Стохастический подход к построению области допустимых режимов центробежных нагнетателей газоперекачивающих агрегатов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.372.831

СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ ОБЛАСТИ ДОПУСТИМЫХ РЕЖИМОВ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ НАГНЕТАТЕЛЕЙ ГАЗОПЕРЕКАЧИВАЮЩИХ АГРЕГАТОВ

ТЕВЯШЕВА О.А.

Рассматривается проблема оценивания в реальном масштабе времени границ области допустимых режимов работы центробежных нагнетателей газоперекачивающих агрегатов и местоположения в ней рабочей точки с учетом статистических свойств ошибок измерений и ошибок в канале связи. Предложены два эффективных метода решения данной проблемы.

1. Введение

При решении задач оперативного контроля и управления режимами работы газоперекачивающих агрегатов (ГПА), установленных на компрессорных станциях (КС) магистральных газопроводов, возникает проблема контроля достоверности нахождения фактической рабочей точки (РТ) центробежных нагнетателей (ЦБН) ГПА в области допустимых режимов (ОДР).

Известно [1], что устойчивость, надежность и безопасность режима работы ЦБН ГПА зависят от степени удаленности РТ от границ ОДР, а выход РТ за пределы ОДР рассматривается как аварийная ситуация.

Построение ОДР и определение местонахождения в ней РТ осуществляются на основании результатов прямых измерений параметров газового потока на входе и выходе ЦБН и фактического числа оборотов привода.

При детерминированном подходе ошибками измерений и ошибками в каналах связи пренебрегают. В этом случае проблема контроля достоверности нахождения фактической РТ в ОДР и оценки степени удаленности РТ от границы ОДР решается эмпирическим путем [1,2] - введением 10% предпом-пажной зоны.

Попытка научно обосновать размеры этой зоны вызывает необходимость стохастического подхода, при котором учитывались бы статистические свойства ошибок измерения и ошибок в канале связи. Суть проблемы заключается в следующем:

— границы ОДР и координаты РТ ЦБН являются нелинейными функциями параметров газовых потоков на входе и выходе ЦБН и фактического числа оборотов привода;

— точные параметры газовых потоков и привода неизвестны, а известны только результаты их прямых или косвенных измерений;

—каждое измерение осуществляется со случайной ошибкой и, следовательно, является случайной величиной;

— статистические свойства измеряемых величин зависят как от фактических параметров газовых

потоков, так и от метрологических характеристик средств измерений и каналов связи.

Таким образом, учет случайности ошибок измерений и ошибок в каналах связи приводит к случайности функций, определяющих границы ОДР ЦБН, и случайности местоположения РТ внутри этой области.

В данной работе предлагается стохастический подход к формированию ОДР и определению местоположения в ней РТ, что позволяет более точно контролировать выход РТ за границу ОДР и осуществлять выдачу предупреждающих сигналов оперативному персоналу, если вероятность выхода РТ за границу ОДР превышает некоторую наперед заданную величину.

2.Математическая модель ЦБН ГПА

Математическая модель ЦБН ГПА основана на предположении о стационарности процесса компримирования газа в любой момент времени вне зависимости от режима движения газа в прилегающих участках МГ. Подобное предположение возможно в виду незначительной инерционности процесса компримирования газа по сравнению с процессом его движения по трубопроводным участкам МГ [2]. Это позволяет представить математическую модель процесса компримирования газа в ЦБН в виде системы алгебраических уравнений, определяющих основные характеристики ЦБН, к которым относятся:

— степень сжатия и квадрат степени сжатия газа

є = Рк/Рн = е (Опр Дп/по)пр), (1)

є2 = Рк2/Рн2 = 82(Опр ,(п/по)пр), (2)

как функции от приведенной объемной производительности рпр и приведенного числа оборотов (n/n0) щ,, где n, n0—фактическое и номинальное число оборотов. Зависимости (1),(2) при (n/n0)=1 можно представить в виде многочленов второй степени:

є0 =е (Qпр>l) = a0 + a1Qпр + a2Qпр , (3)

є0 =є (ОпрД) = b0 + Ьі°пр + Ь2Опр , (4)

°пр = (no/n)Qv , (5)

—подтропический коэффициент полезного действия:

Опол (°пр) _ d0 + d1Qпр + 42°пр + 43°пр ; (6)

— внутренняя приведенная мощность N:

3

3

п

V п0;

= VI

'(°пр) = c0 + c1Qпр + c2Qпр + С3^р ; (7)

— приведенное относительное число оборотов привода:

( п ^

V п0;

пр

п

п0

ZqRqTq

Z R Т

^вх^вх1 вх

(8)

где Qv — объемная производительность ЦБН [м3/

мин]; Zq,Rq,Tq - номинальные значения параметров природного газа — коэффициента сжимаемости, температуры и газовой постоянной; ZBX ,R вхТвх — параметры газа на входе ЦБН.

РИ, 1999, № 2

113

Зависимость степени сжатия от фактического числа оборотов и физических параметров газа имеет вид [1]

є =

( „ у

1 +

V n0 у

( т-1 ^

т ,

Єо -1

пР

т-1

(9)

Известно [1,2], что зависимость m m

m -1 m -1

(йпол (Q пр )> Т

Т Р Р )

вх ’ * вых ’ * вх ’ * вых >

является очень сложной функцией, нелинейной по всем своим аргументам:

m k

7 = йпол 7 7

m -1 k-1

(10)

где m — показатель политропы; рпол — политропический коэффициент полезного действия; k — показатель адиабаты;

k

k

0

k -1 k0 -1

1 + -

dCp ko _ 1

щ Ko R k

0

[Zcp(1 + ЛполХК

(11)

здесь k0/(k0-1) — показатель “изотропии” газа в идеальном состоянии; X — коэффициент изобарического сжатия газа; dCp / R—коэффициент теплоемкости, вычисляемый по средним приведенным параметрам, а Хср - среднее значение коэффициента сжатия газа:

k0

- = [5,15 + (5,65 + 0,017t Cp)d J/1,987,,

ko -

X = (1,23Тс2р.пр - 0,061 + 0,12 ТСр.пр

x Рср.пр /[Тср.прZcJ,

dC

cp /“в J ' “ ■ ,(12)

/ Т2 )>

ср.пр )

X

R

= P

ср.пр

2,46 + 0,12P

ср.пр

)/ Т

3

ср.пр ,

(13)

(14)

Z = 1 -(0,41/T; -0,061/Tпр)P^ -0,04P^/T^, (15)

2ср = (ZbX + /2 • (16)

Здесь Тсрпр и Рсрпр — приведенные средние значения температуры и давления газа:

Рср.пр = (Рпр.вх + Рпр,ых)/2 , (17)

Тср.пр = (Тпр.вх + Тп,,ых)/2 , (18)

Pпр = Р/Ркр , Tпр = T/Tкр , (19)

где Ркр и Ткр — псевдокритические давление и температура:

P^ = 0,30168(5,993(26,8310 - R0*») + Nco2 -- 0,392Nn2) ; (20)

TkP = 08825(175.91(0.5364 + R0nom) + Nco2 -

-1,681 Nn2) • (21)

Коммерческий расход газа G [тыс.м3/ч] связан с объемной производительностью Qv соотношением

G =

n PEXC1QV 2

n0 ^хТвх

(22)

где С1 = 1,44 х10_3 X 293,15/1,033.

m

ОДР работы ЦБН ГПА определяется следующей системой неравенств:

— граница помпажной зоны ЦБН и предельно допустимая объемная производительность

Qmin — Qпр — Qmax ; (23)

— минимальное и максимальное число оборотов привода ЦБН

nmin ^ n ^ nmax ; (24)

— максимальная (располагаемая) мощность привода

N — Npacп ; (25)

— максимальное выходное давление, определяемое предельной прочностью труб,

Рвых ^ PMax ; (26)

—максимальная температура газа на выходе ЦБН, определяемая свойствами изоляционного покрытия,

Твых < Тмах • (27)

Исходными данными для построения ОДР и вычисления РТ для каждого фиксированного момента времени являются:

— измеренные значения параметров газового потока на входе и выходе ЦБН, а также измеренные обороты привода:

Твх - Твх + ДТвх , Твых - ТЕ

+ АТв

Pвx Рвх + АРвх , Pвыx Рвых + АРвых , п — П + Ап , где Рвх, Рвх, Твых, Рвых ,n — истинные (неизвестные) значения параметров газового потока и числа оборотов нагнетателя, а ДТвх, АТвых, АРвх, АРвых — суммарные случайные ошибки измерений соответствующих величин и ошибки в каналах связи, статистические свойства которых определяются в ходе метрологических испытаний;

— паспортные характеристики ЦБН — коэффициенты аппроксимации e02, ппр, йпол в соответствии с (4), (6) и (7):

aj, i = 0...2; bj, j = 0...3; di, l = 0...3

— набор констант, определяющих ОДР ЦБН:

Qmin, Qmax , nmin , nmax , Nрасп , Pmax , Tmax .

— предельно допустимая вероятность выхода РТ за пределы ОДР (а << 1).

3. Построение ОДР в системе координат (e,G)

При детерминированном подходе ОДР однозначно определяется по известным значениям параметров газового потока на входе ГПА — входного давления (Рвх) и входной температуры (Твх). Методика определения ОДР ЦНБ в этом случае состоит в прямом вычислении координат заданного числа граничных точек. Характерный вид получаемой области представлен на рис. 1.

114

РИ, 1999, № 2

Здесь границы 1 и 3 соответствуют ограничениям на допустимое число оборотов нагнетателя nmjn, nmax; границы 2 и 4—на допустимый приведенный расход газа Qmin, Qmax; граница 5 формируется для ограничения параметров режима работы ГПА по мощности (N< ^асп), а граница 6 вычисляется как 10% пред-помпажная зона.

При переходе к стохастической модели построение границы ОДР можно осуществлять одним из приведенных ниже методов.

3.1. Алгоритм определения положения РТ и границ ОДР по точно заданным входным параметрам

1. Вычислить псевдокритическое давление (Ркр) и температуру (Ткр ) по формулам (20),(21).

2. Итерационный расчёт давления (Ррасч.вых) и температуры (Трасчвых) на выходе нагнетателя.

2.1. Определить абсолютные давления (Рвх,Реых) и температуры (Твх,Твых) на входе и выходе ЦБН:

Рвх=рвх+1,033 , РВых=рвых+1,033 ,

Твх=!вх++273,15; Твых=!вых++273,15;

2.2. Определить приведенные температуры и давления газа на входе и выходе ЦБН по (19):

T = Т /Т P = Р /Р

пр.вх вх кр ? пр.вх вх кр ?

T = Т /Т P = Р /Р

пр.вих вих кр ? пр.вих вих кр •

2.3. Вычислить коэффициент сжатия газа на входе и выходе ЦБН по (15).

2.4. Вычислить средние приведенные параметры: Тср.пр Рср.пр. по (17), (18).

2.5. Вычислить среднее значение коэффициента сжатия газа Z ср по (16).

2.6. Вычислить коэффициент теплоёмкости газа dCp/R по средним приведенным параметрам (14).

2.7. Вычислить коэффициент изобарического сжатия газа X по (13).

3. Итерационный расчёт давления (Р^) и температуры (Ткн):

(Q,n/n н, Т вх ,Рвх ) ^ ( Р„„ , Т„„ ).

3.1. Вычислить значение характеристик центробежного нагнетателя. Для каждого конкретного ЦБН по его паспортным характеристиками определяются коэффициенты аппроксимации. Степень сжатия Єдр и политропний КПД h пр ЦБН могут быть определены из уравнений (3) и (6).

3.2. Определить первую итерацию

1 ср _ (1вх + 1 вих )/2 .

3.3. Вычислить показатель “изоэнтропии” газа

k 0/( k 0-1) в идеальном газовом состоянии (12).

3.4. Вычислить показатель псевдоизоэнтропии к/ (к-1) по (11).

3.5. Вычислить показатель политропы

m/(m-1) = г|пол х k/(k -1).

3.6. Вычислить фактическую степень сжатия по формуле (9).

3.7. Вычислить давление и температуру на выходе:

ркн _ рвх Х Є, Ркн _ ркн _ 1>°33,

Ткн = Твх X8(m-1)/m, tкн = Ткн - 273,15.

3.8 .Определить новую итерацию

1ср _ (tвх +1 вих)/2 .

3.9. Конец итерационного процесса:

|р вих _ pкн| < 0,01 ИЛи I1 Вих _ 1 кн| < 0,01 .

4. Итерационный процесс определения фактического расхода (Qm).

4.1. Определить новую итерацию

Q1 = Qmax, Q2 = Qmin, Qm = (Q1 + Q2)/2 .

4.2. Используя итерационный расчёт 3.1-3.9 давления (Ркн) и температуры (Ткн), определить

(Qm,n/nn Двх,Рвх) ^ (Ркн,Ткн).

Есёи (Рвых ^ Ркн), Q1 _ Qm.

Есёи (Рвых < Ркн), ТО Q2 = Qm.

4.3. Определить новую итерацию

Qm = (Q1 + Q2)/2,

4.4. Конец итерационного процесса:

|pвых -pкн| < 0,01 или j=40.

4.5. Вычислить коммерческий расход

G = Qm х (n / пн ) х рвх х С1 /(2вх х Твх) .

5. Вычислить абсциссы вершин ОДР:

g11 _ Qmin х FImin х Рвх х С1 /(^вх х Tвх), g12 _ Qmin х FImax х Рвх х С1 /(2вх х Tвх ), g21 = Qmax х FImin х Рвх х C1 /(2вх x Tвх), g22 = Qmax x FImax x Рвх x C1 /(2вх x Tвх ), где FImin _ (nmin /n ном ) .

6. Вычислить границу ОДР по приведенной объемной продуктивности нагнетателя Qmin .

6.1. Вычислить значения характеристики центробежного нагнетателя:

^^.min _ А0 ^ А1 X Qmin ^ A2 х Qmin,

^.min ^^.min .

6.2. Определить 8 абсцисс, соответствующих 8 точкам ограничивающей кривой:

Step = (g12 - g11)/7,

gi = g11 + i X S1ep, i=0:7.

6.3. Вычислить промежуточный параметр для каждой точки кривой:

FIi = (gi /Qmin) x 2вх x Твх /(рвх х

i=0:7, где FIi = (n/nном)i .

6.4. Вычислить ординату для каждой точки ограничивающей кривой:

Т 7 Р

(_(m-1)/m _ 1) 1п^пДхпр fi2 ^ 1 ^ пр.min > Т Z R i

1 вхZ вхR

- 2m/(m-1)

2

Ei =

8i = ^2, i=0:7.

7. Вычислить границу ОДР по приведенной объемной продуктивности нагнетателя Qmax.

7.1. Вычислить значения характеристики центробежного нагнетателя

є

2

пр-max

А0 ^ А1 X Qmax ^ A2 х Qmax

^.max y/Sпр.max .

7.2. Определить 8 абсцисс, соответствующих 8 точкам ограничивающей кривой :

Step = (g22 -g21)/7,

gi = g21 + i x s1ep, i=0:7.

РИ, 1999, № 2

115

7.3. Вычислить промежуточный параметр для каждой точки кривой:

FIi = (gi /Qmax) х Zbx х Твх /(Рвх х Ci), i=0:7, где FIi = (n/Пном)i •

7.4. Вычислить ординату для каждой точки ограничивающей кривой:

-|2m/(m-1)

si2 =

Т Z R

(р(m-1)/m _ i) 1п^п^пр fi2 , i ^np.min } т Z R i

Tbx Z bx r

Bi = V^2, i=0:7.

8. Вычислить границу ОДР по максимальной частоте оборотов нагнетателя (nmax ).

8.1. Определить 8 абсцисс, соответствующих 8 точкам ограничивающей кривой:

Step = (g22 - gl2)/7,

gi = g12 + ix step, i=0:7.

8.2. Вычислить промежуточный параметр для каждой точки кривой:

FI

max

(nmax /nном ) ,

Q пр.

giZ bx Tb

i=0:7.

FImaxPBX C1

8.3. Вычислить значения характеристики центробежного нагнетателя для каждой точки кривой:

10. Вычислить границу ОДР по располагаемой мощности нагнетателя.

10.1. Определить по приведенным расходам 8 расчетных точек ограничения:

step = (Qmax _ Qmin ) / 7,

gi = Qmin + iх step, i=0:7.

10.2. Вычислить значения характеристики центробежного нагнетателя для каждой точки кривой.

Приведенная относительная внутренняя мощность [N/gamma] ЦБН может быть определена из приведенного ниже уравнения, если аппроксимировать соответствующую характеристику ЦБН:

[N/gamma]i = b0 + b1gi + b2g2 + b3g3 , i=0:7.

10.3. Определить FI (FImin < FI < FImax) для каждой точки:

2 3 3

(bo + b1gi + b2gi + b3gi )FI = Nрасп/gamma ,при i=0:7. 10.4. Вычислить точки ограничивающей кривой:

Gi = gi x fi, x Рн x C1 /(zh x Th),

22 єпр. = a0 + a1gi + a2gi ,

-пр.

= p~

V пр.

Т Z R

(єпр-1)/m -1) ТпрZпрRпр FI2 +1

v пр Т Z R i

- 2m/(m-1)

2

i

в — ao + a1Q пр + a2Q2

ao + a1Q пр_

>■. = , i=0:7.

пр._ u І^ИР1 ^^пр/

^пр._ = уепр_

8.4. Вычислить ординату для каждой точки ограничивающей кривой:

-i2m/(m-1)

(вп^11 *- 1)-

2

Т 7 R

,(m-1)/m _ 1) 1п^п^пр fi2 + 1

Т Z R

1B^-JBXXV

Bi = ^2, i=0:7.

9. Вычислить границу ОДР по минимальной частоте оборотов нагнетателя (nmin).

9.1. Определить 8 абсцисс, соответствующих 8 точкам ограничивающей кривой:

step = (g21 - g11)/7, gi = g11 + i X step, i=0:7.

9.2. Вычислить промежуточный параметр для каждой точки кривой:

FImin _ (nmin/nHOM) ,

q _ giZ вх Твх

^пр. FI ■ P Ci , i=0:7 .

L bx'-' 1

9.3. Вычислить значения характеристики центро -бежного нагнетателя для каждой точки кривой :

Впр. _ a0 + a1Qпр, + a2Q

пр,

8пр — -/S

пр. \ пр,

X2"”

V пр,

i=0:7.

9.4. Вычислить ординату для каждой точки ограничивающей кривой:

- 2m/(m-1)

+1 ,

2

Т 7 R

(_(m-1)/m _ 1) 1пр^р^пр fi2 (k пр 1) — — - FIm

Т Z R

1B^-JBXXV

=i =!& i=0;7.

2

Bi = V«2, i=0:7.

11. Граница помпажной зоны строится аналогично кривой, как в пунктах 6.1-6.4, соответствующей ограничению по приведенной объемной продуктивности Qmax с учетом того, что Qграничн■ = Qmin .

10 % предпомпажная зона находится между этими кривыми.

12. Расчет рабочей точки режима работы ГПА:

g G, В пр. a0 ^ a1Qm ^ a2Qm,

Впр =.Е^

пр

є2 =

Т Z R

(єпр-1)/m -1)2»^FI2 +1

- 2m/(m-1)

Т 7 R

LBXAjBX1^

3.2 Метод расчета дисперсий

Суть метода состоит в представлении границ ОДР в виде последовательности точек, координаты которых вычисляются в соответствии с приведенным выше алгоритмом при измеренных со случайной

ошибкой значениях Ти и Р^ [3]. Полученные координаты граничных точек рассматриваются как математическое ожидание, для которого строятся оценки границ доверительных областей, в которых с заданной вероятностью находятся истинные границы ОДР.

Координаты e,G граничной точки связаны параметрически через вектор измеряемых параметров (Твх, Рвх) и варьируемые переменные Q^ и n, определяющие тип границы:

в = в(Твх,рвх, n, Qпр), (28)

G = G(Tbx , Рвх, n, Qпр ) . (29)

Дисперсии значений є, G в точке можно определить разложением соответствующей функции в ряд Тейлора по всем переменным, ограничиваясь линейными членами:

116

РИ, 1999, № 2

f = f(x), x = {x;}, i = 1..N ,

2 2 N f Pf

a = (f(x + Ax) -f(x))2 = £ —Axi

i=il5xi

N ( f л 2

-Ax i Ax j

+ s

i = 1,j = 1, i * j

9x:9x j V i j

(30)

Выражение (30) определяет общую схему метода, причем полагается, что измерения независимы, следовательно, второе слагаемое правой части выражения (30) равно нулю.Таким образом,

2

ctg =

ґ

3G

2

СТр

5P Рвх

V вх

(

3G

Л

2

Ст

лт Твх

\и Авх )

3G _ C1n2Q ( (1 - J2)

5РВХ n2T„J1

J1

5G _ Cln2PвхQ

ЭТвх п2ТвхJ1

1 Рв

(

_______L вх

Твх J1

Рв

рк

(

-+р

1060,11 Рв

т 4

T3V

2,9381х107 17,568

T

V вх

4

1кр

5G _ 2C1nQPi

T2

Аг>'

I =

5n n0T J1 ’

0 вх

9,79403x106 17,568

T

3

1

T

1

353,371 Рв

J1 = 1 - Рвх I - 3 .

PkP Tвх

Прямое вычисление частных производных функции є(Рвх,Твх) крайне затруднительно из-за сложности функции (10), поэтому осуществляется повышение размерности вектора переменных путем введения случайной величины

m0=m0 (йпол,Твх,Твых,Рвх,Рвых) =m/(m-1).

Тогда

Зє

Зр~

( Зє

ст P I + 1^—СТТ

I ЭТ

вх

Зє

3ш0

где є =

Зє

1 +

v n0 х

V 0 У пр

-1 (ЄШ° -1)

ЗР„

- -m0n2R0T0Z^J2 _ 0>

n2R0T0Z0 1_ 1 1 +----т--

V

n0Rвх J1 Tвх

58 ш R0T0Z0 n ---- — Ш.0--------

^Тх 0 R вх Tвх J1 n2

(-1 +4Ш0))Ш0(-1+4/Ш°)

n0Rвх J1 Tвх

(УШ0 -1Г4

n2R0T0Z

0

n2Rвх J1Tвх

1060.11 Рвх Рвх

(,

T

V вх

кр

2.9381х107 17.568

Л

Т

4

T

вх у

(УШ0-1

T

А г>

2

2

2

2

2

СТ. =

Ш0

Зє 2 n R0T0Z0 ( . 1/ш ) — = 2rn0 —^ 0 ^ 1 + є0 °)>

3n

2 R T J1

n0 вх вх

1 +

n R0T0Z0 г1 + є0

1+4M)

n2R

J1 T

вх вх

J2 = 1 Рвх I -_706,742 Рвх

п вх - 3

pkp t 3

вх

кр

Дисперсия smo оценивается экспериментально по разности значений m на противоположных границах.

Полученные значения sG2, se2 для каждой из граничных точек используются для построения мно -жества эллипсов рассеяния. Границы доверительных областей строятся путем соединения предельных точек соседних эллипсов (рис.2).

3.3 Метод аппроксимаций

Вычисление большого числа сложных производных для определения доверительного интервала для РТ и для каждой из точек, определяющих границы ОДР, является длительной процедурой. Однако отслеживание режима работы ЦБН должно вестись периодично с достаточно высокой частотой. В этом смысле более рациональным предполагается метод аппроксимации граничных значений, причем коэффициенты аппроксимации могут быть вычислены заранее (до начала работы). Введем обозначения:

X=(Xj), i=12 — вектор измеряемых параметров;

Х1 — давление на входе ГПА;

Х2 — температура на входе ГПА;

Z — число оборотов нагнетателя (n);

R — объемная производительность (Qv).

ОДР полностью определяется вектором X и ограничениями

Z Є [Zmim Zmax] ; R є І^тіш Rmax] ; N < Nmax .

Пусть заданы значения элементов вектора X. Рассмотрим і-ю границу. В соответствии с (3),(4),(8) и (9) вычисляется набор точек, отвечающих і-й границе, который можно аппроксимировать полиномом, например, второго порядка. При этом коэффициенты аппроксимации будут зависеть от конкретного значения вектора X:

(i) (i) (i) 2 /лі\

8i(q) = a0 (xbx2) + a1 (xbx2)q + a2 (xbx2)q , (31)

(i)

(i)

(i) (i) (i) (i) (i)

aj = bj0 + bj1x1 + bj2x2 + bj3 x1x2 (32)

при i=15; j=0,1,2.

В матричной форме уравнение (31) представимо в виде:

E = HA , (33)

РИ, 1999, № 2

117

А ^ Г 1 91 2 ) 91

где E = е2 H = 1 92 922

An j ,1 9n 9n2,

A =

( (i) A

ao (xi,X2)

(i)( )

ai (xi,X2)

(i)

a2 (xi,X2)

а n — число точек, взятых на данной границе.

Тогда можно получить оценку вектора А по методу наименьших квадратов, минимизируя крите-

T

рий J: J = (HA-E) (HA-E)

T -1 T

min; A = (H H) HE.

A

Тогда, проведя N опытов, т.е. вычисляя 1-ю границу при N различных значениях X, получим

A =

В матричной форме уравнение (32) представимо в виде: A(ki) = HB^, (34)

( (i) ! (i) ! ! (і) ! ! (і)

a01 і a02 і ' • і a0k і • • 1 a0N

(i) ! (і) ! ! (і) ! ! (і)

a11 ' a12 ' ' • ! a1k ' • • ' a1N

(i) і (і) і і (І) І і (І)

a21 ! a22 ! • • ! a2k ! • ' ! a2N

II < f (І) > a0k (i) a1k (i) a2k V У Bd) - Bk - , f b(i) ^ bk0 b(i) bk1 , (i) bk2 , b(i) ( bk3 )

f 1 X11 X21 x11x21 '

1 X12 X22 x12x22

1 X1k x2k x1kx2k

V 1 X1N X2N X1NX2N,

H =

(i)

Для нахождения оценки Bk еще раз используем МНК, но для (34):

J = (HBki) - A(ti))T(HBki) - A?):

(i)

min по Bk

В результате для каждой границы будет получен

, , (i) T -1 T (i)

вектор коэффициентов Bk = (H H) H Ak ,

1= 1,2,3,4,5 номера границ; j=0,1,2—тип коэффициента.

Тогда для любого измеренного вектора X по (32) и вектора Вк(1) можно однозначно определить коэффициенты полинома (31), аппроксимирующего неизвестную (не заданную явно) функцию є(С),которая соответствует 1-й границе, наилучшим в смысле МНК способом.

4. Построение РТ в системе координат (e,G)

Определение коммерческой производительности G в текущий момент времени осуществляется по (22) и (5), где

Qrn Qto (TBX ,Рвх >TBbIX ,Рвых, n) :

гир _ чп^^ю'вю ^вых^вых? -1, (35)

причем это значение может быть вычислено только численной итерационной процедурой, так как явля-

ется решением уравнения (9), где є = Рвых/Рвх (см. алгоритм). Поэтому дисперсию значения Q^ необходимо искать также по методу (30), но частные производные функции (35) — вычислять численно: 5Q = Q(Xj +А) - Q(Xj)

5xi Д , ^v-A

где x 1 — аргументы функции (35). Тогда

2 5 (

CTQ = Z

5Q

itKSxi Лі

2 ( SG

ctg =

SG

—a p I + Ct y)T івх

вх у 2 V Авх

f 9G fdG Л2

Uq °Q, + CTnJ

Вычисление стє2 при расчете РТ проводится также по (31), но для явной зависимости (1).

2

2

2

5. Построение ОДР и РТ в системе координат (n,Qnp)

При реализации любого метода контроля достоверности нахождения РТ внутри ОДР возникает необходимость отслеживания возможности пересечения эллипса рассеяния РТ и области рассеяния границы ОДР. В системе координат (є,0ком) сложность состоит в том, что границы ОДР в этой СК имеют большую кривизну и ОДР является невыпуклым множеством. Кроме того, функции связи координат точек, т.е. значений є и 0ком, с измеряемыми параметрами системы очень сложны, что вносит дополнительные ошибки в оценку дисперсий и ухудшает качество контроля.

Более простой, надежный, а главное — быстрый метод решении этой же задачи состоит в использовании другой системы координат, а именно — (п,0пр), поскольку ограничения на режим ЦБН, в соответствии с которыми строится ОДР, даны именно в этих координатах: 0ПрЄ [Qmm,Qmax], пє [птіп,птах]. Так, воз-

можен переход от задачи пересечения двух стохастических областей к задаче достижения эллипсом рассеяния неподвижной прямоугольной границы, соответствующей ограничениям (23),(24) . Для учета ограничения режима работы по предельной (располагаемой) внутренней мощности (25), согласно (7), можно выразить:

n(Qnp ) = n03

N

раси

/г

v(Qnp )

Р

v -______^_ВХ_______

здесь У Т 7 (р Т )R .

вх вх вх вх

Определение дисперсии Q^ для РТ проводится по (30) для (3 5). Значение относительной погрешности измерения числа оборотов настолько мало, что эллипс рассеяния РТ вырождается в доверительный интервал по значению Qn^ Для его построения используем теорему Чебышева:

mQир - CTQир VV^ ^ Qnp ^ mQnp + CTQир Vv^, где (а<<1) — предельно допустимая вероятность выхода РТ за пределы ОДР.

Выдача предварительного сигнала осуществляется при приближении границы доверительного интервала РТ к границе ОДР на расстояние є>0. При є=0 вероятность пересечеия рабочей точкой границы ОДР равна а.

Литература: 1. Розгонюк В. В, Хачикян Л.А. Експлуа-тац1йников1 газонафтового комплексу. Довідник. К.: Росток, 1998. 429с. 2.Евдокимов А.Г. Минимизация функций. X.: Вища шк., 1977. 288c. 3. ЮдинД.Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. М.: 1974. 399c.

Поступила в редколлегию 20.07.99 Рецензент: д-р техн. наук Евдокимов А.Г.

Тевяшева Ольга Андреевна,студентка 6 курса ХГПУ. Научные интересы: системный анализ и теория оптимальных решений. Увлечения и хобби: горные лыжи, туризм, музыка. Адрес: Украина, 61176, Харьков, ул.Ве-лозаводская, 38, кв.38, тел. 11-26-73.

118

РИ, 1999, № 2