Некоторые случаи силовой нагрузки в тазобедренном суставе человека при периодическом движении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531/534: [57+61]

НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ СИЛОВОЙ НАГРУЗКИ В ТАЗОБЕДРЕННОМ СУСТАВЕ ЧЕЛОВЕКА ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ДВИЖЕНИИ

А. Мищак

Base Technique Department, Maritime University of Gdynia, PL 81-225 Gdynia Morskastr. 83, Poland, e-mail: [email protected]

Кафедра основ техники, Морской университет, Гдыня, Польша

Аннотация. В статье описаны численные вычисления распределения давления и силовой нагруженности при гидродинамическом периодическом смазывании в тазобедренном суставе человека с использованием синовиальной жидкости с неньютоновскими свойствами, описываемыми моделью Ривлина-Эриксена. При численных вычислениях предполагается, что головка тазобедренного сустава совершает вращательное движение в окружном и меридиональном направлениях. Кроме того, головка сустава и вертлужная впадина также совершают колебания. Течение синовиальной жидкости в зазоре тазобедренного сустава описывается с помощью уравнений сохранения количества движения, уравнения неразрывности и энергетического соотношения. Численное вычисление гидродинамического давления и нагруженности проведены в программе МэМЬэЬ 7.1 с помощью метода конечных разностей. Численный анализ показывает изменения в значениях нагруженности в тазобедренном суставе человека для различных частот возмущений и для различных значений коэффициента псевдовязкости.

Ключевые слова: тазобедренный сустав, случайные изменения, периодическое смазывание, нагруженность, шероховатые поверхности.

1. Введение

Несмотря на многие исследования, проведенные в области гидродинамической теории смазки в тазобедренном суставе человека [1, 2, 7, 9-13, 17, 21, 26], неизотермические, неньютоновские свойства нестационарного течения синовиальной жидкости не были изучены должным образом. Не рассматривались случайные изменения поверхностей тазобедренного сустава человека.

Авторы работ [1, 7, 12] предоставили параметры, возникающие при работе тазобедренного сустава человека, с использованием численных и аналитических методов. В работах [9, 17, 21, 26] представлены новые методы вычисления силы трения для суставов человека с различными геометриями соприкасающихся поверхностей хряща и деформируемой высотой суставного зазора.

Периодическое движение головки и суставной впадины тазобедренного сустава с различными амплитудами и частотами было рассмотрено только К. Вежхольским [23, 24].

В настоящей статье автор проделал численные вычисления давления и нагруженности в зазоре тазобедренного сустава человека с помощью аналитических

© Мищак А., 2006

09806267

Рис. 1. Схама рассматриваемой области Q

решений К. Вежхольского [24]. Вычисления сделаны для периодического смазывания вязкоупругой синовиальной жидкостью и случайных эффектов изменения хрящевых поверхностей (рис. 1б).

Сферическая головка сустава движется одновременно в окружном и меридиональном направлениях с различными угловыми скоростями, рис. 1а. Символ ф означает координату в окружном направлении, 9 - координата в меридиональном направлении, r представляет направление высоты зазора.

Новым результатом данной работы является численный анализ влияния частот возмущения и вязкоупругих свойств синовиальной жидкости на нагруженность тазобедренного сустава человека, учитываются случайные изменения шероховатости поверхности хряща.

Численные вычисления были проведены с помощью программы MathLab 7.1 на основе метод конечных разностей [5, 14, 15].

2. Определяющие уравнения и деформация высоты зазора

Течение синовиальной жидкости в зазоре тазобедренного сустава человека описывается уравнениями сохранения количества движения и уравнениями неразрывности. Эти уравнения и аппроксимация второго порядка общего конститутивного уравнения, данного Ривлином-Эриксеном, могут быть записаны в следующей форме [5, 8, 19, 20, 22-24]:

Div S = р—, div v = 0, S = - pI + ^A1 +a (Aj)2 + Р A 2, (1)

dt

где: S - тензор напряжений, p - давление, I - единичный тензор, Ai и A2 - два первых тензора Ривлина-Эриксена и л, a, Р - три материальных константы синовиальной жидкости, где л = Л1 Л0 означает полную вязкость, л1 - безразмерную вязкость, л0 -

размерное значение вязкости. Тензоры A1 и A2 задаются симметричными матрицами, определенными в работах [8, 18, 23, 24]:

A1 = L + LT, A2 = grad a + (grad a)T + 2LTL, a = L v + —, (2)

d t

где: Ь - тензор градиента вектора скорости жидкости, I - тензор, задаваемый транспонированной матрицей градиента скорости синовиальной жидкости, V - вектор скорости, I - время, а - вектор ускорения.

Предполагается, что произведение чисел Деборы и Строухала, то есть Бе81т, и произведение числа Рейнольдса, безразмерного зазора, и числа Строухала, то есть Яе у 81т, имеют одинаковый порядок величины. Кроме того,

Бе81т » Бе = Рш1 / л0 = Рю3 / Л0, где ш1 - угловая скорость головки сустава в окружном

направлении ф, ш3 - угловая скорость головки сустава в меридиональном направлении

д. В расчете приняты следующие допущения: течение синовиальной жидкости в зазоре - несимметричное и неустановившееся, свойства синовиальной жидкости -вязкоупругие и неустановившиеся, плотность р синовиальной жидкости - постоянная величина, отсутствие проскальзывания поверхностей кости. Кроме того, введены обозначения: в0 - характеристическое значение высоты зазора в тазобедренном суставе, Я - радиус головки сустава, 10 - характеристическое размерное значение времени [8, 22-24]. Зависимости между числом Рейнольдса, модифицированным числом Рейнольдса, числами Строухала и Деборы следующие:

Яе =

рш18

1°0

Яе у =

р©1В0

1

Бе = £©-, ВеБ^ = , Яе у Б* = Р^. (3)

Л0 Л0 ©А Л0 Л0^0 Л0^0

Для синовиальной жидкости верно неравенство 0 < р / tо < Ло и коэффициент псевдовязкости Р имеет значения в основном в диапазоне от 0,000001 до 0,01 Пас2. Пренебрегая членами с радиальным зазором у = в0/ Я«103 в определяющих

уравнениях в сферических координатах: ф, г, д и учитывая выше упомянутые допущения, можно получить следующие соотношения [4, 8, 23]:

дУф

дt

1

др , Л0

д

рЯ Бт

д | дф р дг

Л1

^фУ Р д\

дг ] р дt дг2

+ О(Бе),

(4)

д”„

0 = др + О(Бе).

дг

1 др л0 д

д”

■ —--------------------1--------------1 л1

дt р дд р дг ^ дг

д”ф .о • Г д 1 д” д

- + Я Б1ПI — I—-1--------------

+-

р дtдr2

+ 0(Бе):

дф

Я 1 дг дд

Я”»81п (I,

— 0.

(5)

(6) (7)

д_ д г

к-

д/ д г

+ Л0Л1

1

л2 (

+

д”д

дг

+ О(Ое) — 0,

(8)

где: 0 < ф < 2л01, 0 < 01 < 1, л/8 < (д/Я) < л/2, 0 < г < в, в - размерная полная высота зазора, к - теплопроводность синовиальной жидкости.

Члены, умноженные на коэффициент Р, описывают вязкоупругие свойства синовиальной жидкости. Конвективные члены в уравнениях (4, 6) сохранения

2

количества движения не учитываются. В уравнении энергии учтены только члены с теплопроводностью и с эффектом вязкой диссипации. В левой части уравнений для количества движения члены с ускорением учитываются.

Символы уф, уг , Уа означают размерные компоненты скорости синовиальной

жидкости в окружном, высоты зазора и меридиональном направлениях по отношению к головке сустава, соответственно.

Стохастическое уравнение Рейнольдса

Модифицированное уравнение Рейнольдса для стационарного течения синовиальной жидкости без вязкоупругих свойств, но с учетом случайных эффектов было получено К. Вежхольским [24] и имеет вид:

д Iе (в3) дЕ ( р(0))' • + Я2 б1п Г— Е (в3) дЕ (р(0) . — - Б1П —

дф г 0 1 дф | 1Я, )д— Л0Л1 д— Я

= 6&1Я2

дЕ(в) + 6ш3 Я^п (ф) б1п Г—1 —

дф 3 4 ^ Я ^д—

Е (в) ЯП

(9)

где О: 0 < ф < л, лЯ/8 < — < лЯ/2.

Модифицированное уравнение Рейнольдса для коррекций давления р(к), (к = 1,2,...), вызванных периодическим течением синовиальной вязкоупругой жидкости и одновременно случайными эффектами, было получено К. Вежхольским [24] и имеет вид:

д | Е(в3) дЕ(Рск)

дф[ Лка дФ

: Я д | Е(в3) дЕ (Рск —

■ + Я I яп- I —

Б1П — > =

Я)д— [Лка д— ЯI

= -12 ®пЯ2В I яп- I в(0)

• —

Я

б1п ( к ш0^)

гк к4

юпГ — Ут/ с дЕ (в) Г . —V _ дЕ (в) 1 008 (к^)

-12ЯI Бт — \|К05Фук—— + ЯI Бт — \К0V—*——} -------- 5 +

^ Я Л ф0 ф-к дф I Я) 90 —Ук д— I к5

||7/ 5 + г V 11 дЕ(в) 008(кЮ0Г) , ю0р0 АгЕ(в3)х

фАЬфЛ + уф°дф к5 12к4 дфГЕ(в лк

■ +

+6Я2 Г 81и ^ + Г—0 V—* ]| д—

Е(в)б1п — Я

к5

- +

®0р0 д

12к 4 д—

Е(в3)Хлк 81П —

где к =1, 2,..., 0 < ф < 2л91, 0 < 91 < 1, лЯ/8 < — < лЯ/2, 0 < г < в,

2

2

рл .Mp<‘>e*p(L4')]. , -L ,Яе

Лка ЛкЬ Лка

_ Л0Л1

1 ^

-------- лш

ЛкЬ

Лк ) Л Г

, . . (11)

J_

Лк

кш0Р

|2 , Лк =ЛоЛ1 + ^kшoP, W =(ЛоЛ1 ) +(к®оР) •

|Лк

Уравнение (10) определяет коррекции давления Pck, вызванные условиями нестационарного течения и свойствами вязкоупругой синовиальной жидкостью. Амплитуды колебаний на головке сустава U и на вертлужной впадине V и функции S изменений частот колебаний, входящие в уравнение (10), имеют следующий вид:

ифД -®10R sin (3 / R) , изд -Шзо R Sin ф, Vi0 = cons^ Smk = Smk Km , kX Srk = Srk (Шг ), (12)

где i = ф, 3; к = 1, 2, ..ш = u, v; 0 < Be < 1. Безразмерный коэффициент Be регулирует значения амплитуд для поперечных колебаний головки сустава.

Символы ш, шфи, o3v, ш3и означают переменные частоты колебаний в

направлениях ф и 3 на вертлужной впадине (нижний индекс v) и на головке сустава (нижний индекс u). Символ шг есть частота колебаний в направлении высоты зазора, а

символ ш0 описывает частоты возмущений для неустановившегося течения синовиальной жидкости в зазоре сустава.

Символы ш1, ш10 означают угловые скорости и их возмущения для сферической головки бедра в окружном направлении ф. Угловые скорости и их возмущения для головки сустава в меридиональном направлении 3 равны ш3 и ш30.

Функции Siuk, Sivk, Srk зависят от частот шфг,, шфи, o3v, ш3и, шг и их точные изменения и зависимости описаны в работе [24]. В частном случае для

ШфV = Шфи = шзv = шзи = ШГ = Ш0 имеем S cpuk 1 S 3uk 1, S pvk 1, S 3vk 1, Srk 1.

Уравнение (10) определяет ожидаемые значения коррекций давления E(Pck). Ожидаемое значение полной величины давления и оператор ожидания E определяются в следующем виде [6, 8, 24, 25]:

ад

E (p ) = E (p™ ) + ]Г E (Pck),

+ад

E(*) =/ (•) х/ (8)d8, f (8):

+

k=1

35 < 2 s^3

(c2 -82) при - c < 8 <+c,

32c7 v ' ' (13)

0 при 18 > 9,

где функция / есть функция плотности вероятности стохастических изменений шероховатых неровностей на поверхности хряща [16]. Символ с означает половину общего диапазона изменяемости случайной переменной (*). Ожидаемая величина из высоты зазора и из третьей степени высоты зазора имеет вид [6, 24]:

+ад +ад *

E(e) = J e f (8)d8 = rss(u), E(e3) = J e3f (8)d8 = (Г,e(0) )3 (1 + 3p2), 0 < - P < 3 • (14)

Безразмерный коэффициент 0 < р < 1 описывает случайные эффекты. При р = 0 случайные эффекты отсутствуют. Значение с = ± 3а ограничивает область функции / где а - размерная дисперсия.

t = 0

t = 2л/ю0 с

Pmax= 1,757 10б Па C tot = 1177,4 Н

Г 2,0 МПа

l,0 МПа

t = O,3rc/wo с Pmax= 2,001 10б Па C tot = 1378,5 Н

и

0

t = л/ю0 с

p = 1,б7б 10б Па

г max 7

C tot = 1173,5 Н

Г 2,0 МПа

- l,0 МПа

t = 1,7^/ю 0 с pmax= 1,474 10б Па Cot = 957,8 Н

Рис. 2. Распределения давления в зазоре тазобедренного сустава в выбранные моменты времени, К = 0,0265 м, ц = 0,15 Пас, ю1 = 2,0 с-1, ю3 = -0,6 с-1, ю10 = 0,25 с-1, ю30 = 0,05 с-1, ю0 = 10 с-1, р0= 0,001 Пас2, р = 1/3, ^ = 20,38 см2

Общая величина нагруженности определяется из следующей формулы [8, 24]:

Co- J E[p(ф,»)]</П(ф,3), (15)

3)

где символ J означает поверхностный интеграл, заданный на всей поверхности

Q

головки сустава.

Для численных вычислений используются следующие выражения для высоты зазора сустава:

e(0) (ф, -R) - Asх cos ф sin (-3) + Asy sin ф sin (R-) - Asz cos (-|) - R +

1

+ { [Лє, Cos ф sin (-I) + Aє, sin ф sin (R) — Aєz Cos (-I)] 2 + ( R + єmin ) ( R + 2D + єmin )} 2 , (1б)

t = 0 и t = 2л/© 0 с t = 0,3л/© 0 с

Рис. 3. Распределения давления в зазоре тазобедренного сустава в выбранные моменты времени, R = 0,02б5 м, л = 0,15 Пас, ©1 = 2,0 с—1, ©3 = -0,б с—1, ©10 = 0,25 с—1, ©30 = 0,05 с—1, ©0 = 100 с—1, р0= 0,001 Пас2, p = 1/3, О = 20,38 см2

1

где Б = ( Ае 2 + Ае 2 + Ае 2)2 - эксцентриситет.

При отклонении высоты зазора сустава было предположено, что центр сферической головки сустава расположен в точке 0(0,0,0) и центр вертлужной впадины фиксирован в точке 01(х-Аех, у-Ае^, г+Аех), где эксцентриситет имеет значение Б.

4. Численные вычисления

Распределение давления р(0) и его коррекции р(1),р(2),...определяются внутри области смазывания О (см. рис. 1а). На границе области О величина полного давления равна атмосферному давлению рш. Численные вычисления в области О производятся

для следующих величин: Я = 0,0265 м, ш1 = 2 с-1, ш3 = -0,6 с-1, ш10 = 0,25 с-1,

— 1 3

ю30 = 0,05 с , Двх = 2,5 мкм, Дгу = 0,5 мкм, Дг2 = 2,0 мкм, по = 0,06 Пас, р0 = 1000 кг/м .

t = 0 и 1 = 2л/ю0 с ^тах= 1,756 106 Па С ш = 1176,9 Н

г 2,0 МПа

-1,0 МПа

L0

1 = 0,3л/ю 0 с Р тах= 1,994 106 Па С ,о, = 1373,3 Н

1 = л/ю0 с

Ртах= 1,676 1 06 Па Со = 1137,9 Н

1 = 1,7л/ю 0 с Ртах= 1,479 106 Па С ш = 962,5 Н

2,0 МПа

1,0 МПа

0

Рис. 4. Распределения давления в зазоре тазобедренного сустава в выбранные моменты времени, Я = 0,0265 м, ц = 0,15 Пас, ©1 = 2,0 с-1, ю3 = -0,6 с-1, ю10 = 0,25 с-1, ю30 = 0,05 с-1,

ю0 = 50 с-1, р0= 0,0001 Пас2, р = 1/3, ^ = 20,38 см2

Наименьшее значение высоты зазора сустава равно етщ = 3,6 мкм, а максимальное значение высоты зазора сустава 8тах = 9,3 мкм. На первом шаге численных вычислений коэффициент псевдовязкости предполагается постоянным: р0 = 0,001 Пас, однако частоты возмущений течения имеют следующие размерные значения: ю0 = 10 с-1, ш0 = 20 с-1, ш0 = 50 с-1, ю0 = 100 с-1. Одновременно, безразмерный коэффициент

возмущений высоты зазора сустава изменяется следующим образом: Ве = +0,01, Ве = +0,005, Ве = +0,002, Ве = +0,001. На втором шаге вычислений были предположены: постоянное значение частоты возмущений ю0 = 50 с-1, безразмерный коэффициент возмущений высоты зазора Ве = +0,002, а также из различных значений коэффициентов псевдовязкости в диапазоне от р0 = 0,0001 Пас2 до р0 = 0,0024 Пас2 было выбрано значение 0,0005 Пас2.

При численных вычислениях были предположены одинаковые значения

изменений частот течения в окружном, меридиональном и радиальном направлениях на вертлужной впадине и головке сустава, то есть ю = ю = = юаа = шг = ю0. Поэтому

t = 0 и t = 2л/ю 0 с Ртах= 1,961 106 Па

С ш = 1269,7 Н

2,0 МПа

-1,0 МПа

t = л/ю0 с

Ртах= 1,550 106 Па Сш = 1068,4 Н

г 2,0 МПа

- 1,0 МПа

t = 0,3л/ю 0 с Р тах= 3,283 106 Па С ш = 2358,7 Н

t = 1,7л/ю 0 с Ртах= 0,407 106 Па С ш = 55,3 Н

0

Рис. 5. Распределения давления в зазоре тазобедренного сустава в выбранные моменты времени, Я = 0,0265 м, ц = 0,15 Пас, ©1 = 2,0 с-1, ю3 = -0,6 с-1, = 0,25 с-1, ю30 = 0,05 с-1,

ю0 = 50 с-1, Ро= 0,0024 Пас2, р = 1/3, О = 20,38 см2

функции изменений частот, встречающихся в модифицированном уравнении Рейнольдса (10), следующие: = 1, = 1, ^ = 1, = 1, Бгк = 1. В численных

вычислениях предположены следующие не зависящие от времени изменения амплитуды и тангенциальных скоростей на вертлужной впадине, а именно: Гф0 = 0,001 м/с, Г&0 = 0.0002 м/с. При всех численных вычислениях был предположен безразмерный коэффициент р = 1/3 случайных эффектов изменений высоты зазора.

На рис. 2, 3, 4, 5 представлены распределения гидродинамического давления, полученные с помощью модифицированных уравнений Рейнольдса (9, 10) для выбранных моментов времени в течение периодов возмущений. Полное значение периода возмущений равно t = 2л/ш0.

На рис. 2 показаны зависящие от времени распределения давления в сферическом зазоре тазобедренного сустава человека при параметрах: р = 1/3,

р0 = 0,001 Пас2, ш0 = 10 с *, Ве = +0,01.

Соответствующие значения параметров для других рисунков: рис. 3, р = 1/3, р0 = 0,001 Пас2, ш0= 100 с-1, Ве = +0,001;

0 0,08 0,16 0,24 0,32 0,40 0,48 0,56 0,64

Время t, с

Рис. 6. Изменения нагруженности в зависимости от частоты возмущений течения ю0 при постоянном значении коэффициента псевдовязкости р0 = 0,001 Пас2

Время t, с

Рис. 7. Изменения нагруженности в зависимости от коэффициента псевдовязкости р0 для постоянного значения частоты возмущений течения ю0 = 50 с-1

рис. 4, р = 1/3, р0 = 0,0001 Пас2, 00 = 50 с-1, Ве = +0,002; рис. 5, р = 1/3, р0 = 0,0024 Пас2, 00 = 50 с-1, Ве = +0,002.

Изменения нагруженности в зависимости от частоты возмущений течения ш0 при постоянном значении коэффициента псевдовязкости р0 = 0,001 Пас2 представлены на рис. 6. Изменения нагруженности в зависимости от коэффициента псевдовязкости р0 для постоянного значения частоты возмущений течения ш0 = 50 с-1 представлены на рис. 7.

5. Заключение

Из численных вычислений следует, что увеличение частот возмущений течения в зазоре тазобедренного сустава при постоянном значении коэффициента псевдовязкости вязкоупругих свойств вызывает заметное увеличение нагруженности. Вязкоупругие свойства синовиальной жидкости имеют большее влияние на нагруженность при больших частотах возмущения, чем при малых возмущениях. Если рассматриваемая частота возмущения постоянна, но значение коэффициента псевдовязкости меняется, то получаем видимые изменения максимального и минимального значения нагруженности сустава в течение рассматриваемого периода возмущений. Если величины коэффициента псевдовязкости увеличиваются, то значение нагруженности сустава увеличивается в течение первой половины периода возмущения и убывает в течение второй части периода возмущений.

Стохастические изменения высоты зазора сустава, вызванные шероховатостью поверхностей хряща, уменьшают значения нагруженности на 9-12 %.

Детальный численный анализ влияния частот возмущения течения и свойств вязкоупругой жидкости на значения нагруженности сустава при неустановившемся периодическом движении смазки позволяет учесть соответствующие параметры движения при реабилитации пациентов после травм тазобедренного сустава и при тренировке спортсменов.

Благодарности

Данная работа была профинансирована фондом KBN в течение 2003-2006 годов как научный проект KBN 411E-030-25.

Список литературы

1. Dowson, D. Bio-Tribology of Natural and Replacement Synovial Joints / C. Van Mow, A. Ratcliffe, S. L-Y. Woo // Biomechanics of Diarthrodial Joint. Springer-Verlag, 1990. - Vol. 2, No. 29. - P. 305-345.

2. Fung, Y.C. Biomechanics, Mechanical Properties of Living Tissues / Y.C. Fung. - Springer Verlag, 1993.

3. Kaliski, S. Drgania i fale w cialach stalych / S. Kaliski. - Warszawa: PWN, 1966 (inPolish).

4. Kosma, Z. Metody numeryczne dla zastosowan inzynierskich / Z. Kosma. - Radom: Wydawnictwo Politechniki Radomskiej, 1999 (in Polish).

5. Krupowicz, A. Metody numeryczne / A. Krupowicz. - Warszawa: PWN, 1986 (in Polish).

6. Lin, J.-R. Surfaces roughness effect on the dynamic stiffness and damping characteristics of compensated hydrostatic thrust bearing / J.-R. Lin // Int. J. Machine Tools Manufact. - 2000. - Vol. 40. - P. 1671-1689.

7. Maurel, W. Biomechanical Models for Soft Tissue Simulation / W. Maurel, Y. Wu, D. Thalmann. -Berlin/Heidelberg: Springer Verlag, 1998.

8. Miszczak, A. Artificial and articular hip joint lubrication after injury for stochastic description / A. Miszczak // Russian Journal of Biomechanics. - 2005. - Vol. 9, No. 1. - P. 71-90.

9. Mow, V.C. Basic Orthopedic Biomechanics / V.C. Mow, G.A. Atesian. - Philadelphia: Raven Publishers, 1997.

10. Mow, V.C. Fluid transport and mechanical properties of articular cartilage / V.C. Mow, M.H. Holmes, W.M. Lai // Journal of Biomechanics. - 1984. - Vol. 17. - P. 337-394.

11. Mow, V.C. Biomechanics of Diarthrodial Joints / V.C. Mow, A. Ratcliffe, S. Woo. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer Verlag, 1990.

12. Mow, V.C. Friction, Lubrication, and Wear of Diarthrodial Joints / V.C. Mow, L.J. Soslowsky. - Raven Press. Basic orthopedic biomechanics. - 1991. - P. 254-291.

13. Mow, V.C. Cell Mechanics and Cellular Engineering / V.C. Mow, F. Guilak. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer Verlag, 1994.

14. Osinski, Z. Teoria drgan / Z. Osinski. - Warszawa: PWN, 1997 (in Polish).

15. Panow, D.J. Metody numeryczne rozwi^zywania rownan rozniczkowych cz^stkowych / D.J. Panow. -Wroclaw: Wroclawska Drukarnia Naukowa, 1955 (in Polish).

16. Sobczyk, M. Statystyka / M. Sobczyk. - Warszawa: PWN, 1996.

17. Steinhagen, J. The pathophysiology of cartilage diseases / J. Steinhagen, B. Kurz, O. Niggemeyer, J. Bruns // Ortopedia Traumatologia Rehabilitacja. - 2001. - Vol. 3, No. 2. - P. 163-168.

18. Teipei, I. The Impulsive Motion of a Flat Plate in a Viscoelastic Fluid / I. Teipel // Acta Mechanica. - 1981.

- Vol. 39. - P. 277-279.

19. Truesdell, C. First Course in Rational Continuum Mechanics / C. Truesdell. - John Hopkins University: Baltimore, 1972.

20. Truesdel, C. Hypo-elasticity / C. Truesdell // Journal of Rational Mechanics and Analysis. - 1955. - Vol. 4.

- P. 83-133.

21. Ungethum, M. Tribologie in Medizin / M. Ungethum, W. Winkler-Gniewek // Tribologie und Schmierungstechnik. - 1990. - Vol. 5. - P. 268-277.

22. Wierzcholski, K. The method of solutions for hydrodynamic lubrication by synovial fluid flow in human joint gap / K. Wierzcholski // Control and Cybernetics. - 2002. - Vol. 31, No. 1. - P. 91-116.

23. Wierzcholski, K. Tragfahigkeiten fur nichtstationare Schmierung von menschlichen Huftgelenken / K. Wierzcholski // Tribologie und Schmierungstechnik. - 2005. - Vol. 1 (193). - P. 5-14.

24. Wierzcholski, K. Comparison between impulsive and periodic non-Newtonian lubrication of human hip joint / K. Wierzcholski // Polish Academy of Sciences. Engineering Transactions. - 2005. - Vol. 53, No. 1. -P. 69-114.

25. Wu, J.Z. Artificial Joint Mechanics with Biphasic Cartilage Layer Under Dynamic Loading / J. Z. Wu, W. Herzog, M. Epstein // Journal of Biomechanics Engineering. - 1998. - Vol. 120. - P. 77-84.

26. Xiao, H. Hypo-elasticity model based upon the logarithmic stress rate / H. Xiao, O.T. Bruhns, A. Meyers // Journal of Elasticity. - 1997. - Vol. 47. - P. 51-68.

SOME CASES OF FORCE CAPACITY IN HUMAN HIP JOINT FOR

PERIODIC MOTION

A. Miszczak (Gdynia, Poland)

The paper shows numerical calculations of pressure and force capacity distribution during the hydrodynamic periodic lubrication of human hip joint using synovial liquid with non-Newtonian properties described by the Rivlin-Ericksen model. In numerical calculations it is assumed that the bonehead of еру hip joint makes the rotational motion in circumferential and meridional directions. Moreover, as well the bonehead as the acetabulum vibrate. During the lubrication the roughness of cartilage surface in hip joints is taken into account. The flow of synovial fluid in the hip joint gap is described by the equations of conservation momentum, continuity equation and energy equation. The numerical calculations of the hydrodynamic pressure and capacity are performed in the Matlab 7.1 program by the finite difference method. Numerical analysis shows the changes of capacity values in human hip joint for variable frequencies of perturbations and for variable values of pseudo-viscosity coefficient.

Key words: articular hip joint, random changes, periodic lubrication, capacity, rough surfaces.

Получено 28 ноября 2005