Стохастическая постановка динамической транспортной задачи с задержками с учетом случайного разброса времени доставки и времени потребления Текст научной статьи по специальности «Математика»

СТОХАСТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ДИНАМИЧЕСКОЙ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ С ЗАДЕРЖКАМИ С УЧЕТОМ СЛУЧАЙНОГО РАЗБРОСА ВРЕМЕНИ ДОСТАВКИ И ВРЕМЕНИ ПОТРЕБЛЕНИЯ

Александров А.Э.

(УрГУПС, Екатеринбург) АА1ехапс1гоу@,соп1гоШпе. 8и Якушев Н.В. (УрГУПС, Екатеринбург) уакУлигаМгапз. ги

Множество задач оптимального управления потоками может быть эффективно решено на основе применения подхода под общим названием «Динамическая транспортная задача с задержками» (ДТЗЗ). ДТЗЗ впервые была разработана доктором технических наук, лауреатом государственной премии П.А.Козловым. Указанный подход представляет собой развитие содержательной постановки задачи линейного программирования в динамическую область. Под «динамикой» здесь понимается учет фактора времени при формировании структуры задачи -продолжительности доставки, распределения объемов производства и потребления во времени, изменение запасов продукта в конечных и промежуточных пунктах. Примерами решаемых задач может служить расчет планов подвода порожняка в соответствии с ритмом погрузки, планов согласованного подвода грузов к морским портам, подвода сырья к крупным потребителям, подвода маршрутов с энергоносителями к ТЭЦ и т.п.

Бурное развитие логистики в последнее десятилетие побуждает к исследованию возможностей применения данного подхода и в транспортно-складских системах. Здесь важно учесть не только транспортные расходы, но и потери на стыке транспорт - потребитель. Потери на стыке могут возникать как следствие случайного разброса времени доставки грузов и

случайных отклонений от планового ритма потребления. Учет случайного разброса параметров требует стохастической постановки ДТЗЗ.

Для формирования задачи оптимизации в стохастической постановке необходимо сделать анализ взаимодействия отправителя и получателя в случайной среде. Сделаем это на примере взаимодействия распределительного склада со складом у получателя.

Распределительный склад Склад у потребителя

Рис. 1. Структура потерь при фиксированном спросе и случайном времени хода

1. Детерминированный спрос и случайное время доставки

Пусть время доставки Т|(0) поставки г/,ДО имеет случайный разброс (рис. 1), то есть в каждый момент отправления t оно будет Ту ±(pj(t), где Ту - нормативное значение, - слу-

чайная величина. В этом случае, если время доставки будет (тy—<Pj(t)), возникнет раннее прибытие и, соответственно, дополнительное хранение груза. Если же время будет

(Ту + <Pj (t)), то появляется эффект позднего прибытия и будет

ущерб от недопоставки (в общем случае). Случайная величина (pit) имеет какое-то распределение. При этом, как правило, удельная стоимость хранения q значительно меньше удельного ущерба от недопоставки с2. ДТЗЗ в стохастической постановке должна учитывать этот эффект (будет рассмотрено ниже).

2. Детерминированное время хода и случайный спрос

Распределительный склад Склад у потребителя

tj~ плановый момент прибытия

Рис. 2. Структура потерь при детерминированном времени доставки и случайном спросе

В этом случае эффекты аналогичны предыдущему примеру, хотя причины различны (рис. 2). Отклонение времени потребления от планового (p,(t) имеет случайный характер. Случайная

величина (p,(t) имеет некоторое распределение. При раннем

потреблении (t j и плановом прибытии возникнет ущерб

от недопоставки. При позднем потреблении О, + <р((/)) и плановом прибытии - затраты на дополнительное хранение.

Распределительный склад Склад у потребителя

Рис. 3. Взаимодействие складов при случайном разбросе во времени доставки и времени потребления

3. Случайное время хода и случайное потребление

Здесь накладываются друг на друга два случайных процесса (рис. 3). Поставка Uy(t) может придти с опережением -

(1,1 -<р,(1)) и с опозданием - (/,, + (р/(1)). В свою очередь, момент потребления может быть раньше планового -(t j —(pt-(t)) и позже - (t j +(pt (t)). Случайные величины <Pj(t) и

(Pj(t) имеют свои распределения. Для упрощения постановки

задачи оптимизации взаимодействия складов в стохастической постановке желательно два случайных процесса свести к одному. Трудность, однако, возникнет в том, что опережение во

времени прибытия и опережение в потреблении приводит к разным последствиям. В первом случае возникают дополнительные затраты на хранение, а во втором - ущерб от недопоставки.

Но возможны различные сочетания.

Рис. 4. Уменьшение потерь при совпадающем характере отклонения во времени прибытия и потребления

А) Совпадающий характер отклонений.

При раннем прибытии и раннем потреблении ущербы уменьшаются (рис. 4а). Возможно даже полное совпадение, при котором дополнительные потери исчезают. Конечно, в зависимости от степени опережения в этих двух процессах будут либо дополнительные затраты на хранение, либо дополнительный ущерб от недопоставки.

Аналогичные эффекты возникают и при совпадающем отклонении - опоздании во времени прибытия и времени потребления (рис. 46).

Рис. 5. Увеличение потерь при несовпадающем характере отклонения во времени прибытия и потребления

Б) Несовпадающий характер отклонений.

При раннем прибытии (Т(; — <р;(0) и позднем потреблении

(tj+(pj(t)) возникают большие затраты на хранение (рис. 5а). Наоборот, при позднем прибытии (г,( + <р,(0) и раннем потреблении (tj—<Pj(t)) будет большой ущерб от недопоставки (рис.

56). Поэтому имеется определенная трудность в наложении этих двух случайных процессов.

Можно было бы перейти от величины (p,(t) к величине

(—(pt (t)). Тогда отклонение в одну и туже сторону случайных

величин <Pj(t) и (—(pt (t)) приводит к одному и тому же содержательному эффекту. При отклонении от момента планового

потребления в сторону «раньше» - дополнительные затраты на хранение, в сторону «позже» - ущерб от недопоставки, то есть мы переходим к задаче с детерминированным временем доставки Ту и случайном разбросе во времени потребления

(1^ ± (р ■ (/)), где случайная величина (р ■ (I ) описывает комбинацию двух случайных процессов.

Стохастическую постановку ДТЗЗ будем формулировать следующим образом - найти оптимальную по минимуму суммарных затрат на перемещение и простои динамическую структуру потоков с учетом ущерба от недопоставок при случайном разбросе в потреблении. Разброс во времени хода мы включили в разброс в потреблении. То есть функционал примет вид 3^ + J2 + */з + */ 4 —^ ШШ , т

где ./, = ^ Хсг/(0%(0 - транспортные расходы,

г=0д,руеР

т

./ 2 = X X сп(/)ип(/) - затраты на хранение запасов.

1=0 р}е Р

Составляющие ./, и J4 зависят от вида и параметров закона распределения. Если груз прибыл в момент /0 и момент потребления I должен был произойти раньше (I <!,,)■ то возникает ущерб от недопоставки, а если / > /0, то появляется дополнительные затраты на хранение. Пусть ^ - единичный ущерб от недопоставки, с2 - единичные затраты на хранение грузов, тогда ущерб от недопоставки равен

го

J з — |м1у(/)С1(/0 — / ) й?/ ,

а дополнительные затраты на хранение

Л = 1мУ(0^(Ос2(?-?о)^-

ч

Так как единичный ущерб от недопоставки с1, как правило, больше единичных затрат на хранение, то привозить груз в

«центр распределения» нецелесообразно. Очевидно, что груз в этом случае необходимо поставлять с некоторым запасом времени, чтобы суммарные потери от случайного разброса J3 +J4 были минимальными. Обоснуем выбор точки рационального прибытия t(). Рассмотрим это для примера единичной поставки «у (0 = 1 (строгость вывода от этого не пострадает). Пусть готовность к потреблению описывается функцией плотности распределения вероятности (p(t). Если t < t(), возникает ущерб от недопоставки. Если ущерб пропорционален — то мате-

^0

матическое ожидание потерь будет равно J(р(1)с} (in — i)dl, В

случае, когда груз придет раньше того времени, когда производство будет готово его принять (правее точки /",->), мы получаем

штраф от простоя груза на складе J<p(t)c2(t- l,,)dl.

to

Рис. 6. Определение наивыгоднейшего t()

Таким образом, общее математическое ожидание штрафа при подводе груза к точке потребления /0 будет равно

tQ со

Ф= J<p(0 Ci(t0 -t)dt + ^cp(t) C2(t-t0)dt =

t0

?0 t0 со со

= Cj/q J (pit) -dt - Cj J (pitydt - C2t0 J(pit) -dt + C2 J (pitydt =

*-0

Cj J <pit)dt-C2^<pit)dt

- Q j(pitydt + C2j<pit)t dt (*)

Так как J<p(XK ^ есть ничто иное, как определение математического ожидания, a J (p(t) -dt = 1, легко в подынтегральных выражениях можно перейти к одному интервалу интегрирования:

<50 tfj tfj

С2 J<pit)t dt = С2 М - J (pit)t dt = С2М - С2 J (pit)tdt

t0 ^ -оо ^

С2 J (р(/) -dt = С2 - С2 j (p(t) ■dt

к

Подставляя полученные выражения в (*), ползаем:

ч

- Cj J (pit)tdt + С2М -

го

- С2 J(pitydt = С2(М-t0) + (Q +С2)/0 J<)£>(/) 'dt -

к

- (Q + С2) J (pitydt

Ф= I,

to Ч

Q J (pit)dt -С2+С2 J (pit)dt

Наша задача - найти такое значение /0 • при котором значение Ф достигает своего минимума. Поэтому берем производную Ф по /0 и приравниваем ее к нулю.

— = -С2 + (Cj +С2)\<p{t) dt + (Q + С2)/0<р(/0) -

VlQ _ж

(Cj + C2)t0(p(t0).

— = -С2 + (Cj + C2)Jp(0<# = 0,

ИЛИ

(C1+C2)|<p(0<fr = с2

Таким образом, мы получили условие минимума функционала, достигаемое в такой точке /0 • ДОЯ которой

J <p(t)dt= ^

-со + ^2

Действительно, при значениях С2, значительно превышаю-

го

щих Сх, выражение J <p(l ) -dt должно быть ближе к единице,

чтобы минимизировать большие штрафы по Q. И, наоборот, при значениях (\, значительно превышающих С2, подынтегральное выражение должно быть ближе к нулю, то есть минимизировать большие штрафы по (\.

Таким образом, в случае со случайным разбросом динамическая задача в стохастической постановке организует прибытие с запасом времени в зависимости от величины возможного ущерба.