CC BY
16
Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов... УДК 539.4.669.017
СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕТИКИ НАКОПЛЕНИЯ МИКРОПОВРЕЖДЕНИЙ В НАГРУЖЕННЫХ МАТЕРИАЛАХ
В.П. Баранов, АН. Насонов
На основе синергетических принципов и статистического подхода выполнено математическое моделирование процесса накопления микроповреждений в нагруженных материалах. Построена стохастическая модель эволюции системы субмикро-трещин в материале на микроуровне. Проведен вычислительный эксперимент для случая одноосной пластической деформации конструкционной стали 30ХГСА. Представлены и проанализированы расчетные кривые плотности субмикротрещин при различной степени аддитивности исследуемой системы, характеризующей степень упорядоченности структуры материала.
Ключевые слова: пластическая деформация, субмикротрещины, свободная энергия, самоорганизация, стохастическое моделирование, уравнение Ланжевена.
Реальные материалы имеют сложную иерархическую структуру, которая изменяется в процессе деформации и разрушения материала. Эти изменения сопровождаются процессами зарождения, развития и взаимодействия дефектов на всех структурных уровнях, а также процессами образования и смены диссипативных структур, накопления и диссипации энергии [1-10]. Моделирование поврежденности нагруженного материала и прогнозирование его разрушения являются важными задачами для многих отраслей, таких как металлургия, машиностроение, химическая промышленность и др.
Анализ экспериментальных результатов исследования структурных уровней пластической деформации и разрушения высокопрочных сталей при статическом нагружении [11] позволяет высказать гипотезу о ключевой роли для этого процесса масштабного уровня субмикротрещин с размерами 0.1-0.3 мкм. Исследование кинетики замедленного разрушения сталей проводилось с использованием кривых релаксации напряжений [12]. Разработана методика [12,13] для определения временной зависимости плотности субмикроскопических дефектов, основанная на использовании начального участка машинной кривой релаксации приложенного к образцу напряжения, в предположении, что на ранних этапах деформирования при обычных температурах максимальную концентрацию имеют несплошности субмикроскопического размера, и условии равенства удельной работы пластической деформации изменению плотности свободной энергии образца.
Моделирование накопления субмикротрещин в нагруженных высокопрочных материалах с учетом процессов самоорганизации основано на использовании математического аппарата стохастических дифференциальных уравнений (СДУ): уравнении Ланжевена, методов стохастического интегрирования Ито и Стратоновича [14-18].
Уравнение Ланжевена составляет основу теории стохастических систем. Это уравнение было первым примером стохастического дифференциального уравнения, полученного Ланжевеном (1908 г.) при описании броуновского движения [19]. Его можно охарактеризовать как обыкновенное дифференциальное уравнение, в которое входит стохастическое слагаемое - быстро и беспорядочно флуктуирующая функция времени. Уравнение Ланжевена может быть записано в виде [20]:
йх
— = а йг
где х (г) - искомая функция времени, а (х, г), Ь (х, г) - известные функции сноса (дрейфа) и диффузии, ^(г) - стохастическая компонента, которая представляет собой белый шум, удовлетворяющий условиям
(х, г) + Ь (х, г) ^(г),
(§(г))0 = 0, (§(гх)§)}0 = 5Й)5(*2),
где угловые скобки означают усреднение по гауссовому распределению величины
§(г) 5 (г) - дельта-функция Дирака. Зачастую при стохастическом моделировании
различных процессов модель процесса путем ряда преобразований стараются свести к уравнению Ланжевена, если это возможно.
Существует две техники интегрирования уравнения Ланжевена: интегрирование по Ито и интегрирование по Стратоновичу. Техника Стратоновича позволяет пользоваться обычными приемами математического анализа, в то время как техника Ито определяет свои правила дифференцирования и интегрирования [21]. Чтобы решить уравнение Ланжевена, его необходимо привести к виду стохастического дифференциального уравнения Ито
йх = а (х, г) йг + Ь (х, г) dW
или Стратоновича
йх ■
1 ЭЬ (х, г) а(х, г)— Ь(х,г)- у '
йг + Ь (х, г) dW,
2 Эх
где dW = W (г + йг)- W (г) = § (г) йг - приращение винеровского процесса с одной переменной W(г). Винеровский процесс представляет собой математическую модель
броуновского движения, поскольку является решением дифференциального уравнения диффузии, которому, как показал Эйнштейн, подчиняется броуновское движение [22].
Поскольку поиск аналитического решения стохастического дифференциального уравнения в интегралах Ито или Стратоновича является сложной задачей, которую нельзя решить в общем случае для произвольного СДУ, чаще всего используют численные методы стохастического интегрирования: метод Эйлера и метод Милштейна. Решение ищется с помощью итерационных схем
хк+1 = хк + а ( хк, гк)Ч + Ь(хк,гк)АИ%к ,
= хк + а(хк, гк)Агк + Ь(хк,гк)А^ +1Ь(хк,гк)ЭЬ(хк,гк)И%к2-Агк),
к+1 к \ к7 к / к \ к7 к / к 2 \ к'к / Эх ^ к \ к где хк = х (гк) - приближенное значение искомой функции в момент времени гк, АИ^к = Ж (гк+1)- Ж (гк) - приращение реализации винеровского процесса, которое на каждой итерации рассчитываются с помощью генерации независимых случайных чисел 8к, имеющих нормальное (гауссово) распределение с математическим ожиданием, равным 0 и дисперсией, равной Агк. Т.е. АЦгк = в 1Л]Агк , где вк □ N(0, Агк). Ошибка аппроксимации в методах Эйлера и Милштейна составляет следующие величины
е 1'0'"и_
гкК], Е\х(хк)-х(гк)| = о(Аг12),
Е\х (гк)-х (гк )| = о(А)
кк
и стремится к нулю при Аг ® 0. Таким образом, метод Милштейна имеет порядок точности 1, обладает меньшей погрешностью вычислений и является более точным, чем метод Эйлера (порядок точности 1/2). Но он дает более высокую точность результатов только при решении СДУ с мультипликативным шумом. В случае аддитивного шума итерационные схемы Эйлера и Милштейна являются эквивалентными, поскольку производная обращается в 0, и, следовательно, дополнительный член в схеме Эх
Милштейна также обращается в 0.
Рассмотрим нелинейное стохастическое дифференциальное уравнение с линейным мультипликативным шумом вида
Р = Г
( д¥ ^ ст0 -Аст-р— +Гра(ао -До) +юр£, др )
(1)
где р = р(х) - плотность субмикротрещин в представительном объеме материала, см
-1
-3
Г Г
А Р' А рст
- кинетические коэффициенты, мин ; сто - внешнее напряжение, МПа;
__о
Аст=Аст(Х) - релаксация напряжения, МПа; р - плотность материала, Кг/см ; ¥ = ¥ (р) - свободная энергия материала, Дж; ^ = ) - стохастическая компонента, ю - интенсивность шума. Стохастическая компонента отражает флуктуационное деструктивное действие среды, структурной неоднородности материала и внутренних флуктуаций, обусловленных процессами деформации и разрушения.
Ключевым вопросом при построении модели является феноменологическое определение свободной энергии материала ¥ (р), изменение которой обусловлено ростом плотности микроповреждений в поле внешних напряжений. Свободная энергия материала определяется с учетом выражения [18]
¥ = Е - ТБ,
где Е - внутренняя энергия материала, Дж; Т - абсолютная температура, К; Б - энтропия материала, Дж.
Внутреннюю энергию материала представим в виде
Е = ( ер )у,
где е - энергия образования одной субмикротрещины, Дж; у - коэффициент, учитывающий нелинейность изменения внутренней энергии микросистемы с ростом плотности дефектов.
Энтропия материала вычисляется, как энтропия Цаллиса [19]
(2)
Б = 1п Л,
где Жд - статистический интеграл вида
д
х ( :{ ехр
о
'д
(ер( т)
кТ
(3)
а к - постоянная Больцмана. Энтропия Цаллиса выражается с помощью деформированного логарифма и деформированной экспоненты Цаллиса, которые определяются следующим образом [19]
1п д (х)°
х
1-д
1
1 - д
(4)
ехрд (х )°[1 + (1 - д) х]
1/(1-д)
где д е [0,1) - коэффициент аддитивности системы, характеризующий степень упорядоченности структуры материала. Важной особенностью энтропии Цаллиса является ее неаддитивный характер, что позволяет использовать ее для описания поведения неаддитивных синергетических систем [20]. При д ® 0 неаддитивность системы возрастает.
Преобразуя выражение для энтропии (2) по формулам (3) - (4), имеем
]1/(1-д)
ехр
( (ер)У 1 1 + (1 - д) í (ер)У 1
кТ кТ
/
д-
1+
V кТ
1
1( ер )У
1(1-д)
S = ln, Jii + ^ (sp(x) )Y
0
kT
V(i-q)
dx =-
i - q
J(i+q-1 (ep(T) )Y
0
kT
l(l-q)
dx
i—q л -1 У
Таким образом, свободная энергия материала принимает вид
F = ( sp )Y
T
i — q
i(i+qT (SP(T) )Y
NV(i—q)
dx
i—q
+ -
T
i—q
(5)
dF
Для того чтобы выразить частную производную -, продифференцируем ле-
Эр
вую и правую части выражения (5) по г, учитывая что Е = Е(р), р = р(г), а интеграл дифференцируем по верхнему пределу. Имеем
а/(1-<?)
I А ( p, г),
—p = yeY p Y—i p — (i — q)—fi + ^ (sp(t) )Y
dp
dF_ dp
— = yeypY i — T P
fi+qzl (sp )Y
V kT
i — q V kT
V(i—q)
Л ( p, t),
Л ( p, t)
i +
q—i
kT
(sp(T) )Y
NV(i—q)
dx
(6)
p ф 0 ^ p Ф const.
Подставим выражение (6) в исходное уравнение (i). Получим ( —i PT ^
p = Г p — A° — PYsYPY--Г Bq (P, t) + Г po (°0 — A°) + ^
p KJ0 ^ pfo F & i
V p У
(7)
ГДе Bq ( p, t )= fi + ( sp )Y
4V(i—q)
j(i + ^ (sp(T) )Y
a/a—q)
dx
q
Далее преобразуем уравнение (7), опустив линейное стохастическое слагаемое
(8)
(p)2 = Гp(op — pyeypy lp — pTBq(p,t)) + Гpoo^,
(р )2 + р (-Г ра-Г рСа + Г ррувТру 1 )-Г рртВ (p, г )= 0,
где а = Од - Аа. Получаем квадратное уравнение (8) относительно р. Решаем его с помощью дискриминанта:
а =1 Ь =ГрРУвУрУ-1 -О(Гр +Гра), с = -ГрРЩ (P,г),
В = Ь2 - 4ас = (г рруву рУ-1 - а (Г р + Г ра ))2 + 4Г ррГБд (р, г).
Тогда получаем два нелинейных дифференциальных уравнения относительно р
p =
o(rp +Гpo) —rppysypy—i С2 (p,s) + 4ГppTBq (p,t)
C(p,s) = rpPsYYpY i — o(Гp +Гpo).
282
i
t
0
Окончательное уравнение для моделирования эволюции плотности субмикро-трещин на микроуровне представляет собой стохастическое дифференциальное уравнение Ланжевена с линейным мультипликативным шумом [21] и имеет следующий вид
р=2 (_с (р, °)+>/ с2 (р, °) + 4Г рРЩ (р, *))+(9)
Для случая статического растяжения конструкционной стали 30ХГСА ниже предела текучести получено численное решение уравнения (9) методом Милштейна
о
[22] на интервале *е [0, 2] мин. с шагом А* = 10- сек. Ошибка аппроксимации составляет величину порядка А*.
На рисунке представлены расчетные зависимости плотности субмикротрещин от времени деформирования для различных значений коэффициента аддитивности д
_3
при следующих значениях параметров: р (*о ) = 0 см ; Од = 0,8002 = 1015 МПа; р = 7,85-103 Кг/см3; е = 10_18 Дж; у= 0,6; Гр = 0,5 мин-1; ГрО = 0,35 мин-1;
_23 _3
к = 1,38 -10 Дж/К; Т = 293 К; с = 10 . Фрактальный вид кривых объясняется влиянием непрерывного шума.
Эволюция плотности субмикротрещин для стали 30ХГСА: 1 — q = 0,2; 2 — q = 0,S
Результаты моделирования показали, что при большой степени неупорядоченности материала (малых q ), характерной для высокопрочных сталей, плотность дефек-
9 3
тов достигает критического значения (в расчетах 6,5 х10 см3). Затем происходит ее резкое снижение, вызванное образованием перколяционных кластеров различных размеров (рисунок). Для более упорядоченных структур (больших q ) критическое значе-
12 3
ние плотности достигает более высокого значения (в расчетах 7 X10 см-3) с дальнейшим медленным переходом к перколяционным процессам.
Список литературы
1. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Деформируемое твердое тело как нелинейная иерархически организованная система // Физ. мезомех, 2011. Т. 14. № 3. С. 7 - 26.
2. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физ. мезомех, 2011. Т. 14. № 4. С. 17 - 28.
3. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физ. мезомех, 2011. Т. 14. № 5. С. 5 - 30.
4. Irwin G. R. Fracture mechanics // Proc. I Symp. Naval Struct. Mechanics. New York: Pergamon press, 1960. P. 557 - 594.
5. Taylor D. Euromech colloquium on short fatigue cracks // Fatigue Eng. Mater. Struct. 1982. Vol. 5. № 4. P. 305 - 310.
6. Pearson S. Initiation of fatigue cracks in commercial alluminium allous and the subsequent propagation of very short cracks // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. 1975. V. 7. P. 235 - 247.
7. Ботвина Л.Р. Кинетика разрушения конструкционных материалов. М.: Наука, 1989. 230 с.
8. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. б40 с.
9. Екобори Т. Научные основы прочности и разрушения материалов. Киев: На-укова думка, 1978. 352 с.
10. Макаров П.В. Самоорганизованная критичность деформационных процессов и перспективы прогноза разрушения. // Физ. мезомех, 2010. Т. 13. № 5. С. 97 - 112.
11. Баранов В.П. Синергетическая модель замедленного разрушения высокопрочных материалов // Материаловедение, 2007. № 4. С. 49 - 53.
12. Баранов В.П. Кинетика накопления повреждаемости и роста трещин в процессе замедленного разрушения высокопрочных сталей // Деформация и разрушение материалов, 2007. № 5. С. 19 - 23.
13. Баранов В.П., Сергеев Н.Н., Степанова В.Э., Пузикова М.В. Кинетика накопления микроповреждений в нагруженных конструкционных сталях повышенной и высокой прочности // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2013. Вып. 1. С. 190 - 201.
14. Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985. 335 с.
15. Костина A.A., Баяндин Ю.В., Плехов ОА., Моделирование процесса накопления и диссипации энергии при пластическом деформировании металлов. // Физ. мезомех. 2014. Т. 17. № 1. С. 43 - 49.
16. Бетехтин В.И., Кадомцев AX., Нарыкова М.В., Наймарк О.Б., Плехов ОА. Статистическое описание кинетики накопления микротрещин в металлах при ползучести. // Физ. мезомех. 2015. Т. 18. № 1. С. 52 - б1.
17. Наймарк О.Б. О некоторых закономерностях скейлинга в пластичности, разрушении, турбулентности. // Физ. мезомех. 2015. Т. 18. № 3. С. 71 - 83.
18. Наймарк О.Б. Коллективные свойства ансамблей дефектов и некоторые нелинейные проблемы пластичности и разрушения. // Физ. мезомех. 2003. Т. б. № 4. С. 45 - 72.
19. Ланжевен П. О теории броуновского движения. В кн.: Ланжевен П. Избранные труды. М.: Изд-во AR СССР, 19б0. С. 338 - 341
20. Олемской A.K Уравнение Фоккера-Планка // УФН. Т. 1б8. № 4. С. 475 -
480.
21. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 198б. 528 с.
22. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. М.: Мир, 2003. 408 с.
23. Олемской A.R Синергетика сложных систем. Феноменология и статистическая теория. М.: Красанд, 2009. 384 с.
24. Олемской A.R, Кацнельсон A.A. Синергетика конденсированной среды. М.: Едиториал УРСС, 2003. ЗЗб с.
Баранов Виктор Павлович, д-р техн. наук, профессор, baranov 1955@mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Насонов Антон Николаевич, аспирант, anton.nasonov3@,gmail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
STOCHASTIC MODELING OF MICROCRACKS ACCUMULATION KINETICS
IN LOADED MATERIALS
V.P. Baranov, A.N. Nasonov
Based on synergistic principles and statistical approach, mathematical modeling of microcracks accumulation process in loaded materials has been performed. The stochastic model of the submicrocrack system evolution in the material at micro level is constructed. The computational experiment was performed for the case of uniaxial plastic deformation of structural steel 30ХГСА. Calculated density curves of submicrocracks with different degree of the system additivity, characterizing the degree of the material structure ordering, are presented and analyzed.
Key words: plastic deformation, submicrocracks, free energy, self-organization, stochastic modeling, Langevin equation.
Baranov Victor Pavlovich, doctor of technical sciences, docent, professor, bara-nov_1955@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Nasonov Anton Nikolayevich, postgraduate, anton.nasonov3@gmail.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.001.2.066
ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА СРЕДСТВ РАЗРАБОТКИ
СПЕЦИАЛИЗИРОВАННОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ
М.Ю. Екимова, Д.В. Шарлай, В.С. Белухин
В статье рассматриваются программные платформы, требования, предъявляемые к специальному программному обеспечению по автоматизации процессов сбора, обработки и представления измерительной информации в реальном масштабе времени, к программному обеспечению формирования исходных данных, изложены критерии выбора платформ для наиболее эффективного использования мощностей современных комплексов
Ключевые слова: натурные эксперименты, измерительная информация, реальный масштаб времени, кроссплатформенные платформы.
Автоматизация процессов сбора, обработки и представления измерительной информации в ходе проведения испытательных работ в условиях реального времени должна решить множество задач, влияющих на ход проведения испытательных работ. Для этого необходимо специализированное программное обеспечение по автоматизации процессов сбора, обработки и представление измерительной информации в реальном масштабе времени (СПО СОИ РМВ) и как её составная часть - специализированное программное обеспечение формирования исходных данных (СПО ФИД РМВ).
СПО СОИ РМВ является составной частью комплекса автоматизированного сбора и обработки информации в режиме реального времени (АССОИ РМВ). СПО СОИ РМВ является следующим этапом развития комплекса реального времени АССОИ [6].
