

вертлужная впадина

импульс в начальный момент времени

Рис. 2. а) Область смазки, эксцентриситеты, изменения высоты щели с течением времени после ушиба, б) положение в стационарном и импульсивном движении, в) графики зависимости от времени давления и скорости синовиальной жидкости, г) стохастические деформации, влияние ушиба, случайная шероховатость

Рис. 2а показывает изменения высоты щели сустава, вызванные импульсной нагрузкой при неустановившемся движении и стохастических эффектах [12, 17, 18]. Нестационарный импульс, который начинается в начальный момент времени, через некоторое время исчезает, и головка бедра или головка искусственного тазобедренного сустава возвращается в стационарное положение (см. рис. 2б).

Графики зависимости от времени скорости и давления представлены на рис. 2в. Рис. 2г показывает случайные эффекты шероховатости и волнистости, вызванные случайной фибрилляцией поверхностей хряща и склерозом субхондральной кости. В случае искусственного сустава мы имеем случайные эффекты шероховатости, вызванные следами от абразивных частиц. Безразмерная высота щели ет1 зависит от переменных ф, 3 и времени I и состоит из двух слагаемых [15, 26]:

где вТ ь обозначает полную безразмерную однородную часть геометрии тонкого слоя жидкости. Эта часть высоты щели содержит безразмерные поправки высоты щели, вызванные деформациями хряща. Символ 51 обозначает безразмерную случайную часть изменений высоты щели, возникающую в результате нестационарного нагружения неровностей поверхности хряща, измеряемую от номинального среднего уровня (см. рис. 2б). Символ Е, описывает случайную величину, характеризующую расположение неровностей. Оператор ожидания определяется выражением:

Реальное описание изменений высоты щели в естественном и искусственном суставе зависит от вариаций поверхностей хряща и от следов абразивных частиц. Случайные изменения поверхности хряща и поверхностей искусственного сустава описываются функциями плотности вероятности на основе сравнения между экспериментами автора и исследованиями Доусона [1], Моу [11] и Вежхольского [25] (см. рис. 3 и 4).

Изменения поверхностей образцов эндопротезов искусственного тазобедренного сустава проведены с помощью лазерно-механического сенсора. Измеряемые образцы были изготовлены из металла, циркония и алюминиевой керамики (см. рис. 3а, 3б). При измерениях использовались образцы из металла или циркония длиной 1.25 мм и шириной 1,25 мм, или даже длиной 2,50 мм и шириной 2,50 мм. Образцы, изготовленные из алюминиевой керамики, имели длину 0,988 мм и ширину 0,988 мм.

В случае искусственного эндопротеза Веллера металлическая поверхность головки покрыта хаотическими царапинами случайной формы, являющимися следами абразивных частиц [13].

Измеренные величины для металлических головок эндопротеза Веллера едва составляли величину в 1 микрометр.

(1о)

(11)

где /1 - безразмерная функция плотности вероятности.

3. Поверхности головки и описание случайности

мкм

0,702 мкм

16,4 мкм

0,998 мм

Рис. 3. а) Контурная диаграмма неэксплуатируемой поверхности металлической головки эндопротеза Веллера; б) Поверхность неэксплуатируемой головки эндопротеза из

алюминиевой керамики

Измерения величины изменений на поверхности образцов (2 мм х 2 мм) нормального хряща, лежащего на сфере головки бедра естественного тазобедренного сустава человека, проведены с помощью механического сенсора в аппарате Rank-Taylor-Hobson-Talyscan-150 и обработаны с помощью компьютерных программ Talymap Expert и Microsoft Excel. Результаты приведены на рис. 4а и 4б.

Отсюда мы получаем следующую безразмерную функцию плотности вероятности [2, 14]:

fx(Si) -

1 1 Г 3251 ^2

1 СП

для 1^1 <+35/32 = 1,09375,

0 для 1^1 > 1,09375.

(12)

а

б

3

24,7 мкм

б

Длина образца

Рис. 4. а) Измерение шероховатости образца хряща (2ммх2мм) из бедренной головки тазобедренного сустава человека; б) Неровности поверхности нормального хряща вдоль

сечения 2-2 образца естественного хряща

4. Интегрирование задачи гидродинамики для импульсивного движения

Введем новую безразмерную переменную [5, 6, 16]:

Яе у Біт БеБіг

—-----------, і1 > 0, 0 <--------------< 1,

и

и

(13)

П П

и предположим решение системы (6)-(9) в виде следующих сходящихся рядов [3, 17]:

. БеБіт

V = ^ф0ї (X, Ф, »1) + —-— ^ (х, ф, »1) +

и

БеБіг

^91 _ ^0Е (Х, ф, ^'1) + ^1! (Х, Ф, ^'1) +

и

Ґ \2

Эе Біг

Ґ \2

БеБіг

Пф2ї (Х, ф, »1) +

VЭ2E (Х, ф, ^'1) +

(14)

(15)

БеБіт

Уг1 = V02 ^ Ф, 30 + — Уг12 <Х Ф, 30 +

( БеБ^2

V '1 У

\г2Е ф, 31) +.

(16)

, _ . БеБіх

Р1 = Рю^ 3^ и1) + ——Рп^ 3^ и1) + и

(

2

БеБіт

V и1 У

Рl2(ф, 3^ и1) + .

(17)

где 1Х > 0 , 0 < БеБ№ << 1, 0 < Бе81х/гх < 1. Заменим в уравнениях (6)—(8) производные по переменным ^ и г1 производными только по одной переменной X, используя следующие зависимости:

д = д ох д/, дх ди1

4 чф! дх 2и1 дх

д2

д

д

д

д дх | дх Яе у Біг д2

дг1 д/ V д/1 у дх V дх д?1 У д/^ 4ґх дх

д3

д

ди1дг1 ди1

Яе у Біг

Яе у Біг д 4/1 д?

2

Яе у Біг д + Яе у Біг д

2

4/2 ох2

4и1 дх

дх

vдX Уд/1

(18)

2

4/2

д2 +х д

3

дх2 2 ох3

После этого мы подставляем ряды (14)—(17) в измененную систему (6)-(9), где переменные /1 и г1 заменены переменной х • Кроме того, мы приравниваем выражения,

умноженные на одинаковые степени параметра (БеБіх//1 )к для к=0, 1, 2,... Таким

образом, мы получаем следующую последовательность систем обыкновенных дифференциальных уравнений:

ё у,02. + 2х

1 дР]

10

2

ёх N2 даг

(19)

ё2у,12 _ ёу,12 . 1 др,, ё2у,0У 1 .

- + 2х + 4(у,1Е) = —^ + ^02(1 + -х),

2

N да,

2

(20)

ё V,

'22 + 2^-^ + 8( V, 2Е ) =

ёх2 ёх

где ' = ф, 3; аф = ф, а3 = 3, и

N2 да,

ё Уі 12 , 1 х ё У,1 ёх2 2 ёх3

1 др12 + 2 ё у'12 I 1 ё у,12

(Nф)2 = N28Ій3,, N3= N.

(21)

(22)

5. Стохастические уравнения Рейнольдса и среднеквадратичное отклонение

Сферическая головка бедра естественного сустава и головка искусственного сустава движутся только в окружном направлении ф. Поэтому компоненты скорости

синовиальной или биологической жидкости на поверхности головки в окружном направлении равны окружной скорости сферической поверхности головки бедра. Компонента скорости жидкости на сферической поверхности головки бедра в меридиональном направлении 3 равна нулю, так как сферическая головка не движется в направлении 3. Вязкая синовиальная жидкость течет вокруг головки. Тогда на поверхности головки компонента скорости синовиальной жидкости в радиальном направлении (по высоте щели) равна нулю.

Таким образом, мы имеем следующие граничные условия:

Сферическая поверхность вертлужной впадины не движется в окружном и меридиональном направлениях, но совершает некоторые колебания в радиальном направлении (по высоте щели). Следовательно, высота щели изменяется с течением времени. Таким образом, компоненты скорости жидкости на поверхности вертлужной впадины в окружном и меридиональном направлениях равны нулю. Компонента скорости жидкости в радиальном направлении г (по высоте щели) равна первой производной по времени от высоты щели. Отсюда мы имеем следующие граничные условия:

где вт = в0вТ1 - высота щели, оТ1 - безразмерная полная высота щели, 81х = 1/ш70 .

В силу граничных условий (23), (24) компоненты скорости синовиальной жидкости в направлениях ф и 3 для нестационарного течения имеют следующую безразмерную форму:

Пр0! (х = °) = йп 31, УзоЕ (х = °) = °, V0! (х = °) = 0 ; для г1 = 0 ох = 0 и 0 < ^ < /2 <сю, N > 0.

(23)

до

Пр0! (х= М) = 0, ^30! (х= М) = 0, V 0! (х= М) =

1

г1 ^ в1 ох^ N от 1 = М апё 0 < ^ < 12 < ^, N > 0,

(24)

(25)

х -------у(х = Nг1),

ей" (e1N) 2 N Бт 31 др

^30! (ф, Г1, 31, О

У (х = N1), (26)

где

(27)

0

0

и 0<^ <го, 0<г1 <оТ1, Ьт1 <31 <Ъв1, 0<р<2л:91, 0<91 <ю, вт1 =оТ 1(р,31,/1),

0 <х2 <х1 <х = г^ <°т^ = М .

Подставим компоненты скорости (25), (26) в уравнение неразрывности (9) и проинтегрируем обе части этого уравнения по переменной г1. На поверхности головки бедра радиальная компонента скорости синовиальной жидкости Уг0! (в направлении высоты щели) равна нулю. Поэтому, подставляя граничное условие Уг 0! = 0 для г1 = 0, получаем компоненту скорости синовиальной жидкости в направлении высоты щели в следующем виде:

Ш~Ът^ У егТ(г2N) егГ(/г^) | erf(8T1N)

дв

т1

л/ж

др

двт1 др10 + С°т 1 др10

б1п2 31 др др д31 д31

От lN

■1 | х1Лх1

N *

2

(29)

б1п 31 др д31 д31

ео131

^ N2 У (х = ^ )г^3^г1 - IУ (*1 = г2 N ) ф2

где 0 < 1Х <го, ж/ 8 <31 <ж/ 2, 0 <р< 2ж91, 0 <х2 <х1 <х = г±№ <втN = М , 0 < 91 < 1, 0 < г2 < г1 < вт 1.

Компонента скорости синовиальной жидкости в направлении высоты щели Уг 0! не равна нулю на поверхности вертлужной впадины. Поэтому, интегрируя уравнение неразрывности (9) по переменной г1, накладывая на компоненту скорости в

направлении высоты щели граничное условие (24) при г1 = в1 и принимая во внимание условия (23) при г1 = 0, получаем следующее уравнение:

1

б1п 31 др

д Етг , 1 д Т двт 1

I Ур0!Лг1 + яп I 31П 31Уз0!Лг1 =- т 1

■’ Б1п 31 д31 ■’

д/1

(30)

Если подставить выражения (25)-(26) в (30) и взять ожидаемые величины обеих частей уравнения (30), мы получаем следующее модифицированное уравнение Рейнольдса:

Л 1 Ла

2 N2 б1п 31 I др

дР10

др

2 N 2

д31

3 (Вт lN) ^зт 31

д31

= - (б1п 31) Е |^д. н (гт^) I - Б1г дЕ^п) б1п 31,

(31)

где

Вт 1

3(вT1N) = Ж(вт 1N)У(вт 1N) - | У(г1Ы)ёг1, Н(вт 1N) = вт 1 - Ж(вт 1N),

(32)

1

2

1

вт 1

I ег^г^)^

Ж (в^) -

0

erf(вT1N) ’

(33)

и вт1 = вть(р,31,/1) + 8Ь 0<г2 <г1 <вт1, ж/8 <31 <ж/2, 0<р<2ж91, 0<91 < 1,

0 < 1Х < да, 0 < х2 < Х1 < вт 1N, 0 < N(/1) = 0.^^/Ке8^//1 < да .

Модифицированное уравнение Рейнольдса (31) определяет неизвестную функцию давления р10(р, 31, /1) .

Используя функцию оптимума /1 распределения плотности вероятности для стохастических изменений щели, вызванных шероховатостью и нестационарными изменениями (см. уравнение (10)), получаем, что математическое ожидание полной толщины слоя Е(вт1) и математическое ожидание функции давления Е(р10) могут быть представлены с помощью оператора ожидания в следующей форме [26]:

Т'Л;

Е(*} = I (•) 51, 71(51):

2 у

1 -^ У С1

0 для |51 > с1,

для -с1 < 51 < +с1,

(34)

где символ с1=1,09375 обозначает половину полного диапазона случайной величины толщины тонкого слоя для нормального тазобедренного сустава. Безразмерное среднеквадратическое отклонение высоты щели (*), представленное уравнением (10), имеет вид:

<*1 =1/Е(»)2 -Е2(») = = 0,3645.

32 • 3

(35)

Чтобы получить размерную величину среднеквадратического отклонения, нужно умножить безразмерное среднеквадратическое отклонение о1 на характерную величину высоты щели в0 .

В соответствии с экспериментальными величинами, относящимися к искусственному суставу, мы имеем размерное среднеквадратическое отклонение о1=1 мкм. Чтобы получить безразмерное среднеквадратическое отклонение о1 =0,3645, мы должны предположить характерную величину высоты щели равной в0 =3 мкм.

Экспериментальные данные для естественного сустава дают размерное среднеквадратическое отклонение о1 =3 мкм. Для того, чтобы получить безразмерное среднеквадратическое отклонение о1 =0,3645, нам нужно предположить, что характерная высота щели составляет величину порядка в0 =10 мкм.

Принимая во внимание соотношение (34), мы можем переписать уравнение (31) в следующем виде:

—оо

у/ж 1 д

2 N2 Бт 3 дф

у[ж д

2 N2 д31

3

у (в, N)

Фю

дф

К

+-

+с1 ([1—5 ' 1 3

у (BтlN)

г с- V с1 У

Фю

ё 5, —— Бт 3, 1 д31 1

= -( й, 8.

"С1 I 52 V

/11 - ^ I Н(sг]N)ё5!

-С V 1 У

(36)

д

— 81х — д/1

/I1 — ~с2 +51) ё51

-с V 1 У

23

Бт 31.

где —с1 < 51 < с1, ж/8 < 31 < ж/2, 0 < ф < 2ж .

Зависящую от времени высоту щели с учетом возмущений и стохастических изменений можно записать как:

вп ~втЬ (ф, 81, О + 51 ~втЬ (ф, 81) 1 + ^1е 01 0 +51.

(37)

Не зависящая от времени постоянная часть значения высоты щели в размерной форме имеет вид:

в0вть (ф, 31) = вт (ф, 31) = Ав1 соб ф Бт 31 + Ав2 Бт ф Бт 31 + Ав3 соб 31 — Я + +^(Ав1 соб ф Бт 31 + Лв2 Бт ф Бт 31 + Ав3 соб 31 )2 +(Я + вшЬ)(Я + 2В + втМ^.

(38)

Предполагается, что центр сферической головки бедра расположен в точке 0(0,0,0), а центр сферического хряща - в точке 01 (х — Ав1, у — Ав2,2 + Ав3); эксцентриситет имеет величину В (см. рис. 2).

Безразмерная функция 51 = ^(ф, )/вТя (ф, 31) (где 31х = 3^/Я, 31 =8 Я )

описывает изменения высоты щели при импульсивном движении, вызванном приложенной силой Р. Высота щели возрастает при 51 > 0 и убывает при 51 < 0.

Символ ш0 обозначает угловую скорость в с"1 и описывает временные изменения возмущений при нестационарном течении синовиальной жидкости в щели сустава в радиальном направлении. Если безразмерное время ^ возрастает, то при 51 > 0 увеличенная высота щели уменьшается, а при 51 < 0 уменьшившаяся высота щели возрастает; в обоих случаях через достаточно большой промежуток времени после импульса она достигает одного и того же не зависящего от времени значения вт (см. рис. 2).

Если Ь стремится к бесконечности, т.е. N стремится к нулю, то уравнение (36) стремится к виду классического уравнения Рейнольдса в сферических координатах, но для случайных условий. После заключительных вычислений получаем уравнение:

1

д

Бт 31 дф

(ВТ1« + 3а1 вть )

ф]

10

дф

+ -

д

д31

(в^ + 3^2вт1^ )|3^п 81

= 6-

дв

тls

дф

Бт 31, (39)

где ж/8 < 31 < ж/2, 0 < ф < 2ж91, 0 < 91 < 1.

Если среднеквадратическое отклонение стремится к нулю (о1 ^ 0 ), уравнение (39) принимает вид классического уравнения Рейнольдса для стационарного течения без случайных условий.

6. Численные результаты

Модифицированное стохастическое уравнение Рейнольдса (31), (36) определяет безразмерное давление р10 для импульсивного движения в смазочной области О (0 <ф< 2ж91, ж/ 8 < 31 < ж/ 2) с учетом соотношений для высоты щели (37), (38).

Численные расчеты проведены с помощью метода конечных разностей [14]. В расчетах принят одинаковый радиус сферической головки бедра естественного сустава и сферической головки искусственного сустава Я=0,0265 м. Кроме того, для естественного и искусственного сустава мы принимаем одинаковые величины угловой скорости импульсивных возмущений вертлужной впадины ш0=0,5 с-1 и угловой скорости сферической головки бедра ш =1,5 с1, а также одинаковое характерное размерное время /0 =0,000001 с. Высота щели взята в виде (37), (38), где для естественного и искусственного тазобедренного сустава мы принимаем следующие компоненты эксцентриситета головки: Ав1=4,0 мкм, Ав2=0,5 мкм, Ав3=3 мкм. При

расчетах мы взяли безразмерное среднеквадратическое отклонение о1 =0,3645 для искусственного и естественного сустава.

Характерная размерная величина высоты щели равна в0=10 мкм для

естественного сустава и в0 =3 мкм для искусственного сустава.

В естественном суставе мы принимаем динамическую вязкость синовиальной жидкости равной л0 =0,40 Па-с. Кроме того, мы принимаем следующие данные: коэффициент псевдопластичности Р =0,0000003 Па-с2, плотность синовиальной жидкости р =1010 кг/м3. В интервале времени 0,000001 с < / < 100 с минимальная безразмерная величина высоты щели шт(вть ) изменяется в пределах от 0,464 до 0,697 (соответствующая размерная величина изменяется от 4,6 мкм до 6,97 мкм).

Для искусственного сустава мы предполагаем, что динамическая вязкость биологической жидкости имеет величину л0=0,15 Па-с и принимаем коэффициент псевдопластичности Р =0,0000001 Па-с2 и плотность биологической жидкости р =1010 кг/м3. Минимальная безразмерная величина высоты щели ш1п(вт1х) изменяется

в интервале времени 0,000001 с < / < 100 с и достигает величин от 0,933 до 1,399 (размерная высота щели изменяется от 2,798 мкм до 4,197 мкм).

Средний относительный радиальный зазор у = в0/Я имеет величину 3,8-10—

для естественного сустава и 1,1-10—4 для искусственного сустава.

Характерное размерное давление р0 = ш%/ у2 достигает величины 4,2135 МПа для естественного сустава и 17,55625 МПа для искусственного сустава.

Для естественного сустава мы имеем следующие величины: число Струхала 81г=666666, Ке-81;г=0,252, Бе-81х=0,7503. Для искусственного сустава имеем 81х=666666, Ке81;г=0,061 и Бе-81х=0,667. В обоих случаях мы имеем 0 < р/Л0^ <1.

Рис. 5. Распределение размерного гидродинамического давления внутри щели естественного сферического тазобедренного сустава человека в области О: 0<ф<ж, жЯ/8<3<жЯ/2 без стохастических изменений (а1=0) в моменты времени: /1=1 (т.е. /=0,000 001 с), /1=1000 000 (т.е. /=1 с), /1=100 000 000 (т.е. /=100 с) после приложения импульса для случаев уменьшения (слева) и увеличения (справа) высоты щели, Результаты получены для следующих исходных данных: Я=0,0265 м; ^о=0,40 Па-с; Р=0,0000003 Па-с ; р= 1010 кг/м ; во=10 мкм, Ав1=4 мкм; Ав2=0,5 мкм; Ав3=3 мкм; у=в/Я*3,8-10—4; ш=1,5 с—1; шо=0,5 с—1;

8^=666 666; Яе-8й-=0,252; Бе-8й-=0,7503

Рис. 6. Распределение размерного гидродинамического давления внутри щели естественного сферического тазобедренного сустава человека в области О: 0<ф<ж, жЯ/8<3<жЯ/2 для стохастических изменений со среднеквадратическим отклонением а1=0,3645 (т.е. 3,36 мкм ) в моменты безразмерного времени: /1=1 (т.е. /=0,000 001 с), /1=1000 000 (т.е. /=1 с), /1=100 000 000 (т.е. /=100 с) после приложения импульса для случаев уменьшения (слева) и увеличения (справа) высоты щели, Результаты получены для следующих исходных данных: R=0,0265 м; ^0=0,40 Па-с; Р=0,0000003 Па-с2; р= 1010 кг/м3; во=10 мкм, Ае1=4 мкм; Ав2=0,5 мкм; Ав3=3 мкм; у=8/Я«3,8-10—4; ш=1,5 с—1; шо=0,5 с—1;

8^=666 666; Яе-81г=0,252; Бе-81г=0,7503

Рис. 7. Распределение размерного гидродинамического давления внутри щели искусственного сферического тазобедренного сустава человека в области О: 0<ф<ж, жЯ/8<$<жЯ/2 без стохастических изменений (о1=0) в моменты времени: /1=1 (т.е. /=0,000 001 с), /1=1000 000 (т.е. t=1 с), /1=100 000 000 (т.е. /=100 с) после приложения импульса для случаев уменьшения (слева) и увеличения (справа) высоты щели, Результаты получены для следующих исходных данных: Я=0,0265 м; %=0,15 Па-с; Р=0,0000001 Па-с2; р=1010 кг/м3; во=3 мкм, Ав1=4 мкм; Ав2=0,5 мкм; Ав3=3 мкм; у=8/Я^1,1-10_4; ш=1,5 с-1; шо=0,5 с-1;

81г=666 666; Яе-81г=0,061; Бе-81г=0,667

Рис. 8. Распределение размерного гидродинамического давления внутри щели искусственного сферического тазобедренного сустава человека в области О: 0<ф<ж, л;.К/8<&<жК/2 для стохастических изменений со среднеквадратическим отклонением а1=0,3645 (т.е. 1,08 мкм) в моменты времени: /1=1 (т.е. /=0,000 001 с), /1=1000 000 (т.е. 1=1 с), /1=100 000 000 (т.е. /=100 с) после приложения импульса для случаев уменьшения (слева) и увеличения (справа) высоты щели. Результаты получены для следующих исходных данных: ^=0,0265 м; ^0=0,15 Па-с; Р=0,0000001 Па-с2; р=1010 кг/м3; во=3 мкм, Ав1=4 мкм; Ав2=0,5 мкм; Ав3=3 мкм; у=е/Л»1,1-10-4; ш=1,5 с-1; шо=0,5 с-1; 81х=666 666;

Яе-81г=0,061; Бе-81г=0,667

Рис. 9. Зависимость размерных величин нагрузки от размерного времени от 10-6 секунд до 100 секунд после импульса внутри щели сферического тазобедренного сустава человека в области О: 0<ф<л, лЛ/8<0<яЛ/2 для случаев: а) естественного сустава со стохастическими изменениями шероховатости поверхности хряща со среднеквадратическим отклонением с1=0,3645 (т.е. 3,36 мкм) и без случайных эффектов (при с1=0). Результаты получены для следующих исходных данных: Л=0,0265 м; %=0,40 Пас; Р=0,0000003 Пас2; р= 1010 кг/м3; во=10 мкм, Ав1=4 мкм; Ав2=0,5 мкм; Ав3=3 мкм; у=в/Л*3,8-10~4; ю=1,5 с-1; юо=0,5 с-1; 81г=666 666; Яе-81г=0,252; De•Str=0,7503; б) искусственного сустава со стохастическими изменениями шероховатости поверхности хряща со среднеквадратическим отклонением с1=0,3645 (т.е. 1,08 мкм) и без случайных эффектов (при с1=0). Результаты получены для следующих исходных данных: Л=0,0265 м; %=0,15 Па-с; Р=0,0000001 Па-с2; р= 1010 кг/м3; во=3 мкм, Ав1=4 мкм; Ав2=0,5 мкм; Ав3=3 мкм; у=в/Я«1,Ы0 4; ю=1,5 с-1; юо=0,5 с-1;

81г=666 666; Яе^81г=0,061; De•8tг=0,667

Для значений безразмерного времени /1=1, 1000000 и 100000000, что

соответствует значениям размерного времени /=0,000001 с, 1,0 с и 100,0 с, и для 51=±0,20 мы получаем распределения безразмерного давления для естественного сустава (рис. 5 и 6) и для искусственного сустава (рис. 7 и 8).

Чтобы получить реальные значения времени, нужно умножить безразмерные величины /1 на характерное время /0=0,000001 с. Например, /1=1000 000 означает 1 с

после импульса. Чтобы получить размерную величину давления, нужно умножить безразмерное давление (см. рис. 5, 6, 7, 8) на величину характерного давления р0 .

На рис. 5 и 7 представлены величины безразмерного давления без случайных эффектов (при о1 =0). Безразмерные величины давления, приведенные на рис. 6 и 8, получены для стохастических изменений высоты щели при безразмерном среднеквадратическом отклонении о1 =0,3645. Распределения безразмерного давления, вычисленные при 51 > 0, представлены в правом столбце чисел на рис. 5, 6, 7 и 8. Эти

величины давления получены для эффекта увеличения высоты щели, вызванного импульсивным движением. В этом случае с ростом времени после импульса высота щели уменьшается, а давление возрастает, и при достаточно большом времени после импульса стремится к стационарному давлению.

Распределения безразмерного давления для 51 < 0 представлены в левом столбце чисел на рис. 5-8 и получены для эффекта уменьшения высоты щели, вызванного импульсивным движением. В этом случае время после импульса растет, щель увеличивается, а давление падает, и при достаточно большом времени после импульса стремится к стационарному давлению.

На рис. 9 представлены зависимости безразмерной величины нагрузки от безразмерного времени для естественного и искусственного сустава в интервале времени от момента импульса до 100 секунд после импульса.

7. Заключение

• Если травма увеличивает высоту щели (51 > 0) для нормального сустава, то с течением времени после импульса высота щели уменьшается и давление растет. Если, наоборот, травма уменьшает высоту щели (51 < 0), то с течением времени

после импульса высота щели возрастает и давление падает. В обоих случаях при достаточно большом времени после импульса высота щели и давление достигают стационарных значений.

• Если время после импулься достаточно велико, т.е. при /1 , и если мы берем

оптимальные среднеквадратические отклонения высоты щели, то распределения давления для эффектов увеличения ( 51 > 0 ) или уменьшения (51 < 0 ) высоты щели из-за импульса стремятся к идентичным распределениям давления. Это граничное распределение давления можно получить также из классического уравнения Рейнольдса (39) при о1=0.

• В результате численных расчетов мы отмечаем, что оптимальное

среднеквадратическое отклонение о1 =0,3645, определенное путем измерений

поверхностей нормального хряща тазобедренного сустава человека, понижает давление и нагрузку примерно на 30% по сравнению с давлением и нагрузкой, полученных для гладкой поверхности хряща без неровностей и случайных

эффектов.

• Численные расчеты показывают, что наибольшие изменения нагрузки и

распределения давления в человеческом суставе возникают в интервале времени от 0,1 до 10 секунд после импульса.

• Из анализа численных результатов, представленных на рис. 9, легко видеть, что различия между величинами давления, полученными с учетом случайных эффектов

и без их учета, при ушибе естественного сустава значительно больше тех же различий для искусственного сустава. Этот феномен мы можем объяснить тем фактом, что поверхность головки искусственного тазобедренного сустава имеет намного меньшие неровности, чем поверхность головки бедра естественного сустава. Отсюда среднеквадратическое отклонение случайных неровностей поверхности для головки искусственного сустава намного меньше, чем для естественной головки бедра.

Благодарности

Эта статья финансировалась из фонда КБК в 2003-2006 г. как Научный Проект КБК 411Е-030-25. Настоящее исследование финансово поддержано Проектом ТОК-ЕР6-517226.

Список литературы

1. Bio-Tribology of Natural and Replacement Synovial Joints / D. Dowson // Biomechanics of Diarthrodial Joint / C. Van Mow, A. Ratcliffe, S. L-Y. Woo. - New York, Berlin, Londyn, Paris, Tokyo, Hong Kong: Springer-Verlag, 1990. - Vol. 2. - Chap.29. - P. 305-345.

2. Fisz, M. Rachunek prawdopodobienstwa i statystyka matematyczna / M. Fisz. - Warszawa: PWN, 1969.

3. Fung, C. A First Course in Continuum Mechanics: for physical and biological engineers and scientists, 3-rd ed. - Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1993.

4. Estimation of in Situ Elastic Properties of Biophasic Cartilage Based on a Transversely Isotropic Hypo-

Elastic Model / J.J. Garcia, N.J. Altiero, R.C. Haut // Journal of Biomechanical Engineering. - 2000. -

V. 122. - P. 1-8.

5. Kqcki, E. Rownania rozniczkowe cz^stkowe w zagadnieniach fizyki i techniki / E.K^cki. - Warszawa: WNT, 1989.

6. Knopp, K. Szeregi nieskonczone / K. Knopp. - PWN, 1956.

7. Maurel, W. Biomechanical Modells for Soft Tissue Simulation / W. Maurel, Y. Wu, D. Thalmann. - Berlin,

Heidelberg, New York: Springer Verlag, 1998.

8. Fluid transport and mechanical properties of articular cartilage / V.C. Mow, M. Holmes, H. Lai // Journal of Biomechanics. - 1984. - V. 17. - P. 337-394.

9. Mow, V.C. Biomechanics of Diarthrodial Joints / V.C. Mow, A. Ratcliffe, S. Woo. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag, 1990.

10. Friction, lubrication and wear of diarthrodial joints / V.C. Mow, L.J. Soslowsky // Basic Orthopedic Biomechanics / V.C. Mow, W.C. Hayes. - New York: Raven Press, 1991. - P. 254-291.

11. Mow, V.C. Cell Mechanics and Cellular Engineering / V.C. Mow, F. Guilak. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag, 1994.

12. Nowacki, W. Teoria spr^zystosci / W. Nowacki. - Warszawa: PWN, 1970.

13. Oczos, K. Struktura geometryczna powierzchni / K. Oczos, V. Lubimov. - Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, 2003.

14. Ralston, A. A First Course in Numerical Analysis / A. Ralston. - New York, Toronto, London, Sydney: McGraw Hill Co, 1965.

15. Sobczyk, M. Statystyka / M. Sobczyk. - Warszawa - PWN, 1996.

16. The Impulsive Motion of a Flat Plate in a Viscoelastic Fluid / I. Teipel // Acta Mechanica. - 1981. - V. 39. -

P. 277-279.

17. Truesdell, C. A First Course in Rational Continuum Mechanics / C. Truesdell. - Baltimore: John Hopkins University, 1972.

18. Hypo-elasticity / C. J. Truesdell // Rational Mechanics and Analysis. - 1955. - V. 4. - P. 83-133.

19. Metoda wyznaczania parametrow biolozyska smarowanego ciecz^ nienewtonowsk^ / K. Wierzcholski, S.

Pytko // Tribologia. - 1993. - V. 1. - P. 9-12.

20. Analytical calculations for experimental dependences between shear rate and synovial fluid viscosity / K. Wierzcholski, S. Pytko // Proc.of Internat. Tribology Conference. - Yokohama, Japan. - 1995. V. 3. -P. 1975-198.

21. Oil velocity and pressure distribution in short journal bearing under Rivlin Ericksen lubrication / K. Wierzcholski // System Analysis Modeling and Simulations OPA Overseas Publishers. Assoc. N.V. - 1998. - V. 32. - P. 205-228.

22. The method of solutions for hydrodynamic lubrication by synovial fluid flow in human joint gap / K. Wierzcholski // Control and Cybernetics. - 2002. - V. 31. - No. 1. - P. 91-116.

23. Capacity of deformed human hip joint gap in time dependent magnetic field / K. Wierzcholski // Acta of Bioengineering and Biomechanics. - 2003. - V. 5. - No. 1. - P. 43-65.

24. Pressure distribution in Human Joint Gap for elastic cartilage and time dependent magnetic field / K. Wierzcholski // Russian Journal of Biomechanics. - 2003. - V. 7. - No. 1. - P. 24-46.

25. Tribologie fur menschliche Gelenke / K. Wierzcholski // Tribologie und Schmierungstechnik. - 2002. - V.

5. - P. 5-13.

26. Theory of viscoelastic lubrication of hip joint in stochastic description for periodic motion / K. Wierzcholski // Tribologia. - 2004. - V. 196. - No. 4. - P. 327-338.

ARTIFICIAL AND ARTICULAR HIP JOINT LUBRICATION AFTER INJURY FOR STOCHASTIC DESCRIPTION

A. Miszczak (Gdynia, Poland)

After injury the rough and used artificial joint surfaces and cartilage surfaces in articular human hip joint suddenly change their lubrication parameters. Stochastic changes of roughness of hip head surfaces, and stochastic changes of the load imply the random changes of gap height. Hence, pressure distributions and capacity as well friction forces and friction coefficients radically decrease or increase their values for several microseconds after the trauma. These changes are very difficult to measure, hence the proper numerical research in this field are very important. To obtain the right numerical results we must perform calculation using stochastic description of variations of asperities occurring on the joint surfaces.

Key words: artificial hip joint, natural hip joint, random changes, impulsive lubrication, capacity.

Получено 7 февраля 2005