CC BY
57
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №7-8_
МАТЕМАТИКА
УДК 519.857
Ф.Мирзоахмедов
СТОХАСТИЧЕСКИЙ АНАЛОГ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ЭФФЕКТОМ ВЕТВЛЕНИЯ
Центр инновационного развития науки и новых технологий АН Республики Таджикистан
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 30.04.2015 г.)
В статье даётся эффективный алгоритм симплексного метода для решения общей задачи линейного программирования, который также используется при решении стохастического варианта этой же задачи. Доказывется сходимость алгоритма решениия стохастического варианта задачи с учётом эффекта ветвления и потверждается тестовым примером.
Ключевые слова: детерминированная и стохастическая задача, ветвление, квазиградиент, алгоритм решения, теорема сходимости, численный эксперимент.
В современных условиях, с точки зрения новизны и приложения, необходимыми условиями математического моделирования являются наличия неопределённости, нелинейности, неоднозначности, критических точек, ветвящихся процессов и т.п.
В данной работе будет исследован стохастический аналог общей детерминированной задачи линейного программирования (ЗЛП) с учётом бифуркационного эффекта и алгоритма её решения.
1. Детерминированная постановка ЗЛП. Классическая детерминированная ЗЛП в канонической форме ставится следующим образом [1]:
x* = arg min j^ OjXj / xj e X j ^ min, (1)
где
Х = | X : Е ОЛ = Ь, Ь ^ 1 = 1т• | • (2)
Параметры задачи могут быть интерпретированы следующим образом: п - количество видов выпускаемой продукции; ¿г - запасы / -го вида ресурсов; а^ - технологические коэффициенты, которые указывают, сколько I -го ресурса требуется для производства продукта ] -го вида; X. - объём производства ] -го продукта; с . - затраты, связанные с производством единицы продукта ] -го вида.
Ниже изложим эффективный алгоритм решения задачи (1), (2) симплексным методом [1], который используется для приближённого решения стохастической задачи на каждой итерации.
Алгоритм 1. Задачи (1), (2) решаются с помощью симплекс-метода, заданного оператором:
Адрес для корреспонденции: Мирзоахмедов Фахриддин. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 33, Центр инновационного развития науки и новых технологиий АН РТ. E-mail: [email protected]
х/+1 = ¥(х'), х,0 = 0.
] » ]
Здесь х 0 - начальное приближение для симплекс-метода является базисным решением, векторы X+1 и X у представляют собой последующее и предыдущее решения, то есть
х/+1 = ш1п[ х; / х; ] = х/ / х/, хгу+1 = х/ - (х/ - х/+1), г е г ф ,, х/+1 = 0, л
Здесь элементы новой симплекс-таблицы на (з+1)-й итерации метода вычисляются согласно формуле:
\4 - (хг, - х1к )/ х1, , еСЛи г Ф 1к I х'1к / ху, если г = I.
2. Стохастическая постановка ЗЛП. Дополнительно к рассмотренным параметрам при постановке детерминированной ЗЛП (1),(2) ввёдем следующие обозначения: с. - независимые случайные величины, например спрос на j-ю производимую продукцию; ц и Д - удельные затраты, связанные с хранением излишней и потери от дефицита ] - продукции х.. В связи со случайностью
спроса в процессе принятия решений относительно объёма производства продукции возникают следующие эффекты ветвления:
• если объём производимой продукции ху в нужный момент превышает объём спроса с., то есть х ■ > с, то фирма производитель понесет затраты на хранение перепроизведённой продукции, равные ц(х. - с .) , ; = 1, 2,...,п, связанные с профицитом в размере х. - с . ;
• если объём спроса с. в нужный момент превышает объём производимой продукции х., то есть С > х ■, то фирма производитель терпит убытки, равные Д (с. — х.) , связанные с дефицитом в размере с. - х..
Функция затрат /. (х., с.) , связанная с объёмом производства продукции х., с учётом случайного спроса с., может быть представлена в виде следующей выпуклой разветевляющейся (кусочно-линейной) функции затрат:
Ц(х,.-с), если х, >с, Ц> 0, / (х с) = \ 111 1 1 1 (3)
1 1 1 1Д (с- х;), если х; <с;, Д > 0, j = 1, ..., и.
На рисунке показана функция / (х ) для случая с. < Д .
Рис. Возникновение эффекта ветвления при х. Ф ф..
Таким образом, стохастический аналог ЗЛП (1),(2) примет вид
= аг§тт {Е(х)/Х}, (1а)
*
где
^ п п Л п п
Е(х) = М 2С1Х1 + (хР ф) = 2С1Х1 + М2тахЬ(х,Ф $1 (ф1 -Х)} =
V 1=1 1=1 у 1=1 1=1
п п (Х1 ю ^
= 2 С1Х1 + 2 \а1 (х-ф1 )Р(ёф1 ) + (ф1 - Х )Р(ёф1 )
1=1 1=1
Здесь М - оператор математического ожидания; /(х. ,ф.) - измеримая функция при каждом ф.; ф. - элементарное событие вероятностного пространства (О, Z, Р), где О - множество элементарных событий; Z - есть а -алгебра измеримых множеств из О; Р — определённая в О вероятностная мера, то есть Р(О) = 1. В свою очередь Z можно интерпретировать как перечень всех трёх групп конкретных исходов, которым можно приписать для всех групп из Z (например, это может быть аналитическая функция и т.п.).
Целевая функция Е(х), помимо затрат на производство, выраженных в (1), также содержит ожидаемые затраты, связанные с дефицитом и профицитом произведенной продукции. Задача (1а),(2) является частным случаем общей задачи стохастического программирования [2]. Ниже рассмотрим алгоритм решения этой задачи.
Алгоритм 2. Пусть на 5 -м шаге (итерации) получено приближение х5, 5 = 0,1,..., (х - заданное произвольное начальное приближение). Тогда:
1. В соответствии с априорным распределением (р(ф) получаем наблюдение ф5 над
реализацией случайной величины ф. . Здесь ф* - независимое наблюдение над величиной ф. может
быть получено в результате машинного эксперимента (имитационной модели) либо в качестве С* может быть взят * -й элемент из набора статистических наблюдений (данных) относительно величин с. в различные периоды (годы, месяцы, декады и т. п.).
2. Вычислим вектор ^ - стохастического квазиградиента функции ¥(х) , компоненты которого, согласно (3), определяются следующим образом:
\а,., если х* >с*, ^ = 0,1,..., £ =+1 1 > 1 (4)
[-Д, если х* <С, у = 1,...,п.
Новое приближение находим согласно следующему варианту стохастического метода линеа-
ризаци:
х;+1 = х* + р*(X* -х*), 0<р*< 1, ^ = +7*(£* -^), 7* >0, 1 = 1п , * = 0,1,.... (5)
Здесь х, 1 = 1, п является решением (согласно алгоритму 1) следующей ЗЛП:
-* [ "
х* = аг§тт/X }, * = 0,1,....,
11=1
где , 1 = 1,п , определяется согласно (5), для которого , 1 = 1, п , вычисляется по (4).
Важной особенностью этого простого и легко реализуемого на компьютете алгоритма является тот факт, что направление «спуска» в них строится на основе случайного вектора стохастического
л
квазиградиента ^, который является несмещённой оценкой обобщённого градиента ¥х (х*) целевой функции ¥ (х). Другими словами, условное математическое ожидание, то есть
л
М(£' / Х ) = ¥х (х*).
л
Здесь вектор ¥х () удовлетворяет неравенству
¥(х) - ¥х (х'"*) ¥х (х'"*), х - х* поскольку по определению квазиградиента
/(х,с) -/(х*,С)>(/(х*с*),х-х*) .
Следовательно, взяв математическое ожидание с обеих частей этого неравенства, получаем квазиградиент функции ¥ (х) для любых х.
Теорема. Пусть выполняются условия
Р:
||£/|| < d < », ps > 0, r > 0, : = 0,1,...,, Р: = », Р--—0, £р,2 < », Zr,2 < »
,=0 Гs ,=0 ,=0
Тогда с вероятностью 1 предельные точки последовательности {х, j , определяемой
(4),(5) принадлежат множеству X * решений задачи (1а),(2).
Доказательство теоремы и выбор параметров метода (5) подробно исследованы в [3]. В общем случае для вектора стохастического квазиградиента имеем:
Л
M(? / X,) = Fx(х: ) + bs,
где bs - смещение, которое для сходимости изложенных методов должно в определённом смысле стремиться к 0 при s ^ ».
Peзyльтaт численного эксперимента. Опишем использование метода стохастической линеаризации (4),(5) для решения частного случая задачи (1а), (2) с дополнительными ограничениями типа
0 < x < d , i = 1, 5, когда затраты на производство не учитываются. Подпрограмма, реализующая
алгоритм 2, написана на языке VBA .
Пусть требуется минимизировать функцию
n
F(х) = MZ max \at (хг - щ ); Д (щ - хг )j ^ min (1в)
i=1
при ограничениях
X + х2 + 2х3 + 3х4 + х5 = 200,
0 < ^ < 50; 0 < х2 < 7; 0 < х3 < 7; 0 < х4 < 0; 0 < х5 < 25. (2а)
Здесь т. - случайные величины, равномерно распределённые на отрезках [¡¡, д;], 1 = 1, ..., 5. Векторы I = (,, ..., 15); q = ^5); а = {ах, ..., а5); Д = (Д1, ..., Д5) заданы в виде I = (0,0,0,0,0); q = (60,15,17,90,40); а = (1,0,3,1,2); Д = (3,4,1,2,3).
При указанных значениях аналитическое выражение функции цели (1в) имеет вид:
Е(х) =1 х2 +—х2 + —х2 + —х2 + —х\ - 3х - 4х - х, - 2х. - 3х, + 278.5 . (1с) 3 1 15 2 17 3 60 4 16 5 1 2 3 4 5
Стохастический квазиградиент ^ = ,..., ^) функции (1в) вычисляется согласно (4) аналитически по формуле
\а, если х* > т*, 1 |-Дя если х* <т*, I = 1,2,..., 5.
Для сравнения было получено следующее точное решение задачи (1с), (2а) одним из методов квадратичного программирования [3]:
х* = (41.88057; 7.00000; 2.48092; 41.27456; 22.33456), ¥(х*) = 98.10089.
Для решения стохастической задачи (1в), (2а) используем алгоритм 2, для которого начальное приближение
х0 = (10.59375; 0.59375; 5.18750; 58.78125; 2.09375),
шаговые множители р:, и 5,, определялись следующим образом: р8 = 1/ (^ + 1), 5 = 1/ (^ +1)2/3 .
Приведём результаты усреднённых значений искомых переменных и функции на итерациях с 161-й по 170-ю:
х =41.24893; х2 =7.00000; х3 =2.22827; х4 = 42.2829; х5 =20.47934;
1 170 1 170
х = 7Т Т х*; ¥(х) = - Т /(х*,С*) = 103.8945.
10 *=164 10 *=164
Легко заметить, что значение х = (х,..., х5) близко к оптимальному решению х* = (х*,..., х*) детерминированной задачи (1с),(2а), а значение ¥(х) мало отличается от значения
¥(х-) .
Повышение точности этого решения требует увеличения количества итераций. При неточности априорной информации о параметрах задачи отпадает необходимость в получении высокой точности решения.
Поступило.04.05.2015 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мирзоахмедов Ф. Противоречивые модели линейного программирования в производственно-экономических системах. - Душанбе: ТГНУ, 2002, 240 с.
2. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. - М.: Наука,1976, 240 с.
3. Мирзоахмедов Ф. Математические модели и методы управления производством с учетом случайных факторов. - Киев: Наукова думка, 1991, 220 с.
Ф.Мирзоахмедов
МОНАНДИИ СТОХАСТИКИИ МАСЪАЛАИ ПРОГРАММАСОЗИИ ХАТТЙ ДАР ^ОЛАТИ БА ШОХАХР ^УДОШАВЙ
Маркази рушди инноватсионии илм ва технологиями нав Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Дар макола алгоритми самараноки методи симплексй барои халли масъалаи умумии програмасозии хаттй оварда шудааст, ки вай дар навбати худ барои варианти стохастикии масъала дам истифода бурда мешавад. Ба гайр аз ин теоремаи наздикшавии алгоритми хдлли масъалаи стохастикй дар холати бифуркатсионй исбот карда шуда , бо варианти тестии масъала тасдик карда мешавад.
Калима^ои калиди: масъалауои детерминисты ва стохастики, ба шохауо цудошавы, квазиградиент, алгоритми %ал, теоремаи наздикшавы, тацрибаи адады.
F.Mirzoakhmedov
STOCHASTIC ANALOG LINEAR PROGRAMMING PROBLEMS WITH
BIFURCATION EFFECT
Center for Innovative Devolopment of Scince and New Technologies Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
The article presents algorithms effective simplex method for solving the general problem of linear programming, which also used in solving the stochastic version of the problem. We also prove the convergence of the algorithm for solving stochastic version problem with the bifurcation effect and proves to be true of the test example.
Key words: deterministic and stochastic problem, kvazigradient algorithm solving, convergence theorem, numerical experiment.
