CC BY
26
УДК 531/534: [57+61]
ИМПУЛЬСНАЯ СМАЗКА В ТАЗОБЕДРЕННОМ СУСТАВЕ ДЛЯ ГИПОУПРУГОЙ МОДЕЛИ ХРЯЩА
К. Вежхольский
Base Technique Department, Maritime University of Gdynia, Morskastr. 83, PL-81-225 Gdynia, Poland, e-mail: wierzch@am gdynia.pl
Кафедра основ техники, Морской университет, Гдыня, Польша
Faculty of Ocean Engineering and Ship Technology, Technical University Gdansk, Narutowicza 11, 80-952, Gdansk, Poland
Факультет морского строительства и кораблестроения, Технический университет, Гданьск, Польша
Аннотация. Гипоупругая модель поверхности хряща в тазобедренном суставе человека используется в данной работе для внезапных изменений параметров смазки после травмы. Известно, что в течение нескольких микросекунд после травмы распределенное давление и нагрузка, а также сила трения и коэффициент трения существенно уменьшают или увеличивают свои значения. Эти изменения очень трудно измерить, поэтому так важно соответствующее численное исследование в этой области. Для получения численных результатов в данной работе предлагается исследование поведения зазора сустава для гипоупругого хряща.
Ключевые слова: импульсивное нагружение тазобедренного сустава, гипоупругая модель хряща.
1. Введение
Хрящ суставного соединения состоит из биологической жидкой фазы и твердого скелета. В данной статье описано влияние нелинейных двухфазных деформаций хряща на распределение параметров в тазобедренном суставе человека после травмы. Твердый скелет моделируется как трансверсально изотропный гипоупругий материал. Теория гипоупругости была сформулирована Трусделлом [24]. Бернштейн [1] и другие исследователи показали, что гипоупругость есть наиболее общая форма упругости. В статьях, упомянутых в списке литературы, не представлена проблема смазки в тазобедренном суставе человека после травмы для гипоупругой деформации хряща [2, 4-7, 11, 14-18, 21, 25, 26, 32]. Значения нагрузки, полученные после травмы в тазобедренном суставе человека в гипоупругом деформируемом хряще, очень часто имеют решающее значение для дальнейшего развития болезни или повреждаемости сустава. Поэтому геометрические изменения гипоупругого слоя хряща необходимы в дальнейшем анализе и дальнейшей терапии сустава. Сосредоточенная нагрузка Р, приложенная на внешней поверхности сустава, вызывает деформацию гипоупругого слоя и изменяет высоту зазора сустава. В данной работе предполагается, что полубесконечная область занята средой из гипоупругой ткани. Так как точка приложения нагрузки является сингулярной точкой при решении уравнений, то в
© К. Вежхольский, 2005
Рис. 1. Область смазки, эксцентриситеты, изменения высоты зазора по времени после травмы
данной статье эта точка удалена из области путем введения полусферы малого радиуса и рассмотрения полубесконечной области, ограниченной полусферой и плоскостью. Если приложенная сосредоточенная сила P не велика, то деформации гипоупругого хряща сустава создают малые изменения высоты зазора в тазобедренном суставе человека. Если сосредоточенная сила достаточно велика, то имеются значительные деформации гипоупругого хряща (см. головку кости на рис. 1). Случайные изменения поверхностей сустава в этой статье не рассматриваются. Неровности используемых поверхностей хряща измерены экспериментально.
2. Управляющие уравнения и деформации высоты зазора
Слой деформированного хряща находится между головкой и костной чашечкой. Деформации хряща на головке и чашечке изменяют значения высоты зазора. Течение синовиальной жидкости внутри зазора сустава описывается уравнениями изменения количества движения и уравнением неразрывности. Эти уравнения и аппроксимация второго порядка общего определяющего соотношения, предложенные Ривлином и Эриксеном, можно записать в следующей форме [22, 23, 29]:
dv о
div S = р—, div v = 0, S = -pI + 'H0A1 +a(Aj) +PA2, (1)
dt
где S - тензор напряжений, p - давление, I - единичный тензор, A1 и A2 - два первых тензора Ривлина-Эриксена, ^, а, Р - три материальных константы синовиальной жидкости, где ^ обозначает вязкость. Тензоры A1 и A2 даются симметричными матрицами, определенными в виде [20, 30]:
A1 = L + LT, A2 = grad a + (grad a )T + 2LTL , a = Lv + —, (2)
где Ь - тензор градиента вектора скорости жидкости с" , Ь - транспонированная матрица градиента вектора скорости в с" , V - скорость в м/с, * - время в с, а - вектор ускорения в м/с2.
Предполагается, что произведение чисел Деборы и Строухала, то есть Бе-81х, и произведение числа Рейнольдса, безразмерного зазора и числа Строухала, то есть Яе^у-Бй-, имеют одинаковый порядок. Кроме того, Бе • 81х >> Да=ашл0, где ш
- угловая скорость головки кости. Дополнительно предполагается: вращательное движение головки кости человека с окружной скоростью и = шЯ, несимметричное течение синовиальной жидкости в зазоре, вязкоупругие и нестационарные свойства синовиальной жидкости, постоянное значение плотности синовиальной жидкости р,
характеристическое значение высоты зазора тазобедренного сустава 80, отсутствует скольжение на поверхностях кости, Я - радиус головки кости [27-31]. Мы предполагаем зависимости между размерными и безразмерными величинами в следующей форме:
Г = 8оГ1, 3 = * = *0*1, гт =8о8г!, Уф= иУф1,
и Ло Я
гг = и уул, = иУа1, р = Ро р, Ро =
(«о )2
(3)
число Рейнольдса, модифицированное число Рейнольдса, число Строухала и число Деборы имеют вид:
Яе =
ри 8^ рю(во )
0 Яе- у = -
Біг =
Л
Ло
Е_
Бе =
ри
Ло Я
(4)
Бе-Біг = ^~, Яе-у-Біг = р(«о) . (5)
Ло^о Ло^о
Для синовиальной жидкости верно неравенство о < р/іо < Ло и значения псевдовязкости р имеют в основном значения от 0,0000001 до 0,001 Па-с2. Безразмерные символы имеют нижний индекс 1. Пренебрегая членами радиального зазора у = 8о/Я ^Ю"3 в управляющих уравнениях в сферических координатах: ф, г, и учитывая указанные допущения, получим [22]:
_ с+ дУфі і др, д Г ^Уфі ^
Яе-у- Біг—— =---------------— н------——
О. Р)ґ(\
+ Бе - Біх-
д3у
ф1
ді1дг1
о =
дР1
дг1
Яе-у- Біг дУ&1
др1 д
+ -
ді1 дд1 дг1 ^ дг1
Л
»1
+ Бе - Біг
д3у
»1
у
ді1дг1
—— + бій (д1 )дУг1 [у»1 бій (д1)] = о,
дф дг1 дд11 а1 J
(6)
(7)
(8) (9)
где: о < ф < 2к91, о < 01 < 1, к/8 < д1 < к/2, о < г1 < 8Т1, 8Т1 - безразмерная полная высота зазора.
2
Рис. 2. а) положение в стационарном и импульсивном движении, б) рисунки давления и скорости синовиальной жидкости в зависимости от времени, в) гипоупругие деформации, влияние травмы, случайная шероховатость
мкм
Рис. 3. Поверхность использованного суставного хряща головки кости с гипоупругими деформациями около 181 микрона, измеренными с использованием механического сенсора
для образца 2,5 мм х 2,4 мм
Символы Уф1, Уг1, означают безразмерные компоненты скорости
синовиальной жидкости в окружном, высоты зазора и меридиональном направлениях по отношению к головке кости, соответственно.
Пространство зазора сустава для импульса в начальный момент времени и пространство зазора в бесконечное время после импульса представлены на рис. 2а. Рисунок зависящих от времени скорости и давления представлен на рис. 2б.
Безразмерная высота зазора ^ 1 зависит от переменных ф, 0 и времени t и состоит из двух частей [1, 3, 8, 9, 33]:
где sT 1s означает полную безразмерную часть геометрии тонкого слоя жидкости без деформаций, в33 означает коррекцию безразмерной высоты зазора, вызванную гипоупругой деформацией хряща.
Коррекция высоты зазора, вызванная гипоупругой деформацией, зависит от вида и шероховатости поверхности хряща, а также от толщины хряща. Эти коррекции определяются на основе сравнения между экспериментами автора и Доусона и Моу [2, 15, 21], рис. 2в, 3, 4. Экспериментальные значения автора для гипоупругих деформаций изучаемого тазобедренного сустава человека получены с помощью микросенсорного лазера в аппарате Rank-Taylor-Hobson-Talyscan-150 и исследованы с помощью компьютерных программ Talymap Expert и Microsoft Exel Computer Program для поверхности образца (2,5 мм х 2,4 мм). Толщина слоя хряща флюктуирует от 181 до 241 микрона (см. рис. 3, 4).
Соответствующее описание высоты зазора сустава человека зависит от напряжений, существующих в граничном слое, и от деформации гипоупругого хряща. Поэтому они определяются эффективным модулем Юнга и эффективными напряжениями внутри гипоупругого хряща под действием быстро меняющейся нагрузки. Напряженное состояние описывается с помощью модели гипоупругости. В рамках этой модели скорость действительных напряжений зависит от скорости деформаций уп в соответствии с уравнениями [1, 8, 15, 23]:
где Cijlm (с индексами i, j, k, n=l, 2, 3) - компоненты гипоупругого тензора, t - время.
ST l ST Is (ф,О) + S33(t),
(10)
3. Деформация гипоупругого хряща
(ll)
мкм
0,24
I" 0,08 0,06 0,04 0,02 0
г 0,24 0,22 - 0,2 0,18 - 0,16 0,14 0,12 - 0,1
Рис. 4. Поверхность использованного суставного хряща головки кости с гипоупругими деформациями около 241 микрона, измеренные с использованием механического сенсора
для образца 2,5 мм х 2,4 мм
По Бернштейну [1] уравнения гипоупругости эквивалентны уравнениям для упругих материалов Коши [8, 9, 10, 24], а именно:
— т
-77 = С11кк Уш . (12)
т
Для плоской задачи растяжения и движения с ускорением компоненты скорости wk в направлении к (х1 = Яф, х2 = г, х3 = Я0) внутри пористого хряща описываются следующими соотношениями [3, 10, 19]:
^ = ккхк (х к )_1 для Хк =1+ к^, (13)
где кк экспериментальная размерная константа (с-1) и правило суммирования не имеет места. Дифференцирование уравнений (13) относительно пространственных координат дает выражение для скорости деформации:
Укк = ^ = *-, (14)
—хк к
где к=1, 2, 3; Xк - безразмерные растяжения в направлениях 1, 2, 3, соответственно, и в
уравнении (14) правило суммирования также не применяется.
Вследствие (12) и (14) после интегрирования по времени I можно получить нормальные компоненты тензора напряжений Коши, которые представляют собой эффективные напряжения в твердом скелете хряща в соответствующей форме [8]:
тт = С1111 1п Х1 + С1122 1п Х 2 + С1133 1п Х3, (15)
Т22« = С2211 1п Х1 + С2222 1п Х2 + С2233 1п Х3 , (16)
Т33« = С3311 1п Х1 + С3322 1п Х2 + С3333 1п Х3, (17)
вследствие свойств симметрии имеют место соотношения: С2211=С1122, С3311=С1133, С3322=С2233. Компоненты тш представляют эффективные напряжения в твердом скелете хряща. Полные напряжения в хряще могут быть получены путем добавления полного давления рЕ, то есть:
Тгг =-Р*+ТШ , Ре = Рз + Р , (18)
где полное давление рЕ есть сумма давления р3, необходимого для обеспечения свободной от напряжений боковой поверхности, и гидродинамического давления Р. Хрящ человека предполагается трансверсально изотропным с плоскостью изотропии (1-2), параллельной поверхности хряща и перпендикулярной к оси нагружения (ось 3). При такой симметрии имеют место соотношения: С1133=С2233 и С1111=С2222.
Инженерными константами для твердого скелета являются модуль упругости Юнга Е11з в плоскости изотропии, Е33з в направлении нормали к плоскости изотропии, то есть в направлении действия силы, и модуль сдвига G13. Кроме того, рассматривается коэффициент Пуассона у31з , связывающий деформацию в плоскости (1-2) и деформацию по нормали к ней, а также коэффициент Пуассона у12з в плоскости (1-2). Направление 3 считается перпендикулярным поверхности хряща. Следуя работе Гарсиа, Альтиеро и Хаута [8], в данной работе значения модулей Юнга Е33з и Е11з хрящевого скелета человека приняты в диапазоне 1,0 - 5,0 МПа. Модуль сдвига хряща
человека принимает значение от 0,10 МПа до 0,20 МПа. Коэффициенты Пуассона у315 и для нормального хряща человека имеют значение от 0,15 до 0,20.
В состоянии равновесия давление жидкости в пористой среде равно нулю и твердый скелет выдерживает все нагрузки. Для одноосного нагружения трехмерного тела имеет место соотношение X, = X 2 и уравнение (15) принимает вид:
С
1п X, = -Н, 1п Х3, где Н1 - с-ЦС • (19)
С1111 + С1122
Дифференцирование уравнения (19) по Х3 дает:
Х3 ёX,
X, ё Х3
= Н. (20)
С помощью известного определения коэффициента Пуассона уравнение (20) принимает вид:
у31„ =- Цш Иш = Н,. (21)
315 х,—1 Хз —1 ёХ3 1
Далее уравнение (19) подставляется в уравнение (17). Тогда для X, = Х2 и С1133=С2233 имеет место соотношение:
т335 = тзз = (Сзззз - 2С1133Н1) 1п Х3 . (22)
Дифференцирование уравнения (22) относительно Х3 дает:
ё т
Хз ,-33 = Сзззз - 2С1133Н1 . (23)
а Х3
Модуль Юнга в направлении нагружения имеет вид:
ёт
Е335 = = С3333 - 2С1133 Н1. (24)
Хз —>1 а х3
Можно получить аналогичные уравнениям (21) и (24) соотношения, связывающие величины Е115, уш . Из этих соотношений и уравнений (21) и (24) можно получить следующие формулы:
С1111 = С2222 = Е115 (Е335 - Е115 У315 )(1 + У125 ) ^,
С3333 = Е335 (1 -У12 5 ) ^,
С2233 = С1133 = Е115Е335 У315 ^, (25)
С1122 = Е115 (Е335 У125 + Е115 У315 )(1 + У125 ) •А
С1313 = ^13,
где
^ - [Е335 (1 ) 2Е115 У315 ] . (26)
Если подставить формулы (25) в (15), (17), а также (17) в (18), можно получить следующие соотношения (Приложение 1):
где
Тзз = Е331п Хз - р,
Е33 = 2 Е33^ [(1 4 У31я )ЕШ + 2(1 ^12яЕ33я )]
(27)
(28)
Безразмерные коррекции высоты зазора сустава, вызванные гипоупругими деформациями хряща, имеют следующий вид:
8зз =
.I33 = --р- + 1п Х3. Езз Езз
(29)
4. Метод интегрирования гидродинамической задачи
Вводится новая безразмерная переменная [12, 13, 22]:
-г _г 1 /Яе-у- ^ Бе • 81х
X = г1Ы, N = - ------ -----, и > 0 , 0 <---------< 1.
2'
и
и
(30)
и предполагается, что решение системы (6)-(9) может быть записано в виде следующих сходящихся рядов [13, 17]:
V = ^р02 (Х, ф, ^1) + % = У»0Е (X, Ф, ^1) + ^1 = V0! (X, Ф, ^1) + Р1 = Pl0(ф, ^ и1) +
е Бе
и1
Бе • Бгг
и1
Бе • Бгг
и1
Бе •
(
ПрИ (X, Ф, ^1) + (X, Ф, ^1) + уГ1Е (X, ф, ^1) +
Л2
Бе • 81х
V и1 У г Бе • Б^2
V '1
С
V
Бе • 81х
V и1 У
(
и
V
Бе • 81х
V и1 У
^р22 (X, Ф, ^1) + , (31)
^2! (X, Ф, ^1) + ••• , (32)
2Е (X ф, ^1) + ... , (33)
Pl2(Ф, ^ и1) + ••• , (34)
где и1 > 0 , 0 < Бе^ 81х << 1, Бе^ 81х/и1 < 1.
Далее производные по переменным и1, г1 в уравнениях (6)-(8) заменяются производными по одной переменной х, используя следующие зависимости:
X 5
г1 5
5 5 5х 1 ---------^г-
— =-----------------= — у • 81х ,— —
5и1 5х 5и1 4 5х 2и1 5х
52
5 Г 5 5х ^ 5х Яе у • 81х 52
5г12 5/ V 5/1У 5х V5х 5/ У 5/^ 4*1 5х2
53
_________= _^ГЯе^У^ Бгг 52 ^
5и15/12 5и11 4и1 5х2 у
.( а2 .. а3 Л
2 52
Яе^ у • 81х 5 + Яе^ у • 81х 5
4*12 5х2 4и1 5Х
5Х
У
5х
5и1
Яе^ у • 81х
4*2
52 + х 53
(35)
(36)
(37)
5х2 2 5х3
2
Затем ряды (31)-(34) подставляются в измененную систему (6)-(9), где переменные 1Х, г1 заменены переменной х. Кроме того, производится приравнивание
членов, умноженных на одинаковые степени параметра (Бе- 81х/^)к , при к=0, 1, 2, ...
Тогда можно получить следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
ё\об , 2х ^^ое _ _^Фш (38)
ёх2 Х ёх N2 5а, ’ ( }
+ 2х ^ + 4(у,1Е) _ ^ 1^ +1х], (39)
ёх2 ёх ^ ^ N 5а, ёх2 I 2Л/ ^ '
ё2v,.2У Л ^ ч 1 5р,2 ^ё2у1Т 1 ё3у,,у
---^ + 2х—— + 8(у,2Е) + 2-------^ + -х----1т, (40)
ёх2 ёх ^ ^ N 5а, ёх2 2Л ёх3
где , _ ф, 9 ; аф _ Ф, а9 _ 9 и
(^)2 _ N^11 9„ N9 _ N. (41)
5. Окончательное решение для гипоупругого хряща
Общие и частные решения обыкновенных дифференциальных уравнений (38)-(40) получены в Приложении 2. Константы (А2.9), (А2.16) подставляем в общее решение (А2.7) для компонент скорости синовиальной жидкости. Тогда можно получить следующую окончательную форму для конечной скорости синовиальной жидкости (А2.17) в окружном и меридиональном направлениях.
Пренебрегая вязкоупругими свойствами синовиальной жидкости и учитывая решение (А2.17), получим частные решения для полной скорости синовиальной жидкости в направлениях ф и 9 для нестационарного течения в следующей форме:
Vtp0z ^ гъ s^ ti) = +sin Si -1sin Si - t2 . n—^ Y(x = N^0 I
Угс дрь
2N2 sin S1 дф
erf (r1 N) Л др10
(42)
erf (є1N) 2N2 sin S1 дф
Y (x = Nri),
V (Ф r S t) = ^ др>10 y (x= Nє ). erf (riN)__Jk др>10 y(x = Nr) (43)
»°z(ф, l, l, i) 2N2 5S1 (x T1) erf(^T1) 2N2 5S1 (x l), ( )
x 2 x
Y (x) = jexi erf xidxi - erf xjdxi, (44)
ОО
N " \ 2V
Re. y. Str , , 2 хг -x2
Ac 2
erf (Xi ) = “^ j e'Z2 dX2’ (45)
n VTC 0
и 0 < t1 <ro, 0 <r1 <sT1, тс/8 < ^ < тс/2, 0 <ф< 2тс91з 0 <91 <ro, sT 1 = еТ1(ф,д1зt1), 0 < x2 < X1 < X = r1N < sT1N = M . Далее компоненты скорости (42), (43) подставляются в уравнение (9) и обе части этого уравнения интегрируются по переменной r1.
Компонента скорости синовиальной жидкости уг0Б в направлении высоты зазора равна нулю на поверхности кости. Следовательно, создавая условие \гоб _ 0 при г1 _ 0, компонента скорости синовиальной жидкости в направлении высоты зазора имеет следующий вид:
п Л 2 7 егР(г2N) .
Угоб ^ 1,^ _ ег?(к^) 0 ег^е^) Г -
5sT1 VTC f 1 5sT1 5p10 + 5st 1 5p10 ^ 1 EtlN
5ф 2
sin2 91 5ф 5ф 591 591
Л
(46)
1 + 5_р!, + Фл^ 9[
sin2 d1 5ф2 5^2 as1 1
^ ^ 7 (X= hN - j 7 (X1 = r2N ) dr2
где 0 < t1 <ro, тс/ 8 <91 <тс/ 2, 0 <ф< 2тс91, 0 <x2 <X1 <X = r1N <sT1N = M , 0 < 91 < 1, 0 < r2 < r1 < st 1.
Компонента скорости синовиальной жидкости vr0I в направлении высоты зазора не равна нулю на поверхности вертикальной впадины. Следовательно, интегрируя уравнение непрерывности (9) относительно переменной r1 и накладывая граничное
условие (A2.7) для r1 = s1 на компоненту скорости в направлении высоты зазора, а
также учитывая условие (A2.6) при r1 = 0, можно получить следующее уравнение:
1 5 ^ 1 5 Т . , с 5st 1
j Vidr1 + • Q до j Sin V»0Zdr1 =- Str" 1
J sin 91 591 J
sin 91 5ф
0
0
5t1
(47)
Подставляя выражения (41)-(42) в (47), можно получить следующие модифицированное уравнение Рейнольдса:
2N sin 91 I 5ф
J (St 1N)
5P0
5ф
. + Л. E L5-
2 N2 I 5d1
J (st ,N) ^sin 9 T1 591 1
= -(sin 91) E j-5 h (sT1N)|-Str ^ sin 91,
(48)
где
J(sT1N) = W(st 1N)7(st 1N) - j 7(r1N)dr1, H (st 1N) = st 1 - W(st 1N),
0
St 1
j erf(r1N)dr1
W (St 1N) =
erf(sT 1N)
(49)
(50)
и sT1 = sT1s(ф,&j,t1) + 8Ь 0<r2 <r1 <sT1, тс/8 <&! <тс/2, 0<ф<2к01, 0<0! < 1,
0 < t1 <ro, 0 <x2 <x1 <stN, 0 < N(t1) = 0.5^/Re- Str/t1 <ro. Модифицированное
уравнение Рейнольдса (48) определяет неизвестную функцию давления р10(ф, 91, t1) .
Зависимость от времени высоты зазора с возмущениями имеет следующий вид:
ST1 = ST1s(ф, ^1, t1) + S33 = ST1s (ф, ^1) 1 + s1e 01 0 +S33 = (51)
= ST1s (ф, ^ t1) + P(tVE33 = ST 1s (ф, ^ t1) + Ca P10 (t1), где s33 - безразмерные коррекции, вызванные гипоупругими деформациями хряща в направлении высоты зазора, Ca = p0/ E33 - число Коши. Независящая от времени часть гладкой высоты зазора имеет размерную форму:
s0sT1s (ф, d1) = sTs (ф, d1) = As1 cos ф sin 91 + As2 sin ф sin 91 + As3 cos d1 - R +
G^--------------------------------------------------------------------------w-7 (52)
+J(As1 cosфsinS1 + As2 sinфsinS1 + As3 cosd1) +(R + smin )(R + 2D + smin).
Предполагается, что центр сферической головки кости находится в точке
0(0,0,0), а центр сферического хряща в точке O1 (х-As1, y-As2, z + As3).
Эксцентриситет имеет величину D (см. рис. 1).
Безразмерная функция s1 = 5(ф, S1s)/sTs (ф, д1) при S1s =Ss/R, d1 = $/ R
описывает изменения в высоте зазора при импульсном нагружении, вызванные приложенной силой P. Высота зазора увеличивается, если s1 > 0. Высота зазора уменьшается, если s1 < 0. Символ ш0 означает угловую скорость вс-1 и означает изменения возмущенной во времени при неустановившемся течении синовиальной жидкости в зазоре сустава в направлении высоты. Если t1 увеличивается, то при s1 > 0 увеличение высоты зазора уменьшается и через достаточно большое время после импульса достигает одного и того же независимого от времени значения sTs. Если
безразмерное время t1 увеличивается, то при s1 < 0 уменьшение высоты зазора увеличивается.
Если t1 стремится к бесконечности, то есть N стремится к нулю, то уравнения (48) стремятся к классическому уравнению Рейнольдса для стационарного движения. Для объяснения этого факта вычислим следующие пределы:
lim Y (x = sT 1N)= lim ^
n^0 2N2 n^0 2N2
ST1N ( 2 x 2 ^
sT1N 2 ST1N 2
J ex erf(x)dx- erf(s1N) J ex dx
00
ST1N 2 STlN 2
x Ич Г /?x
1 \ T1 2 2 2 2 I
lim —^] J ex Je_x1 dx1 dx- J e_x dx J ex dx^= (53)
0
N St 1 T1 2
st
H -T1 J ex1 dx1 H s 2 e,T1N’
T1 i:^ e _ ST1
"2N • еЕт1"2 2 "еЕт1"2 + 2г2Т1Ы2егт1"2 2
Вышеуказанные пределы получены при использовании правила Лапиталя. Учитывая пределы,
(54)
уравнение (48) при N ^ 0, то есть для ї1 ^ да, стремится к следующей форме
классического уравнения Рейнольдса в сферических координатах, но с учетом гипоупругих деформаций хряща:
где 0 < 91 < 1, 0 < ф < 2тс91, 0 < д1 < ж/ 2 .
Гипоупругие деформации достигают теперь предельных значений в33к,. Зазор
сустава уменьшается к не зависящему от времени значению вть (ф, д1) + в33<ю
(см. рис. 1). Уравнение (53) определяет неизвестную функцию давления, не зависящую от времени.
При численных вычислениях предположены реальные значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона хрящевого скелета [8]. Для значений £338=5,5 МПа, £118=5,0 МПа, у33х =0,20, =0,15 найдем, что суммарный модуль Юнга хряща в
направлении, перпендикулярном к поверхности хряща, имеет значение £33=6,65 МПа.
При импульсивном движении безразмерное давление р10 и безразмерные коррекции давления: р11, р12,... в области смазки О (0 <ф< 2тс91, л/8 < д1 < л/2) определяются с помощью модифицированного уравнения Рейнольдса (48), (55). Высота зазора (51, 52) также учитывается. Численные вычисления произведем с
использованием метода конечных разностей [20]. При вычислении было предположено следующее: радиус сферической головки кости Я=0,0265 м, угловая скорость
импульсивных возмущений ш0 =0.5 с", характеристическое размерное время
*0 =0,000001 с. Чтобы получить реальные значения времени, нужно умножить безразмерную величину 11 на значение характеристического времени *0 =0,000001 с. Например, ^ =1000000 с означает одну секунду после импульса.
Предположим следующие эксцентриситеты головки кости: Ав1=4,0 мкм,
Ав2=0,5 мкм, Ав3=3 мкм и характеристическое значение высоты зазора в0=10 мкм. Кроме того, предположим следующие величины: динамическая вязкость синовиальной жидкости л0 =0,40 Па-с, коэффициент псевдовязкости Р =0,0000003 Па-с2, плотность синовиальной жидкости р =1010 кг/м3, угловая скорость сферической головки кости ш =1,5 с"1. Средняя высота зазора имеет минимальное значение вшЬ, изменяется в
(55)
(56)
6. Численные вычисления
интервале времени 0,000001 с < * < 100 с и достигает значений от 5,08 мкм до 6,93 мкм, средний относительный радиальный зазор имеет значение у = в0/ Я = 0,0003774.
При указанных допущениях имеем: характеристическое размерное давление р0 = 4,2135 МПа, число Коши Са = 0,634, число Строухала 81х = 666666,7 и дополнительно Ке-81х = 0,252, Бе^г = 0,750. В этом случае имеется также соотношение 0 < Р/Л0* <1. Для безразмерного времени имеем: *1=1, *1 =1000000, *1 =100000000, то есть для размерных времен: *=0,000001 с; *=1,0 с; *=100,0 с, соответственно.
Распределение безразмерного давления показано на рис. 5 (при ^=0,125), на рис. 6 (при 51=-0,125) без гипоупругих деформаций хряща (левый столбец рисунков на рис. 5
и рис. 6 при Са = 0,00) и с гипоупругими деформациями хряща (правый столбец рисунков на рис. 5 и рис. 6 при Са = 0,634).
Для случая Са = 0,634 показано влияние деформаций хряща на величину давлений.
Значения давления для Са = 0,634 получены в шесть этапов.
Предполагается, что значение давления р10 приближенно равно р10(1), полученному из уравнения (48) при Са=0,00, то есть значению давления без влияния деформаций хряща как первого в результатах вычисления давления. Значения р10(1)
умножаются на ненулевое число Коши Са, и тогда можно получить высоту зазора в форме вт 1з + Са р10(1). Для этой высоты из уравнения (48) можно получить значения
давления р10, приближенно равного р10(2), как второй шаг в результате вычисления давления. Значения р10(2) умножаются на ненулевое число Коши Са и можно получить величину зазора в форме вть + Са р10(2). Для этой величины из уравнения (48) можно получить значения давления р10, приближенно равного р10(3), как третий этап результатов вычислений давления. Полученная последовательность давлений сходится к предельному значению давления р10. Значения давления р10(6), полученные на шестом шаге вычислений, будут находиться в окрестности реального значения давления р10, причем имеет место неравенство:
р0
р10 р10(6)
< 2N. (57)
Чтобы получить размерные значения давления, необходимо умножить безразмерное значение давления, указанное на рис. 5 и 6, на характеристическое значение давления р0 .
Рис. 5. Распределение безразмерного гидродинамического давления внутри зазора
сферического сустава человека без деформаций хряща (левая сторона рисунка для Са=0,00) и с гипоупругими деформациями хряща (правая сторона рисунка для Са=0,634) в области О: 0<ф<л, лЯ/8<Э<лЯ/2 в безразмерном времени: *1=1 (*=0,000001 с), *1=1000000 (*=1 с) и *!=100000000 (*=100 с) после момента импульса для эффектов уменьшения высоты зазора (^1=0,125). Результаты получены для следующих значений: Я=0,0265 м; ^о=0,40 Па-с; р= 1010 кг/м3; р0=4,2135 МПа, в0=10 мкм, Ав1=4 мкм; Ав2=0,5 мкм; Ав3=3 мкм; у=в0/Я«0,0003774; ш=1,5 с-1; ш0=0,5 с-1; 81г=666 666,7; Яе-8й-=0,252; Бе-8й-=0,750
Рис. 6. Распределение безразмерного гидродинамического давления внутри зазора сферического сустава человека без деформаций хряща (левая сторона рисунка для Са=0,00) и с гипоупругими деформациями хряща (правая сторона рисунка для Са=0,634) в области О: 0<ф<л, лЯ/8<-&<лЯ/2 в безразмерном времени: *1=1 (/=0,000001 с), *1=1000000 (/=1 с) и *1=100000000 (*=100 с) после момента импульса для эффектов уменьшения высоты зазора (51= -0,125). Результаты получены для следующих значений: Я=0,0265 м; ^о=0,40 Па-с; р=1010 кг/м; р0=4,2135 МПа, в0=10 мкм, Ав1=4 мкм; Ав2=0,5 мкм; Ав3=3 мкм; у=в0/Я*0,0003774; ш=1,5 с-1; ш0=0,5 с-1; 8^=666 666,7; Яе-8й-=0,252; Бе-8й-=0,750
*0*1, с
Рис. 7. Распределение размерной нагрузки внутри зазора сферического тазобедренного сустава человека в области О: 0<ф<л, л^/8<0<л^/2 в зависимости от размерного времени от 0,000001 с до 100,000000 с после импульса в логарифмической шкале (а) и в десятичной шкале по времени (б). Две первые кривые сверху на рис. (а) и (б) показывают значение нагрузки, полученное без деформации хряща для Са=0,00. Две первые кривые снизу на рис.
(а) и (б) показывают значение нагрузки, полученное для деформаций хряща с Са=6,34. Верхняя кривая в каждой из двух кривых на рис. (а) и (б) означает нагрузки, полученные для ^=-0,125, а нижняя кривая в каждой из двух кривых на рис (а) и (б) означает нагрузки, полученные для £1=+0.125. Результаты получены для следующих данных: ^=0,0265 м; ^0=0,40 Па-с; р=1010 кг/м3; р0=4,2135 МПа, є0=10 мкм, Ає1=4 мкм; Ає2=0,5 мкм; Ає3=3 мкм; у=є0/Д*0,0003774; ю=1,5 с-1; ю0=0,5 с-1; Б1г=666 666,7; Яе-81г=0,252; Бе-81г=0,750
Если травма увеличивает высоту зазора (^ > 0), то за время после импульса
высота зазора уменьшается и давление растет. За достаточно большое время после импульса высота зазора и давление достигает не зависящих от времени значений высоты зазора и давления, соответственно.
Если травма уменьшает высоту зазора (^ < 0), то за время после импульса
высота зазора увеличивается и давление падает. За достаточно большое время после импульса высота зазора и давление достигают не зависящих от времени значений высоты зазора и давления, соответственно.
Если рассматривать момент времени, достаточно удаленный от момента приложения импульса (/1 ), то распределение давления при увеличении высоты
зазора (^ > 0) и уменьшении высоты зазора (^ < 0), вызванное неровностями в хряще,
стремятся к одному и тому же распределению. Этот предел распределения давления можно также получить из классического уравнения Рейнольдса (55).
7. Выводы
• Если деформации хряща пренебрежимы и удар увеличивает (уменьшает) высоту зазора сустава, то зазор уменьшается (увеличивается), то есть возвращается к своей первоначальной форме за временной интервал от 0,000001 с до 100 с. Для этого случая распределения давления показаны в левом столбце на рис. 5 и рис. 6. Через сотни секунд после травмы давление в этих двух случаях достигает одинаковых значений (см. нижний рисунок в левой строке на рис. 5 и рис. 6).
• Если деформации хряща учитываются и удар увеличивает (уменьшает) высоту зазора сустава, то зазор уменьшается (увеличивается), то есть возвращается к своей первоначальной форме, но с деформациями хряща, во временном интервале от 0,000001 с до 100 с. Для этого случая распределения давления показаны в правом столбце на рис. 5 и рис. 6. Через сотни секунд после травмы давление в этих двух случаях достигает одинаковых значений (см. нижний рисунок в правой строке на рис. 5 и рис. 6).
• Значения давления в правом столбце рисунков на рис. 5 и рис. 6 гораздо ниже, чем значения в левом столбце рисунков на рис. 5 и рис. 6. Из этого факта следует, что значения давлений, полученные без деформаций хряща, больше, чем значения давлений хряща в тазобедренном суставе с учетом деформаций хряща в каждый момент времени после травмы во временном интервале от 0,000001 с до 100 с.
• Нагрузка тазобедренного сустава с деформациями хряща гораздо больше, чем нагрузка, полученная для недеформируемой поверхности хряща.
• Наибольшее изменение нагрузки достигает в тазобедренном суставе человека в интервале времени от 0,1 с до 1,0 с после травмы. За время от 0,000001 с до 0,1 с после травмы нагрузка не изменяется независимо от увеличения или уменьшения высоты зазора при ударе.
Благодарности
Эта работа финансировалась фондом КБК в течение 2003-2006 гг. как научный проект КБК 411Е-030-25. Данное исследование также было финансово поддержано согласно проекту ТОК -БР6-517226.
Автор благодарен за сотрудничество с кафедрой биомедицинской инженерии университета Ульм, Германия.
Приложение 1
При быстром нагружении суставной хрящ может рассматриваться как несжимаемый упругий материал [3]. Поэтому при этих условиях [3] имеет место соотношение:
Х1Х2Х3 = 1. (А1.1)
В случае нагружения в направлении 3, перпендикулярном к поверхности хряща, имеет место соотношение Х1 = X2. Чтобы обеспечить боковую поверхность хряща свободной от напряжений, следует наложить условие т11 = 0 в формуле (18) для /=1. Если дополнительно вставить уравнение (15) в (18) для /=1, то можно получить:
р2 = (С1111 + С1122 )1п Х1 + С1133 1п Х3 • (А12)
Далее следует вставить выражения (А1.2) и (17) в уравнение (18) для ,=3. Тогда
будем иметь следующее:
Т33 = -рЕ +Т33« = -р-(С1111 + С1122 ) 1п Х1 - С1133 1п Х3 +
+ (С1133 + С2233 ) 1п Х1 + С3333 1п Х3.
Вследствие предшествующих допущений Х1 = X2 и из (А1.1) следует:
1п Х1 = -0.51п Х3. (А1.4)
В этом случае для С1133 = С2233 , и из уравнения (А1.3) следует:
(A1.3)
Т33 = Р + 05 (Qn1 + C1122 )ln Х3 C1133ln Х3 C1133ln Х3 + C3333 ln Х3 = = -Р + (^3333 - 2СП33 + 0.5 (СШ1 + С*1122 ))ln Х3 = -p + Е33 ln Х3.
(A1.5)
Если вставить зависимости (25) в формулу для эффективного модуля Юнга Е33 суставного хряща в направлении 3, то можно получить формулу (28).
Приложение 2
Общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений (38) для г = ф, имеет следующий вид:
^02 = Сг1У01(Х) + С,2 + V,.03 (х) , (А21)
где Сг1, С,2 - постоянные интегрирования. Частные решения однородных и
неоднородных дифференциальных уравнений имеет вид:
г 2
Vоl (г) = | е_г1 а Х1, vо2 (г) = ^ (А2.2)
V 03 (Х) = -
1 Ф10
N2 да,-
1 2 1 2 j е11 V01(i1)d 11 - v01(!)J e11 d 11
(A2.3)
где 0 < г1 < 1 = Г N . При t1 ^ 0 имеем, что N ^ да, следовательно, 1 ^ да . При t1 ^ да
имеем, что N ^ 0. Поэтому при r1 > 0 получаем, что 1 ^ 0 . При t1 > 0 и r1 = 0 имеем,
что 1 = 0 . Далее имеют место следующие пределы:
v01(x) = — for 1 ^ да, t1 ^ 0, N ^ да,
v01 (1) = 0 for 0, r1 = 0, 0 < t1 < t2 <да, N > 0, (A2.4)
V 03(1) = 0 for 1 ^ 0, r1 = 0, 0 < t1 < t2 < да, N > 0, i = ф, ,
r2 др
vp03(1) = - } я10 for 0, r1 > 0, t1 N ^ 0,
2 sin $1 дф
v»03(1) = - rjrдр0 for ° r1 > 0, t1 N ^ 0. (A2.5)
2 д$1
Сферическая головка кости движется только в окружном направлении ф. Поэтому компоненты скорости жидкости на поверхности головки кости в окружном направлении равны окружной скорости сферической поверхности головки кости. Компонента скорости синовиальной жидкости на сферической поверхности головки кости в меридиональном направлении $ равна нулю, так как сферическая головка не имеет скорости в направлении $ . Вязкая синовиальная жидкость течет вокруг головки кости. Поэтому на поверхности головки кости компонента скорости синовиальной жидкости в направлении высоты зазора равна нулю.
Следовательно, имеем граничные условия:
Vz (1 = 0) = sin $1 , v$0Z (1 = 0) = 0 , vr0Z (1 = 0) = 0 ,
при r1 = 0 = 0 и 0 < t1 < t2 <да, N > 0. (A2.6)
Сферическая вертлужная впадина не имеет движения в окружном и меридиональном направлениях. Однако сферическая впадина имеет некоторые колебания в направлении высоты зазора, поэтому высота зазора изменяется во времени, а компоненты скорости синовиальной жидкости на поверхности чашечки равны нулю в окружном и меридиональном направлениях. Компонента скорости синовиальной жидкости в направлении высоты зазора r равна первой производной от высоты зазора по времени. Поэтому имеют место следующие условия:
Пр0Е (1= M) = ^ v$0z (1= M) = ^ vr0z (1= M) = Str
ds
T1
ф0£ \/v / -J $0Z \/v / -J r0Z \/v / - dt
при r1 ^ s1 01^ NsT 1 = M и 0 < t1 < t2 <да, N > 0, (A2.7)
где sT = s0sT1 - высота зазора, sT1 - безразмерная полная высота зазора, Str = 1/rot0. Вставляя условия (A2.4), (A2.5) и (A2.6) в общее решение (A2.3), получаем:
Cp1v01(1 = 0) + Сф2 + vp03 (1 = 0) = sin $1, при r1 = 0 ,
Cp1v01(1 = M) + Сф2 + vp03 (1 = M) = 0 , при r1 = ST1 , (A2.8)
C$1v01(1 = 0) + С$2 + v$03(1 = 0) = 0 , при r1 = 0,
C$1v01(1 = M) + C$2 + v$03 (1 = M) = 0 , при r1 = ST1 .
Учитывая пределы (A2.4) и (A2.5), решение системы уравнений (A2.8) можно записать в виде:
sin $, + vp03(M) vam (M)
Сф =----------1 „ФТ • C$1 = - J!^-L • Сф2 = sin S., C$2 = 0. (A2.9)
v01(M) v01
Далее решение уравнений (A2.1-A2.3, A2.9) подставляется в правую часть уравнения (39).
Тогда общее решение обыкновенного дифференциального уравнения (39) имеет следующий вид:
Vi1Z (1) = Сг3v11 (1) + Сг4v12 (1) + vi 13 (1) for i = ф, $ , (А2Л0)
где Ci3, Ci4 - постоянные интегрирования. Частные решения имеют следующий вид:
- 2 _ 2 1 1 - 2 v11(1) = 1е 1 , v12(1) = 1е 1 j—eXldXl, (A2.11)
d 11
Cn) =
= vnd)}^ 11(11 + 2)-[1 + i)e12 d2(dg11)) + Л!I11 JVl2(Xl)dXl + (А2Л2)
+v12(1)^^^1+11)e12 d(dr1+in in - C-1*1(*1+4 ^ 11.
для i = р, $ , 0 < d < 11 <1.
Решение (А2.10) представляет коррекцию компонент скорости синовиальной жидкости, вызванные вязкоупругими свойствами смазки. Имеют место следующие пределы:
v11(1) = 0 при 0, r1 = 0, 0 < t1 < t2 <да, N ^ да,
v12(1) = -1 при 0, r1 = 0, 0 < t1 < t2 <да, N > 0, (A2.13)
vi13 (1) = 0 при 0, r1 = 0, 0 < t1 < t2 <да, N > 0, i = p, $ .
Коррекция компонент скорости синовиальной жидкости не может изменить граничные условия (А2.5), (А2.6), которые предполагаются на поверхности головки кости и вертлужной впадины в окружном и меридиональном направлениях. Поэтому для коррекции компонент скорости имеются следующие граничные условия:
vp1z (1 = 0) = 0, v$1z (1 = 0) = 0, при r1 = 0 01 = 0 и 0 < t1 < t2 <да, N > 0, (A2.14)
vp1z (1= M) = 0, v$1z (1= M) = 0, при r1 ^ s1 0 1 ^ N sT 1 = M и 0 < t1 < t2 <да, N > 0.
Накладывая условия (А2.13) на общее решение (А2.10), получаем:
Cp3v11(1 = 0) + Cp4v21(1= 0) + vp13(1 = 0) = 0 , при r1 = 0,
Cp3v11(1 = M) + Cp4v21(1 = M) + vp13 (1 = M) = 0 , при r1 = ST1 , (A2.15)
C$3v11(1 = 0) + C$4v21(1 = 0) + v$13(1 = 0) = 0 , при r1 = ^
C$3v11(1= M) + C$4v21(1= M) + v$13(1= M) = 0 , при r1 = ST1 .
Учитывая пределы (А2.13), система уравнений (А2.15) имеет следующее решение:
Q3 =- ''13,(* M , CM = 0 for i = ф,э . (A2.16)
vn U = M)
Общее решение для компонент скорости синовиальной жидкости (31), (32) с помощью решений (А2.10) может быть записано в следующей безразмерной форме:
vi1 = C4vo1(1) + Ci 2 + vi03 (1) +
+ De_Str (C 3v11(1) + Ci4v12 (1) + vi13 (1)) + o (De-Str)2 . (A217)
t1
Список литературы
1. Hypo-elasticity and elasticity / B. Bernstein // Arch. Ration. Mech. Anal. - 1960. - V. 6. - P. 89-104.
2. Biotribology of Natural and Replacement Synovial Joints / D. Dowson // Biomechanics of Diarthrodial Joint / C. Van Mow, A. Ratcliffe, S. L-Y. Woo. - New York, Berlin, London, Paris, Tokyo, Hong Kong: Springer-Verlag, 1990. - V. 2. - Chap. 29. - P. 305-345.
3. An analytical model of joint contact / A.W. Eberhardt, L.M. Keer, J.L. Lewis, V. Vithoontien // ASME J. Biomech. Eng. - 1990. - V. 112. - P. 407-413.
4. Fung, Y.C. Bioviscoelastic Solids, in Biomechanics, Mechanical Properties of Living Tissues / Y.C. Fung. - Berlin: Springer Verlag, 1993.
5. Fung, Y.C. The Meaning of Constitutive Equations in Biomechanics, Mechanical Properties of Living Tissues / Y.C. Fung. - Berlin: Springer Verlag, 1993.
6. Fung, Y.C. A First Course in Continuum Mechanics: for physical and biological engineers and scientists, 3-rd ed. / Y.C. Fung. - Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1993.
7. Polymer Dynamics as a Mechanistic Model for the Flow-Independent Viscoelasticity of Cartilage / D.P. Fyhrie, J.R. Barone // Journal of Biomechanical Engineering, - 2003. - V. 125. - No. 4. - P. 578584.
8. Estimation of in Situ Elastic Properties of Biophasic Cartilage Based on a Transversely Isotropic Hypo-elastic Model / J.J. Garcia, N.J. Altiero, R.C. Haut // Journal of Biomechanical Engineering. - 2000. -V. 122. - P. 1-8.
9. Finite deformation of soft tissue: Analysis of a mixture model in uni-axial compression / M.H. Holmes // ASME J. Biomech. Eng. - 1986. - V. 108. - P. 372-381.
10. Hypo-elastic Anisotropic Model of Soft Tissues / S. Jemiolo, J.J. Telega, C. Michalak // Acta Bioeng. Biomechanics. - 2000. - V.2. - № l. - P. 235-240.
11. A Single Integral Finite Strain (sifc) Model of Ligaments and Tendons / G.A. Johnson,. K.R. Rajagopal, S.L.Woo // Advances in Bioengineering. - 1992. - V. 22. - P. 245-248.
12. Kqcki, E. Rownania rozniczkowe cz^stkowe w zagadnieniach fizyki i techniki / E.K^cki. - Warszawa: WNT, 1989.
13. Knopp, K. Szeregi nieskonczone / K. Knopp. - PWN, 1956.
14. Maurel, W. Biomechanical Modells for Soft Tissue Simulation / W. Maurel, Y. Wu, D. Thalmann. -Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag, 1998.
15. Fluid transport and mechanical properties of articular cartilage / V.C. Mow, M. Holmes, H. Lai // Journal of Biomechanics. - 1984. - V. 17. - P. 337-394.
16. Mow, V.C. Biomechanics of Diarthrodial Joints / V.C. Mow, A. Ratcliffe, S. Woo. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag, 1990.
17. Friction, lubrication and wear of diarthrodial joints / V.C. Mow, L.J. Soslowsky // Basic Orthopedic Biomechanics / V.C. Mow, W.C. Hayes. - New York: Raven Press, 1991. - P. 254-291.
18. Mow, V.C. Cell Mechanics and Cellular Engineering / V.C. Mow, F. Guilak. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag, 1994.
19. Nowacki, W. Teoria spr^zystosci / W. Nowacki. - Warszawa: PWN, 1970.
20. The pathophysiology of cartilage diseases / Steinhagen, B. Kurz, O. Niggemeyer, J. Bruns // Ortopedia Traumatologia Rehabilitacja. - 2001. - V. 3. - № 2. - P. 163-168.
21. Ralston, A. A First Course in Numerical Analysis / A. Ralston. - New York, Toronto, London, Sydney: McGraw Hill Co, 1965.
22. The Impulsive Motion of a Flat Plate in a Viscoelastic Fluid / I. Teipel // Acta Mechanica. - 1981. - V. 39. - P. 277-279.
23. Truesdell, C. A First Course in Rational Continuum Mechanics / C. Truesdell. - Baltimore: John Hopkins University, 1972.
24. Hypo-elasticity / C. J. Truesdell // Arch. Ration. Mech. Anal. - 1955a. - V. 4. - P. 83-133.
25. Tribologie in Medizin / M. Ungethum, W. Winkler-Gniewek // Tribologie Schmierungstechnik. - 1990.
- V. 5. - P. 268-277.
26. Metoda wyznaczania parametrow biolozyska smarowanego ciecz^ nienewtonowsk^ / K. Wierzcholski,
S. Pytko // Tribologia. - 1993. - V. 1. - P. 9-12.
27. Analytical calculations for experimental dependences between shear rate and synovial fluid viscosity / K. Wierzcholski, S. Pytko // Proc.of Internat. Tribology Conference. - Yokohama, Japan. - 1995. - V.
3. - P. 1975-198.
28. The method of solutions for hydrodynamic lubrication by synovial fluid flow in human joint gap /
K. Wierzcholski // Control and Cybernetics. - 2002. - V. 31. - No. 1. - P. 91-116.
29. Capacity of deformed human hip joint gap in time-dependent magnetic field / K. Wierzcholski // Acta of Bioengineering and Biomechanics. - 2003. - V. 5. - No. 1. - P. 43-65.
30. Pressure distribution in Human Joint Gap for elastic cartilage and time-dependent magnetic field / K. Wierzcholski // Russian Journal of Biomechanics. - 2003. - V. 7. - No. 1. - P. 24-46.
31. Tribologie fur menschliche Gelenke / K. Wierzcholski // Tribologie und Schmierungstechnik. - 2002. -V. 5. - P. 5-13.
32. Mathematical Modeling of Ligaments and Tendons / S-Y. Woo, G.A.Johnson, B.A. Smith // Journal Biomechanical Engineering. - 1993. - V. 115. - P. 468-473.
33. Hypo-elasticity model based upon the logarithmic stress rate / H. Xiao, O.T. Bruhns, A. Meyers // J. Elast. - 1997. - V. 47. - P. 51-68.
IMPULSIVE LUBRICATION OF HIP JOINT FOR HYPO-ELASTIC CARTILAGE MODEL
K.Ch. Wierzcholski (Gdyna, Poland)
A hypo-elastic model of cartilage surface in human hip joint is presented here for suddenly changes of lubrication parameters after injury. Hence, pressure distribution and capacity as well friction force and friction coefficient radically decrease or increase its values in several microseconds after the trauma. These changes are very difficult to measure, hence the proper numerical research in this field is very important. To obtain the right numerical results we suggest to perform the derivation of behaviour of joint gap for hypo-elastic cartilage.
Key words: hip joint impulsive lubrication, hypo-elastic skeleton of cartilage.
Получено 22 января 2005
